专题06 圆的相关概念（五大题型20道题）-2026-2027学年苏科版九年级上册数学上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题06 圆的相关概念（五大题型20道题） 目录 知识点一圆的基本概念辨析 1 知识点二求圆中弦的条数或过圆内一点的最长弦 5 知识点三圆的周长和面积问题 10 知识点四圆心角概念辨析及简单运算 15 知识点一圆的基本概念辨析 1．下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 2．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交于点，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直角三角形的两锐角互余求出的度数，再利用圆的半径相等得到，从而利用等腰三角形的性质得到，最后根据三角形内角和定理求出圆心角的度数，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 的度数为． 3．如图，是⊙O的直径，弦于点E，若，，则的半径为______． 【答案】5 【分析】设的半径为r，则，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r， ∵是⊙O的直径，， ∴，， ∵，， ∴在中，， 解得，故的半径为5． 4．如图中，，，，D为平面内一点，连接，过点B作，与的延长线相交于点E，且，则面积的最大值为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及圆的性质．连接，先证，由相似三角形的性质可知，，通过已知条件求出，从而求得，再根据相似三角形的性质可得，，从而证得，由此证得点D在以为直径的圆上，从而得到的最大值为10，由此求出面积的最大值． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴点D在以为直径的圆上． ∵，，， ∴， ∴的最大值为10， ∴， 即当时，面积的最大值为． 5．在中，点C，D在弦上，且． (1)如图（1），弦经过圆心O，求证：； (2)如图（2），弦不经过圆心O，与是否仍相等？说明理由． 【答案】(1)∵ 过圆心O， ∴． 又∵， ∴， 也就是． (2)与仍然相等，理由如下： 连接，，则． ∴，又， ∴， ∴． 【分析】（1）因为是过圆心的弦，所以，再结合的条件，通过线段的和与差运算推导与的关系． （2）连接，，利用等腰三角形的性质得到，进而证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论． 【详解】（1）略． （2）略． 知识点二求圆中弦的条数或过圆内一点的最长弦 6．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 7．已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（    ） A．1 B．5 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了圆的性质中弦长的性质，根据圆的弦的性质，弦的长度不能超过直径，半径为5，直径为10，因此弦长不可能大于10． 【详解】解：∵的半径为5， ∴直径长为10， ∵弦的长度满足， ∴的长度不可能为11， 故选：D． 8．如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质和勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题设的中点为点，则以为圆心，为半径作圆，点就在这个圆上，作点关于直线的对称点，连接交圆于点，交于，连接，，通过两点之间线段最短，和轴对称的知识，分析得到，根据矩形的性质和勾股定理得到的长度，根据中点和轴对称知识得到，然后即可求解； 【详解】解：设的中点为点，则以为圆心，为半径作圆，点就在这个圆上，作点关于直线的对称点，连接交圆于点，交于，连接，，如图： ∴，， ，， ∴， ∵是矩形内部一动点，为边上的一个动点，两点之间线段最短， ∴， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴圆的半径， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∴， ∴， 故答案为：； 9．如图是小明根据推磨原理制作的简易风扇的示意图，以为轴将矩形木板垂直固定在水平面上，用长为的连杆将点与滑轨上的推拉点相连（大小可变），当点在轨道上来回滑动时可带动矩形木板绕着轴转动（不考虑矩形木板与水平面的摩擦），从而起到吹风的效果，固定杆，，，如图为简易风扇的俯视图．矩形木板转动过程中，的取值范围是________ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的三边关系，圆的性质，连接，由题意可得，由三角形三边关系可得点在线段上时，取最大值；点在线段的延长线上时，取最小值，进而求出的最大值和最小值即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：连接，由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， 即点在线段上时，取最大值，此时取最大值，如图， ∴； 又∵， 即点在线段的延长线上时，取最小值，此时取最小值，如图， ∴； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 10．请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 【答案】(1) 如图所示： (2) 底边的中线如图所示： (3) 如图所示： 【分析】（1）连接，并延长交上于一点D，则是直径，符合题意，即可作答． （2）因为等腰 内接于中，，则连接，因为，则直线是的垂直平分线，记直线与的交点为，结合等腰三角形的三线合一，则是底边的中线，即可作答． （3）连接交于点O，连接交于点H，连接，即为线段的垂直平分线，即可作答． 本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题． 【详解】（1）解：是中一条最长的弦， （2）略 （3）解：直线即为所求． 知识点三圆的周长和面积问题 11．用四个面积为的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”，已知正方形的面积为，则风车绕着正方形的中心旋转形成的圆的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形的中心为点O，连接，过点O作于点M，由正方形的面积为，得，根据正方形的性质，得，设，则直角三角形的另一条直角边的长为，根据题意，得，求解即可； 【详解】解：设正方形的中心为点O，连接，过点O作于点M， 由正方形的面积为，得， 根据正方形的性质，得， 设， 根据题意，四个面积为的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”， 故直角三角形的另一条直角边的长为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 根据长度不能为负数，故舍去， ∴， ， ， 根据勾股定理，得， 故圆的面积为：． 12．我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆形田地的半径为步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为平方步，列方程即可． 【详解】解：∵正方形田地的边长为步， ∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等， ∴圆形田地的半径为步， ∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步， ∴． 13．如图，半径为个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】先根据圆的周长公式求出圆滚动一周的长度，再求出滚动两周的长度，最后结合点A的位置求出点B表示的数． 【详解】解：已知圆的半径，根据圆的周长公式，可求出圆的周长； 圆滚动两周的长度是圆周长的2倍，即； 点A表示的数是，圆从A点向右滚动两周到达B点，那么点B表示的数等于点A表示的数加上圆滚动两周的长度：． 14．．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【答案】 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． 15．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 【答案】(1)5 (2)24 【分析】（1）连接，设喷泉的半径为，则、，由垂径定理可得、，再利用勾股定理得到，据此列方程求解即可； （2）由（1）可知米，利用圆的周长进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则， ， 是弦的中点， 、， ， 在中，， 即， 解得， 喷泉的半径为5米； （2）解：由题意得：米， 则盏， 因此，大约需要安装24盏景观灯． 知识点四圆心角概念辨析及简单运算 16．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． 17．如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 18．水车是我国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘．轮盘边缘均匀分布有12个水斗（看成点），这些水斗随轮盘转动而升降．如图2．已知外围轮盘半径为，在水车顺时针转动的某一时刻，其中1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，劣弧上（不含，）还有另外2个水斗，现测得点到水面的竖直距离为，则此时在水面下方的水斗个数最多有__________个．（参考数据：） 【答案】3 【分析】作，，作，设，先说明四边形是矩形，得到，再利用“”说明，得到，根据勾股定理列出方程，求出，，最后根据垂径定理，计算即可求解的最大值，利用两个水斗间夹角为30度，求出水斗最多的数量． 【详解】解：如图，作、交于点、，作于点， 设， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 点到水面的距离为， ，则， 圆形轮盘分布了12个水斗，水斗A和B中间还有2个水斗， ， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 则，即，解得，， 或， ， 点是的中点，即， 或． ∵在水面下方的水斗个数最多 ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴所对的圆心角为， ∵每两个水斗的夹角度数为， ∴在水面下方的水斗个数最多有3个 19．把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 【答案】/144度 【分析】该题考查了圆心角，解一元一次方程，扇形面积比等于圆心角比，设比例系数为，根据圆心角和为列方程求解． 【详解】解：∵各个扇形面积的比为， 设四个扇形的圆心角分别为，，，， 则， 解得：， 最大圆心角为． 故答案为：． 20．如图，是的一条弦，，垂足为交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆心角相等，圆周角定理，勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）由垂径定理得，，，则，然后根据圆周角定理求解即可； （2）设的半径长，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的一条弦，，∴由垂径定理得，，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数； （2）解：设的半径长，则， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的半径长为． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题06 圆的相关概念（五大题型20道题） 目录 知识点一圆的基本概念辨析 1 知识点二求圆中弦的条数或过圆内一点的最长弦 2 知识点三圆的周长和面积问题 4 知识点四圆心角概念辨析及简单运算 5 知识点一圆的基本概念辨析 1．下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 2．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交于点，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是⊙O的直径，弦于点E，若，，则的半径为______． 4．如图中，，，，D为平面内一点，连接，过点B作，与的延长线相交于点E，且，则面积的最大值为________． 5．在中，点C，D在弦上，且． (1)如图（1），弦经过圆心O，求证：； (2)如图（2），弦不经过圆心O，与是否仍相等？说明理由． 知识点二求圆中弦的条数或过圆内一点的最长弦 6．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 7．已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（    ） A．1 B．5 C．10 D．11 8．如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为___________． 9．如图是小明根据推磨原理制作的简易风扇的示意图，以为轴将矩形木板垂直固定在水平面上，用长为的连杆将点与滑轨上的推拉点相连（大小可变），当点在轨道上来回滑动时可带动矩形木板绕着轴转动（不考虑矩形木板与水平面的摩擦），从而起到吹风的效果，固定杆，，，如图为简易风扇的俯视图．矩形木板转动过程中，的取值范围是________ 10．请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 知识点三圆的周长和面积问题 11．用四个面积为的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”，已知正方形的面积为，则风车绕着正方形的中心旋转形成的圆的面积为（     ） A． B． C． D． 12．我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 13．如图，半径为个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点，则点表示的数是________． 14．．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 15．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 知识点四圆心角概念辨析及简单运算 16．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 17．如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 18．水车是我国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘．轮盘边缘均匀分布有12个水斗（看成点），这些水斗随轮盘转动而升降．如图2．已知外围轮盘半径为，在水车顺时针转动的某一时刻，其中1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，劣弧上（不含，）还有另外2个水斗，现测得点到水面的竖直距离为，则此时在水面下方的水斗个数最多有__________个．（参考数据：） 19．把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 20．如图，是的一条弦，，垂足为交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径长． 学科网（北京）股份有限公司 $