黑龙江省大庆市肇源县学期初联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

姓名： 初四数学阶段学情检测 范围： 特殊平行四边形、 一元二次方程 考试时间：120分钟　满分：120分 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每个小题只有一项符合题目要求的） 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是中心对称不是轴对称的图形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角 5．如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 6．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 8．如图，在菱形中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 9. 某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 10．如图，点是矩形的边上一点，将沿着对折，点恰好折叠到边上的点处，若，，那么的长为（     ） A．7 B．6 C．5 D．3 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的周长为__________。 12．把方程化为一般形式是__________． 13．如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为______． 14．已知，是方程的两个根，则_______． 15．如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 16．已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 17. 把一块长为50cm，宽为30cm的矩形铁片的四个角各截去一个相同的正方形，剩余部分做成一个底面积为的无盖长方体盒子，设截去的正方形边长为x cm，则可列方程为__________。 18. 已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为__________。 三．解答题（本大题共7小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. （每题5分，共10分）解下列一元二次方程： (1) (2)（用公式法） 20. （8分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和。 (1) 求实数m的取值范围；（4分） (2) 若，求m的值。（4分） 21．（8分）如图，已知平行四边形中，对角线、相交于点，，，、分别是线段、的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的周长． 22. （8分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 23．（10分）如图，在中，点是边上一点，过点分别作交于点交于点，连接平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 24. （10分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE， （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且，求证：GE=BE+GD。 25．（12分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $姓名： 初四数学阶段学情检测答案 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题只有一项符合题目要求的） 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 2．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是中心对称不是轴对称的图形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 3．将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A解：将化为的形式为，故，，． 4．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角 【答案】A 5．如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】菱形中，，对角线平分， ，与地面平行，与地面的夹角为． 6．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A .对原方程移项整理得∵方程有实数根，任意实数的平方都大于等于∴解得． 7．已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 【答案】A 【解析】解：，解得，，∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ，即第三边 ， ∴不符合要求，舍去，则第三边长为6，∴此三角形的周长为． 8．如图，在菱形中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，连接，∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分， ∴，，∴， ∵，，，∴， ∴，∴． 9．9. 某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 10．如图，点是矩形的边上一点，将沿着对折，点恰好折叠到边上的点处，若，，那么的长为（     ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】C 【解析】四边形是矩形，，，∴，，，根据折叠性质，得，∴，∴， 设，则，根据折叠的性质，得，根据勾股定理，得，解得，故， 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的周长为__________． 【答案】20 12．把方程化为一般形式是__________． 【答案】 13．如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】∵在矩形中，，交于点，，∴， ∵，分别是线段，的中点，∴是的中位线，∴． 14．已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】 【解析】解：方程中，，，∵，是方程的两个根∴，∴． 15．如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 【答案】 【解析】在正方形中，，， ∴在和中，，∴， ∴，∵，∴， ∴． 16．已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【解析】设一元二次方程的两根分别为，．根据根与系数的关系可得，．整理得．变形得．解得．将代入得．验证判别式：，符合题意． 17. 把一块长为50cm，宽为30cm的矩形铁片的四个角各截去一个相同的正方形，剩余部分做成一个底面积为的无盖长方体盒子，设截去的正方形边长为x cm，则可列方程为_。 18. 已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为___13____。 三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.解方程 (1)，因式分解得，（2分） 即或，解得。（5分） (2)，其中， 判别式，（2分） 由求根公式得，（4分） 即。（5分） 20. （8分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和。 (1) 求实数m的取值范围；（4分） (2) 若，求m的值。（4分） 解：(1) ∵方程有两个实数根，∴判别式，（2分）解得。（4分） (2) 由韦达定理得，，（2分） ， 整理得，即，解得，（3分） ∵，∴。（4分） 21． （8分）如图，已知平行四边形中，对角线、相交于点，，，、分别是线段、的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的周长． 【解析】(1)证明：在平行四边形中，，， 、分别是线段、的中点，，又，∴四边形是平行四边形， ，是的中点，，，为等边三角形， ∴，，∴四边形是矩形． （2）解：在中，，∴，∴， 设，则．∵，，解得（负值舍去）， ，，∴，，∴， ． 22. （8分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 解：设这种台灯的售价上涨了x元，则售价为元，销售量为个，每个台灯的利润为元，（2分） 根据题意列方程得：，（4分） 整理得：，因式分解得， 解得，（6分） ∵售价在40元至60元范围内，∴，即，∴，（7分）售价为元，销售量为个，即应进台灯500个。（8分） 答：这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个。 23．（10分）如图，在中，点是边上一点，过点分别作交于点交于点，连接平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 【解析】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形，，∵平分，∴， ∴，则，又∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形． （2）解：由（1）知，四边形是菱形，∴，又∵， ∴三角形是等边三角形，，又∵四边形是菱形，∴，在中，， ∴． 24. （10分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE，求证：CE=CF；若点G在AD上，且，求证：GE=BE+GD。 证明：(1) ∵四边形ABCD是正方形，∴，，（2分）在和中， ∴，∴。（4分） (2) ∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，（6分）在和中，∴，∴，∵，∴。（8分） 25．（12分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【解析】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又，∴，根据题意，得，解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据题意，得，整理得，∴，∴方程无解，∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒，①当时，，由题意，得，解得：，； ②当时，，由题意，得，解得：，（舍去），综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 1 学科网（北京）股份有限公司 $