精品解析：吉林省第二实验朝阳学校2026-2027学年上学期九年级第一阶段学情检测数学试题

吉林省第二实验朝阳学校九年级第一阶段学情检测 本卷满分120分 答题时间120分钟 一、选择题．（每题3分，共24分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】减去一个数等于加上这个数的相反数，可以转化为，两个负数相加，把数字 4 和 5 相加得 9，结果符号取负，答案是． 【详解】解： 故选：B． 2. 若是某不等式的解，则该不等式不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、因为，，不等式成立，所以A不符合题意； B、因为，，不等式成立，所以B不符合题意； C、因为，，不等式成立，所以C不符合题意； D、因为，，不等式不成立，所以D符合题意． 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将各个二次根式化简，再看被开方数即可得出答案． 【详解】解：因为，，，， 所以与是同类二次根式， 故选：B． 【点睛】本题考查了同类二次根式、二次根式的化简，熟记同类二次根式的定义是解题关键． 4. 如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，最后根据即可求出． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵是的弦，半径， ∴， ∴， ∴． 5. 黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出关于的函数关系式． 【详解】解：该地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作， 第二天销售额为万元，第三天销售额为万元． 根据题意得：． 故选：D． 6. 如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定义可知，两边同时乘以可得米，所以小旺下降的高度为米． 【详解】解：如下图所示， 在中，，，米， ， ， 米， 小旺下降的高度为米． 7. 已知二次函数（）的部分图象如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质判断各选项即可. 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交点在负半轴，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴，， ∴A、B选项不符合题意； ∵由图象可知，当时，， ∴， 把代入得， ∴C选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴当时，， ∴， ∴D选项符合题意． 8. 如图，第一象限的角平分线与反比例函数的图象交于点．点、点分别在轴和轴的正半轴上，分别连接、，若，且四边形的面积为．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴，轴，可证四边形是正方形、，根据全等三角形的性质可知，根据正方形的面积公式可以求出点的坐标为，用待定系数法求出反比例函数的解析式，即可得到的值． 【详解】解：如下图所示，过点作轴，轴， ， 四边形是矩形， ∴， ， 是第一象限的角平分线， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 点的坐标为， 代入反比例函数的解析式， 可得：， ． 二、填空题．（每题3分，共18分） 9. 某高山山下的温度为，记为，山顶的温度为零下，记为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据零上温度用正数表示，零下温度用负数表示，即可求解． 【详解】解：∵零上温度记为正，零下温度记为负， ∴零下记为． 10. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根，可得，列出不等式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 11. 若点都在二次函数的图象上，则________．（用“＞”或“＜”填空） 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，通过计算二次函数在和处的函数值，比较和的大小． 【详解】解：对于点，代入函数得； 对于点，代入函数得， 由于，因此． 故答案为：＜． 12. 将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解决此题的关键．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位长度，得； 再向上平移5个单位长度，得， 故答案为：． 13. 如图，二次函数的图象经过原点，正方形的边在轴上，顶点在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，正方形的性质，求一次函数的函数值，先求出点A的坐标，进而根据正方形的性质可得点B的横坐标，可证明点B与点C关于y轴对称，则可求出点C的坐标，进而可求出对应的函数解析式． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴点B的横坐标为， ∵在轴上， ∴轴， ∵点B和点C在二次函数图象上，且二次函数的对称轴为y轴， ∴点B和点C关于y轴对称， ∴点C的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， 设二次函数解析式为，则， ∴， ∴二次函数解析式为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，延长至点M，使得，连结并延长，交的延长线于点N，现给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则．上述结论中，正确结论的序号有_____________． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】根据，即可证明，得出①正确；结合，得出，根据等腰三角形的性质得出，设，则，结合，得出，根据和三角形内角和得出，根据同角的余角相等得出，结合，即可得出，得出③正确；根据，得出，即可证明，根据，得出，，不能证明与全等，故②错误；根据，且，得到不可能相似，故④错误，当时，结合，得出，即可得，，证出，结合和，即可得，故⑤正确； 【详解】解：∵在中，， ∴，故①正确； ， ， ， ， 设，则， ∵， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 与不能证明全等，故②错误； ∵，且， 故不可能相似，故④错误； 当时， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ，， ∴，故⑤正确； 综上分析可知，正确的有①③⑤． 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角形面积的计算，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 三、解答题．（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ， 当时，原式． 16. 已知抛物线的表达式为． （1）用配方法求该抛物线顶点的坐标； （2）点是抛物线上一点，且当时，随的增大而减小，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用配方法的步骤进行配方得出顶点式，即可写出顶点坐标； （2）先将点代入抛物线表达式求出，然后求出对称轴，再结合二次函数的性质即可求解的取值范围，即可进行舍去不合适的值即可． 【小问1详解】 解：， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵点是抛物线上一点， ∴， 解得或 ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∴． 17. 如图，在中，平分交于点，过点分别作交于点，交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质推出，则；再证明四边形是平行四边形，即可证明平行四边形是菱形． 【详解】略 18. 如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为，试解答下列问题： （1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式. （2）这次跳投时，球出手处离地面多高？ 【答案】（1）；（2）这次跳投时，球出手处离地面. 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值； （2）设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=-0.2x2+3.5，当x=-2，5时，即可求得结论． 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数关系式为. ∵篮圈中心在抛物线上，将它的坐标代入上式，得， ∴， ∴ （2）设这次跳投时，球出手处离地面， 因为（1）中求得， ∴当时， . ∴这次跳投时，球出手处离地面. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键． 19. 如图，为的直径，的顶点，在上，边经过点，连接，，且． （1）求证：与相切； （2）若，则的值为_____． 【答案】（1）证明：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 又∵为的半径， ∴与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理和已知条件可推出，则可证明，推出，据此得证； （2）连接，证明是等边三角形，得到，则，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题： （1）在图1中，画出格点C，使得． （2）在图2中，在上找点E，使得． （3）在图3中，在线段上找一点F，使得． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，点E即为所求； （3） 如图，点F即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理判断长度，继而求解即可； （2）取格点P，Q，并连接，交于点E，利用相似三角形的性质即可求解； （3）取格点C，连接，构造直角三角形，再连接，根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了作图-应用与设计，勾股定理的应用，相似三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 某特产水果连锁店销售枇杷，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该枇杷的日销售量y（千克）与售价x（元/千克）的函数图象如图所示． （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； （2）当该枇杷的售价为多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当该枇杷的售价为50元/千克时，日销售利润最大，最大利润为1800元 【解析】 【分析】（1）将点与点代入函数解析式求解即可； （2）先表示出日销售利润与售价x之间的函数关系式，再由二次函数的最值求解即可． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为， ∵点与点在函数图象上， ∴， 解得， ∴y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设该枇杷的售价为a元/千克时，日销售利润为w元， 根据题意得， ∵，函数图象开口向下， ∴当时，w有最大值，最大值为1800元， 答：当该枇杷的售价为50元/千克时，日销售利润最大，最大利润为1800元． 22. 【感知特例】 （1）如图1，点在直线上，，垂足分别为，点在线段上，且，垂足为． 结论： （请将下列证明过程补充完整） 证明：∵ ∴， ∴，， ∴___________，（同角的余角相等） ∴∽，（两角分别相等的两个三角形相似） ∴___________，（相似三角形的对应边成比例） 即． 【建构模型】 （2）如图2，点在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在中，，点和点分别是线段上的动点，始终满足．设长为，当___________时，有最大值是___________． 【答案】（1），；（2）成立，理由解析；（3）4， 【解析】 【分析】（1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求最大值即可． 【详解】证明：，，， ， ，， ，同角的余角相等 ∴，两角分别相等的两个三角形相似 ，相似三角形的对应边成比例 即． 故答案为：；； （2）成立，理由如下： ∵， 又， ∴， ∴， ， 即． （3）∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵长为，则， ∴， 解得： ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：4，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 23. 如图，在中，，，，为边上一动点(不与点重合)，过点作于，以为边向右作正方形． （1）___________； （2）当时，求的长； （3）当落在上时，求的长； （4）当到的距离等于到的距离的一半时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）或． 【解析】 【分析】（）由勾股定理得，然后通过即可求解； （）由四边形是正方形，则，所以，由（）得，，即，求出即可； （）由四边形是正方形，则，，即，，所以，，则有，设，，则，通过勾股定理得，然后代入，求出即可； （）分当在内部时，当在外部时两种情况，再通过解直角三角形，勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由（）得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当落在上， ∵四边形是正方形， ∴，，即，， ∴，， ∴， 由（）得，，， ∴， 设，，则， ∴， ∴，解得：， ∴； 【小问4详解】 解：如图，当在内部时，过作于点，作于点，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， 由（）得，，， ∴， 设，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵到的距离等于到的距离的一半，即， ∴， 解得：， ∴， 如图，当在外部时，过作于点，作于点，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， 由（）得，，， ∴， 设，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵到的距离等于到的距离的一半，即， ∴， 解得：， ∴， 综上可得：的长为或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，抛物线与x轴正半轴交于点B，点C是抛物线上一动点，点C的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）求点B的坐标； （3）设抛物线在B、C两点之间的部分（含B、C两点）为图象G，当图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为4，求m的值； （4）记时，二次函数的最大值与最小值之差为．若点C在点A，B之间运动（含点A，B），求的最小值． 【答案】（1）； （2）点B的坐标为； （3）m的值为或； （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可； （2）令，得出，结合题意即可得出点B的坐标； （3）设，然后分两种情况分析：①当时，图象G在对称轴右侧，y随x增大而增大；②当时，结合题意，计算最高点和最低点的值即可； （4）根据题意得出对称轴为在内，确定，然后求出当时，，当时，，分情况比较函数值的大小，得出当时，，当时，，结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得： ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，得， 解得， ∵点B在x轴正半轴上， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：由（1）知抛物线解析式为，对称轴为直线，顶点为， 由（2）知， 设， ①当时，图象G在对称轴右侧，y随x增大而增大， 最高点为C，最低点为B， ， 解得， ， ； ②当时， 若，最高点为B，最低点为C， ∴，即 ∵， ∴该方没有实数根，不符合题意，舍去； 若，最高点为C，最低点为顶点， ∴， 解得(舍去)或； 若，最高点为B，最低点为顶点， 由于，此情况不符合题意，舍去； 综上所述，m的值为或； 【小问4详解】 解：由（1）知抛物线解析式为，对称轴为直线，顶点为， ∵，设，点C在点A，B之间运动（含点A，B）， ∴， ∴， ∴对称轴在内， ∴， 当时，， 当时，， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∴最大值为， ∴， 对应函数图象开口向上，对称轴为直线，在上y随x的增大而减小， ∴最小值在处取得，即； 当时，， ∴， ∴最大值为， ∴， 对应函数图象开口向上，对称轴为直线，在上y随x的增大而增大， ∴最小值在处取得，即； ∴当时，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省第二实验朝阳学校九年级第一阶段学情检测 本卷满分120分 答题时间120分钟 一、选择题．（每题3分，共24分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 9 2. 若是某不等式的解，则该不等式不可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 5. 黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知二次函数（）的部分图象如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，第一象限的角平分线与反比例函数的图象交于点．点、点分别在轴和轴的正半轴上，分别连接、，若，且四边形的面积为．则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（每题3分，共18分） 9. 某高山山下的温度为，记为，山顶的温度为零下，记为_____． 10. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是_____． 11. 若点都在二次函数的图象上，则________．（用“＞”或“＜”填空） 12. 将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为___________． 13. 如图，二次函数的图象经过原点，正方形的边在轴上，顶点在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为___________． 14. 如图，在中，，延长至点M，使得，连结并延长，交的延长线于点N，现给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则．上述结论中，正确结论的序号有_____________． 三、解答题．（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 已知抛物线的表达式为． （1）用配方法求该抛物线顶点的坐标； （2）点是抛物线上一点，且当时，随的增大而减小，求的值． 17. 如图，在中，平分交于点，过点分别作交于点，交于点．求证：四边形是菱形． 18. 如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为，试解答下列问题： （1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式. （2）这次跳投时，球出手处离地面多高？ 19. 如图，为的直径，的顶点，在上，边经过点，连接，，且． （1）求证：与相切； （2）若，则的值为_____． 20. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题： （1）在图1中，画出格点C，使得． （2）在图2中，在上找点E，使得． （3）在图3中，在线段上找一点F，使得． 21. 某特产水果连锁店销售枇杷，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该枇杷的日销售量y（千克）与售价x（元/千克）的函数图象如图所示． （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； （2）当该枇杷的售价为多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润为多少元？ 22. 【感知特例】 （1）如图1，点在直线上，，垂足分别为，点在线段上，且，垂足为． 结论： （请将下列证明过程补充完整） 证明：∵ ∴， ∴，， ∴___________，（同角的余角相等） ∴∽，（两角分别相等的两个三角形相似） ∴___________，（相似三角形的对应边成比例） 即． 【建构模型】 （2）如图2，点在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在中，，点和点分别是线段上的动点，始终满足．设长为，当___________时，有最大值是___________． 23. 如图，在中，，，，为边上一动点(不与点重合)，过点作于，以为边向右作正方形． （1）___________； （2）当时，求的长； （3）当落在上时，求的长； （4）当到的距离等于到的距离的一半时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，抛物线与x轴正半轴交于点B，点C是抛物线上一动点，点C的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）求点B的坐标； （3）设抛物线在B、C两点之间的部分（含B、C两点）为图象G，当图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为4，求m的值； （4）记时，二次函数的最大值与最小值之差为．若点C在点A，B之间运动（含点A，B），求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $