精品解析：福建省南平市光泽县2026-2027学年八年级上学期第一次阶段测试数学试题

2026—2027学年（上）第一次综合练习 八年级数学 一．单选题 1. 下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 5，5，10 D. 2，8，7 2. 如图，中，是边上高的线段为（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 3. 一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 4. 如图， 已知，， 下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是尺规作图作一个角等于已知角的示意图，该作法是依据全等三角形的判定定理（ ） A. B. C. D. 7. 图中的大小等于（） A. B. C. D. 8. 如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三条中线的交点 B. 内任意一点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三条角平分线的交点 9. 如图， 中，为直线上一动点，连接，则线段 的最小值是（ ） A. 3 B. 3.6 C. 4.8 D. 5.2 10. 如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（ ） A. ②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二．填空题 11. 在直角三角形中，若一个锐角为，则另一个锐角为______． 12. 如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 13. 如图，是的的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为__________． 14. 如图，在和中，，，点A、E、C、F在同一条直线上，若要用“”直接证明，则还需要添加的条件是______． 15. 在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，则点D到的距离是______． 16. 如图，在中，厘米，，厘米，点D为中点，如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为_____时，能够在某一时刻使与全等． 三．解答题 17. 一个等腰三角形的周长是，且底边、腰长相差，求这个三角形的各边长． 18. 如图，在中，，求的度数． 19. 如图，是的上的高，平分，若，求的度数． 20. 小亮在公园游玩时发现一水池，他想知道水池的宽，设计了如下方案： 主题 测量水池的宽 测量方案及示意图 ①在地面上找到可以直接到达点A，B的一点D，使； ②在的延长线上确定一点C，使； ③测量出． 根据以上信息，求水池的宽． 21. 如图，在中． （1）尺规作图：过点A作直线（保留作图痕迹，不用写作法） ： （2）证明： 22. 已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 23. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，若选择______，则． 请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 24. 如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． （1）求证：； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 25. 在中，，顶点在过、两点的直线上： （1）若，当点D、E在点A异侧时，如图1． 求证：①； ②； （2）若，当点D、E在点A右侧时，如图2，试判断、和之间的数量关系，并说明理由； （3）①若，且点D、E在点A异侧，如图3，直接写出、和之间的数量关系； ②若，，如图4，直接写出、和之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年（上）第一次综合练习 八年级数学 一．单选题 1. 下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 5，5，10 D. 2，8，7 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以均不能围成三角形，选项D中，符合三角形任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形． 2. 如图，中，是边上高的线段为（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做这条边上的高求解即可． 【详解】解：A，是的边上的高； B，是的边上的高； C，是中边上高； D，不是图中任何线段上的垂线． 3. 一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】三角形按角分类由最大角的度数决定，需先结合内角和与角度比求出最大角的度数． 【详解】解：∵ 三角形内角和为，三个内角度数的比为． ∴最大角的度数为． ∴这个三角形是直角三角形． 4. 如图， 已知，， 下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意有一组边和一组角对应相等，结合全等三角形的判定定理（）逐一判断即可． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，则，即，结合条件，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故C符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故D不符合题意； 故选：C． 5. 如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理计算边a与边c的夹角，根据全等三角形对应角相等求解即可． 【详解】解：在左图中，边a与边c的夹角为， ∵两个三角形全等，且是边a与边c的夹角， ∴． 6. 如图是尺规作图作一个角等于已知角的示意图，该作法是依据全等三角形的判定定理（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用作图的基本原理，得到线段的关系证明即可． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴． 故选：B． 7. 图中的大小等于（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：由三角形的外角性质得，． 故选：C． 8. 如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三条中线的交点 B. 内任意一点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【详解】∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择三条角平分线的交点， 故选：D． 9. 如图， 中，为直线上一动点，连接，则线段 的最小值是（ ） A. 3 B. 3.6 C. 4.8 D. 5.2 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴． 10. 如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（ ） A. ②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到，再变形即可判断④． 【详解】解：∵ ∴，， ∵平分 ∴ ∵平分，， ∴． ∵， ∴ ∴，故①错误； ∵平分， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵ ∴ ∴，故②正确； ∵平分， ∴，即 ∵， ∴，故③正确； ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ 又， 代入得 ∴， ∴，故④正确． ∴正确的为②③④． 二．填空题 11. 在直角三角形中，若一个锐角为，则另一个锐角为______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质， 直接根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论． 【详解】解：在直角三角形中，一个锐角为， ∴另一个锐角. 故答案为：. 12. 如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：∵用木条固定长方形门框，可得到， ∴这种做法的根据是三角形的稳定性． 13. 如图，是的的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的的中线，且的面积为， ∴， 又∵是的的中线， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 14. 如图，在和中，，，点A、E、C、F在同一条直线上，若要用“”直接证明，则还需要添加的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】“”判定定理仅适用于直角三角形，判定规则为：若两个直角三角形的斜边和其中一条直角边分别对应相等，则两个直角三角形全等，据此解答即可． 【详解】解：∵在和中，，， ∴要用“”直接证明，则还需要添加的条件是． 15. 在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，则点D到的距离是______． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意可知平分，然后根据角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：由题意可知平分， ∵，， ∴点到的距离等于到的距离， ∴到的距离为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了尺规作图－角平分线，以及角平分线的性质，熟知角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解本题的关键． 16. 如图，在中，厘米，，厘米，点D为中点，如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为_____时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据题意进行分类讨论：当时，，，当时，，， 分别求出运动时间，进而求解即可． 【详解】解：∵， 当时，，， ∵，点D为中点，， ∴，， ∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间， ∴点Q的运动速度为； 当时，，， ∴运动时间， ∴点Q的运动速度为， ∴当点Q的运动速度为或时，能够在某一时刻使与全等， 故答案为：或． 三．解答题 17. 一个等腰三角形的周长是，且底边、腰长相差，求这个三角形的各边长． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．设腰长为，则底边长，根据“底边、腰长相差”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设腰长为，则底边长， 根据题意得：或， 解得：或， 当时，这个三角形的各边长分别为； 当时，这个三角形的各边长分别为，此时，不能够成三角形，舍去； 综上所述，这个三角形的各边长分别为． 18. 如图，在中，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角，三角形内角和定理，设，则，根据得，根据可得，进行计算即可得；掌握三角形的外角，三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， ∵， ， ， 解得， 即的度数为． 19. 如图，是的上的高，平分，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，由三角形内角和定理可求得的度数，在中，可求得的度数，是角平分线，有，故． 【详解】解：解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高，， ∴， ∴． 20. 小亮在公园游玩时发现一水池，他想知道水池的宽，设计了如下方案： 主题 测量水池的宽 测量方案及示意图 ①在地面上找到可以直接到达点A，B的一点D，使； ②在的延长线上确定一点C，使； ③测量出． 根据以上信息，求水池的宽． 【答案】 【解析】 【分析】证出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，在中． （1）尺规作图：过点A作直线（保留作图痕迹，不用写作法） ： （2）证明： 【答案】（1） 解：如图，直线即为所求， ． （2） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）作即可得到； （2）由平行线的性质先证明，，再结合平角的定义可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，得；，得；，得， ∴原式 ． 23. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，若选择______，则． 请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】 解：选择②，理由如下： ， ，即， ， ， ， ， 在与中， ， ； 选择③，理由如下： ， ，即， ， ． 在与中， ， ； 选择①是错误的，边边角不能作为判定全等三角形的条件 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可证明，则选择②可得，可利用证明得到；选择③可利用证明得到，选择①不能证明得到． 【详解】略 24. 如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． （1）求证：； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）垂直，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由BE⊥AC，CF⊥AB得∠BEA=∠CFA=90°，结合图形得出∠ABE=∠ACF，再由全等三角形的判定证明即可； （2）利用全等得出∠ADB=∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB=∠AED+∠DAE，又∠GAC=∠GAD+∠DAE，利用等量代换可得出∠AED=∠GAD=90°，即可确定AG与AD的位置关系． 【小问1详解】 证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠BEA=∠CFA=90°， 又∵∠BAE=∠CAF， ∴∠ABE=∠ACF， 在△ABD和△GCA中， ， ∴（SAS）； 【小问2详解】 位置关系是AD⊥GA，理由如下： ∵△ABD△GCA， ∴∠ADB=∠GAC， 又∵∠ADB=∠AED+∠DAE，∠GAC=∠GAD+∠DAE， ∴∠AED=∠GAD=90°， ∴AD⊥GA． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，垂直的定义，直角三角形两个锐角互余等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 25. 在中，，顶点在过、两点的直线上： （1）若，当点D、E在点A异侧时，如图1． 求证：①； ②； （2）若，当点D、E在点A右侧时，如图2，试判断、和之间的数量关系，并说明理由； （3）①若，且点D、E在点A异侧，如图3，直接写出、和之间的数量关系； ②若，，如图4，直接写出、和之间的数量关系． 【答案】（1） ①证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ②∵ ∴， ∴； （2）， 理由：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）①；② 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理、外角定理． （1）①利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明； ②由得到，，进而求解即可； （2）根据得，据此即可求解； （3）①利用三角形的外角性质得出，再利用证明，得，可得答案； ②设，，根据，及三角形的内角和证出，再利用证明，得，，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①， 理由：∵， ∴， ∴， 即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ， ∴； ②， 理由：如图所示，设和交于点F， 设，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $