2026-2027学年北师大版九年级数学上册第一次月考复习卷（1-2章）

2026-2027学年九年级数学上册第一次月考复习卷（1-2章) 一、选择题(10小题，每小题3分，共30分) 1.下列方程为一元二次方程的是() A.x-2=0 B.x2-2x-3 C.x2-4x-1=0 D.+1=0 2.下列说法正确的是() A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.矩形的对角线互相垂直 D.菱形的对角线相等 3.《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著.书中有这样一道方程 的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文.只云匹长不及尺价四十七 文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文； 已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七文，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？ (备注：1贯=1000文)，设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为() A.(x-3(x-47)=2975 B.（x+3(x-47)=2975 C.（r+3(x+47)=2975 D.（x-3(+47)=2975 4.如果关于x的方程(x-3)=2-k可以用直接开平方法求解，那么k满足的条件是() A.k≥3 B.k<3 C.k>2 D.k≤2 5.矩形ABCD中，AB=8,AD=6,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A'BC'D」 若边A'B交线段CD于H,且BH=DH,则DH的值是（) A D C H y B 1 5 A.4 B.8-2√3 C.4 D.6√2 6.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE⊥AB,垂足为点E,连接OE, 若OA=4,S爱形MacD=16,则0E的长为() D A.2 B.V5 C.3 D.4 x2-2(m-2)x+m2-2m=0 7.若关于x的方程 有两个实数根，且两根之和不小于一6，则代数式 m-2-m+l化简的结果是（） A.-1 B.1 C.-2m-1 D.-2m+1 8.(2025·广东清远·一模)如图，小青用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具， 他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得∠B=60°，对角线AC=10Cm,接着把活动学具 做成图2的正方形，则图2中对角线AC的长为() B B 图1 图2 A.5v2cm B.10cm C.10v2cm D.20cm 9.若关于的方程ar+r+c=0(a≠0) 的两根之和为2，两根之积为3，则关于》的方程 a0-2+b(y-2)+c=0的两根之积为(） A.-1 B.1 C.-5 D.5 10.如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=4BE=4,M、N分别为边CD、AB上 的动点，且始终保持MN⊥AE,则AM+NE的最小值为 E A.5 B.V26 C.V30 D.34 二、填空题(6小题，每小题3分，共18分) 11.已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O,添加条件 可使菱形ABCD成为正 方形 12.已知a、B是方程x2-2x-3=0的两个实数根，则-2a-p的值为一 13.如图，四边形ABCD是菱形，已知AC=8,BD=6,AC,BD相交于点O,那么菱形ABCD的面 积为」 D 14.已知在正比例函数”=m伽+0)中，)的值随着的增大而增大，且关于的一元二次方 程x2+4x+m=0有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数m的值之和为_一 15。非零实数m,(≠m）满足m-m-2=0-n-2=0,则m+n-m= 16.如图，在长方形ABCD中，在CD上取点E,连接AE,点D关于AE的对称点F落在BC边 上，在AE,CD上分别取点G、H,连接GD,GF,GH.若GH=DH,GH∥AF,且AB=3, AD=5 GD ,则的长是 D G H 三、解答题(9小题，共72分) 17.解下列方程： (1)x2-x-1=0 (2)(x+3)2+3(x+3)-4=0. 18.已知关于x的一元二次方程ax2+br+c=0(a,b,c为常数，且a≠0). 0们若00=lc=,求x的值 (2)若b=a+c,求证：方程总有实数根. 19.图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边 长为1，点A,点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，使所画图形各不相同，且所画 图形的顶点均在格点上. B B A 图1 图2 图3 (1)在图1中，以AB为边画一个正方形； (2)在图2中，以AB为边画一个四边形，使其两条对角线的长度均与线段AB相等； (3)在图3中，以AB为边画一个面积为7的平行四边形. 20.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,BD=2BC,F、FG分别是 OC OD AB 的中点.求证： D B (1)BE⊥AC; (2)连接AF,求证：四边形AGEF是菱形. 21.白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、 饮白露茶、吃龙眼等习俗.某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千 克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克.根据销售经验，每千克售 价每降低1元，日销售量可增加10千克. (1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ (2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天 的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 22.已知关于x的一元二次方程+k+1x+k-2=0 (1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)若，为该方程的两个实数根，且满足：-)=. ①求k的值； ②若菱形4BCD的一条对角线4C的长为4，另一条对角线BD的长为，求菱形ABCD的 面积. 23.如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点，过点D作 DE1BC,交直线MW于B,垂足为R连接CD,BE MN M C R D (1)求证：CE=AD; (2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若D为AB中点，则当∠A满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由. 24.如果关于”的一元二次方程a2+b加+c=000)有两个实数根，其中一个实数根是另一个 实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”，例如一元二次方程x2-8x+12=0的两个 根是x=2,为=6，则方程x2-8x+12=0是“3倍根方程”. (1)通过计算，判断x-4x+3=0是否是“3倍根方程”. (2)若关于x的方程-2(x-m)=0 是“3倍根方程”，求代数式m+2m+2的值： (3)已知关于x的一元二次方程 程-(m-1)r+48=0(m是常数)是“3倍根方程”，请写出” 的值. 25.如图，在四边形ABCD中，点E是直线BC上一点，将射线AE绕点A逆时针旋转a交直 线CD于点F 图① 图② (1)如图①，若四边形ABCD为菱形，∠B=60°，a=60°，则AE与AF之间的数量关系是_； (2)如图②，若四边形ABCD为正方形，α=45°，连接EF,当点E在BC的延长线上时，试猜 想线段BE、DF与EF之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形1CD为正方形，a=45,连接Br,当4B=4E-号8C时，请直接写出EP的长. 参考答案 一、选择题 1.C 解：A、x-2=0是一元一次方程，该选项不合题意； Bx2-2x-3 是代数式，不是方程，该选项不合题意； Cx2-4x-1=0 是一元二次方程，该选项符合题意； Dx+1=0 含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：C. 2.B A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A错误，不符合题意； B、原说法正确，符合题意； C、矩形的对角线相等，但不一定垂直，故选项C错误，不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故选项D错误，不符合题意. 故选：B. 3.D 这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为怀-3)尺，一尺锦的价格为+4)文， x-3)(x+47)）=2975 根据题意，得 故选：D. 4.D 解：由题意得，2-k≥0， .k≤2， 故选：D. 5.C 解：设DH的值是x, ,矩形ABCD中，AB=8,AD=6,且BH=DH, 那么CH=8-x,BH=x,AD=BC=6 在Rt△BCH中，BH2=CH2+BC2, ∴x2=(8-x2+36 t25 4 即DH=25 · 故选：C. 6.A 解：四边形ABCD是菱形，OA=4, :0M=0C=4C=4,解得4C-8, :菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,S美形ABcn=16, 1 菱形ABCD的面积为24CBD=16, 8BD=16, 2 解得：BD=4, DE⊥AB, 在RtABDE中，OE=2BD- 2×4=2 故选：A. 7.D :方程-2m-2+m2-2m=0 两个实数根， .b2-4ac=[-2(m-2-4x1xm2-2m）=-8m+16≥0 ∴.m≤2， 2-2(m-2)x+m2-2m=0 设关于x的方程 的两个实数根为X,3】 ∴.+=2(m-2), .两根之和不小于6， :20m-22-6 解得：m≥-l, .-1≤m≤2， .m-2-m+1 =2-m-m-1 =-2m+1 故选：D 8.C 解：连接图1中的对角线AC,如图所示： B 图1 ,四边形ABCD是菱形， .'AB=BC, ∠B=60°， △ABC是等边三角形， ∴.AB=AC=10cm, 连接图2中的对角线AC，如图所示： B 图2 ,四边形ABCD是正方形， :.AB=BC=10cm,∠B=90° 4C=+BC=10/cm 故选C. 9.D 解：把方程(-2+b-2+c=0看作关于)-2的一元二次方程， 设关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为，x2, 则方寿0-2+0-2刃+c=0的丽根为为=写+25：5+2 “关于”的方程r+r+C=0a0的两根之和为2，两根之积为3， .x+x2=2,xx2=-3 ·y2=(x+2)(x2+2)=xx2+2(x+x2)+4=-3+2×2+4=5 故选：D. 10.D 解：如图，过点E作EF∥MN,过点M作MF∥EN交EF于点F，连接AF,则四边形MNEF为 平行四边形， D M F :.MN=EF,MF=NE,MN∥EF :.AM+NE=AM+MF≥AF “当A,M、F三点在同一直线上时，M+有最小值，即为的长， 过点M作MG⊥AB于点G,设MN与AE相交于点O, ABCD MN⊥AE 四边形 是正方形， .∠AON=∠B=90°，AB=BC=MG .∠1+∠3=∠2+∠3=90° .∠1=∠2 .Rt△ABE≌RtaMGN 3 ∴.AE=MW :MN=EF,MN∥EF .AE=MN=EF,AE⊥EF △AEF 是等腰直角三角形， .·AB=4BE=4 .BE=1 由勾股定理得AE=√AB2+BE2=V42+1P=V7, :f=AE+F=可j+(7=34, 即AM+NE的最小值为V34」 故选：D. 二、填空题 11.AC=BD(答案不唯一) 解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD; 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加：AB⊥BC; 故添加的条件为：AC=BD或AB⊥BC, 故答案为：AC=BD(不唯一). 12.6 解：、B是方程x2-2x-3=0的两个实数根， ∴.a2-2a=3,a明=-3， ∴a2-2a-明=3-(-3)=6. 故答案为：6. 13.24 解：菱形ABCD的面积为：24C×BD=)x6x8=24, 1 故答案为：24. 14.6 解：：正比例函数'=m(m≠0)中，y的值随着的增大而增大， ∴.m>0. ,关于x的一元二次方程x2+4x+m=0有两个不相等的实数根， .△=16-4m>0, 即m<4; ∴.0<m<4, m为整数， .可取1,2,3： 满足条件的整数m的值之和为：1+2+3=6， 故答案为：6. 15.3 解：非零实数m,(m≠川满足等式m2-m-2=0,n2-n-2=0, ∴.m,n是方程x2-x-2=0的两实数根， ∴.m+n=1,mn=-2, 、m+n-mn=1-（-2)=3 故答案为：3. 16.5 解：连接DF, 在长方形ABCD中，AB=CD=3,AD=BC=5,∠ADC=∠BCD=90°， H B 由轴对称的性质可得，∠ADG=∠AFG,DA=AF=5,DG=GF, 在R△ABF中，BF=VAF2-AB=52-32=4 ∴.CF=BC-BF=5-4=1, 在RtDCF中，DF=VDC2+CF=FP+3=Vio GH DH, ∴.∠GDH=∠DGH, .GH∥AF, ∴.∠HGF=∠AFG, ∴.∠ADG=∠AFG=∠HGF, 又∠ADG+∠GDC=90°， ∴.∠FGH+∠DGH=90°，即∠DGF=90°， ∴.△DGF是等腰直角三角形， 0-号ar-9w而-5 2 2 故答案为：5. 三、解答题 17.(1)解：x2-x-1=0, .a=l,b=-l,c=-1 ∴.4=(-102-4×1×(-1)=5>0 r=±你cl生6 2a 2, 所以5*5 2· (2)解：(x+3)2+3(x+3)-4=0 ∴.(x+3-1)(x+3+4)=0 ∴.x+2=0x+7=0 或 ∴X1=-2,x2=-7 18.(1)解：a 2b=c=-3 2, 0 3 即x2+2x-3=0, 解得=山=-3， ∴.x的值为1或-3； (2)证明：.b=a+c, ∴.ax2+(a+c)x+c=0. .b2-4ac=(a+c）2-4ac a2+2ac+c2-4ac =(a-c)2≥0 .方程总有实数根. 19.(1)解：正方形ABCD如图所示： (2)解：四边形ABCD如图所示： B (3)解：平行四边形ABCD如图所示： 平行四边形BCcD的面积=3x4-*1x3x1x3x1x2-1k2=7. 2 2 2 2 20.(1)解：四边形ABCD是平行四边形， :B0=0-D,即B0-2R0 又BD=2BC, ..OB=BC, 又，点E是OC的中点， ∴.BE⊥AC; (2)证明：E、F分别是OC、OD的中点， EF-2CD,EFCD, ,点G是Rt△ABE斜边AB上的中点， GE-4G-1AB 2 又平行四边形ABCD中，AB=CD,AB∥CD, ∴.EG=EF=AG,EF∥AG, :EF∥AG,EF=AG, 四边形AGEF是平行四边形， EG=AG, ∴四边形AGEF是菱形， D 21.(1)解：50+10×(20-17)=80（千克）. 答：若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克. (2)解：设每千克龙眼售价为x元， 由题意得(x-8)[50+10(20-x】=660 解得x=19,x2=14 要保证销售量尽可能大， 小每千克龙眼售价应定为14元· 22.(1)证明：…+(《+小x+k-2=0 △=&+-4k-2) =k2+2k+1-4k+8 =k2-2k+1+8 =(k-1)2+8>0 不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)解：①：r++1)r+k-2=0,为该方程的两个实数根， .x+x3=-k-1,2=k-2 x(-)=3 .七3-x-x2=0 .k-2+k+1=0, -2 ②由①知：k=1 .AC=4k=2 D=2=2x62=3 菱形ABCD的面积为24CBD=×2x3=3. 23.(1)证明：.∠ACB=90°，DE⊥BC, ∴.∠ACB=∠DFB=90°， .AC∥DE, MN∥AB, ∴.四边形ACED是平行四边形， .CE=AD (2)解：四边形BECD是菱形. 理由：D是AB的中点， ∴AD=BD, .CE=AD, ∴.CE=BD, .MN∥AB, 四边形BECD是平行四边形， ,∠ACB=90°， .CD=AB=BD 2 ∴.四边形BECD是菱形. (3)解：当∠A=45°，四边形BECD是正方形. 理由：∠A=45°，∠ACB=90°， ∴.∠ABC=45°=∠A, .'AC=BC, :D是AB的中点， ∴.CD⊥AB,即∠BDC=90°， ,由(2)得四边形BECD是菱形， 四边形BECD是正方形. 24.(1)解(1).x2-4x+3=0, .解得=1，x2=3 3x=x2, ∴.x2-4x+3=0是“3倍根方程”. (2).(x-2)(x-m)=0 解得=2，x2=m (x-2xr-m)=0是“3倍根方程”， 分情况讨论： ①m=2×3=6,则：m2+2m+2=50. ②m=2x12 33'则：m2+2m+2=34 · (3):x2-(m-Dx+48=0(m是常数)是“3倍根方程”， 不妨设是×1的三倍， 由韦达定理：x=3x=48,解得=4. 当x=4,=12时， x+x2=16=m-1 ∴.m=17. 当x=-4,x2=-12 x1+x2=-16=m-1 .m=-15 25.(1)解：AE=AF,理由如下： B 如解图，连接AC, ,四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC=CD=AD,ABII CD ∴.∠ACD=∠BAC. .∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠ACD=∠BAC=60° .∠EAF=60°， ∴.∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=6O°， ∴.∠BAE=∠CAF, ABERACF(ASA) ∴.AE=AF; (2)解：BE-DF=EF,证明如下： A D BF 如图，在BC上取点F'，,使得BF'=DF,连接AF', ,四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠ABF'=∠ADF=90°， AB=AD ∠ABF'=∠ADF=90° 和 △ABF'△ADF BF=DF △ABF'≌△ADF(SAS) ∴AF'=AF,∠BAF'=∠DAF .∠EAF=45,∠BAD=90°， ∴.∠DAE+∠DAF=∠DAE+∠BAF'=45°， ∴.∠EAF'=∠EAF=45o AF'=AF ∠EAF'=∠EAF 在 AEF, AEF中， 和 AE=AE :△MEF2 EF(SAS) .'EF'=EF, .BE-DF BE-BF'=EF'=EF, 即BE-DF=EF; BF (3)解：①如图，当点E在线段BC上时，将△ADF绕点A顺时针旋转9O°，点D与点B重合， 得到△ABF', D F B ∴.AF=AF,∠BAF'=∠DAF,DF=BF' :四边形ABCD是正方形，∠EAF=45°， ∴.∠EAF'=∠BAF'+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°=∠EAF, 又AE=AE, 、△EAF2AEAF'(SAS) 。。 .'EF EF'=BF'+BEBE+DF, AB=4, ∴.BE=EC=2. 设EF=x,则DF=x-2,CF=4-(x-2)=6-x, 一在RIACEE中，由勾服定理得CF+CF=F,2+6-=,解得=0，即=10 3 ②如图，当点E在CB延长线上时，取CD的中点G,连接AG, D B ..DG=1 ,四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠ABE=∠D,BC=CD,∠BAD=90° B服=8C=2, ∴.BE=DG=2, 、△ABE≌AADG(SAS) ∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∴.∠BAE+∠BAG=∠DAG+∠BAG=90°」 .∠EAF=∠GAF=45°， 又.AF=AF, .∴△AEF≌△AGF(SAS), .EF =GF =DF-DG=DF-BE, EF=x,DF=x+2,CF=x+2-4=x-2,CE=BE+BC=2+4=6, 在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2=EF2,即6+(Cc-2)=x2, 解得x=10, 即EF=10 10 综上所述，EF的长为3或10.