3.3 圆的对称性（垂径定理），易错专题 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版2024 · 圆的对称性（垂径定理） · 第3章 圆 3.3圆的对称性（垂径定理） 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版2024 第3章 圆 第1课时 本专题打破教材顺序，按真实错因重新聚合圆对称性（垂径定理）相关易错题，每个易错点配一道精讲例题与即时巩固，帮助学生在对比中识别陷阱；文末设置综合检测题组，用于全部模块学完后统一查漏补缺。覆盖构造直角三角形、设半径列方程、分类讨论漏解、定理前提条件等高频失误。 目录 易错点1：不连半径构造直角三角形 易错点2：设半径列方程时弦心距符号出错 易错点3：平行弦漏掉同旁与异侧两类 易错点4：垂径推论忽略非直径前提 易错点5：混淆过圆内一点的最长最短弦 易错点6：动点最值不会转垂径定理 易错点7：平分弦后不会用半弦相等证线段 易错点1：不连半径构造直角三角形 学习目标 · 能构造半径半弦弦心距直角三角形 · 能由垂径定理求弦长或距离 · 熟记半弦等于弦长一半 纠错指引 过圆心作弦的垂线，连半径构造Rt△：斜边=半径，直角边=半弦与弦心距，套勾股定理求解。 精讲例题 例题1．（2023秋•浦北县期末）·【基础】如图，⊙O的半径为13，弦AB＝24，OC⊥AB于点C．则OC的长为（　　） A．.10 B．.6 C．.5 D．.12 【分析】先利用垂径定理得到AC＝BC＝12，然后利用勾股定理计算OC的长． 【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝12， ∴AC＝BCAB24＝12， ∵⊙O的半径为13， ∴在Rt△OAC中，OA＝13， ∴OC5． 故选：C． 教学提示：板书先连半径OA，标出半弦AC=12与弦心距OC，强调『知二求一』固定套路；可让学生口述直角三角形三要素。 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 不连半径构造直角三角形 · 半弦长算成弦长未折半 即时巩固 即时巩固1．（2024秋•昆明期中）·【基础】如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点B，OC＝5cm，CD＝8cm，则OE＝（　　） A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm 【分析】先利用垂径定理可得CECD＝4cm，然后在Rt△OCE中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，CD＝8cm， ∴CECD＝4（cm）， 在Rt△OCE中，OC＝5cm， ∴OE3（cm）， 故选：C． 教学提示：围绕「不连半径构造直角三角形」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固2．（2025•长沙三模）·【提升】如图，⊙O中，弦AB＝8cm，⊙O的半径长为5cm，则圆心O到AB的距离为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】过点O作OC⊥AB交AB于点C，连接OA．根据垂径定理求出AC的长，在Rt△AOC中利用勾股定理求出OC的长即可． 【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB交AB于点C，连接OA． ∵OC⊥AB，AB＝8cm， ∴ACAB＝4cm， 在Rt△AOC中利用勾股定理，得OC3（cm）， ∴圆心O到AB的距离为3cm． 故选：A． 教学提示：围绕「不连半径构造直角三角形」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固3．（2025•兴庆区校级一模）·【基础】如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是 　 　 ． 【分析】根据点到直线的距离的定义得OM⊥AB，在Rt△AOM中利用勾股定理求出AM的长，再由垂径定理求出AB的长即可． 【解答】解：如图，连接OA． 根据题意，得OM⊥AB，OA＝5，OM＝3， 在Rt△AOM中利用勾股定理，得AM4， ∴AB＝2AM＝2×4＝8． 故答案为：8． 教学提示：围绕「不连半径构造直角三角形」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点2：设半径列方程时弦心距符号出错 学习目标 · 会设半径r表示弦心距 · 能列勾股方程求半径 · 分清垂足在圆内外的符号 纠错指引 设半径为r，先判断垂足在圆内（OE=r−CE）还是圆外（OE=CE−r），再列r²=(半弦)²+OE²。 精讲例题 例题2．（2023秋•海安市期中）·【基础】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E．若AB＝4，CE＝8，则⊙O的半径为 　 　 ． 【分析】连接OA，设⊙O的半径为r，运用勾股定理列出r2＝22+（8﹣r）2，求出r即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OA． 设⊙O的半径为r，则OE＝8﹣r． ∵AB⊥CD， ∴AE＝BE＝2， 由勾股定理得：r2＝22+（8﹣r）2， 解得：r， 故答案为：． 教学提示：用数轴标圆心O与垂足位置，明确垂足在圆内时OE=r−CE；让学生对比垂足在圆外（CE>r）应写OE=CE−r，防符号写反。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 垂足圆内弦心距写成r+CE · 不会用r表示弦心距列方程 即时巩固 即时巩固4．（2024秋•元阳县期末）·【提升】如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E．若AB＝16，CE＝4，则⊙O的半径为（　　） A．10 B．8 C．6 D． 【分析】根据垂径定理求出AE，设⊙O的半径为r，在Rt△AOE中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【解答】解：∵AB⊥CD，AB＝16， ∴AEAB＝8， 设⊙O的半径为r，则OE＝OC﹣CE＝r﹣4， 在Rt△AOE中利用勾股定理，得AE2+OE2＝OA2，即82+（r﹣4）2＝r2， 解得r＝10． 故选：A． 教学提示：与例39同型但垂足在圆内，OE=r−4；让学生比较AB=16时半弦=8，列方程8²+(r−4)²=r²，强调减号来源。 即时巩固5．（2024秋•闽清县期中）·【提升】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，BE＝2，则⊙O的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．10 【分析】连接OC，设OB＝OC＝r．根据垂径定理求出CE，用含r的代数式将OE表示出来，在Rt△CEO中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【解答】解：连接OC． 设OB＝OC＝r． ∵AB为⊙O的直径，CD＝8， ∴CECD8＝4， ∵BE＝2， ∴OE＝OB﹣BE＝r﹣2， 在Rt△CEO中利用勾股定理，得CE2+OE2＝OC2， ∴42+（r﹣2）2＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 故选：C． 教学提示：BE=2在直径上，OE=r−2；提示学生先找半弦CE=4，再列勾股方程，与模块2例题对照巩固符号。 即时巩固6．（2025秋•游仙区期末）·【提升】如图，过的中点C作CD⊥AB，垂足为D，AD＝4，CD＝2，则所在圆的半径长是 　 　 ． 【分析】由“点C是的中点，CD⊥AB”，根据垂径定理可知所在圆的圆心在CD所在的直线上，延长CD到圆心点O，连接OA．设所在圆的半径长为r，将OD用含r的代数式表示出来，在Rt△ADO中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【解答】解：延长CD到圆心点O，连接OA． 设所在圆的半径长为r，则OA＝OC＝r． ∵CD＝2， ∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2， 在Rt△ADO中利用勾股定理，得AD2+OD2＝OA2， ∴42+（r﹣2）2＝r2， ∴r＝5， ∴所在圆的半径长为5． 故答案为：5． 教学提示：围绕「垂足圆内弦心距写成r+CE」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固7．（2025•长沙县模拟）·【提升】如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果OD＝6，AB＝16，那么CD＝ 　 　 ． 【分析】由垂径定理求出AD，在Rt△AOD中利用勾股定理求出OA，从而得到OC，再根据CD＝OC﹣OD求出CD即可． 【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝16， ∴ADAB＝8， 在Rt△AOD中利用勾股定理，得OA10， ∴OC＝OA＝10， ∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4． 故答案为：4． 教学提示：围绕「垂足圆内弦心距写成r+CE」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固8．（2023•大冶市一模）·【提升】如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是　 　 ． 【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，由勾股定理可得出OA的长． 【解答】解：连接OA， ∵C是AB的中点， ∴ACAB＝2，OC⊥AB， ∴OA2＝OC2+AC2，即OA2＝（OA﹣1）2+22， 解得，OA， 故答案为：． 教学提示：围绕「垂足圆内弦心距写成r+CE」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点3：平行弦漏掉同旁与异侧两类 学习目标 · 会对平行弦分类讨论 · 能判断同旁异侧加减 · 避免弦位置漏解 纠错指引 先画两弦在圆心同旁与异侧两种草图，同旁距离相减、异侧相加，两种都算不漏解。 精讲例题 例题3．（2023秋•文昌校级期末）·【提升】已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB与CD的距离是（　　） A．1 cm B．7 cm C．1 cm或7 cm D．无法判断 【分析】根据题意画出符合条件的两种情况，过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，根据垂径定理求出AE、CF、根据勾股定理求出OE、OF，结合图形求出EF即可． 【解答】解：分为两种情况：①当AB和CD在O的同旁时，如图1， 过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴由垂径定理得：AEAB＝3cm，CFCD＝4cm， 在Rt△OAE中，由勾股定理得：OE4（cm） 同理求出OF＝3cm， EF＝4cm﹣3cm＝1cm； ② 当AB和CD在O的两侧时，如图2，同法求出OE＝4cm，OF＝3cm， 则EF＝4cm+3cm＝7cm； 即AB与CD的距离是1cm或7cm， 故选：C． 教学提示：课堂画出两弦在圆心同旁与异侧两种草图，提问『距离是相加还是相减』；强调分类讨论先画所有可能位置再计算。 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 漏掉两弦异侧情形 · 同旁异侧距离加减混淆 即时巩固 即时巩固9．（2023秋•旌阳区校级期中）·【提升】已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（　　） A．cm B．4cm C．或4cm D．2或4cm 【分析】根据垂径定理和勾股定理，分别计算AB位于点O的两侧时AC的长即可． 【解答】解：根据题意，作图1和图2，连接AO． 如图1：∵AB是直径，AB⊥CD， ∴AM＝BMAB＝4（cm）， 圆O的半径为5（cm）， 在Rt△AMO中利用勾股定理，得MO3（cm）， ∴CM＝CO﹣MO＝5﹣3＝2（cm）， 在Rt△AMC中利用勾股定理，得AC2（cm）； 如图2：∵MO＝3（cm）， ∴CM＝CO+MO＝5+3＝8（cm）， 在Rt△AMC中利用勾股定理，得AC4（cm）． 综上，AC的长为2cm或4cm． 故选：C． 教学提示：AB可在圆心O两侧，画两图得AC=2或4；强调『垂足位置不确定必须分类』，避免只写一解。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点4：垂径推论忽略非直径前提 学习目标 · 记住垂径推论前提条件 · 能辨析直径与非直径弦 · 理解等弧需同圆等圆 纠错指引 垂径推论补前提：过圆心的线段才是直径；平分的弦须非直径；等弧须同圆或等圆。 精讲例题 例题4．（2024秋•新会区校级月考）·【基础】有下列结论， ①弦比直径短． ②过圆心的线段是直径． ③半圆是弧． ④长度相等的两条弧为等弧． ⑤平分弦的直径垂直于弦． ⑥相等的圆心角所对的弦相等．其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据圆中的基本概念及关系、定理即可得解． 【解答】解：①弦（非直径）比直径短，原说法错误； ②过圆心且两个端点都在圆上的线段是直径，原说法错误； ③半圆是弧，原说法正确； ④同圆或等圆中长度相等的两条弧为等弧，原说法错误； ⑤平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误； ⑥同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，原说法错误； ∴说法正确的有1个， 故选：A． 教学提示：逐条让学生补前提——①非直径弦②过圆心且端点在圆上③同圆或等圆④平分非直径弦，用红笔圈出易漏的限制词。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 忘加非直径前提 · 等弧忽略同圆等圆 即时巩固 即时巩固10．（2024秋•冠县期中）·【基础】如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，若B为的中点，则下列说法错误的是（　　） A． B．OE＝BE C．CE＝DE D．AB⊥CD 【分析】根据垂径定理及其推论判断即可． 【解答】解：∵点B为的中点， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； ∵AB是⊙O的直径，， ∴CE＝DE，AB⊥CD，故C、D选项说法正确，不符合题意； 不能证明OE＝BE，故B选项说法错误，符合题意； 故选：B． 教学提示：围绕「忘加非直径前提」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固11．（新教材同步题）·【基础】下列判断正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 B．平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧 C．经过弦的中点的直径一定垂直于弦 D．圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行 【分析】A、根据垂径定理判断； B、根据垂径定理的推论判断； C、垂径定理的推论判断； D、根据圆周角定理和平行线的判定判断． 【解答】解：A、由垂径定理知，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，但垂直于弦的直线不一定平分这条弦，故此选项错误； B、平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧，故此选项正确； C、经过弦的中点的直径不一定垂直于弦，故此选项错误； D、圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦不一定平行，如：两个直径所夹的弧相等， 但两条弦不平行，故此选项正确； 故选：B． 教学提示：围绕「忘加非直径前提」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固12．（2024秋•高唐县期中）·【提升】如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）交于点E，若E为CD的中点，则下列说法错误的是（　　） A． B．OE＝BE C． D．AB⊥CD 【分析】根据等腰三角形的性质证明AB⊥CD，再由垂径定理分别判断即可． 【解答】解：如图，连接OC、OD． ∵OC＝OD，E为CD的中点， ∴AB⊥CD， ∴，， ∴ACD正确，不符合题意； ∵OE与BE不一定相等， ∴B错误，符合题意． 故选：B． 教学提示：由OC=OD且E为中点推出AB⊥CD，再垂径得弧相等；提醒学生『中点+等腰』是推垂直的关键。 即时巩固13．（2023秋•无锡月考）·【提升】下列说法正确的是（　　） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是同一圆中最长的弦 【分析】根据垂径定理、等弧的定义及圆的有关性质判断求解即可． 【解答】解：半圆是弧，弧不一定是半圆，故A不符合题意； 同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故B不符合题意； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，C不符合题意； 直径是同一圆中最长的弦，故D符合题意； 故选：D． 教学提示：围绕「忘加非直径前提」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点5：混淆过圆内一点的最长最短弦 学习目标 · 区分最长弦与最短弦 · 会用垂径求圆心到弦距离 · 理解最短弦垂直直径 纠错指引 过圆内一点最长弦是过该点的直径，最短弦是与该直径垂直的弦；用垂径求圆心到该点距离。 精讲例题 例题5．（2024秋•丛台区校级期中）·【基础】过⊙O内一点M的最长弦为20cm，最短弦为16cm，那么OM的长为（　　） A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm 【分析】先根据垂径定理求出OA、AM的长，再利用勾股定理求OM． 【解答】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦， 如图所示．直径ED⊥AB于点M， 则ED＝20cm，AB＝16cm， 由垂径定理知：点M为AB中点， ∴AM＝8cm， ∵半径OA＝10cm， ∴OM2＝OA2﹣AM2＝100﹣64＝36， ∴OM＝6cm． 故选：B． 教学提示：用圆内一点实物演示，最长弦必过该点（直径），最短弦必与它垂直；板书OM²=OA²−AM²，强调最短弦垂直关系。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 最长最短弦记反 · 最短弦不垂直直径 即时巩固 即时巩固14．（2024秋•拱墅区校级期中）·【提升】如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为10，OP＝6，求过点P的弦的长度m范围． 【分析】（1）依据题意，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可； （2）依据题意，过点P的所有弦中，直径最长为20，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB＝16，即可得解． 【解答】解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，则弦AB即为所求； （2）①过点P的所有弦中，直径最长为20，与OP垂直的弦最短， 连接OA，∵OP⊥AB， ∴AP＝BP8． ∴AB＝2AP＝16， ∴过点P的弦的长度m范围为16≤m≤20． 教学提示：过P最长弦为直径20，最短弦垂直OP，由垂径求半弦=8得最短16；强调范围闭区间16≤m≤20。 易错点6：动点最值不会转垂径定理 学习目标 · 会把动点最值转垂径定理 · 能找共线或垂线段最短 · 会用中位线求最值 纠错指引 动点最值想『垂线段最短』或『三点共线最短』，连接圆心与弦中点得垂直，再用垂径转化。 精讲例题 例题6．（2024秋•韩城市期中）·【提升】如图，已知⊙O的半径为13，AB是⊙O的弦，AB＝24，D为AB中点，C是圆上的动点（不与A、B重合），连接CD，则CD的最小值为 　 　 ． 【分析】连接OD，延长OD交⊙O于点C，连接OA，由垂径定理得OC⊥AB，此时CD最短；在Rt△ADO中利用勾股定理求出OD，从而根据CD＝OC﹣OD计算即可． 【解答】解：连接OD，延长OD交⊙O于点C，连接OA，则OA＝OC＝13． ∵D为AB中点， ∴OC⊥AB， ∴此时CD最短， ∵AB＝24， ∴ADAB24＝12， 在Rt△ADO中利用勾股定理，得OD5， ∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8． 故答案为：8． 教学提示：提问『C在何处时CD最短』引导学生想到C、D、O共线；连接OD延长交圆，利用垂径得OC⊥AB，再用OC−OD求最短。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 不知共线时CD最短 · 忽略弦中点得垂直 即时巩固 即时巩固15．（2024春•秀英区校级期中）·【基础】如图，⊙O的直径AB是4，弦CE交AB于点D．当D为AO的中点时，记CE的最小值为a，当∠CDB＝60°时，记CE的最小值为b，则a﹣b的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据题意画出两种图形，分别分析找出最小值并求出，即可求差得解． 【解答】解：当D为AO的中点时，CE的最小值为a，此时CE⊥AB，如图1，连接OC， ∵D为OA的中点，OA、OC为⊙O的半径，⊙O的直径AB为4， ∴CDCE，OA＝OCAB＝2， ∴ODAO＝1， 根据勾股定理可得：CD， ∴此时CE的最小值a＝2CD； 当∠CDB＝60°时，此时点D、E与点A重合，即CE即为CA，如图2，连接OC， ∵∠CDB＝60°，OA＝OC＝2， ∴△OAC是等边三角形， ∴AC＝OA＝2． ∴此时CE的最小值b＝2； ∴a﹣b2， 故选C． 教学提示：CE最小时CE⊥AB，用D为AO中点求OD=1再勾股；第二问∠CDB=60°时D、E与A重合，引导画两种极限位置。 即时巩固16．（2025秋•安阳期末）·【提升】如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、点D都不与点A、B重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于点F，若CD＝4，AB＝8． （1）当CD∥AB时，EF的长为　 　 ； （2）CD在滑动过程中，EF的最大值是　 　 ． 【分析】（1）如图①，连接OD，OC，OE，判定△OCD是等边三角形，推出OE⊥CD，判定四边形OECF是矩形，推出EF＝OC＝4； （2）如图②，延长CF交圆于点G，连接DG，由垂径定理得到F是CG中点，得到EF是△CDG的中位线，因此EFDG，当DG是圆的直径时，DG最大，此时EF最大，即可得到EF的最大值． 【解答】解：（1）如图①，连接OD，OC，OE， ∵AB＝8， ∴OD＝OC＝CD＝4， ∴△OCD是等边三角形， ∵E是CD的中点， ∴OE⊥CD， ∵CD∥AB时，CF⊥OB， ∴四边形OECF是矩形， ∴EF＝OC＝4， 故答案为：4； （2）如图②， 延长CF交圆于点G，连接DG， ∵直径AB⊥CG， ∴F是CG中点， ∵E是CD中点， ∴EF是△CDG的中位线， ∴EFDG， ∴当DG是圆的直径时，DG最大，此时EF最大， ∴EF的最大值是8＝4． 故答案为：4． 教学提示：围绕「不知共线时CD最短」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点7：平分弦后不会用半弦相等证线段 学习目标 · 会用平分弦推垂直 · 能用半弦相等证线段等 · 识别垂径推论证线段 纠错指引 由等腰三角形+垂线得AF=BF，由垂径得CF=DF，线段相减（AC=AF−CF）即可证相等。 