26.4 实际问题与二次函数同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.4 实际问题与二次函数 第1课时 运动类及面积最值问题 基础练习 一、运动类最值问题 1.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ） A. B. C. D. 2.某种型号的中大型无人机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数解析式是，当无人机着陆后滑行________才能停下来. 3.我国是最早发明火箭的国家，制作火箭、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动.已知学校航模组织设计制作的火箭的升空高度与飞行时间的关系是，如果火箭在点火升空的最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多少时间降落伞将打开?这时火箭的高度是多少? 二、图形面积最值问题 4.如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形(铁丝正好全部用完且无损耗).设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为________，当________时，有最大值，为________. 5.如图，在两面围墙的角落(两面墙足够长)用篱笆围成一个矩形区域，假设篱笆(虚线部分)的长度是，这个矩形的面积最大值是________. 6.某校准备在教学楼旁边建一个矩形月季园，一边靠墙(墙长)，另外三边用木栅栏围成，已知木栅栏的总长为.当垂直于墙的边长为多少时，可围成的月季园面积最大?最大面积是多少? 中档练习 7.北师大附属实验校本经典题(教材新增习题变式)如图，用一根的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完.设框架的宽为. (1) 框架的长为________cm(用含的代数式表示). (2) 矩形框架面积的最大值为. 8.窜天猴，又称钻天猴或冲天炮，其特点在于火药燃烧后，能在尾部产生强大的气流，推动主体向上飞行，并在此过程中发出哨音.经研究发现，在摆放角度固定的情况下，窜天猴上升的高度与时间的函数解析式为.当发射时，窜天猴高度达到；当发射时，窜天猴高度达到. (1) 关于的函数解析式为________(不写自变量的取值范围). (2) 当发射________时，窜天猴达到最大高度，最大高度为________m. 9.如图所示，正方形的顶点在边长为2的正方形的边上.设，正方形的面积为. (1) 求关于的函数解析式. (2) 正方形有没有最小面积？若有，试确定点的位置；若没有，试说明理由. 综合练习 10.如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米.设的长为米，矩形菜园的面积为平方米. (1) 用含的代数式表示________米. (2) 若，求的值. (3) 如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门(无需篱笆)，当为何值时，取最大值?最大值为多少? 第2课时 利润最值问题 基础练习 一、简单销售问题中的利润问题 1.某种设备的销售利润(万元)与销售数量(万件)之间满足函数解析式，则最大利润为（ ） A.5万元 B.6万元 C.7万元 D.8万元 2.某种商品每件进价为20元，调查表明，在某段时间内若以每件元，且为整数)出售，可售出件.若要使利润最大，则每件商品的售价应为________元. 3.山东大枣皮薄、肉厚、味道甘甜，其种植历史悠久，不仅口感上乘，还具有丰富的营养价值.某特产超市打算销售小包山东大枣，进价为20元/件，经过市场调查发现，该产品的日销售量(件)与当天的销售单价(元)满足如图所示的一次函数关系. (1) 求与的函数解析式. (2) 求该产品每天获得的利润(元)的最大值. 二、“每……每……”销售利润问题 4.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.设每件商品涨元，销售利润为元，则可列函数为20).对所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是（ ） A.表示涨价后商品的单价 B.表示涨价后少售出商品的数量 C.表示涨价后售出商品的数量 D.表示涨价后商品的单价 5.旅行社定价问题(教材新增习题变式)某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团每增加1人，每人的单价就下降10元.设旅游团的人数是60)人，则每人的单价下降________元，每人的单价为________元，旅行社的营业额________.所以当旅游团的人数为________人时，旅行社的营业额最大，最大营业额为________元. 6.山东舰是中国第一艘完全自主设计的国产航空母舰.一家文创店购进某款山东舰军旅纪念品，进价为每件30元，如果以单价60元销售，每天可卖出20件.调查发现，该纪念品的销售单价每降价1元，日销售量就会增加2件.设该纪念品每件降低元，日销售利润为元. (1) 当的值为多少时，日销售利润保持不变? (2) 当的值为多少时，日销售利润最大?最大利润是多少元? 中档练习 7.鲁绣也称“衣线绣”，是中国八大名绣之一.生产某种鲁绣摆件需要1200元的固定成本(包含绣线、框架等基础物料成本)，在此基础上，每生产1件该种鲁绣摆件还需花费20元的手工制作费，预定单价为80元.由于批量生产后手工成本分摊变化，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的十二分之一.当产量为________件时，生产这种鲁绣摆件的利润最大，最大利润是________元. 8.春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量(张)与售价(元/张)之间满足一次函数关系80，且是整数)，部分数据如下表所示： (1) 请求出与之间的函数解析式. (2) 设该影院每天的利润(利润票房收入一运营成本)为元，求与之间的函数解析式. (3) 该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大?最大利润是多少? 综合练习 9.根据以下素材，探索完成任务. 如何设计麦秆画的销售方案 素材1： 麦秆画是一种历史悠久的传统工艺美术品，因其独特的艺术风格和精湛的制作工艺被誉为中华瑰宝.某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅. 素材2： 据调查，这种麦秆画的网上销售价格为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售单价每降低元，平均每天就可以多售出幅. 素材3： 这种麦秆画在实体店的销售价格定为60元/幅.据调查，该实体店的销售受网上影响，平均每天的销售量为幅. 问题解决： 任务1：确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润(元)关于(元)的函数解析式? 任务2：探究销售方案 若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为810元，则网上销售的价格应定为多少元? 任务3：拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价格是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大(总毛利润网上毛利润十实体店毛利润)?最大总毛利润是多少? 第3课时 实物抛物线形问题 基础练习 一、拱桥(隧道)类问题 1.我们知道，隧道的横截面近似抛物线形，它的底部宽约8米、高约6米.如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，在此基础上，该隧道横截面的抛物线的函数解析式为________. 2.如图，大桥的缆索具有抛物线形状，两端的索塔均与桥面垂直，且在桥面以上部分高度相同，即.缆索最低处的吊杆的长为，桥面上与点相距处的吊杆的长为. (1) 请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数解析式. (2) 求主桥的长. 二、物体运动类问题 3.射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中以内的昆虫.如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分(如图).在一次捕食时，射水鱼射出的水珠向上运动的高度与向前运动的水平距离的关系可以近似地表示为.一只昆虫位于射水鱼正前方高度处，射水鱼正好能捕食到这只昆虫，则该昆虫位于射水鱼正前方水平距离________处. 4.如图，一位篮球运动员在距离篮筐中心水平距离处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内.已知篮筐中心距离地面高度为，试解答下列问题： (1) 建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数解析式. (2) 这次跳投时，球出手处离地面多高? 中档练习 5.某大桥由三个抛物线形钢拱组成(如图1所示)，其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象，钢拱最高处点与路面的距离为50米.若以点为原点，所在的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，抛物线与轴相交于两点，且两点间的距离为80米.当钢拱最高处点与水面的距离为72米时，这条钢拱之间水面的宽度为________米. 6.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的.正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面. (1) 求出大孔抛物线的解析式. (2) 航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔?并说明理由. (3) 当水位上涨到刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为________m. 综合练习 7.根据以下信息，探索完成任务： 探索目的: 制作简易水流装置 信息1: 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，由将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形.以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处. 信息2: 圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为轴，为水流所在抛物线的顶点，点均在同一平面内. 问题解决: 任务一: 填空：的长度为________cm，该抛物线顶点坐标为(________，________) 任务二： 求水流所在抛物线的函数解析式 任务三： 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内?请通过计算说明理由(圆柱形水杯的厚度忽略不计) 答案 第1课时 1.B 2. 100 3解：由题意，得170，因此，火箭点火后降落伞将打开，这时火箭的高度是. 4. 6.解：设垂直于墙的边长为，与墙平行的一边为，矩形月季园的面积为，则当时，有最大值.因此，当垂直于墙的边长为时，可围成的月季园面积最大，最大面积是 7.(1) (2) 150 8.(1) (2) 4 90 9.解：(1) 四边形是正方形，四边形也是正方形，.在和中，.在Rt中， 有最小值.当时，取得最小值，此时点为的中点.因此，正方形有最小面积，此时点为的中点. 10.解：(1) 由题意，得，解得.当时，取最大值，为96平方米. 第2课时 1.C 2. 25 3.解：(1) 设与的函数解析式为.由题意，得解得 20)当时，有最大值，最大值为4000.该产品每天获得的利润的最大值为4000元. 4.A 6.解：(1) 由题意，得，整理，得，解得(舍去).答：当时，日销售利润保持不变. (2) 当时，有最大值，最大值为800.答：当时，日销售利润最大，最大利润为800元. 7.360 9600 8.解：(1) 设与之间的函数解析式是，由表格，得解得 与之间的函数解析式是，且是整数). (2) 由题意，得324)，即与之间的函数解析式是，且是整数).(3) 由(2) 知，，且是整数，当或41时，取得最大值，此时.答：该影院将电影票售价定为40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元. 9.解：任务1：. 任务2：当时，，整理，得，解得或(不符合题意，舍去).网上销售的价格应定为(元/幅). 任务3：设该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润为元，则当时，的值最大，最大值为4440.此时网上销售价格为(元/幅). 答：当这种麦秆画的网上销售价格是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元. 第3课时 1. 2.解：(1) 建立平面直角坐标系图略(建系方式不唯一).由题意，得.设抛物线的解析式为.将点代入解析式，得，解得抛物线的解析式为. (2) 当时，，解得.答：主桥的长为. 3. 20 4.解：(1) 抛物线的顶点坐标为设抛物线的函数解析式为篮筐中心.代入解析式，得，解得3.5. (2) 当时，这次跳投时，球出手处离地面. 5. 96 6.解：(1) 建立平面直角坐标系图略(建系方式不唯一)，则.设大孔抛物线的解析式为6.把点代入解析式，得，解得大孔抛物线的解析式为. (2) 大孔抛物线的解析式为.当时，该巡逻船能安全通过大孔. (3) 10 7.解：任务一：36 5 36 任务二：该抛物线顶点坐标为设抛物线的解析式为，代入，得，解得抛物线的解析式为＋36. 任务三：水流不能流到圆柱形水杯内.理由如下：圆柱形水杯最左端到点的距离是，当时，水流不能流到圆柱形水杯内. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $