精品解析：福建福州立志中学2026-2027学年九年级第一学期适应性练习数学试卷（10月）

2026-2027学年福州立志中学九年级第一学期适应性练习 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最小值为1 C. 图象的对称轴为直线x=﹣2 D. 图象的顶点坐标是（1，2） 4. 如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 5. 在中，最长的弦是，则的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法判断 7. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限 C. 随着的增大而减小 D. 当时， 8. 如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 9. 已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 已知点和点关于原点对称，则________． 12. 用反证法证明“如果，那么”时，第一步应假设______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 14. 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 15. 古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点，著名的“断臂维纳斯”便是如此．如图，若，则的长为______． 16. 如图，在边长为4的正方形中，P是边上一动点，连接，把线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为_________ 三、解答题（共86分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 19. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点在的延长线上，点的对应点恰好落在边上，延长交边于点，，． （1）求的长； （2）与垂直吗？请说明理由． 20. 我国古代数学著作《九章算术》中有“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问径几何？”用数学语言表述：如图，弦与直径垂直，垂足为E，寸，寸，则的直径是多少？（注：“尺”和“寸”都是旧制长度单位．1尺寸，1米尺） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 22. 综合与实践 【问题情境】：投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）【建立模型】求抛物线的解析式． （2）【应用分析】若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离的长）． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 23. 【回归课本】设一元二次方程有两个根，，则方程可化为：，即，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，． （1）利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． ①直接写出实数k的取值范围________________； ②是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由； 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，． （2）利用上式结论解题：已知关于x的一元三次方程有三个根，，，求的最小值； 24. 如图在中，，，，将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为D． （1）尺规作图：作出旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）点，分别在边，上，，连接，，． ①求的值； ②当时，点绕点逆时针旋转与点重合，求的长度； 25. 已知抛物线 的顶点为，与x轴交于A，B两点（A在B左边） ． （1）直接写出抛物线解析式； （2）如图（1），点E是抛物线上的动点，连接，直线交直线于点F．设点E的横坐标为m． ①求直线的解析式（用含m的代数式表示）； ②若的面积等于2时，求m的值． （3）如图（2），P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于M，N两点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年福州立志中学九年级第一学期适应性练习 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意． 2. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根．把代入，转化为m的方程求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故选：A． 3. 对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最小值为1 C. 图象的对称轴为直线x=﹣2 D. 图象的顶点坐标是（1，2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数y=2（x-2）2+1，a=2＞0， ∴该函数的图象开口向上，故选项A错误， 函数的最小值是y=1，故选项B正确， 图象的对称轴是直线x=2，故选项C错误， 抛物线的顶点坐标为（2，1），故选项D错误， 故选：B． 【点睛】考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4. 如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，观察图形并且找出到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等的点是解题的关键．观察图形可知，点C到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等，再根据勾股定理进行验证即可． 【详解】解：如图，两个格点三角形分别为和，连接， 设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1， 由勾股定理得，， 和的每一组对应顶点到点C的距离都相等， 两个格点和的旋转中心是点C， 故选：C. 5. 在中，最长的弦是，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 6. 已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 7. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限 C. 随着的增大而减小 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【详解】解：由得，将代入解析式，得，故A正确； 函数图象在第一、三象限，故B正确； 该函数仅在每个象限内随的增大而减小，并非对任意都成立，故C错误； 当时，随的增大而减小，且时，故，D正确． 8. 如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】设与y轴交于点，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 轴， ， ∵点在上，点在上， ，， ． 9. 已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的增减性和一元一次不等式的解法．由点，点的横坐标特点及已知条件可以判断两点分别位于第二、四象限，从而根据反比例函数的增减性推出比例系数小于，求得的取值范围． 【详解】解：点的横坐标为，点的横坐标为， ，在y轴的两侧， 又，点，点在上， 点，点分别位于第二、四象限， 根据反比例函数的增减性，的比例系数小于，即， 解得． 10. 已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出顶点坐标，代入一次函数得到，再根据，可得，设，最后根据题意，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴的顶点坐标为， ∵顶点在的图象上， ∴将代入得，整理得， ∵当时，都有，即， 将代入上式，化简得， 设， ∵该二次函数的二次项系数为，抛物线开口向上， ∴要使时恒成立，只需区间端点处的函数值， 当时，，整理得，解得， 当时，，整理得，解得， 取两个解集的交集，得． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 已知点和点关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特点， 根据关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数求出，，然后代数求解即可． 【详解】∵点和点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 用反证法证明“如果，那么”时，第一步应假设______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反证法的基本步骤，反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，找出原结论的否定即可得到结果． 【详解】解：反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，本题原命题的结论为， 的否定为 因此第一步应假设． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点、的坐标特征确定线段的垂直平分线，设出圆心坐标，利用圆心到点、的距离相等建立方程求出圆心纵坐标，最后利用两点间距离公式计算半径即可． 【详解】解：点，的纵坐标相同， 线段平行于轴，且中点横坐标为， 线段的垂直平分线为直线， 的外接圆圆心在线段的垂直平分线上， 设外接圆圆心坐标为， 点到点、的距离相等，且， ， ， ， ， ， ， ， 外接圆圆心坐标为， 外接圆半径． 14. 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形的面积为6， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的图象在第一象限， ∴， ∴． 15. 古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点，著名的“断臂维纳斯”便是如此．如图，若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知线段的比例关系与已知条件，将代入转化一元二次方程求解即可． 【详解】∵，， ∴ 即 解关于为未知数的一元二次方程得， 舍去负值，得： 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程在几何问题中的应用，解题的关键是将待求的线段转化为求解一元二次方程的问题． 16. 如图，在边长为4的正方形中，P是边上一动点，连接，把线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】连接，在上找一点E，使得，过点E作交于点F，连接，根据正方形的性质以及勾股定理可得，证明为等腰直角三角形，可得，可证明，可得到，从而得到当点P与点F重合时，取得最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，连接，在上找一点E，使得，过点E作交于点F，连接， 在边长为4的正方形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵把线段绕点A逆时针旋转到线段， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵P是边上一动点，，， ∴，即， ∴当点P与点F重合时，取得最小值，最小值为， 即的最小值为． 三、解答题（共86分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可； （2）根据公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 解得：，． 【小问2详解】 解：， ∴，，， ， ∴， 解得：，． 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由有实数根可推出，代入对应的系数即可求得m的取值范围； （2）利用根与系数的关系：，即可求得m的值． 【小问1详解】 解： 有实数根 解得：； 【小问2详解】 解： ， 又 解得：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程，熟知一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 19. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点在的延长线上，点的对应点恰好落在边上，延长交边于点，，． （1）求的长； （2）与垂直吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）与垂直．理由如下： ∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 即与垂直． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质和线段的和差关系即可得到答案； （2）根据旋转的性质和等量代换得到，再由三角形内角和定理即可求出，证明结论成立． 【小问1详解】 解：∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， 即， 解得， ∴ 【小问2详解】 略 20. 我国古代数学著作《九章算术》中有“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问径几何？”用数学语言表述：如图，弦与直径垂直，垂足为E，寸，寸，则的直径是多少？（注：“尺”和“寸”都是旧制长度单位．1尺寸，1米尺） 【答案】26寸 【解析】 【分析】连接，设的半径是寸，根据题意，得寸，寸，根据勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：连接， ，寸， 寸， 设的半径是寸， 根据题意，得寸，寸， 根据勾股定理，得， ， ， ， 故的直径是26寸． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为y．一次函数的表达式为y （2）点坐标为或 【解析】 【分析】（1）先把代入反比例函数求出，得到反比例解析式，再将代入反比例函数求出；最后把、两点坐标代入，解方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点，设为；设，以为公共底边，利用列式计算，解出． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数， ，解得， 反比例函数解析式：． 将代入： ， ． 把，代入得方程组： ， 解得， 一次函数解析式：． 【小问2详解】 解：设直线与轴交于点，如图所示， 令， 解得， ． 设点坐标，则． 的高为点纵坐标6，的高为点纵坐标的绝对值． ， 解得或， 点坐标为或． 22. 综合与实践 【问题情境】：投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）【建立模型】求抛物线的解析式． （2）【应用分析】若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离的长）． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，把代入，求出，即可求出抛物线的解析式； （2）令，得出，解方程求出符合题意的，根据即可得出答案； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为，由（2）可知，代入，解方程可求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度． ∴抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ，解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为，， ∴当时，， 解得，（舍去）， ∵壶口的宽度， ∴． 【小问3详解】 解：∵仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变， ∴设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为， 由（2）可知，， 把代入得，， 解得， ∴再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为， 当时，，即， ∴时，箭刚好由点处擦边投入壶中， 由（2）可知，时，箭刚好由点处擦边投入壶中， ∴． 23. 【回归课本】设一元二次方程有两个根，，则方程可化为：，即，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，． （1）利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． ①直接写出实数k的取值范围________________； ②是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由； 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，． （2）利用上式结论解题：已知关于x的一元三次方程有三个根，，，求的最小值； 【答案】（1）①；②；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元三次方程根与系数的关系； （1）①利用根的判别式建立不等式求解即可；②利用根与系数的关系建立等式进行解方程即可； （2）利用材料中的根与系数的关系得到，然后利用配方法求最值就可． 【详解】解：（1）①解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ， ∴， ∴； 故答案为 ②解：∵，是原方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得或； 又∵， ∴ （2）∵一元三次方程有三个根，，， ，，， ，， ， ∵，即的最小值为． 24. 如图在中，，，，将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为D． （1）尺规作图：作出旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）点，分别在边，上，，连接，，． ①求的值； ②当时，点绕点逆时针旋转与点重合，求的长度； 【答案】（1）如图，即为所求； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据作线段，作一个角等于已知角的方法即可； （2）①设与交于点，连接，先证明是等边三角形，可得，，然后证明，由全等三角形性质可得，，再证明是等边三角形，则，所以，最后由勾股定理即可求解； ②过点作的垂线，交的延长线于点，作于点，利用得到，设，结合可以推导出三角形是含有30度的直角三角形，从而得出，再用勾股定理列方程求解，然后通过全等得到线段关系算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，设与交于点，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②过点作的垂线，交的延长线于点， 作于点，则， 由①知，， 由①知 ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得 ，（舍去）， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题综合考查了旋转、等边三角形、全等三角形、勾股定理；遇到角常作垂线构造含直角三角形，利用设元求解线段长度． 25. 已知抛物线 的顶点为，与x轴交于A，B两点（A在B左边） ． （1）直接写出抛物线解析式； （2）如图（1），点E是抛物线上的动点，连接，直线交直线于点F．设点E的横坐标为m． ①求直线的解析式（用含m的代数式表示）； ②若的面积等于2时，求m的值． （3）如图（2），P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于M，N两点，求的值． 【答案】（1） （2）①；②m值为0和3 （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标设出顶点式方程，化为一般式比较求出系数、，最后验证条件即可； （2）①先令  求出点  的坐标，再设出点  的坐标，利用待定系数法列出关于 、 的方程组，消元求解即可得到直线  的解析式； ②引入直线  并求出其与直线  的交点，将 的面积转化为  与 的面积之和或之差，结合三角形面积公式列出关于  的绝对值方程，最后分类讨论解方程即可． （3）通过设出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而联立抛物线方程，借助韦达定理求出交点的坐标．再表示出和的长度，作比即可求出定值． 【小问1详解】 解：抛物线 的顶点为， 抛物线的顶点式为， 化简得， 则,，符合题意， 抛物线解析式为 【小问2详解】 解：令，可得， 解得或， 抛物线与x轴交于A，B两点，且A在B左边， ， ①点E的横坐标为m，点E是抛物线上的动点， 点坐标为， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， 两式相减得， 由于E不与A重合，， ． 直线的解析式为． ②如图，直线与直线交点，与直线交于点， 将代入直线：， 可得， 点坐标为， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， 两式相减得， 由于E不与D重合，， ． 直线的解析式为． 点坐标为， 如图，当在右侧时， , 如图，当在左侧时， ， ， 化简可得，即， 当时，，解得或， 当时，，此时方程无实数解， 综上，若的面积等于2时，m值为0和3． 【小问3详解】 设点，由P、Q关于原点对称得，， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， ． 直线的解析式为． 联立抛物线解析式，， 可得， 由韦达定理得， M点的横坐标为， 将代入，． M点的坐标为， 同理可得，直线的解析式为， 点的坐标为． ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $