专题07 确定圆的条件 专项练习 -2026-2027学年苏科版九年级上册数学

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题07 确定圆的条件（七大题型28道题） 目录 知识点一确定圆心(尺规作图)  1 知识点二求能确定的圆的个数 5 知识点三三角形外接圆的概念辨析 7 知识点四求三角形外心坐标 10 知识点五求特殊三角形外接圆的半径 16 知识点六已知外心的位置判断三角形的形状 19 知识点七判断三角形外接圆的圆心位置 23 知识点一确定圆心(尺规作图)  1．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点、、，其中，点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由弧确定所在圆的圆心，涉及垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．熟练掌握通过圆弧，由垂径定理的推论确定弧所在圆的圆心方法是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：    则圆心是， 故选：C． 2．“七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔方”．小洁同学用一个边长为的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图形．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，垂直平分交于点，为圆心，连接，先求得，，利用垂径定理求得的长，在中，由勾股定理求解即可，解题的关键是作出适当的辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：如图，垂直平分交于点，为圆心，连接， ∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形， ∴，， ∴， 设该圆的半径长是，则，， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴该圆的半径长是， 故选：C． 3．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，经过格点，，． （1）的度数是______； （2）请用无刻度的直尺在图中画出圆心，并简要说明是如何找到的（不要求证明）______ 【答案】 解：如图所示： 为直径，故圆心必在上，再做的中垂线，其与交点便为圆心 【分析】本题考查了作图，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，可求出、、的长度，可得其恰好符合勾股定理，得出的度数； （2）因为点，，是圆上三点，故作的外心（即边长中垂线的交点）即可确定圆心； 【详解】解：（1）连接，如下图： 可得，，， ∵，故为直角三角形， ∴， 故答案为：． （2）略 4．如图，在某居民小区的一片空地上有三棵古树，现准备在这片空地上建一个圆形广场．为保护古树，设计时要求古树恰好都在圆形广场的边缘外处．如果由你来设计这个圆形广场，你会怎样确定这个圆形广场的圆心呢？ 【答案】如图，点O即为圆形广场的圆心 【分析】根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：将三棵古树看作三个点，分别连接其中两棵古树得到两条线段，作出这两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为经过三棵古树的圆的圆心，该点就是所求圆形广场的圆心，以该点为圆心，以到古树的距离减去为半径作圆，即可满足古树都在圆形广场边缘外处的要求． 知识点二求能确定的圆的个数 5．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 6．下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形的中心 C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点 D．等腰三角形的外心在顶角的角平分线上 【答案】D 【分析】根据三点确定一个圆的定理、三角形外心的定义依次判断即可． 【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故A选项说法错误； 等边三角形的外心是三角形的中心，故B选项说法错误； 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故C选项说法错误； 等腰三角形的外心在顶角的角平分线上，故D选项说法正确； 故选：D． 【点睛】此题考查点确定圆的条件，三角形外心的定义及性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键． 7．已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置； 圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数． 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 8．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 【答案】(1)一个 (2)两个 (3)不能 【分析】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键． （1 ）由圆半径为，，即可判断圆心是中点； （2 ）由圆半径为，，即可判断圆心在线段的垂直平分线上； （3 ）由圆半径为，，即可判断不能画出半径的圆． 【详解】（1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画一个，圆心是的中点； （2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画两个，圆心在线段的垂直平分线上圆心到A点的距离是； （3）由于，故不能画出半径为的圆，使它经过A，B两点． 知识点三三角形外接圆的概念辨析 9．对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． 10．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理， 根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 所以点是△的外心， 故选：A． 11．已知锐角的外心为O，交于D，E、F分别为、的外心，若，，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的外心性质，矩形的性质及判定、三角形的内角和定理、解直角三角形等相关知识，熟知各知识点，准确添加辅助线是正确解答此题的关键． 连接，作于点M，于点N，于点P，得矩形，由外心性质得M、N分别为BD、CD的中点，进而得，由三角函数可得，根据三角形内角和定理可得结论． 【详解】解：如图，连接，作于点M，于点N，于点P． ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵E、F分别为、的外心， ∴M、N分别为、的中点， ， ， 又， ∴， ， ∴． ∵锐角的外心为O， ， ， ， ， ∵E为的外心， 又，， ， ∴． 又， ∴． 故答案为：． 12．张华不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，为了定制一块同样大小的玻璃镜，需要确定原玻璃镜的半径．工人师傅在如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点，给出，你能找到这块圆形玻璃镜的半径吗？作图说明． 【答案】如图所示，即为所求半径， 【分析】根据不在同一直线上的三个点确定一个圆，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，三角形三边垂直平分线的交点就是外接圆的圆心，圆心到顶点的距离就是半径，作的垂直平分线，它们的交点就是圆心，圆心到点任意一点的距离就是半径． 【详解】解：分别作线段和的垂直平分线，两条垂直平分线交于一点，记为点，以点为圆心，连接就是原玻璃镜的半径． 知识点四求三角形外心坐标 13．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 14．如图，等边三角形的边长为，点是的中心（即），，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为．上述结论中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外心，三角函数等，连接，证明，可得，，即可判断①；由得 ，即得四边形的面积，可判断③；作，可得，由四边形的面积为定值得，可判断②；由得的周长，可知当时，最小，的周长最小，进而求出可判断④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵点是的中心， ∴，分别平分和， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴， ∴四边形的面积，故③正确； 作，如图，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即随的变化而变化，而四边形的面积为定值， ∴，故②错误； ∵， ∴的周长， 当时，最小，的周长最小，此时， ∴周长的最小值，故④错误； 综上，结论正确的个数为个， 故选：． 15．如图，在等腰中，，则此三角形的重心与外心之间的距离为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的重心和外心，能够掌握三角形的外心和重心的性质是解题的关键； 画出图形，找到三角形的重心与外心，利用重心和外心的性质求距离即可． 【详解】解：如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，为所求， ∵等腰中，， ∴ ∵直角三角形的外心是斜边的中点， ∴， ∵I是的重心， ∴是三角形三条中线的交点， ∴， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为_______； (3)直接写出的长度为_______（结果保留）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形、确定圆的条件、弧长计算公式及勾股定理，熟练掌握坐标与图形、确定圆的条件、弧长计算公式及勾股定理是解题的关键； （1）连接，分别作的垂直平分线，交于一点，则圆心M即为两垂直平分线的交点，然后根据坐标系可进行求解； （2）连接，则即为的半径，然后根据勾股定理可进行求解； （3）连接，由题意易得，即，然后根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】（1）解：连接，分别作的垂直平分线，交于一点，则圆心M即为两垂直平分线的交点，如图所示： 由坐标系可知：点M的坐标为； 故答案为； （2）解：连接，则即为的半径， ∵， ∴， 故答案为； （3）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴的长度为； 故答案为． 知识点五求特殊三角形外接圆的半径 17．在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形外心的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半是解题的关键．先运用勾股定理求出的值，再通过外心为斜边的中点，求出外接圆半径，即得外心与顶点的距离． 【详解】解：∵，，，， ∴． ∵ 外心为斜边的中点， ∴ 外接圆半径． ∴ 外心与顶点的距离为． 故选：D． 18．在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的半径，勾股定理． 在直角三角形中，外接圆的半径等于斜边的一半，因此需先利用勾股定理求斜边长，进而作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵是外接圆的直径， ∴外接圆的半径． 故选：B． 19．如图，在中，，能够将完全覆盖的最小圆形纸片的面积是 _________． 【答案】 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，本题得以解决． 【详解】解：设圆的圆心为点，能够将完全覆盖的最小圆是的外接圆，作于点，连接，，如下图所示： ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴为等腰三角形的角平分线和中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 得方程， 解得或（舍去）， ∴圆的面积为． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 20．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 知识点六已知外心的位置判断三角形的形状 21．三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别判断三角形四心在任意三角形中的位置，统计满足“任意三角形中都在内部”的心的个数即可得到答案． 【详解】解：内心是三角形内角平分线的交点，任意三角形的内心都在三角形内部； 重心是三角形中线的交点，任意三角形的重心都在三角形内部； 外心是三角形三边垂直平分线的交点，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点，因此外心不满足条件； 垂心是三角形高线所在直线的交点，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心在直角顶点，因此垂心不满足条件． 综上所述，满足条件的心共有种． 22．如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为(   ) A．6 B． C． D．3 【答案】B 【分析】分别作与角平分线，交点为．由三线合一可知与为、垂直平分线；再由垂径定理可知圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点；连，若半径最短，则，由为底边，底角的等腰三角形，可求得． 【详解】如图，分别作与角平分线，交点为， 和都是等边三角形， 与为、垂直平分线，， 又圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点； 连接， 若半径最短，则， 又，， ， ， 在直角中，， 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的“三线合一”的性质、三角形的外接圆圆心、点到直线的距离、垂线段最短以及解直角三角形等知识，注重数形结合思想的应用是解题的关键． 23．在中，若为三角形外一点，满足，线段与线段交于，且，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心，圆周角定理，相似三角形的性质与判定．通过圆周角定理的逆定理证明点为外接圆的圆心，再利用平方差公式计算所求乘积，证明得出，即可求解． 【详解】解：因为线段与线段交于点，所以点与点在线段的同侧（若在两侧则线段与无交点）． 已知，，根据圆周角定理的逆定理（同弧所对的圆心角是圆周角的倍），可得点是外接圆的圆心，的半径为． 设直线与的另一交点为，则， ． ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 因此． 故答案为：． 24．如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 【答案】(1)证明：点E，点F分别从点B，点C同时出发，在线段上做等速运动， ， ，即， ， ， 在和中， ， ； (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外心、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据题意可得，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，利用“”证明即可； （2）先由，结合等腰三角形内角和计算的度数，再结合（1）的全等结论得到角的等量关系，进而推导的度数； （3）根据三角形外心在内部的性质，判断为锐角三角形，得到三个内角均小于的约束，求解出的取值范围，再根据与的等量关系得到最终范围． 【详解】（1）略； （2）解：， ， 由（1）知，， ，， ， ； （3）解：的外心在其内部， 是锐角三角形， ， ， ， ， ． 知识点七判断三角形外接圆的圆心位置 25．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 26．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 27．已知等腰直角三角形的腰长为2，则此三角形的重心与外心之间的距离为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的重心和外心，掌握等腰直角三角形的性质和三角形外接圆的半径的求法是解题关键． 根据等腰直角三角形的性质得出，再由重心的性质即可得出结果． 【详解】解：如图等腰直角三角形，，为外心，为重心， ∴， ∴， ∵为重心， ∴， 故答案为：． 28．如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； (3)该圆圆心到弦的距离为______． 【答案】(1) 如图，点O即为所求； (2)， (3) 【分析】本题考查了作外接圆的圆心，网格与勾股定理，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据外接圆是垂直平分线的交点，故作出，的垂直平分线，它们的交点即为外接圆的圆心O，即可作答． （2）观察（1）中的图，得出点O的坐标为，结合网格与勾股定理的性质，得出外接圆的半径 （3）取的中点H，连接结合垂径定理，得，得该圆圆心到弦的距离为即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：观察（1）中的图，得出点O的坐标为，外接圆的半径 故答案为：，； （3）解：取的中点H，连接， ，， ， 该圆圆心到弦的距离为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题07 确定圆的条件（七大题型28道题） 目录 知识点一确定圆心(尺规作图)  1 知识点二求能确定的圆的个数 2 知识点三三角形外接圆的概念辨析 3 知识点四求三角形外心坐标 4 知识点五求特殊三角形外接圆的半径 5 知识点六已知外心的位置判断三角形的形状 6 知识点七判断三角形外接圆的圆心位置 7 知识点一确定圆心(尺规作图)  1．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点、、，其中，点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（   ）    A． B． C． D． 2．“七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔方”．小洁同学用一个边长为的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图形．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，经过格点，，． （1）的度数是______； （2）请用无刻度的直尺在图中画出圆心，并简要说明是如何找到的（不要求证明）______ 4．如图，在某居民小区的一片空地上有三棵古树，现准备在这片空地上建一个圆形广场．为保护古树，设计时要求古树恰好都在圆形广场的边缘外处．如果由你来设计这个圆形广场，你会怎样确定这个圆形广场的圆心呢？ 知识点二求能确定的圆的个数 5．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形的中心 C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点 D．等腰三角形的外心在顶角的角平分线上 7．已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 8．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 知识点三三角形外接圆的概念辨析 9．对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 10．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 11．已知锐角的外心为O，交于D，E、F分别为、的外心，若，，则__________． 12．张华不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，为了定制一块同样大小的玻璃镜，需要确定原玻璃镜的半径．工人师傅在如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点，给出，你能找到这块圆形玻璃镜的半径吗？作图说明． 知识点四求三角形外心坐标 13．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 14．如图，等边三角形的边长为，点是的中心（即），，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为．上述结论中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 15．如图，在等腰中，，则此三角形的重心与外心之间的距离为__________． 16．如图，在平面直角坐标系中，、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为_______； (3)直接写出的长度为_______（结果保留）． 知识点五求特殊三角形外接圆的半径 17．在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 18．在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 19．如图，在中，，能够将完全覆盖的最小圆形纸片的面积是 _________． 20．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 知识点六已知外心的位置判断三角形的形状 21．三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 22．如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为(   ) A．6 B． C． D．3 23．在中，若为三角形外一点，满足，线段与线段交于，且，则__________． 24．如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 知识点七判断三角形外接圆的圆心位置 25．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 26．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 27．已知等腰直角三角形的腰长为2，则此三角形的重心与外心之间的距离为______． 28．如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； (3)该圆圆心到弦的距离为______． 学科网（北京）股份有限公司 $