精品解析：黑龙江省绥化市望奎县四中联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026至2027学年度第一学期学期 初四年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数与二次函数在同一平面直角内坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 5. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 6. 抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数在范围内的最大值和最小值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 10或12 9. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 无实数根 10. 电影《南京照相馆》取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，自上映以来，全国票房连创佳绩.据不完全统计，某市一天的票房收入约为200万元，第三天的票房收入约为600万元，设票房收入每天平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 关于y轴对称 C. 有最高点 D. 顶点坐标为 12. 对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②；③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 13. 方程的解是______ 14. 已知△ABC的两条边分别是2和3，第三边长是方程x2－7x＋10＝0的一个根，则△ABC的周长为_________ 15. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 16. 若菱形的一条对角线长为8，边的长是方程的一个根，则该菱形的面积为_______． 17. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值等于______． 18. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 19. 若是关于x的二次函数，则m=_____ 20. 若点，在抛物线上，且，则a的取值范围为__________. 21. 若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 22. 如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为______________ 三、解答题（本大题共6小题，共54分） 23. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 24. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 25. 如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地（墙足够长），矩形面积随矩形的一边的长的变化而变化． （1）的长度为________，矩形场地的面积S为_______（用含x的代数式表示） （2）当x为多少时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少？ 26. 商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ （2）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达1500元？ （3）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达最大值？是多少？ 27. 如图，Rt△ABC中∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连结PQ，设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ为　　cm，PB为　　cm； （2）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 28. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026至2027学年度第一学期学期 初四年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2 ，（2）二次项系数不为 0 ，（3）是整式方程，（4）只含有一个未知数，熟练掌握一元二次方程必须满足的四个条件，是解题的关键． 根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A．不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意； B．当时，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程化简后为，是一元二次方程，符合题意； D．该方程不是整式方程，不符合题意； 故选：C． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可判断． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点的坐标求法，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中，轴上的点横坐标都为0． 要求抛物线与轴交点的坐标，根据轴上点的坐标特征，令抛物线方程中，求出对应的值，即可得到交点坐标． 【详解】将代入抛物线方程中，可得． 抛物线与轴交点的坐标为， 故选：A． 4. 一次函数与二次函数在同一平面直角内坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象综合判断．熟练掌握相关函数的性质，是解题的关键．根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由直线可知，，由抛物线可知：，故，不符合题意； B、由直线可知，，由抛物线可知：，故，符合题意； C、由直线可知，，由抛物线可知：，故，不符合题意； D、由直线可知，，由抛物线可知：，故不符合题意； 故选：B． 5. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的开口方向、与y轴的交点坐标、顶点坐标及增减性逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A、图象的开口向下，则错误，故不符合题意； B、当时，，则图象与y轴的交点坐标为，则错误，故不符合题意； C、图象的顶点坐标是，则错误，故不符合题意； D、图象的对称轴为：，当时，y随x的增大而减小，则正确，故符合题意； 故选：D． 6. 抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变换规律，熟练掌握二次函数图象平移变换规律是解题的关键．根据左加右减，上加下减的平移变换规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式为， 故选：C． 7. 二次函数在范围内的最大值和最小值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可知当时函数有最小值；分别求出当和时的函数值，通过比较求出最大值． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向上， 整理可得：， 当时函数有最小值； 当时，可得：， 当时，可得：， 二次函数在范围内的最大值和最小值分别是和． 8. 关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 10或12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 9. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根据定义运算将方程转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况． 【详解】由题意得方程，即 ． 整理得： 计算判别式： 由于，方程有两个不相等的实数根． 故选A． 10. 电影《南京照相馆》取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，自上映以来，全国票房连创佳绩.据不完全统计，某市一天的票房收入约为200万元，第三天的票房收入约为600万元，设票房收入每天平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．设票房的收入每天平均增长率为x，根据“某市一天的票房收入约为200万元，第三天的票房收入约为600万元”列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 故选：A． 11. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 关于y轴对称 C. 有最高点 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质．先把解析式化为顶点式，进而得到顶点坐标和对称轴，再由函数开口向上，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，有最低点，顶点坐标为， ∴四个选项中只有D选项说法正确，符合题意， 故选：D． 12. 对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②；③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断① ，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断② ，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③ ；根据时的函数值，结合，代入即可判断④ ，根据顶点坐标即可判断⑤ ，根据函数图象即可判断⑥ ． 【详解】解：① 由图象可知：， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故①正确； ② ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③ ∵对称轴为直线，则与的函数值相等， ∴当时，，故③错误； ④ 当时，， ∴，故④正确； ⑤ 当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥ 当时，y随的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是① ② ④ ⑤ ⑥ 共5个， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 13. 方程的解是______ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 通过移项将方程化为，再利用直接开平方法求解． 【详解】解： ， ， 因此，方程的解为，， 故答案为：，． 14. 已知△ABC的两条边分别是2和3，第三边长是方程x2－7x＋10＝0的一个根，则△ABC的周长为_________ 【答案】7 【解析】 【分析】先解方程，然后利用三角形三边关系确定三角形的第三边长，最后求三角形的周长. 【详解】解：解方程x2－7x＋10＝0得：（x-2）(x-5)=10 ∴ ∵2+3=5， ∴三角形第三边长为2 ∴△ABC的周长为2+2+3=7. 【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系，熟练掌握因式分解法解方程及三角形两边之和大于第三边是本题的解题关键. 15. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根， ∴m2+3m-1=0， ∴3m-1=-m2， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解． 16. 若菱形的一条对角线长为8，边的长是方程的一个根，则该菱形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元二次方程，求出的长度，再利用菱形的性质求出另一条对角线的长度，利用菱形的面积公式：对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解： ， 解得：； ∵菱形， ∴对角线互相垂直平分， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴另一条对角线长为：， ∴菱形的面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，正确的解出一元二次方程的根，结合菱形的性质，求出对角线的长度是解题的关键． 17. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据列出关于的方程解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 18. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 19. 若是关于x的二次函数，则m=_____ 【答案】2 【解析】 【分析】利用二次函数定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：得，且， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义：形如，、、为常数）的函数叫做二次函数． 20. 若点，在抛物线上，且，则a的取值范围为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握对称轴的特点，二次函数图象的性质等知识是解题的关键．由抛物线解析式得其对称轴为直线，再根据得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，进而可得关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵点，在抛物线上，且， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：. 21. 若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用开口向下的二次函数点离对称轴越远函数值越小的性质，通过比较两点到对称轴的距离比较大小． 【详解】解：二次函数中，，，根据对称轴公式得对称轴为， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，， ∴ ． 22. 如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题为二次函数与一次函数交点及动点周长最小值的问题．首先联立方程求、坐标；再利用“将军饮马”模型，作对称点求周长最小时点的位置；最后用割补法求三角形面积． 【详解】解：联立， 得， 解得 或 ，对应 或 ． 因此，． 的长固定，要使 周长最小，只需 最小． 作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时 最小．同时设 ． 在直角坐标系中，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ． 则 ，，，， 且 ，。 因为 、、 三点共线，所以 （对顶角），且 ， 故 ， 由相似比：， 即， 交叉相乘：， 所以 ． 设 ，，． 代入： ． 三、解答题（本大题共6小题，共54分） 23. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程； （3）用公式法解一元二次方程； （4）用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， 可得：或 方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， 可得：或， 方程的解为，； 【小问3详解】 解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； 【小问4详解】 解：， 移项可得：， 提取公因式可得：， 化简可得：， 可得：或， 方程的解为，． 24. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：方程的两个实数根为，， ，， ， ， ， 解得． 25. 如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地（墙足够长），矩形面积随矩形的一边的长的变化而变化． （1）的长度为________，矩形场地的面积S为_______（用含x的代数式表示） （2）当x为多少时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2）当时，面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值．解题的关键在于根据题意正确的列二次函数解析式，并熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）由边长为，可得，依题意得，，整理即可； （2）由，可得，由，知，然后根据二次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵边长为， ∴， 依题意得，， ∴矩形场地的面积S为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，面积最大，最大面积是． 26. 商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ （2）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达1500元？ （3）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达最大值？是多少？ 【答案】（1）每天可销售60件商品，商场获得的日盈利是1200元 （2）每件商品售价为150元或170元时，商场日盈利达到1500元 （3）当每件商品的销售价定为160元时，能使商场的日盈利最多，1600元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程解实际问题的运用，解答时灵活运用销售问题的数量关系是解答的关键． （1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利； （2）设商场日盈利达到1500元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可； （3）设每件商品售价为x元，则每日销售商品为件，根据“总利润=单件利润×销售量”得出函数关系式，再配方即可得其最值情况． 【小问1详解】 解：当每件商品售价为140元时，比每件商品售价130元高出10元， 即（元）， 则每天可销售商品60件，即（件）， 商场可获日盈利为（元）． 答：每天可销售60件商品，商场获得的日盈利是1200元； 【小问2详解】 解：设商场日盈利达到1500元时，每件商品售价为x元， 则每件商品比130元高出元，每件可盈利元， 每日销售商品为（件）， 依题意得方程， 整理，得， 解得：． 答：每件商品售价为150元或170元时，商场日盈利达到1500元； 【小问3详解】 解：设每件商品售价为x元，则每日销售商品为件， 则商场的日盈利 ， ∴当时，w取得最大值，最大值为1600， 答：当每件商品的销售价定为160元时，能使商场的日盈利最多，1600元． 27. 如图，Rt△ABC中∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连结PQ，设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ为　　cm，PB为　　cm； （2）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据路程=速度×时间求出BQ，AP，再根据PB=AB-AP即可； （2）用含x的代数式表示出四边形APQC的面积，利用四边形APQC的面积为20建立一个关于x方程，解方程即可.若有解，则存在，若无解则不存在． 【详解】（1）∵∠B＝90°，AC＝10，BC＝6， ∴AB＝8． ∴BQ＝x，PB=AB-AP＝8﹣2x； （2）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2， 则 解得x1＝x2＝2． 假设成立，所以当x＝2时，四边形APQC面积的面积等于20cm2． 故答案为（1）；（2）存在，． 【点睛】本题主要考查一元一次方程及一元二次方程的应用，能够根据题意列出相应的方程是解题的关键． 28. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 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