精讲例题 例题7．（2024秋•思明区校级期中）·【提升】如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．求证：AC＝BD． 【分析】根据等腰三角形的性质证得AF＝BF，由垂径定理证得CF＝DF，再由AC＝AF﹣CF，BD＝BF﹣DF即可证明AC＝BD． 【解答】证明：∵OA＝OB， ∴△OAB是等腰三角形， ∵OE⊥AB， ∴AF＝BF，CF＝DF， ∵AC＝AF﹣CF，BD＝BF﹣DF， ∴AC＝BD． 教学提示：先由OA=OB得△OAB等腰，OE⊥AB推出AF=BF；再垂径得CF=DF；板书AC=AF−CF、BD=BF−DF，对照相减即证。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 忘用等腰得AF=BF · 半弦相等未用于证明 即时巩固 即时巩固17．（2024秋•黔南州期末）·【提升】如图，已知AB是⊙O的直径，AB平分弦CD，交CD于点E，若∠ACD＝30°，BC＝2，则CD的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】由圆周角定理得∠ACB＝90°，垂径定理得AB⊥CD，从而得∠ABC＝30°，根据三角形函数求出CE，再根据垂径定理求出CD即可． 【解答】解：如图，连接OC． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB平分弦CD， ∴AB⊥CD， ∴∠BEC＝90°， ∵∠ACD+∠BCE＝∠ABC+∠BCE＝90°， ∴∠ACD＝∠ABC＝30°， ∴CE＝BC•sin∠ABC＝21， ∴CD＝2CE＝2． 故选：B． 教学提示：AB平分弦CD（非直径）推出AB⊥CD，连OC用∠ACD=∠ABC=30°求CE，再乘2得CD；强调平分弦推垂直的前提。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 【附录‑备用题库】 8．（2025春•萧山区月考）·【提升】如图是一把伞面呈圆弧形的雨伞的简易图，BO⊥AC，伞面的圆心为O，若的度数为45°，伞柄BO＝60cm，则伞面的展开距离AC为（　　） A．45cm B． C．60cm D． 【分析】连接OA．可以证明△ADO是等腰直角三角形，AD＝OD＝xcm，在Rt△ADO中利用勾股定理将OA用含x的代数式表示出来，再由BO＝60cm列关于x的方程并求解，从而根据垂径定理求出AC的长即可． 【解答】解：如图，连接OA． ∵BO⊥AC， ∴∠ADO＝90°， ∵∠AOB＝45°， ∴∠DAO＝45°， ∴AD＝OD． 设AD＝OD＝xcm， 在Rt△ADO中利用勾股定理，得OAx（cm）， ∵BO＝60cm， ∴OA＝BO＝60cm， ∴x＝60， ∴x＝30， ∴AD＝30cm， ∴AC＝2AD＝60cm． 故选：D． 22．（2023•衡水二模）·【提升】如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，以点O为圆心，2为半径作⊙O，与OA交于点P，点Q是⊙O上一点，连接PQ，根据尺规作图得到点M，连接AM，BM，当P，Q重合时，点M也与点P重合，有下列两种说法： Ⅰ：MO的最大值为2； Ⅱ：△ABM的面积的最大值为7． 下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ，Ⅱ都正确 B．Ⅰ，Ⅱ都不正确 C．Ⅰ正确，Ⅱ不正确 D．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 【分析】取OP的中点I，连接IM，过点I作IH⊥AB于点H，判断出点M的运动轨迹，可得结论． 【解答】解：取OP的中点I，连接IM，过点I作IH⊥AB于点H. ∵∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4， ∴AB5， 由作图可知OM⊥PQ， ∴∠OMP＝90°， ∴点M的运动轨迹是以I为圆心，1为半径的圆， ∴当点M与P重合时，OM的值最大，最大值为2，故（Ⅰ）正确． ∵∠A＝∠A，∠IHA＝∠AOB＝90°， ∴△AIH∽△ABO， ∴， ∴， ∴IH， 当点M运动到HI的延长线上时，△ABM的面积最大，最大值5×（1）＝7，故（Ⅱ）正确． 故选：A． 26．（2026•沈河区一模）·【基础】如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，交CD于K，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部）．若正方形ABCD的边长AB＝6，则GK的长为　 　 ． 【分析】根据题意可知，中垂线交AB于点H，解直角三角形AGE即可． 【解答】解：设直线EF交AB于点H，如图所示， 根据题意可知，AG＝AD＝6， ∵EF垂直平分AB， ∴AH＝BH＝3， 在RT△AHG中，由勾股定理得， AG2＝AH2+GH2， ∴GH3， ∴GK＝6﹣3． 29．（2025秋•湖北期末）·【提升】如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CO⊥AB，垂足为M，路面AB宽为6m，若圆的半径为5m，则隧道的最大高度CM＝ 　 　 m． 【分析】连接OA，由垂径定理求出AM，在Rt△AMO中利用勾股定理求出OM，根据CM＝OC+OM计算即可． 【解答】解：如图，连接OA，则OA＝OC＝5m． ∵CO⊥AB，AB＝6m， ∴AMAB＝3m， 在Rt△AMO中利用勾股定理，得OM4（m）， ∴CM＝OC+OM＝5+4＝9（m）， ∴隧道的最大高度CM＝9m． 故答案为：9． 30．（2025•碑林区校级二模）·【提升】如图，⊙O的直径为10，弦AD，BC在圆心的两侧，且AD∥BC，AD＝6，BC＝8，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 【分析】过点O作OE⊥AD交AD于点E，延长EO交BC于点F，连接AO、BO．根据垂径定理和勾股定理分别求出OE、OF，从而求出EF，再根据“阴影部分的面积＝圆O的面积﹣梯形ABCD的面积”计算即可． 【解答】解：过点O作OE⊥AD交AD于点E，延长EO交BC于点F，连接AO、BO． ∵OE⊥AD， ∴∠AEO＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠BFO＝90°， ∴OF⊥BC， ∵AD＝6，BC＝8，AO＝BO5， ∴AEAD＝3，BFBC＝4， 在Rt△AEO中利用勾股定理，得OE4， 同理，在Rt△BFO中利用勾股定理，得OF3， ∴EF＝OE+OF＝7， ∴S梯形ABCD （AD+BC）•EF （6+8）×7 ＝49， ∵S⊙O＝52π＝25π， ∴S阴影＝S⊙O﹣S梯形ABCD＝25π﹣49． 故答案为：25π﹣49． 37．（2024秋•惠山区校级期中）·【提升】如图，同心圆的半径为3，4，AB为小圆的弦，CD为大圆的弦，且ABCD为矩形，当矩形ABCD面积最大时，矩形ABCD的周长为 　 　 ． 【分析】连接OA、OB、OC、OD，分别过点O作OE⊥BC、OF⊥CD、OG⊥AD、OH⊥AB交BC、CD、AD、AB于点E、F、G、H．根据垂径定理、矩形的性质和三角形面积公式证明S△AGO＝S△AHO＝S△BHO＝S△BEO，S△DGO＝S△DFO＝S△OFC＝S△CEO，根据三角形面积公式S＝ab•sinα得到S矩形ABCD＝4S△AOD＝6sin∠AOD，从而得到当∠AOD＝90°时矩形ABCD面积最大，由勾股定理求出AD，从而由三角形面积公式求出AB，再根据矩形周长公式计算即可． 【解答】解：连接OA、OB、OC、OD，分别过点O作OE⊥BC、OF⊥CD、OG⊥AD、OH⊥AB交BC、CD、AD、AB于点E、F、G、H． ∵ABCD为矩形，OE⊥BC、OF⊥CD、OG⊥AD、OH⊥AB， ∴四边形AHOG、GOFD、HBEO、OECF均为矩形， ∵OH⊥AB， ∴AH＝BHAB， ∴AH＝OG＝BH＝OE，AG＝OH＝BE， ∴S△AGO＝S△AHO＝S△BHO＝S△BEO， 同理，S△DGO＝S△DFO＝S△OFC＝S△CEO， ∵OA＝3，OD＝4， ∴S矩形ABCD＝4S△AOD＝4OA•OD•sin∠AOD＝43×4sin∠AOD＝6sin∠AOD， 当S矩形ABCD最大时，sin∠AOD最大，sin∠AOD的最大值为1，此时∠AOD＝90°． 当∠AOD＝90°时，AD5， ∵OA•ODAD•OG， ∴OG， ∴AB＝GE＝2OG＝2， ∴矩形ABCD的周长为2（AD+AB）＝2×（5）． 故答案为：． 51．（2024秋•渭城区校级期末）·【基础】尺规作图：作△ABC的外接圆（保留作图痕迹） 【分析】根据三角形外接圆的作法，作任意两边垂直平分线得出圆心，进而得出外接圆． 【解答】解：如图所示，⊙O即为所求； 60．（2023春•万源市校级期中）·【基础】如图，已知点P为∠AOB的OA边上的一点，过点P作直线EF，使EF∥OB．（用尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法） 【分析】过点P作∠APE＝∠O，根据同位角相等，两直线平行，即可得出OB的平行线． 【解答】解：如图所示，直线EF即为所求： 53．（2023秋•包河区期末）·【提升】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形． （1）写出一个符合题意的点P的坐标　 　 ； （2）尺规作图，请在图中作出所有符合条件的点P． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求解； （2）可分三种情况：①AO＝AP；②AO＝PO；③AP＝PO；解答出即可． 【解答】解：（1）一个符合题意的点P的坐标答案不唯一，如：（﹣5，0）； 故答案为：（﹣5，0）； （2）如图即为所有符合条件的点P． 55．（2024秋•韩城市期中）·【提升】如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心O，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB＝1.8m．求拱门最高点D到AB的距离CD． 【分析】连接OA，根据垂径定理可知CD⊥AB，在Rt△ACO中利用勾股定理求出OC，从而求出CD． 【解答】解：如图，连接OA，则OA＝OD＝1.5m． ∵C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心O， ∴CD⊥AB， ∵AB＝1.8m， ∴ACAB1.8＝0.9（m）， 在Rt△ACO中利用勾股定理，得OC1.2（m）， ∴CD＝OC+OD＝1.2+1.5＝2.7（m）． 答：拱门最高点D到AB的距离CD是2.7m． 56．（2024秋•盐都区期中）·【提升】如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，BC＝6． （1）若∠A＝35°，求的长度； （2）若AC＝8，求BD的长． 【分析】（1）连接CD，求出∠B的度数，根据等腰三角形的性质求出∠BDC的度数，由三角形外角的性质求出∠ACD的度数，再根据弧长公式计算的长度即可； （2）过点C作CF⊥AB交AB于点F，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算CF；在Rt△BCF中利用勾股定理求出BF，再由等腰三角形的性质求出BD． 【解答】解：（1）如图，连接CD． ∵∠C＝90°，∠A＝35°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣35°＝55°， ∵BC＝CD， ∴∠BDC＝∠B＝55°， ∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝55°﹣35°＝20°， ∴2π×6． （2）过点C作CF⊥AB交AB于点F． 在Rt△ABC中利用勾股定理，得AB10， ∵S△ABCAC•BCAB•CF， ∴CF， 在Rt△BCF中利用勾股定理，得BF， ∵BC＝CD，CF⊥AB， ∴BF＝DF， ∴BD＝2BF＝2． 57．（2024春•广州期中）·【提升】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①在线段AB上作点D，使得点D到点B与点C的距离相等； ②作点D关于直线BC的对称点E，连接CD，BE，CE． （2）猜想证明：作图所得的四边形BECD是否为菱形？并说明理由． 【分析】（1）①结合线段垂直平分线的性质，作线段BC的垂直平分线MN，交AB于点D，则点D即为所求． ②设直线MN交BC于点O，以点O为圆心，OD的长为半径画弧，在BC的下方交直线MN于点E，连接CD，BE，CE即可． （2）由线段垂直平分线的性质以及轴对称的性质可得四边形BECD的对角线互相垂直平分，从而可得四边形BECD是菱形． 【解答】解：（1）①如图，作线段BC的垂直平分线MN，交AB于点D， 则BD＝CD， 即点D到点B与点C的距离相等， 则点D即为所求． ②如图，设直线MN交BC于点O，以点O为圆心，OD的长为半径画弧，在BC的下方交直线MN于点E，连接CD，BE，CE， 点E即为所求． （2）四边形BECD是菱形． 理由：∵直线MN是线段BC的垂直平分线， ∴OB＝OC，DE⊥BC， ∵点D和点E关于直线BC对称， ∴OD＝OE， ∴四边形BECD是菱形． 过关测试（综合检测） 1．（2026•东城区校级开学）·【提升】在半径为r的⊙O中，点M为弦AB的中点，点P是平面内一点，且r．下列说法正确的是（　　） A．若AB＝r，则PM长的取值范围是 B．若AB＝r，则PM的长可以是r C．若PM＝r，则AB长的最小值是 D．若PM＝r，则AB长的最大值是 【分析】先利用垂径定理结合勾股定理求出相关线段长度，再根据点的轨迹结合三边关系分析线段取值范围，当AB＝r 时，，当PM＝r时，，由勾股定理，结合三角形三边的关系，对各选项进行分析判断即可． 【解答】解：∵⊙O半径为r，点M为弦AB中点， ∴OM⊥AB，（垂径定理）， 当AB＝r 时，， 在Rt△OMA中，由勾股定理得， ∵点M在以O为圆心，为半径的圆上，且， 由三角形三边关系得OP﹣OM|≤PM≤OP+OM， 代入得，即， ∵， ∴PM的最小值不是， ∴选项A错误，不符合题意； ∵， ∴PM可以为， ∴选项B正确，符合题意； 当PM＝r时，， 由三角形三边关系得|OP﹣PM|≤OM≤OP+PM， ∴， 又∵M在⊙O内， ∴OM≤r， ∴， 由勾股定理得， OM越大，AB越小，当OM＝r时，AB＝0， ∴AB最小值不是， ∴选项C错误，不符合题意； OM越小，AB越大，当时，（⊙O直径）， ∴AB最大值不是， ∴选项D错误，不符合题意， 故选：B． 教学提示：围绕「漏掉两弦异侧情形」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 2．（2025•绥江县模拟）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，若AB＝26，CD＝24，则BE的长为（　　） A．13 B．12 C．8 D．5 【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，在Rt△COE中利用勾股定理求出OE，从而求出BE即可． 【解答】解：如图，连接OC． ∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，CD＝24， ∴CECD＝12， ∵AB＝26， ∴OB＝OCAB＝13， 在Rt△COE中利用勾股定理，得OE5， ∴BE＝OB﹣OE＝13﹣5＝8． 故选：C． 教学提示：围绕「最长最短弦记反」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 3．（2025•商南县三模）·【提升】如图，在⊙O中，直径AB＝4，点C、D在⊙O上，点C关于弦AD的对称点恰好与圆心O重合，则AD的长为（　　） A． B． C．5 D． 【分析】连接OC交AD于点E，由轴对称的性质可知AD是OC的垂直平分线，在Rt△AOE中利用勾股定理求出AE，再根据垂径定理求出AD即可． 【解答】解：如图，连接OC交AD于点E． ∵点C关于弦AD的对称点恰好与圆心O重合， ∴AD是OC的垂直平分线， ∵AB＝4， ∴OA＝OCAB＝2， ∴OEOC＝1， 在Rt△AOE中利用勾股定理，得AE， ∴AD＝2AE＝2． 故选：B． 教学提示：围绕「不知共线时CD最短」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 4．（2025•海安市一模）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，PA＝9，PB＝4，则CD的长为（　　） A．6 B．10 C．12 D．13 【分析】连接OC，求出⊙O的半径，从而求出OP，在Rt△COP中利用勾股定理求出CP，再由垂径定理求出CD的长即可． 【解答】解：如图，连接OC． ∵PA＝9，PB＝4， ∴OA＝OC， ∴OP＝PA﹣OA＝9， 在Rt△COP中利用勾股定理，得CP6， ∴CD＝2CP＝2×6＝12． 故选：C． 教学提示：围绕「不连半径构造直角三角形」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 5．（2024秋•思明区校级期中）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，OE＝3，那么线段CD的长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【分析】连接OC，求出OC，在Rt△OCE中利用勾股定理求出CE，再由垂径定理求出CD即可． 【解答】解：如图，连接OC． ∵AB＝10， ∴OCAB＝5， ∵CD⊥AB，OE＝3， ∴CE4， ∴CD＝2CE＝8． 故选：B． 教学提示：围绕「不连半径构造直角三角形」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 6．（2024秋•汉阳区期中）·【提升】如图，⊙O的弦AB与半径OC互相垂直，垂足为D，AB＝8cm，OC＝5cm，则DC的长为（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【分析】根据垂径定理求出AD，在Rt△ADO中利用勾股定理求出OD，从而根据DC＝OC﹣OD计算即可． 【解答】解：如图，连接OA，则OA＝OC＝5cm． ∵AB⊥OC，AB＝8cm， ∴ADAB8＝4（cm）， 在Rt△ADO中利用勾股定理，OD3（cm）， ∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm）． 故答案为：C． 教学提示：围绕「不连半径构造直角三角形」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 7．（2025•茄子河区一模）·【提升】如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交AC边于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE＝∠C＝60°，BC，则MD＝ 　 　 ． 【分析】利用三角形函数求出AB，从而求出⊙O的半径；根据垂径定理得OM⊥AE及∠AOD＝60°，进而求出OD，最后求出MD即可． 【解答】解：∵∠C＝60°，BC， ∴AB＝BC•tan∠C＝26， ∴OAAB＝3， ∵∠BOE＝60°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝120°， ∵M是的中点， ∴OM⊥AE，∠AOD∠AOE＝60°， ∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝30°， ∴ODOA， ∴MD＝OM﹣OD＝3． 故答案为：． 教学提示：围绕「不知共线时CD最短」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 8．（2024秋•中山区期中）·【提升】如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AO＝2，∠AOC＝60°，则AB的长为 　 　 ． 【分析】根据垂径定理和特殊角的三角函数计算即可． 【解答】解：∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴AE＝BEAB， ∵AO＝2，∠AOC＝60°， ∴AE＝AO•sin∠AOC＝2， ∴AB＝2AE＝2． 故答案为：2． 教学提示：围绕「垂足圆内弦心距写成r+CE」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 9．（2024•马边县校级模拟）·【提升】如图，P为直径上一点，点C和点D在⊙O上，且∠APC＝∠BPD＝30°，若OP＝2cm，AB＝10cm，则PC+PD＝ 　 　 cm． 【分析】延长CP交⊙O于点E，过点O作CE的垂线，垂足为F，连接OE．可以证明∠BPD＝∠BPE，故D、E关于AB对称，从而得PD＝PE，进而得PC+PD＝PC+PE＝CE，求出OF，在Rt△EOF中利用勾股定理求出EF，再由垂径定理求出CE即可． 【解答】解：延长CP交⊙O于点E，过点O作CE的垂线，垂足为F，连接OE． ∵∠APC＝30°， ∴∠BPE＝∠APC＝30°， ∵∠BPD＝30°， ∴∠BPD＝∠BPE， ∴D、E关于AB对称， ∴PD＝PE， ∴PC+PD＝PC+PE＝CE， ∵OP＝2cm， ∴OFOP＝1cm， ∵AB＝10cm， ∴OEAB＝5cm， 在Rt△EOF中利用勾股定理，得EF2cm， ∴CE＝2EF＝4cm． 故答案为：4． 教学提示：围绕「不知共线时CD最短」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 10．（2023•西城区校级开学）·【提升】如图，⊙O中M，N分别是弦AB，CD的中点，且AB＝CD，AB和CD不平行，则∠AMN与∠DNM的数量关系是 　 　 ． 【分析】连接ON，OM，根据垂径定理可得ON⊥CD，OM⊥AB，从而可得∠OND＝∠OMA＝90°，然后根据圆心角、弧、弦的关系可得ON＝OM，从而可得∠ONM＝∠OMN，然后利用等式的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：连接ON，OM， ∵M，N分别是弦AB，CD的中点， ∴ON⊥CD，OM⊥AB， ∴∠OND＝∠OMA＝90°， ∵AB＝CD， ∴ON＝OM， ∴∠ONM＝∠OMN， ∴∠OND﹣∠ONM＝∠OMA﹣∠OMN， ∴∠DNM＝∠AMN， 故答案为：∠DNM＝∠AMN． 教学提示：围绕「忘用等腰得AF=BF」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 11．（2025秋•姑苏区校级月考）·【提升】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，AC长为半径的⊙C与AB相交于点D． （1）若弧AD的度数为70°，则∠B＝　 　 °； （2）若AC＝6，BC＝8，求线段BD的长． 【分析】（1）连接CD，根据已知可得∠ACD＝70°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠A＝∠CDA＝55°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）过点C作CH⊥AD于H，根据垂径定理可得AH＝DHAD，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出CH的长，最后在 Rt△ACH中，利用勾股定理求出AH的长，从而求出AD的长，进而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：（1）连接CD， ∵弧AD的度数为70°， ∴∠ACD＝70°， ∵CA＝CD， ∴∠A＝∠CDA55°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝35°， 故答案为：35； （2）过点C作CH⊥AD于H， ∴AH＝DHAD， 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∵△ABC的面积CH•ABAC•BC， ∴10CH＝6×8， 解得：CH＝4.8， 在Rt△ACH中，AH3.6， ∴AD＝2AH＝7.2， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣7.2＝2.8， ∴线段BD的长为2.8． 教学提示：围绕「忘用等腰得AF=BF」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 12．（2024春•增城区校级月考）·【提升】如图，已知AB是⊙O的直径，OB＝10cm，弦CD⊥AB于E，BE＝4cm，求弦CD的长． 【分析】求出OE，在Rt△CEO中利用勾股定理求出CE，再由垂径定理求出弦CD的长． 【解答】解：如图，连接OC． ∵OB＝10cm， ∴OC＝OB＝10cm， ∵BE＝4cm， ∴OE＝OB﹣BE＝10﹣4＝6（cm）， 在Rt△CEO中利用勾股定理，得CE8（cm）， ∵CD⊥AB， ∴CD＝2CE＝2×8＝16（cm）． 答：弦CD的长是16cm． 教学提示：围绕「忘用等腰得AF=BF」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 苏科版2024 · 圆的对称性（垂径定理） 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2024 · 圆的对称性（垂径定理） · 第3章 圆 3.3圆的对称性（垂径定理） 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版2024 第3章 圆 第1课时 班级：________________ 姓名：________________ 本专题打破教材顺序，按真实错因重新聚合圆对称性（垂径定理）相关易错题，每个易错点配一道精讲例题与即时巩固，帮助学生在对比中识别陷阱；文末设置综合检测题组，用于全部模块学完后统一查漏补缺。覆盖构造直角三角形、设半径列方程、分类讨论漏解、定理前提条件等高频失误。 目录 易错点1：不连半径构造直角三角形 易错点2：设半径列方程时弦心距符号出错 易错点3：平行弦漏掉同旁与异侧两类 易错点4：垂径推论忽略非直径前提 易错点5：混淆过圆内一点的最长最短弦 易错点6：动点最值不会转垂径定理 易错点7：平分弦后不会用半弦相等证线段 易错点1：不连半径构造直角三角形 学习目标 · 能构造半径半弦弦心距直角三角形 · 能由垂径定理求弦长或距离 · 熟记半弦等于弦长一半 纠错指引 过圆心作弦的垂线，连半径构造Rt△：斜边=半径，直角边=半弦与弦心距，套勾股定理求解。 精讲例题 例题1．（2023秋•浦北县期末）·【基础】如图，⊙O的半径为13，弦AB＝24，OC⊥AB于点C．则OC的长为（　　） A．.10 B．.6 C．.5 D．.12 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 不连半径构造直角三角形 · 半弦长算成弦长未折半 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（2024秋•昆明期中）·【基础】如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点B，OC＝5cm，CD＝8cm，则OE＝（　　） A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm 即时巩固2．（2025•长沙三模）·【提升】如图，⊙O中，弦AB＝8cm，⊙O的半径长为5cm，则圆心O到AB的距离为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 即时巩固3．（2025•兴庆区校级一模）·【基础】如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是 　 　 ． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点2：设半径列方程时弦心距符号出错 学习目标 · 会设半径r表示弦心距 · 能列勾股方程求半径 · 分清垂足在圆内外的符号 纠错指引 设半径为r，先判断垂足在圆内（OE=r−CE）还是圆外（OE=CE−r），再列r²=(半弦)²+OE²。 精讲例题 例题2．（2023秋•海安市期中）·【基础】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E．若AB＝4，CE＝8，则⊙O的半径为 　 　 ． 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 垂足圆内弦心距写成r+CE · 不会用r表示弦心距列方程 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固4．（2024秋•元阳县期末）·【提升】如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E．若AB＝16，CE＝4，则⊙O的半径为（　　） A．10 B．8 C．6 D． 即时巩固5．（2024秋•闽清县期中）·【提升】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，BE＝2，则⊙O的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．10 即时巩固6．（2025秋•游仙区期末）·【提升】如图，过的中点C作CD⊥AB，垂足为D，AD＝4，CD＝2，则所在圆的半径长是 　 　 ． 即时巩固7．（2025•长沙县模拟）·【提升】如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果OD＝6，AB＝16，那么CD＝ 　 　 ． 即时巩固8．（2023•大冶市一模）·【提升】如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是　 　 ． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点3：平行弦漏掉同旁与异侧两类 学习目标 · 会对平行弦分类讨论 · 能判断同旁异侧加减 · 避免弦位置漏解 纠错指引 先画两弦在圆心同旁与异侧两种草图，同旁距离相减、异侧相加，两种都算不漏解。 精讲例题 例题3．（2023秋•文昌校级期末）·【提升】已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB与CD的距离是（　　） A．1 cm B．7 cm C．1 cm或7 cm D．无法判断 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 漏掉两弦异侧情形 · 同旁异侧距离加减混淆 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固9．（2023秋•旌阳区校级期中）·【提升】已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（　　） A．cm B．4cm C．或4cm D．2或4cm 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点4：垂径推论忽略非直径前提 学习目标 · 记住垂径推论前提条件 · 能辨析直径与非直径弦 · 理解等弧需同圆等圆 纠错指引 垂径推论补前提：过圆心的线段才是直径；平分的弦须非直径；等弧须同圆或等圆。 精讲例题 例题4．（2024秋•新会区校级月考）·【基础】有下列结论， ①弦比直径短． ②过圆心的线段是直径． ③半圆是弧． ④长度相等的两条弧为等弧． ⑤平分弦的直径垂直于弦． ⑥相等的圆心角所对的弦相等．其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 忘加非直径前提 · 等弧忽略同圆等圆 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固10．（2024秋•冠县期中）·【基础】如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，若B为的中点，则下列说法错误的是（　　） A． B．OE＝BE C．CE＝DE D．AB⊥CD 即时巩固11．（新教材同步题）·【基础】下列判断正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 B．平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧 C．经过弦的中点的直径一定垂直于弦 D．圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行 即时巩固12．（2024秋•高唐县期中）·【提升】如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）交于点E，若E为CD的中点，则下列说法错误的是（　　） A． B．OE＝BE C． D．AB⊥CD 即时巩固13．（2023秋•无锡月考）·【提升】下列说法正确的是（　　） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是同一圆中最长的弦 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点5：混淆过圆内一点的最长最短弦 学习目标 · 区分最长弦与最短弦 · 会用垂径求圆心到弦距离 · 理解最短弦垂直直径 纠错指引 过圆内一点最长弦是过该点的直径，最短弦是与该直径垂直的弦；用垂径求圆心到该点距离。 精讲例题 例题5．（2024秋•丛台区校级期中）·【基础】过⊙O内一点M的最长弦为20cm，最短弦为16cm，那么OM的长为（　　） A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 最长最短弦记反 · 最短弦不垂直直径 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固14．（2024秋•拱墅区校级期中）·【提升】如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为10，OP＝6，求过点P的弦的长度m范围． 易错点6：动点最值不会转垂径定理 学习目标 · 会把动点最值转垂径定理 · 能找共线或垂线段最短 · 会用中位线求最值 纠错指引 动点最值想『垂线段最短』或『三点共线最短』，连接圆心与弦中点得垂直，再用垂径转化。 精讲例题 例题6．（2024秋•韩城市期中）·【提升】如图，已知⊙O的半径为13，AB是⊙O的弦，AB＝24，D为AB中点，C是圆上的动点（不与A、B重合），连接CD，则CD的最小值为 　 　 ． 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 不知共线时CD最短 · 忽略弦中点得垂直 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固15．（2024春•秀英区校级期中）·【基础】如图，⊙O的直径AB是4，弦CE交AB于点D．当D为AO的中点时，记CE的最小值为a，当∠CDB＝60°时，记CE的最小值为b，则a﹣b的值为（　　） A． B． C． D． 即时巩固16．（2025秋•安阳期末）·【提升】如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、点D都不与点A、B重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于点F，若CD＝4，AB＝8． （1）当CD∥AB时，EF的长为　 　 ； （2）CD在滑动过程中，EF的最大值是　 　 ． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点7：平分弦后不会用半弦相等证线段 学习目标 · 会用平分弦推垂直 · 能用半弦相等证线段等 · 识别垂径推论证线段 纠错指引 由等腰三角形+垂线得AF=BF，由垂径得CF=DF，线段相减（AC=AF−CF）即可证相等。 精讲例题 例题7．（2024秋•思明区校级期中）·【提升】如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．求证：AC＝BD． 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 忘用等腰得AF=BF · 半弦相等未用于证明 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固17．（2024秋•黔南州期末）·【提升】如图，已知AB是⊙O的直径，AB平分弦CD，交CD于点E，若∠ACD＝30°，BC＝2，则CD的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 本专题错因自查清单 ☐ 未构造半径·半弦·弦心距直角三角形 ☐ 设半径列方程时弦心距符号出错 ☐ 平行弦漏掉同旁与异侧两类 ☐ 忽略垂径推论非直径前提 ☐ 混淆最长弦与最短弦 ☐ 动点最值未转垂径定理 ☐ 平分弦后不会用半弦相等证线段 过关测试（综合检测） 1．（2026•东城区校级开学）·【提升】在半径为r的⊙O中，点M为弦AB的中点，点P是平面内一点，且r．下列说法正确的是（　　） A．若AB＝r，则PM长的取值范围是 B．若AB＝r，则PM的长可以是r C．若PM＝r，则AB长的最小值是 D．若PM＝r，则AB长的最大值是 2．（2025•绥江县模拟）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，若AB＝26，CD＝24，则BE的长为（　　） A．13 B．12 C．8 D．5 3．（2025•商南县三模）·【提升】如图，在⊙O中，直径AB＝4，点C、D在⊙O上，点C关于弦AD的对称点恰好与圆心O重合，则AD的长为（　　） A． B． C．5 D． 4．（2025•海安市一模）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，PA＝9，PB＝4，则CD的长为（　　） A．6 B．10 C．12 D．13 5．（2024秋•思明区校级期中）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，OE＝3，那么线段CD的长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 6．（2024秋•汉阳区期中）·【提升】如图，⊙O的弦AB与半径OC互相垂直，垂足为D，AB＝8cm，OC＝5cm，则DC的长为（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 7．（2025•茄子河区一模）·【提升】如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交AC边于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE＝∠C＝60°，BC，则MD＝ 　 　 ． 8．（2024秋•中山区期中）·【提升】如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AO＝2，∠AOC＝60°，则AB的长为 　 　 ． 9．（2024•马边县校级模拟）·【提升】如图，P为直径上一点，点C和点D在⊙O上，且∠APC＝∠BPD＝30°，若OP＝2cm，AB＝10cm，则PC+PD＝ 　 　 cm． 10．（2023•西城区校级开学）·【提升】如图，⊙O中M，N分别是弦AB，CD的中点，且AB＝CD，AB和CD不平行，则∠AMN与∠DNM的数量关系是 　 　 ． 11．（2025秋•姑苏区校级月考）·【提升】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，AC长为半径的⊙C与AB相交于点D． （1）若弧AD的度数为70°，则∠B＝　 　 °； （2）若AC＝6，BC＝8，求线段BD的长． 12．（2024春•增城区校级月考）·【提升】如图，已知AB是⊙O的直径，OB＝10cm，弦CD⊥AB于E，BE＝4cm，求弦CD的长． 苏科版2024 · 圆的对称性（垂径定理） 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $