26.4实际问题与二次函数 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.4实际问题与二次函数 2026-2027学年人教版数学九年级上册 一、单选题 1．竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为，其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（    ） A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4秒 D．第6秒 2．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（    ） A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元 3．正方形的面积与边长的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 4．中国廊桥是桥梁与房屋的珠联璧合，代表着中国人的智慧和造艺，是世界文明宝库的一大奇观．如图，这是某座下方为抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离长为（　　） A．米 B．16米 C．米 D．米 5．某生态农业示范园实施精准灌溉，在灌溉主管道沿线安装移动喷头．如图，点为固定水位监测点，喷头从处沿直线管道移动．设为（单位：m）（），为（单位：），关于的函数图象如图所示，图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（    ） A． B． C．图象与轴交点的纵坐标为221 D．点在该函数图象上 6．小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（   ） A．14 B．11 C．6 D．3 7．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 8．一次聚会共有n个人参加，参加聚会的每两个人都握一次手，则所有人握手的总次数y与n满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔到的高山环境下，其叶片长度与海拔满足关系式：．若，则硬叶柳生长的海拔为_______． 10．我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下方法求得： 解： ∵，∴，∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下列问题，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，则当_____时，花园的面积最大是_____． 11．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是8米，跨度是16米，在线段上距离处6米的地方，桥的高度是___________米． 12．景区喷泉水柱如图建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 13．在2024年巴黎奥运会男子跳远决赛中，中国选手张溟鲲以8.07米的成绩获得亚洲第一，张溟鲲起跳后与地面的高度h（单位：m）与他起跳后的运动时间（单位：s）之间的关系式大致是，则张溟鲲从起跳到落地需要______s． 14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2021的坐标为____． 三、解答题 15．如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题：    (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由； (3)过点作轴的垂线，交于点，求的最大值． 16．小哲的姑妈经营一家花店.随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”.小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：    (1)如果在三月份出售这种植物，单株获利________元； (2)这种植物单株售价与月份的函数关系式为________. (3)求请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利单株售价单株成本） 17．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示： ___________，___________，___________． (2)写出关于的函数解析式及的取值范围． 18．如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．    (1)求证：； (2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式； (3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A C B A C 1．C 【分析】根据题中已知条件求出函数h＝at2+bt的对称轴t＝4，在t＝4s时，小球的高度最高． 【详解】解：由题意可知：小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等， 即4a+2b＝36a+6b， 解得b＝﹣8a， 函数h＝at2+bt的对称轴t＝﹣＝4， 故在t＝4s时，小球的高度最高， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，求出抛物线对称轴是解题关键． 2．D 【分析】将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润． 【详解】解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250 ∵－2＜0 故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250 即利润获得最多为1250元 故选：D． 【点睛】此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键． 3．B 【分析】根据正方形的面积公式可得：，这是一个二次函数，根据实际意义，图象应该在第一象限，即可得出答案． 【详解】解：由正方形的面积公式可得：， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 4．A 【分析】已知抛物线上距水面高为8米的E，F两点，可知E，F两点纵坐标为8，把代入抛物线解析式，可求E，F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求长． 【详解】解：由“在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯”，可知E，F两点纵坐标为8， 把代入得：， 解得， ∴由两点间距离公式得：（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，读懂题意，筛选信息是解题的关键． 5．C 【分析】根据垂线段最短，得到当垂直时，最小，结合，即当时，，构造直角三角形，勾股定理求出的长，进而求出和的值，待定系数法求出函数解析式，进行判断即可. 【详解】解：由题意，当垂直时，最小，此时； ∵图象过点， ∴当时，， 如图，构造直角三角形，其中，，，则， ∴， ∴，即； ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵图象经过和两点， ∴关于对称轴对称， ∴， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， ∴当时，，当时，， 故图象与轴交点的纵坐标为221，点不在该函数图象上； 综上：只有C选项正确. 6．B 【分析】首先由y=2x2-4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2-4x+8，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=3，所以可知杯子高度． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键． 7．A 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案． 【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图： ∴设抛物线解析式为：， ∵观察图形可知抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴当水位上涨时，即当时，有， ∴，， ∴水面的宽度为：． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查二次函数的应用，握手问题，正确列出二次函数表达式是解题的关键． 每个人与其他人握手次，但每次握手被计算两次，因此总次数为，即可解答． 【详解】解：∵ 每个人握手次， ∴ 初步计算总次数为， 但每次握手被两个人各计算一次， ∴ 实际握手次数， 即 ， 故选C． 9． 【分析】本题考查了二次函数的应用，将代入解析式，求得，即可求解． 【详解】解：依题意，当时， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 10． 5 【分析】根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值． 【详解】解：设，则，面积为， 由图可得：， ∵， ∴， 又∵且， ∴， ∴当时，y取得最大值，此时． 11． 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，建立合适的坐标系，求出相应的抛物线解析式．先建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将代入解析式求出相应的的值即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如右图所示， 由题意可得，点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 点在该抛物线上， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入，得：， 即线段上距离处6米的地方，桥的高度是米， 故答案为：． 12．米 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形通道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵通道宽为2米， ∴，即， ∵通道顶部到水柱的竖直距离均不小于2米， ∴，即， 即当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴通道顶端到地面的最大高度为（米）． 13．1 【分析】根据题目给出的运动方程，张溟鲲的跳远运动可以看作一个抛体运动，其运动方程是高度关于时间的二次函数，形式为．要求解张溟鲲从起跳到落地所需的时间，即求解当时，即抛体落地时的时间． 本题考查二次函数关系式，该题的关键在于理解抛体运动中高度关于时间的二次函数关系，并能熟练运用方程求解技巧．本题通过设定高度为零来求解时间，实际上是求抛体从起始点出发并最终回到起始点的总时间，即抛体的飞行时间．此题不仅考察了学生对物理概念的理解，也检验了其数学解题能力，特别是对方程求解的掌握． 【详解】将代入方程中，得到． 将方程简化，得到，进一步得到． 解得（起跳时刻，舍去），． 所以张溟鲲从起跳到落地需要的时间是1秒． 故答案为：1． 14．（-1011，10112） 【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y=x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2021的坐标． 【详解】解：∵A点坐标为（1，1）， ∴直线OA为y=x，A1（-1，1）， ∵A1A2∥OA， ∴直线A1A2为y=x+2， 解 得或， ∴A2（2，4）， ∴A3（-2，4）， ∵A3A4∥OA， ∴直线A3A4为y=x+6， 解， 得或， ∴A4（3，9）， ∴A5（-3，9） …， ∴A2021（-1011，10112）， 故答案为（-1011，10112）． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键． 15．(1) (2) 解：将代入，得：， ∴． ∵树高为4， ∴树的顶端的坐标为． 将代入，得：， ∴此时， ∴， ∴小球M能飞过这棵树； (3) 【分析】（1）根据题意可设抛物线的表达式为，再将代入，求出a的值，从而即可求出抛物线的表达式； （2）将代入，可求出B点坐标，从而可求出树的顶端的坐标为．再将代入，求出此时点M的坐标，再比较和即可得解； （3）联立，并求解，即可求出x的取值范围．过点M作轴于点F，交于点E．设，则，即得出，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为， ∴可设抛物线的表达式为． 由题意可知该抛物线过原点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）略 （3）联立， 解得：，． ∴． 如图，过点M作轴于点F，交于点E．    设，则， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴小球M在飞行的过程中离斜坡的最大高度是米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及两函数图象交点的求解方法，利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，难度适中．利用数形结合与方程的思想是解题的关键． 16．(1) (2) (3)5月销售这种多肉植物，单株获利最大 【分析】（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为（元），即可求解； （2）待定系数法求解析式即可求解； （3）待定系数法求得抛物线的表达式为：，根据单株获利单株售价单株成本得到新的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）从左图看，月份售价为元，从右图看，月份的成本为元， 则每株获利为（元）， （2）设直线的表达式为：， 把点、代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：； 故答案为：． （3）顶点为，设抛物线的表达式为： 将点代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为 设利润为，则 ∵ ∴当时，取得最大值， ∴5月销售这种多肉植物，单株获利最大． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 17．(1)，， (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）根据题意直接列式即可作答； （2）根据（1）中结果，结合三角形的面积公式即可作答． 【详解】（1）解：根据题意有：，， ∵，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴根据题意有：， ∵，， ∴， 故关于的函数解析式为． 18．(1) 证明：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) (3)当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小 【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可进行求证； （2）分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，根据题意可得，，然后可得，由（1）易得，则有，进而问题可求解； （3）由（2）和二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：    在等边中，，， ∴， ∴， 设的长为x，则，， ∴， ∴， 同理（1）可知， ∴， ∵的面积为y， ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； 即当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $