专题09 圆周角（七大题型28道题）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题09 圆周角（七大题型28道题） 目录 知识点一圆周角的概念辨析及简单运算 1 知识点二圆周角定理 4 知识点三同弧或等弧所对的圆周角相等 6 知识点四半圆（直径）所对的圆周角是直角 10 知识点五90度的圆周角所对的弦是直径 14 知识点六已知圆内接四边形求角度 18 知识点七求四边形外接圆的直径 22 知识点一圆周角的概念辨析及简单运算 1．下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据圆周角的定义，选项C中的为圆周角． 2．如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得出，根据邻补角得出，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 3．已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列命题： ①若AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形； ②若OA＝OC，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形； ③若AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是矩形； ④若AB＝CD，OA＝OC，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是矩形． 其中所有真命题的序号是_______________． 【答案】③ 【分析】根据平行四边形的特征，矩形的判定方法，判断即可； 【详解】解：①假命题，如图AECD是平行四边形，AB=AE=CD，∠ABC=∠AEB，四边形ABCD不是平行四边形； ②假命题，如图，OA＝OC，∠ABC＝∠ADC，四边形ABCD不能证明是平行四边形； ③真命题，如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，则AB∥CD，BC即为平行线间的距离， ∵AD＝BC， ∴AD为平行线间的距离，即AD与平行线垂直， ∴四边形的四个内角都为90°，四边形ABCD是矩形； ④假命题，如图，ABCE是矩形，CD=CE=AB，OA＝OC，∠ABC＝90°，四边形ABCD不是矩形； 综上所述③是真命题， 故答案为：③； 【点睛】本题考查了真假命题的判定，平行四边形和矩形的特征，结合圆的性质寻找反例是解题关键． 4．判断下列各图中的是不是圆周角，并说明理由． (1) 【答案】(1)角的边与圆没有两个交点，不是圆周角，不符合圆周角定义． (2)角的顶点不在圆上，不是圆周角，不符合圆周角定义． (3)角的顶点在圆上，角的两边与圆相交，是圆周角，符合圆周角定义． (4)角的顶点不在圆上，不是圆周角，不符合圆周角定义． 【分析】根据圆周角的定义作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 知识点二圆周角定理 5．如图，是的直径，弦，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆周角定理可得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵弦， ∴． 6．如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用菱形性质得到，结合半径相等推导出、为等边三角形，求出圆心角，再依据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 7．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______． 【答案】 【分析】先由圆周角定理求出圆心角，再算出，最后利用等腰三角形性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故． 8．已知：如图，为的直径，点M，N分别在，上，，，分别交于点C，D，且．求证：． 【答案】证明：连接，如图： ∵，且， ∴，， ∴， 又∵，，即， ∴， ∴． 【分析】连接，根据和可得，，再结合，，即可证明，进而即可证明． 【详解】略 知识点三同弧或等弧所对的圆周角相等 9．如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 10．如图，已知锐角，按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连，．则下列结论错误的是（     ） A． B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题． 【详解】解：A、根据题意得：， ， ，故不符合题意； B、连接， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 根据题意得：， ∴， ，故选项错误，符合题意； C、连接，， ， ， ∴，故不符合题意； D、连接，如图所示： ∵， ∴，选项正确，不符合题意． 11．如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求出的度数，结合等腰三角形性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用垂径定理推导，通过角的和差关系求解． 【详解】解： 与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ， 平分， ， ，是的直径， ， ， ． 12．已知：如图，是的外接圆，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【分析】证明即可. 【详解】略 知识点四半圆（直径）所对的圆周角是直角 13．如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为的直径得，即得，由平行线的性质得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 14．如图，在平面内，，，是平面内的一动点，且满足，则的最大值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，连接，证明出是等边三角形，得到，得到点A，B，C，D在同一个圆上，得到当是圆的直径时，取得最大值，然后利用含30度角直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴点A，B，C，D在同一个圆上 ∴如图所示，当是圆的直径时，取得最大值， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的最大值为． 故选：D． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，直径所对的圆周角是直角，含30度角直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 15．是的直径，，是的半径，，点D在上，，点P是半径上的一个动点，则的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】先找出P点的位置，求出，求出，根据勾股定理求出和，求出，再根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：， ∴A和B关于对称， ∴， 连接，交于点P，连接，，， 则此时的值最小，此时连接， ∵是的直径， ， ∵是的直径，， ， ， ， ， ， ，即的最小值为． 16．如图，圆的直径长为，弦的长为，的平分线交圆于点； (1)求弦与弦的长． (2)求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，然后利用勾股定理可计算出；根据圆周角定理得到°，再根据角平分线定义得，则，于是可判断为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质即可求得； （2）作于，由（1）可得是等腰直角三角形，进而可得，，利用勾股定理求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）解：是的直径， ， 在中， ， 是的直径， ， 的平分线交于点， 是等腰直角三角形， （2）如图，作于， 是的直径， ， 的平分线交于点， ， 是等腰直角三角形， ， 在中， ， ． 知识点五90度的圆周角所对的弦是直径 17．下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 18．如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，连接，根据直角所对的弦为直径，以及同弧所对的圆周角相等，得到为直径，，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵，，， ∴， ∴的半径为； 故选A． 19．如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为4， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即． 20．如图，在中，弦，点C在上，，求的半径． 【答案】的半径为 【分析】方法一：连接，根据圆周角定理及等边三角形的判定即可求解；方法二：连接并延长，交于点D，连接，根据同弧所对的圆周角相等得，根据直径所对的圆周角是直角及角所对直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：方法一：如解图1，连接． ， ． ， 为等边三角形， ， 的半径为． 方法二：如解图2，连接并延长，交于点D，连接． 是的直径， ． ， ． ， 的半径为． 知识点六已知圆内接四边形求角度 21．在圆内接四边形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∴， 解得， ∴， ∴． 22．如图，四边形中，，，若，，则四边形面积的最大值为（     ） A． B．36 C． D．25 【答案】A 【分析】过作交直线于，过作于，以为斜边作等腰直角三角形，过作于，则四边形为平行四边形，得到，根据平行线得到，，即可得到，根据对角对等边得到点、、在以为圆心，为半径的圆上，得到，据此求四边形面积的最大值即可． 【详解】解：如图，过作交直线于，过作于， ∵，， ∴四边形为平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， 以为斜边作等腰直角三角形，过作于， ∵， ∴，， ∵， ∴点、、在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∴， ∴最大值为， ∴四边形面积的最大值为． 23．如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为________． 【答案】/52度 【分析】根据三角形外角的性质可求出，根据圆内接四边形的性质可求出，最后再次利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 24．如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接、． (1)若，直接写出的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即平分． 【分析】（1）连接，交于点，根据垂径定理可推出，，从而求得，然后由同弧所对的圆周角相等即可求得的度数； （2）连接，根据垂径定理可推出，然后根据圆内接四边形的对角互补得到，结合同弧所对的圆周角相等可知，即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点， ∵是直径，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， （2）略 知识点七求四边形外接圆的直径 25．如图，在中， ，，，点是上一动点， ，，垂足分别为， ，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解可得，然后推出四边形内接于，且为直径，可得，继而得到，当最小时，则最小，而时最小，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵在中， ，，， ∴， ， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形为圆内接四边形， 连接，则为直径，取中点为，连接、，过点作于点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴当最小时，则最小，当时最小， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 26．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 27．如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为_____．      【答案】1.5 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，相似三角形的判定和性质．过A作于点F，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得的长，再由，可得，根据勾股定理可得的长，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过A作于点F，    ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：1.5． 28．如图，在正方形内有一折线段，其中，，并且，，，求正方形的外接圆半径． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，外接圆的特点，以及勾股定理的应用，通过平移线段构造矩形，将正方形外接圆直径转化为直角三角形的斜边是解题关键． 通过平移线段构造矩形，将分散线段整合为直角三角形的边，用勾股定理求出正方形对角线，再结合正方形外接圆直径与对角线的关系，得到外接圆半径． 【详解】解：如图，平移至，连接，， 、， ， ，且， 四边形是矩形， ，，，， 在中，，即正方形对角线， 正方形的外接圆直径等于其对角线长， 正方形外接圆半径为：． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题09 圆周角（七大题型28道题） 目录 知识点一圆周角的概念辨析及简单运算 1 知识点二圆周角定理 2 知识点三同弧或等弧所对的圆周角相等 3 知识点四半圆（直径）所对的圆周角是直角 4 知识点五90度的圆周角所对的弦是直径 5 知识点六已知圆内接四边形求角度 7 知识点七求四边形外接圆的直径 8 知识点一圆周角的概念辨析及简单运算 1．下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列命题： ①若AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形； ②若OA＝OC，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形； ③若AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是矩形； ④若AB＝CD，OA＝OC，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是矩形． 其中所有真命题的序号是_______________． 4．判断下列各图中的是不是圆周角，并说明理由． (1) 知识点二圆周角定理 5．如图，是的直径，弦，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______． 8．已知：如图，为的直径，点M，N分别在，上，，，分别交于点C，D，且．求证：． 知识点三同弧或等弧所对的圆周角相等 9．如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知锐角，按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连，．则下列结论错误的是（     ） A． B．若，则 C． D． 11．如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 12．已知：如图，是的外接圆，，．求证：． 知识点四半圆（直径）所对的圆周角是直角 13．如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 14．如图，在平面内，，，是平面内的一动点，且满足，则的最大值为（    ） A．8 B． C． D． 15．是的直径，，是的半径，，点D在上，，点P是半径上的一个动点，则的最小值为_______． 16．如图，圆的直径长为，弦的长为，的平分线交圆于点； (1)求弦与弦的长． (2)求的长． 知识点五90度的圆周角所对的弦是直径 17．下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 18．如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 19．如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 20．如图，在中，弦，点C在上，，求的半径． 知识点六已知圆内接四边形求角度 21．在圆内接四边形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 22．如图，四边形中，，，若，，则四边形面积的最大值为（     ） A． B．36 C． D．25 23．如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为________． 24．如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接、． (1)若，直接写出的度数； (2)求证：平分． 知识点七求四边形外接圆的直径 25．如图，在中， ，，，点是上一动点， ，，垂足分别为， ，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 26．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 27．如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为_____．      28．如图，在正方形内有一折线段，其中，，并且，，，求正方形的外接圆半径． 学科网（北京）股份有限公司 $