3.2 确定圆的条件 题型专练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

苏科版（2024）九年级上册 3.2 确定圆的条件 题型专练 【题型1】确定圆的条件 【典例】在同一平面内，过已知A、B、C三个点可以作圆的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【举一反三1】若过平面直角坐标系中的三个点A(1，0)，B(0，2)，C(-1，m)能确定一个圆，则m≠__________ . 【举一反三2】已知线段AB=2 cm. (1)画半径为1 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为0.5 cm的圆，使它经过A，B两点吗？ 【举一反三3】如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝8，CD＝6，AD＝5，试判断点A、B、C、D是否在同一个圆上，并证明你的结论． 【题型2】三角形的外接圆和外心 【典例】下列条件中，不能确定一个圆的是（　　） A．圆心与半径 B．直径 C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2），若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则符合条件的C点有__________个． 【举一反三2】如图，圆O是△ABC的外接圆，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M，N，如果BC=3，那么MN=__________ . 【举一反三3】如图，△ABC内接于☉O，高AD经过圆心O. ①求证：AB＝AC； ②若BC＝8，☉O的半径为5，求tan∠BAD的值. 【举一反三4】如图，△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′．求证： （1）AA′、BB′、CC′交于一点P； （2）设△ABC三边中点分别为A1、B1、C1，则P为△A1B1C1的外心． 【题型3】三角形的外接圆与外心的有关计算 【典例】如图，已知点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝40°，∠C＝68°，则∠ADC的度数为（　　） A．52° B．58° C．60° D．62° 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 __________，半径为__________． 【举一反三2】平面直角坐标系中，存在点A（2，2），B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4）．则△ABC的外接圆的圆心坐标为__________，△ABC的外接圆在x轴上所截的弦长为__________． 【举一反三3】如图，等边△ABC内接于半径为2的⊙O，求△ABC的周长与面积． 【题型4】用圆内接四边形的性质求解 【典例】如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝82°，那么∠BOD的度数为（　　） A．160° B．162° C．164° D．170° 【举一反三1】如图，，，，是上的四个点，，若四边形的面积是，的长是，则与的关系式是（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于 __________． 【举一反三3】如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°． (1) 求∠BOC的度数； (2) 求∠ACB的度数． 【举一反三4】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E． (1) 求证：AB＝AC． (2) 若BD＝18，DE＝2，求CD的长． 【题型5】用圆内接四边形的性质证明 【典例】以下图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中一定有外接圆的是（ ） A．① B．②③ C．③④ D．②③④ 【举一反三1】如图，四边形是圆内接四边形，对角线经过圆心与相交于点，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平∠CAE． (1) 求证：∠DAE＝∠BCD； (2) 求证：DB＝DC． 苏科版（2024）九年级上册 3.2 确定圆的条件 题型专练（参考答案） 【题型1】确定圆的条件 【典例】在同一平面内，过已知A、B、C三个点可以作圆的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【解析】解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆； 当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆； 故选：D． 【举一反三1】若过平面直角坐标系中的三个点A(1，0)，B(0，2)，C(-1，m)能确定一个圆，则m≠__________ . 【答案】4 【解析】∵A(1，0)，B(0，2)， ∴设直线AB的表达式为y=kx+2， 把A(1，0)代入，得k=-2， ∴y=-2x+2， ∴当x=-1时，y=-2×(-1)+2=4， ∴当m≠4时，平面直角坐标系中的三个点A(1，0)，B(0，2)，C(-1，m)能确定一个圆. 【举一反三2】已知线段AB=2 cm. (1)画半径为1 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为0.5 cm的圆，使它经过A，B两点吗？ 【答案】解　(1)画半径为1 cm的圆，使它经过A，B两点，AB=2 cm，这样的圆能画一个，圆心是AB的中点. (2)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，AB=2 cm，这样的圆能画两个，圆心在线段AB的垂直平分线上，圆心到A，B两点的距离都是2 cm. (3)由于0.5<1，故不能画出半径为0.5 cm的圆，使它经过A，B两点. 【举一反三3】如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝8，CD＝6，AD＝5，试判断点A、B、C、D是否在同一个圆上，并证明你的结论． 【答案】解：A、B、C、D在同一个圆上． 证明：连接BD． 在直角△ABD中，BD＝＝10， 在△BCD中，∵82+62＝100，即BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形． ∴B、C、D在以BD为直径的圆上． 又∵△ABD是直角三角形，则A、B、D在以BD为直径的圆上． ∴点A、B、C、D在以BD为直径的圆上． 【题型2】三角形的外接圆和外心 【典例】下列条件中，不能确定一个圆的是（　　） A．圆心与半径 B．直径 C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点 【答案】C 【解析】解：A．已知圆心与半径能确定一个圆，不符合题意； B．已知直径能确定一个圆，不符合题意； C．平面上的三个已知点，不能确定一个圆，符合题意； D．已知三角形的三个顶点，能确定一个圆，不符合题意； 故选：C． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2），若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则符合条件的C点有__________个． 【答案】3 【解析】如图， ∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．∴PA＝PB＝， ∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心， ∴PC＝PA＝PB＝， 则点C的坐标为（7，4）或（6，5）或（1，4），即：共3个． 【举一反三2】如图，圆O是△ABC的外接圆，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M，N，如果BC=3，那么MN=__________ . 【答案】 【解析】∵OM⊥AB，ON⊥AC， ∴AM=MB，AN=NC， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN=BC. ∵BC=3， ∴MN=. 【举一反三3】如图，△ABC内接于☉O，高AD经过圆心O. ①求证：AB＝AC； ②若BC＝8，☉O的半径为5，求tan∠BAD的值. 【答案】①证明　∵OD⊥BC，且OD经过圆心O， ∴BD＝CD， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC. ②解　连接OB，如图， ∵OD⊥BC，BC＝8， ∴BD＝DC＝BC＝×8＝4， 在Rt△ODB中，OD＝＝3， ∴AD＝5＋3＝8， ∴tan∠BAD＝. 【举一反三4】如图，△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′．求证： （1）AA′、BB′、CC′交于一点P； （2）设△ABC三边中点分别为A1、B1、C1，则P为△A1B1C1的外心． 【答案】证明：（1）设圆O半径为R． 由△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′， 知：BC′＝B′C＝R，∠C′BA＝∠C′AB＝∠OAB，∠B′CA＝∠B′AC＝∠OAC， ∴∠C′BA+∠B′CA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC， ∴∠C′BC+∠B′CB＝∠BAC+∠ABC+∠BCA＝180°， ∴BC′∥B′C， ∴BB′，CC′互相平分，交于中点， 同理CC′，AA′互相平分，交于中点， ∴AA′、BB′、CC′交于一点P. （2）∵P为CC′中点，A1为BC中点， ∴PA1＝B′C＝R， 同理PB1＝R，PC1＝R， ∴PA1＝PB1＝PC1， ∴P是△A1B1C1的外心． 【题型3】三角形的外接圆与外心的有关计算 【典例】如图，已知点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝40°，∠C＝68°，则∠ADC的度数为（　　） A．52° B．58° C．60° D．62° 【答案】D 【解析】以O为圆心，OA长为半径画圆， ∵点O是△ABC的外心，∴B，C，A三点共圆， 延长AD交圆与点E，连接CE，∴∠ACE＝90°， ∵∠B＝40°，∠C＝68°，∴∠E＝∠B＝40°，∠ECD＝90°﹣68°＝22°， ∴∠ADC＝40°+22°＝62°. 故选：D． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 __________，半径为__________． 【答案】（2，1）； 【解析】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3）， 连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图， ∴Q点的坐标是（2，1），∴A点的坐标是（0，2）， ∴圆弧的半径为＝． 【举一反三2】平面直角坐标系中，存在点A（2，2），B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4）．则△ABC的外接圆的圆心坐标为__________，△ABC的外接圆在x轴上所截的弦长为__________． 【答案】（﹣2，﹣1）；4 【解析】∵B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4），∴线段BC的垂直平分线是x＝﹣2， ∵A（2，2），C（2，﹣4），∴线段AC的垂直平分线是y＝﹣1， ∴△ABC的外接圆的圆心M的坐标为：（﹣2，﹣1）； 连接DM，作MN⊥DE于N， 由题意得，AC＝6，BC＝8，由勾股定理得，AB＝10， 则DN＝＝2，∴DE＝4. 【举一反三3】如图，等边△ABC内接于半径为2的⊙O，求△ABC的周长与面积． 【答案】解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H，则BH＝BC， ∵OB＝2，∠OBH＝30°，∴OH＝1， 由勾股定理得，BH＝＝，则BC＝2， ∴△ABC的周长＝2×3＝6， △ABC的面积＝×2×1×3＝3． 【题型4】用圆内接四边形的性质求解 【典例】如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝82°，那么∠BOD的度数为（　　） A．160° B．162° C．164° D．170° 【答案】C 【解析】解：∵∠DCE+∠BCD＝180°，∠A+∠BCD＝180°， ∴∠A＝∠BCD， ∵∠BCD＝82°，∴∠A＝82°，∴∠BOD＝164°． 故选：C． 【举一反三1】如图，，，，是上的四个点，，若四边形的面积是，的长是，则与的关系式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，，，是上的四个点，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 如图所示，作，交的延长线于点，过点作于点， ∴ 则是等边三角形 ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴四边形的面积等于的面积， ∵ ∴， ∴ ∵四边形的面积是，的长是， ∴ 故选：D． 【举一反三2】如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于 __________． 【答案】55° 【解析】解：连接AC， ∵四边形ABCD是半圆的内接四边形， ∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°， ∵，∴∠CAB＝∠DAB＝35°， ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°， 故答案为：55°． 【举一反三3】如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°． (1) 求∠BOC的度数； (2) 求∠ACB的度数． 【答案】解： (1) ∵点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB， ∴， ∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝∠BOC＝2∠ADC＝60°， ∴∠BOC的度数为60°； (2) 连接BD， ∵，∴∠ADC＝∠BDC＝30°，∴∠ADB＝60°， ∵∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠ACB＝120°． 【举一反三4】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E． (1) 求证：AB＝AC． (2) 若BD＝18，DE＝2，求CD的长． 【答案】(1) 证明：∵AD平分∠BDF， ∴∠ADF＝∠ADB， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠ADF＝∠ABC， ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC； (2) 解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G． ∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD， ∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°， 在Rt△AED和Rt△AGD中，， ∴Rt△AED≌Rt△AGD， ∴GD＝ED＝2， 在Rt△AEC和Rt△AGB中，， ∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL）， ∴BG＝CE， ∵BD＝18，∴BG＝BD﹣GD＝18﹣2＝16， ∴CE＝BG＝16，∴CD＝CE﹣DE＝16﹣2＝14． 【题型5】用圆内接四边形的性质证明 【典例】以下图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中一定有外接圆的是（ ） A．① B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【解析】解：根据有外接圆的条件，四边形必须对角互补， 只有矩形、正方形有外接圆， 故③④一定有外接圆． 故选：C. 【举一反三1】如图，四边形是圆内接四边形，对角线经过圆心与相交于点，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】、由同弧所对的圆周角相等可得，，此选项符合题意； 、∵四边形是圆内接四边形， ∴，此选项不符合题意； 、∵是直径， ∴，此选项不符合题意； 、连接， 由圆周角定理得，此选项不符合题意； 故选：． 【举一反三2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平∠CAE． (1) 求证：∠DAE＝∠BCD； (2) 求证：DB＝DC． 【答案】证明： (1) ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD+∠DAB＝180°， 又∵∠DAE+∠DAB＝180°，∴∠DAE＝∠BCD． (2) ∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角，∴∠DAC＝∠DBC， ∵AD平分∠CAE，∴∠DAE＝∠DAC， 由（1）可知∠DAE＝∠BCD，∴∠BCD＝∠DBC，∴DB＝DC． 学科网（北京）股份有限公司 $