2026～2027学年北师大版数学八年级上册9月 月考

北师大版2024_八上_9月 月考（2026~2027学年） 北师大版2024_八上_9月 月考 北师大版（2024）八年级上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）下列二次根式：，，，，2，，其中，最简二次根式的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解答】解： ∵：=x2；=；=；=2， ∴，，，，不是最简二次根式，，2，是最简二次根式，共3个，故选：C． （来源：2025春•巨野县期末） 2．（3分）在根式①②③④中，最简二次根式是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【解答】解：①是最简二次根式；②=，被开方数含分母，不是最简二次根式；③是最简二次根式；④=3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．①③是最简二次根式，故选C． （来源：2025春•饶平县期中） 3．（3分）下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②实数分为正实数和负实数；③立方根等于它本身的数是±1和0；④无理数都是无限小数；⑤平方根等于本身的数是1和0．正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故说法正确；②实数分为正实数、负实数和零，故说法错误；③立方根等于它本身的数有﹣1，0和1，故说法正确；④无理数是开方开不尽的数，即无理数是无限不循环小数，也是无限小数，故说法正确；⑤算术平方根等于本身的数是1和0，故说法错误；故选：C． （来源：2020秋•南山区校级期中） 4．（3分）在实数、、0、、3.1415、、4.21、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【解答】解：=-1，=4，故在实数、、0、、3.1415、、4.21、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数有、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个），共3个．故选：A． （来源：2023春•万秀区期末） 5．（3分）对于有理数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}=，且a和b为两个连续正整数，则ab﹣（）2的立方根为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【答案】A 【解答】解： ∵min{，a}＝a，min{，b}=， ∴a＜＜b， ∵5＜＜6，且a和b为两个连续正整数， ∴a＝5，b＝6， ∴ab﹣（）2＝5×6﹣31＝﹣1， ∴ab﹣（）2的立方根为﹣1．故选：A． （来源：2023秋•肥城市期末） 6．（3分）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 【答案】C 【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合， ∴BE＝ED． ∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE． ∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2， ∴32+AE2＝（9﹣AE）2，解得AE＝4． ∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）．故选：C． （来源：2025春•庆云县期末） 7．（3分）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1，以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3，如此继续，则A8B8的长为（　　） A．-1 B． C．+1 D．2- 【答案】A 【解答】解：A1B1=2-，则A2：2+2-=4-， ∵2＜4-＜3， ∴B2表示的数为3， ∴A2B2=-1，同理可得A3B3=2-；A4B4=-1；A5B5=2-；A6B6=-1；A7B7=2-；A8B8=-1，故选：A． （来源：2026春•黄山期末） 8．（3分）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n﹣1），所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是．故选：C． （来源：2023秋•萧县期末） 9．（3分）的立方根是 ． 【答案】2 【解答】解：=8， ∵23＝8， ∴的立方根是2，故答案为：2． （来源：2023秋•博山区期末） 10．（3分）在实数，，3.14159，中，是无理数的是 ． 【答案】33 【解答】解：=2，故在实数，，3.14159，中，是无理数的是．故答案为：． （来源：2025春•凌源市期末） 11．（3分）计算：×= ． 【答案】6 【解答】解：×== ＝6，故答案为：6． （来源：2023•恩施州） 12．（3分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm． 【答案】见解析 【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB＝4cm，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD==5cm； ∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；故橡皮筋被拉长了2cm． （来源：2025春•新化县期末） 13．（3分）如图，用两个面积为3cm2的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，则以数轴上表示1的点A为圆心，以大正方形的边长为半径画弧，与数轴的交点表示的实数是 ． 【答案】1+6，1-6 【解答】解： ∵两个面积为3cm2的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为6cm2，边长为 cm，表示1的点A为圆心，向左向右移单位， ∴数轴的交点表示的实数是1+，1-．故答案为：1+，1-． （来源：2022春•费县期末） 14．（3分）的算术平方根是 ． 【答案】3 【解答】解： ∵=9， ∴的算术平方根是3．故答案为：3． （来源：2025•高青县一模） 15．（3分）如图，在长方形内有两个相邻的正方形A，B，正方形A的面积为2，正方形B的面积为4，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】22-2 【解答】解：设两个正方形A，B的边长是x、y（x＜y），则x2＝2，y2＝4，x=，y＝2，则阴影部分的面积是（y﹣x）x＝（2-）×=2-2，故答案为：2-2． （来源：2025春•黄石港区校级期末） 16．（3分）新定义：在一个三角形中，若一个内角与另一个内角的2倍的和等于90°，我们称这个三角形为“奋进三角形”．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为BC上一个动点，若△APB为“奋进三角形”，则CP的长度为 ． 【答案】94或32 【解答】解： ∵∠APB＞∠C， ∴∠APB＞90°，①当2∠B+∠BAP＝90°时，如图，在AB上取一点D，连接DP，使得DP＝DB，过点D作DE⊥BC于点E， ∴BP＝2BE，∠DPB＝∠B， ∴∠ADP＝∠DPB+∠B＝2∠B， ∴∠ADP+∠BAP＝90°， ∴∠APD＝90°， ∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°， ∴AB==5， ∴cosB==， ∴cosB==，设BE＝4x，BD＝PD＝5x， ∴AD＝5﹣5x，BP＝8x， ∴PC＝BC﹣BP＝4﹣8x， ∴AP2＝AD2﹣PD2＝AC2+CP2， ∴（5﹣5x）2﹣（5x）2＝32+（4﹣8x）2，解得x=或x＝0（舍去）， ∴PC=4-8×=；②当2∠BAP+∠B＝90°时，如图所示， ∵∠BAC+∠B＝90°， ∴∠BAC＝2∠BAP， ∴AP平分∠BAC，过点P作PH⊥AB于H，则PH＝PC，设BP＝5m，则PH＝CP＝4﹣5m， ∵sinB===， ∴PH=PB=3m， ∴4﹣5m＝3m， ∴m=， ∴CP=4-5×=；综上所述，CP的长为或，故答案为：或． （来源：2026•郑州二模） 17．（6分）计算： （1）×(-)÷； （2）⋅(÷2)． 【答案】见解析 【解答】解： （1）原式=-×2××4÷=-×2××4× ＝﹣4＝﹣4×＝﹣3； （2）原式=••= = =． （来源：2024春•马尾区校级月考） 18．（6分）计算： （1）+|-3|﹣（π﹣2）0； （2）+-（-1）2． 【答案】见解析 【解答】解： （1）+|-3|﹣（π﹣2）0＝2+3--1＝4-； （2）+-（-1）2．=3+-（3-2）=3+-3+2． （来源：2021秋•青羊区期末） 19．（6分）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A，B两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得A，B间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C，使点C能直接到达点A和点B，在AB的延长线上取一点D，使得BD＝12米．经测量AC＝34米，CD＝16米，CB＝20米． （1）求证：∠BDC＝90°； （2）请你计算点A，B之间的距离． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵BD＝12米，CD＝16米，CB＝20米， ∴BD2+CD2＝122+162＝144+256＝400，CB2＝202＝400， ∴BD2+CD2＝CB2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°； （2）解：由（1）得△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°，又 ∵AC＝34米， ∴AD===30米， ∴AB＝AD﹣BD＝18米，答：点A、B之间的距离为18米． （来源：2026春•于都县期末） 20．（6分）如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D是格点． （1）求四边形ABCD的周长和面积； （2）判断∠BCD是否为直角？并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）根据勾股定理得：AB==，BC==2，CD==，AD==， ∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD=+2++=+3+，四边形ABCD的面积＝5×5-×5×1-×4×2-×2×1-×4×1﹣1×1＝14.5； （2）∠BCD是直角，理由如下：如图，连接BD，由（1）可知，BC＝2，CD=，由勾股定理得：BD==5， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD是直角． （来源：2026春•海淀区校级期中） 21．（6分）如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，测得AC＝80cm，BC＝60cm． （1）若∠ACB＝90°，求AB的长； （2）为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得∠CAB＝30°，求此时AB的长度． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝80cm，BC＝60cm，由勾股定理得：AB===100（cm），答：AB的长为100cm； （2）如图，过点C作CG⊥AB于点G， ∵CG⊥AB，∠CAB＝30°，AC＝80cm，BC＝60cm， ∴CG=AC＝40cm，在直角三角形ACG中，由勾股定理得：AG===40（cm），在直角三角形BCG中，由勾股定理得：BG===20（cm）， ∴AB＝AG+BG＝（40+20）cm，答：此时AB的长为(40+20)cm． （来源：2026•鲁山县开学） 22．（6分）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域． （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【答案】见解析 【解答】解： （1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． ∴AC×BC＝CD×AB， ∴150×200＝250×CD， ∴CD==120（m）， ∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响． （2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校， ∵ED===50（m）， ∴EF＝100（m）， ∵环卫车的行驶速度为每分钟50米， ∴100÷50＝2（分钟），即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟． （来源：2026春•盂县期末） 23．（8分）若最简二次根式与是同类二次根式． （1）求a的平方根； （2）对于任意的正实数m和n，我们定义新运算：m*n=．求（a*2）×（18*45）的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由同类二次根式定义可知：2a﹣3＝12﹣a， ∴a＝5， ∴a的平方根为±； （2）由条件可知（a*2）×（18*45）＝（5*2）×（18*45）=(-)×(+) =(-)×(3+3) =3(-)×(+) ＝3×（5﹣2）＝9． （来源：2026春•江津区期末） 24．（8分）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式+的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．【模型应用】 （1）代数式+的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式+的最小值；【模型拓展】 （3）已知正数x满足+=17，求x的值． 【答案】13 【解答】解： （1） ∵AH＝3+2＝5，HD＝12， ∴AD==13， ∴代数式+的最小值是13，故答案为：13； （2） ∵AC＝2，DF＝1，CF＝5，AH＝2+1＝3，HD＝5， ∴AD==， ∴代数式+的最小值是； （3）构造△ABC，CD⊥BC于点D，AC＝8，BC＝15，如图，设CD＝x，则AD=，BD=， ∴AB=+=17， ∵82+152＝172， ∴∠ACB＝90°， ∴×8×15=×17×x， ∴x=． （来源：2026春•分宜县期中） 25．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B的方向运动，且速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A的方向运动，且速度为2cm/s，P，Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动的时间为t秒． （1）BP＝ cm（用含t的代数式表示）； （2）当点Q在边BC上运动时，若△PQB是等腰三角形，求出此时t的值； （3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，求出此时t的值． 【答案】（16﹣t） 【解答】解： （1） ∵点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒， ∴AP＝tcm， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案为：（16﹣t）； （2）点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒，当点Q在边BC上运动， ∴BQ＝2t， ∵△PQB为等腰三角形时，BP＝BQ， ∴16﹣t＝2t，解得：t=， ∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形； （3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1，则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10cm， ∴BC+CQ＝22cm， ∴t＝22÷2＝11（秒）；②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2，则BC+CQ＝24cm， ∴t＝24÷2＝12（秒）；综上所述：t为11秒或12秒． （来源：2025秋•潜江期末） 26．（10分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+(a-b)2，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程． 【答案】见解析 【解答】解： （1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）=a2+ab+b2，也可以表示为ab+ab+c2， ∴ab+ab+c2=a2+ab+b2，即a2+b2＝c2； （2）设AB＝AC＝x千米， ∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米，在Rt△ACH中，根据勾股定理得：CA2＝CH2+AH2， ∴x2＝0.82+（x﹣0.6）2，解得x≈0.83，即CA≈0.83千米， ∴CA﹣CH≈0.83﹣0.8≈0.03（千米），答：新路CH比原路CA少约0.03千米； （3） ∵AH＝x， ∴BH＝AB﹣AH＝21﹣x， ∵CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，根据勾股定理：在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2， ∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，即102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2，解得：x＝6， ∴AH＝6， ∴CH===8． （来源：2026春•江阳区校级期中） 27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒． （1）证明：△ABC是直角三角形； （2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求t的值； （3）另有一动点Q，从点B开始，按顺时针方向走一圈回到点B，且速度为1cm/s．若P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，则： ∵在△ABC中，AB2+BC2＝62+82＝36+64＝100，AC2＝102＝100， ∴AB2+BC2＝AC2，△ABC是直角三角形； （2）①若点P在BC上，则BP＝2t，AB＝BP， ∴6＝2t，t＝3；②若点P在AC上，则CP＝2t﹣8，AP＝AC﹣CP＝18﹣2t，（i）当AB＝AP时，6＝18﹣2t，t＝6；（ii）当AB＝BP时，作BD⊥AC于点D，则S△ABC=AB⋅BC=AC⋅BD， BD==， ∴AD==，AP=2AD=， ∴=18-2t，解得t=．综上所述，当t＝3或t=或t＝6时，△ABP是以AB为腰的等腰三角形． （3） ∵△ABC的周长为AB+BC+AC＝24cm，24÷2＝12．①当0≤t≤4时，点P在BC上，点Q在AB上，则BP＝2t，BQ＝t，BP+BQ＝3t， ∴3t＝12，解得t＝4，如图所示，此时点P刚好运动到点C；②当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AB上，由①得，此时BQ+BC+CP＞12，不符合题意；③当6＜t≤12时，点P、Q都在AC上，PQ＜AC＝10，10＜12，不符合题意；④当9＜t≤12时，点P在AB上，点Q在AC上，则AP＝2t﹣18，AQ＝t﹣6，AP+AQ＝3t﹣24， ∴3t﹣24＝12，解得t＝12，如图所示，此时点P刚好回到点B．综上所述，当t为4或12时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． （来源：2026春•惠城区期中） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2024_八上_9月 月考（2026~2027学年） 北师大版2024_八上_9月 月考 北师大版（2024）八年级上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）下列二次根式：，，，，2，，其中，最简二次根式的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解答】解： ∵：=x2；=；=；=2， ∴，，，，不是最简二次根式，，2，是最简二次根式，共3个，故选：C． （来源：2025春•巨野县期末） 2．（3分）在根式①②③④中，最简二次根式是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【解答】解：①是最简二次根式；②=，被开方数含分母，不是最简二次根式；③是最简二次根式；④=3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．①③是最简二次根式，故选C． （来源：2025春•饶平县期中） 3．（3分）下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②实数分为正实数和负实数；③立方根等于它本身的数是±1和0；④无理数都是无限小数；⑤平方根等于本身的数是1和0．正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故说法正确；②实数分为正实数、负实数和零，故说法错误；③立方根等于它本身的数有﹣1，0和1，故说法正确；④无理数是开方开不尽的数，即无理数是无限不循环小数，也是无限小数，故说法正确；⑤算术平方根等于本身的数是1和0，故说法错误；故选：C． （来源：2020秋•南山区校级期中） 4．（3分）在实数、、0、、3.1415、、4.21、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【解答】解：=-1，=4，故在实数、、0、、3.1415、、4.21、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数有、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个），共3个．故选：A． （来源：2023春•万秀区期末） 5．（3分）对于有理数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}=，且a和b为两个连续正整数，则ab﹣（）2的立方根为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【答案】A 【解答】解： ∵min{，a}＝a，min{，b}=， ∴a＜＜b， ∵5＜＜6，且a和b为两个连续正整数， ∴a＝5，b＝6， ∴ab﹣（）2＝5×6﹣31＝﹣1， ∴ab﹣（）2的立方根为﹣1．故选：A． （来源：2023秋•肥城市期末） 6．（3分）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 【答案】C 【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合， ∴BE＝ED． ∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE． ∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2， ∴32+AE2＝（9﹣AE）2，解得AE＝4． ∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）．故选：C． （来源：2025春•庆云县期末） 7．（3分）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1，以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3，如此继续，则A8B8的长为（　　） A．-1 B． C．+1 D．2- 【答案】A 【解答】解：A1B1=2-，则A2：2+2-=4-， ∵2＜4-＜3， ∴B2表示的数为3， ∴A2B2=-1，同理可得A3B3=2-；A4B4=-1；A5B5=2-；A6B6=-1；A7B7=2-；A8B8=-1，故选：A． （来源：2026春•黄山期末） 8．（3分）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n﹣1），所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是．故选：C． （来源：2023秋•萧县期末） 9．（3分）的立方根是 ． 【答案】2 【解答】解：=8， ∵23＝8， ∴的立方根是2，故答案为：2． （来源：2023秋•博山区期末） 10．（3分）在实数，，3.14159，中，是无理数的是 ． 【答案】33 【解答】解：=2，故在实数，，3.14159，中，是无理数的是．故答案为：． （来源：2025春•凌源市期末） 11．（3分）计算：×= ． 【答案】6 【解答】解：×== ＝6，故答案为：6． （来源：2023•恩施州） 12．（3分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm． 【答案】见解析 【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB＝4cm，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD==5cm； ∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；故橡皮筋被拉长了2cm． （来源：2025春•新化县期末） 13．（3分）如图，用两个面积为3cm2的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，则以数轴上表示1的点A为圆心，以大正方形的边长为半径画弧，与数轴的交点表示的实数是 ． 【答案】1+6，1-6 【解答】解： ∵两个面积为3cm2的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为6cm2，边长为 cm，表示1的点A为圆心，向左向右移单位， ∴数轴的交点表示的实数是1+，1-．故答案为：1+，1-． （来源：2022春•费县期末） 14．（3分）的算术平方根是 ． 【答案】3 【解答】解： ∵=9， ∴的算术平方根是3．故答案为：3． （来源：2025•高青县一模） 15．（3分）如图，在长方形内有两个相邻的正方形A，B，正方形A的面积为2，正方形B的面积为4，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】22-2 【解答】解：设两个正方形A，B的边长是x、y（x＜y），则x2＝2，y2＝4，x=，y＝2，则阴影部分的面积是（y﹣x）x＝（2-）×=2-2，故答案为：2-2． （来源：2025春•黄石港区校级期末） 16．（3分）新定义：在一个三角形中，若一个内角与另一个内角的2倍的和等于90°，我们称这个三角形为“奋进三角形”．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为BC上一个动点，若△APB为“奋进三角形”，则CP的长度为 ． 【答案】94或32 【解答】解： ∵∠APB＞∠C， ∴∠APB＞90°，①当2∠B+∠BAP＝90°时，如图，在AB上取一点D，连接DP，使得DP＝DB，过点D作DE⊥BC于点E， ∴BP＝2BE，∠DPB＝∠B， ∴∠ADP＝∠DPB+∠B＝2∠B， ∴∠ADP+∠BAP＝90°， ∴∠APD＝90°， ∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°， ∴AB==5， ∴cosB==， ∴cosB==，设BE＝4x，BD＝PD＝5x， ∴AD＝5﹣5x，BP＝8x， ∴PC＝BC﹣BP＝4﹣8x， ∴AP2＝AD2﹣PD2＝AC2+CP2， ∴（5﹣5x）2﹣（5x）2＝32+（4﹣8x）2，解得x=或x＝0（舍去）， ∴PC=4-8×=；②当2∠BAP+∠B＝90°时，如图所示， ∵∠BAC+∠B＝90°， ∴∠BAC＝2∠BAP， ∴AP平分∠BAC，过点P作PH⊥AB于H，则PH＝PC，设BP＝5m，则PH＝CP＝4﹣5m， ∵sinB===， ∴PH=PB=3m， ∴4﹣5m＝3m， ∴m=， ∴CP=4-5×=；综上所述，CP的长为或，故答案为：或． （来源：2026•郑州二模） 17．（6分）计算： （1）×(-)÷； （2）⋅(÷2)． 【答案】见解析 【解答】解： （1）原式=-×2××4÷=-×2××4× ＝﹣4＝﹣4×＝﹣3； （2）原式=••= = =． （来源：2024春•马尾区校级月考） 18．（6分）计算： （1）+|-3|﹣（π﹣2）0； （2）+-（-1）2． 【答案】见解析 【解答】解： （1）+|-3|﹣（π﹣2）0＝2+3--1＝4-； （2）+-（-1）2．=3+-（3-2）=3+-3+2． （来源：2021秋•青羊区期末） 19．（6分）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A，B两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得A，B间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C，使点C能直接到达点A和点B，在AB的延长线上取一点D，使得BD＝12米．经测量AC＝34米，CD＝16米，CB＝20米． （1）求证：∠BDC＝90°； （2）请你计算点A，B之间的距离． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵BD＝12米，CD＝16米，CB＝20米， ∴BD2+CD2＝122+162＝144+256＝400，CB2＝202＝400， ∴BD2+CD2＝CB2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°； （2）解：由（1）得△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°，又 ∵AC＝34米， ∴AD===30米， ∴AB＝AD﹣BD＝18米，答：点A、B之间的距离为18米． （来源：2026春•于都县期末） 20．（6分）如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D是格点． （1）求四边形ABCD的周长和面积； （2）判断∠BCD是否为直角？并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）根据勾股定理得：AB==，BC==2，CD==，AD==， ∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD=+2++=+3+，四边形ABCD的面积＝5×5-×5×1-×4×2-×2×1-×4×1﹣1×1＝14.5； （2）∠BCD是直角，理由如下：如图，连接BD，由（1）可知，BC＝2，CD=，由勾股定理得：BD==5， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD是直角． （来源：2026春•海淀区校级期中） 21．（6分）如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，测得AC＝80cm，BC＝60cm． （1）若∠ACB＝90°，求AB的长； （2）为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得∠CAB＝30°，求此时AB的长度． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝80cm，BC＝60cm，由勾股定理得：AB===100（cm），答：AB的长为100cm； （2）如图，过点C作CG⊥AB于点G， ∵CG⊥AB，∠CAB＝30°，AC＝80cm，BC＝60cm， ∴CG=AC＝40cm，在直角三角形ACG中，由勾股定理得：AG===40（cm），在直角三角形BCG中，由勾股定理得：BG===20（cm）， ∴AB＝AG+BG＝（40+20）cm，答：此时AB的长为(40+20)cm． （来源：2026•鲁山县开学） 22．（6分）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域． （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【答案】见解析 【解答】解： （1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． ∴AC×BC＝CD×AB， ∴150×200＝250×CD， ∴CD==120（m）， ∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响． （2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校， ∵ED===50（m）， ∴EF＝100（m）， ∵环卫车的行驶速度为每分钟50米， ∴100÷50＝2（分钟），即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟． （来源：2026春•盂县期末） 23．（8分）若最简二次根式与是同类二次根式． （1）求a的平方根； （2）对于任意的正实数m和n，我们定义新运算：m*n=．求（a*2）×（18*45）的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由同类二次根式定义可知：2a﹣3＝12﹣a， ∴a＝5， ∴a的平方根为±； （2）由条件可知（a*2）×（18*45）＝（5*2）×（18*45）=(-)×(+) =(-)×(3+3) =3(-)×(+) ＝3×（5﹣2）＝9． （来源：2026春•江津区期末） 24．（8分）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式+的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．【模型应用】 （1）代数式+的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式+的最小值；【模型拓展】 （3）已知正数x满足+=17，求x的值． 【答案】13 【解答】解： （1） ∵AH＝3+2＝5，HD＝12， ∴AD==13， ∴代数式+的最小值是13，故答案为：13； （2） ∵AC＝2，DF＝1，CF＝5，AH＝2+1＝3，HD＝5， ∴AD==， ∴代数式+的最小值是； （3）构造△ABC，CD⊥BC于点D，AC＝8，BC＝15，如图，设CD＝x，则AD=，BD=， ∴AB=+=17， ∵82+152＝172， ∴∠ACB＝90°， ∴×8×15=×17×x， ∴x=． （来源：2026春•分宜县期中） 25．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B的方向运动，且速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A的方向运动，且速度为2cm/s，P，Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动的时间为t秒． （1）BP＝ cm（用含t的代数式表示）； （2）当点Q在边BC上运动时，若△PQB是等腰三角形，求出此时t的值； （3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，求出此时t的值． 【答案】（16﹣t） 【解答】解： （1） ∵点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒， ∴AP＝tcm， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案为：（16﹣t）； （2）点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒，当点Q在边BC上运动， ∴BQ＝2t， ∵△PQB为等腰三角形时，BP＝BQ， ∴16﹣t＝2t，解得：t=， ∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形； （3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1，则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10cm， ∴BC+CQ＝22cm， ∴t＝22÷2＝11（秒）；②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2，则BC+CQ＝24cm， ∴t＝24÷2＝12（秒）；综上所述：t为11秒或12秒． （来源：2025秋•潜江期末） 26．（10分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+(a-b)2，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程． 【答案】见解析 【解答】解： （1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）=a2+ab+b2，也可以表示为ab+ab+c2， ∴ab+ab+c2=a2+ab+b2，即a2+b2＝c2； （2）设AB＝AC＝x千米， ∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米，在Rt△ACH中，根据勾股定理得：CA2＝CH2+AH2， ∴x2＝0.82+（x﹣0.6）2，解得x≈0.83，即CA≈0.83千米， ∴CA﹣CH≈0.83﹣0.8≈0.03（千米），答：新路CH比原路CA少约0.03千米； （3） ∵AH＝x， ∴BH＝AB﹣AH＝21﹣x， ∵CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，根据勾股定理：在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2， ∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，即102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2，解得：x＝6， ∴AH＝6， ∴CH===8． （来源：2026春•江阳区校级期中） 27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒． （1）证明：△ABC是直角三角形； （2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求t的值； （3）另有一动点Q，从点B开始，按顺时针方向走一圈回到点B，且速度为1cm/s．若P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，则： ∵在△ABC中，AB2+BC2＝62+82＝36+64＝100，AC2＝102＝100， ∴AB2+BC2＝AC2，△ABC是直角三角形； （2）①若点P在BC上，则BP＝2t，AB＝BP， ∴6＝2t，t＝3；②若点P在AC上，则CP＝2t﹣8，AP＝AC﹣CP＝18﹣2t，（i）当AB＝AP时，6＝18﹣2t，t＝6；（ii）当AB＝BP时，作BD⊥AC于点D，则S△ABC=AB⋅BC=AC⋅BD， BD==， ∴AD==，AP=2AD=， ∴=18-2t，解得t=．综上所述，当t＝3或t=或t＝6时，△ABP是以AB为腰的等腰三角形． （3） ∵△ABC的周长为AB+BC+AC＝24cm，24÷2＝12．①当0≤t≤4时，点P在BC上，点Q在AB上，则BP＝2t，BQ＝t，BP+BQ＝3t， ∴3t＝12，解得t＝4，如图所示，此时点P刚好运动到点C；②当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AB上，由①得，此时BQ+BC+CP＞12，不符合题意；③当6＜t≤12时，点P、Q都在AC上，PQ＜AC＝10，10＜12，不符合题意；④当9＜t≤12时，点P在AB上，点Q在AC上，则AP＝2t﹣18，AQ＝t﹣6，AP+AQ＝3t﹣24， ∴3t﹣24＝12，解得t＝12，如图所示，此时点P刚好回到点B．综上所述，当t为4或12时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． （来源：2026春•惠城区期中） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2024_八上_9月 月考（2026~2027学年） 北师大版2024_八上_9月 月考 北师大版（2024）八年级上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列二次根式：，，，，2，，其中，最简二次根式的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（3分）在根式①②③④中，最简二次根式是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 3．（3分）下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②实数分为正实数和负实数；③立方根等于它本身的数是±1和0；④无理数都是无限小数；⑤平方根等于本身的数是1和0．正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（3分）在实数、、0、、3.1415、、4.21、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（3分）对于有理数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}=，且a和b为两个连续正整数，则ab﹣（）2的立方根为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 6．（3分）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 7．（3分）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1，以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3，如此继续，则A8B8的长为（　　） A．-1 B． C．+1 D．2- 8．（3分）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）的立方根是 　　　　 ． 10．（3分）在实数，，3.14159，中，是无理数的是 　　　　 ． 11．（3分）计算：×=　　　　 ． 12．（3分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 　　　　 cm． 13．（3分）如图，用两个面积为3cm2的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，则以数轴上表示1的点A为圆心，以大正方形的边长为半径画弧，与数轴的交点表示的实数是 　　　　 ． 14．（3分）的算术平方根是 　　　　 ． 15．（3分）如图，在长方形内有两个相邻的正方形A，B，正方形A的面积为2，正方形B的面积为4，则图中阴影部分的面积是 　　　　 ． 16．（3分）新定义：在一个三角形中，若一个内角与另一个内角的2倍的和等于90°，我们称这个三角形为“奋进三角形”．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为BC上一个动点，若△APB为“奋进三角形”，则CP的长度为　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）计算： （1）×(-)÷； （2）⋅(÷2)． 18．（6分）计算： （1）+|-3|﹣（π﹣2）0； （2）+-（-1）2． 19．（6分）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A，B两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得A，B间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C，使点C能直接到达点A和点B，在AB的延长线上取一点D，使得BD＝12米．经测量AC＝34米，CD＝16米，CB＝20米． （1）求证：∠BDC＝90°； （2）请你计算点A，B之间的距离． 20．（6分）如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D是格点． （1）求四边形ABCD的周长和面积； （2）判断∠BCD是否为直角？并说明理由． 21．（6分）如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，测得AC＝80cm，BC＝60cm． （1）若∠ACB＝90°，求AB的长； （2）为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得∠CAB＝30°，求此时AB的长度． 22．（6分）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域． （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 23．（8分）若最简二次根式与是同类二次根式． （1）求a的平方根； （2）对于任意的正实数m和n，我们定义新运算：m*n=．求（a*2）×（18*45）值． 24．（8分）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式+的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．【模型应用】 （1）代数式+的最小值为　　　　 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式+的最小值；【模型拓展】 （3）已知正数x满足+=17，求x的值． 25．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B的方向运动，且速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A的方向运动，且速度为2cm/s，P，Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动的时间为t秒． （1）BP＝　　　　 cm（用含t的代数式表示）； （2）当点Q在边BC上运动时，若△PQB是等腰三角形，求出此时t的值； （3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，求出此时t的值． 26．（10分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+(a-b)2，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考：在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程． 27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒． （1）证明：△ABC是直角三角形； （2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求t的值； （3）另有一动点Q，从点B开始，按顺时针方向走一圈回到点B，且速度为1cm/s．若P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2024_八上_9月 月考（2026~2027学年） 北师大版2024_八上_9月 月考 北师大版（2024）八年级上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2024_八上_9月 月考（2026~2027学年） 北师大版2024_八上_9月 月考 北师大版（2024）八年级上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2024_八上_9月 月考（2026~2027学年） 北师大版2024_八上_9月 月考 北师大版（2024）八年级上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列二次根式：，，，，2，，其中，最简二次根式的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（3分）在根式①②③④中，最简二次根式是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 3．（3分）下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②实数分为正实数和负实数；③立方根等于它本身的数是±1和0；④无理数都是无限小数；⑤平方根等于本身的数是1和0．正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（3分）在实数、、0、、3.1415、、4.21、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（3分）对于有理数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}=，且a和b为两个连续正整数，则ab﹣（）2的立方根为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 6．（3分）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 7．（3分）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1，以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3，如此继续，则A8B8的长为（　　） A．-1 B． C．+1 D．2- 8．（3分）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）的立方根是 　　　　 ． 10．（3分）在实数，，3.14159，中，是无理数的是 　　　　 ． 11．（3分）计算：×=　　　　 ． 12．（3分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 　　　　 cm． 13．（3分）如图，用两个面积为3cm2的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，则以数轴上表示1的点A为圆心，以大正方形的边长为半径画弧，与数轴的交点表示的实数是 　　　　 ． 14．（3分）的算术平方根是 　　　　 ． 15．（3分）如图，在长方形内有两个相邻的正方形A，B，正方形A的面积为2，正方形B的面积为4，则图中阴影部分的面积是 　　　　 ． 16．（3分）新定义：在一个三角形中，若一个内角与另一个内角的2倍的和等于90°，我们称这个三角形为“奋进三角形”．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为BC上一个动点，若△APB为“奋进三角形”，则CP的长度为　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）计算： （1）×(-)÷； （2）⋅(÷2)． 18．（6分）计算： （1）+|-3|﹣（π﹣2）0； （2）+-（-1）2． 19．（6分）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A，B两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得A，B间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C，使点C能直接到达点A和点B，在AB的延长线上取一点D，使得BD＝12米．经测量AC＝34米，CD＝16米，CB＝20米． （1）求证：∠BDC＝90°； （2）请你计算点A，B之间的距离． 20．（6分）如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D是格点． （1）求四边形ABCD的周长和面积； （2）判断∠BCD是否为直角？并说明理由． 21．（6分）如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，测得AC＝80cm，BC＝60cm． （1）若∠ACB＝90°，求AB的长； （2）为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得∠CAB＝30°，求此时AB的长度． 22．（6分）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域． （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 23．（8分）若最简二次根式与是同类二次根式． （1）求a的平方根； （2）对于任意的正实数m和n，我们定义新运算：m*n=．求（a*2）×（18*45）值． 24．（8分）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式+的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．【模型应用】 （1）代数式+的最小值为　　　　 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式+的最小值；【模型拓展】 （3）已知正数x满足+=17，求x的值． 25．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B的方向运动，且速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A的方向运动，且速度为2cm/s，P，Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动的时间为t秒． （1）BP＝　　　　 cm（用含t的代数式表示）； （2）当点Q在边BC上运动时，若△PQB是等腰三角形，求出此时t的值； （3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，求出此时t的值． 26．（10分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+(a-b)2，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考：在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程． 27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒． （1）证明：△ABC是直角三角形； （2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求t的值； （3）另有一动点Q，从点B开始，按顺时针方向走一圈回到点B，且速度为1cm/s．若P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $