精品解析：福建省南平市光泽县2025-2026学年八年级上学期第二次月考数学试题

2025～2026学年（上）第二次综合练习 八年级数学 （练习时间：120分钟） 一、选择题 1. 随着人们健康生活理念的增强，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的两个三角形全等，a，b，c分别表示两个三角形的三边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式中，分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知代数式，无论取任何值，它的值一定是（ ） A. 正数 B. 非正数 C. 负数 D. 非负数 9. 如图，已知，点在边上，点，在边上，且，若，，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 10. 若，则ab的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 计算的结果是______． 12. 如图，是的中线，，，的周长为，则的周长为______． 13. 已知点和点关于轴对称，则______，______． 14. 如图，在中，，为的角平分线，若，，则边上的高线长______cm． 15. 若多项式可因式分解为，则的值为_________． 16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，求下列各式的值． （1）； （2）； （3）． 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，和相交于点O，，，． 求证． 22. 如图，若每个小长方形的长为，宽为． （1）求阴影部分的面积； （2）当时，阴影部分的面积是多少？ 23. 如图，在中，，点是边上的中点．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．求证：． 24. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．例如图1，利用面积的不同表示方法可以用来解释代数恒等式． （1）根据图2，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式． （2）试画出一个几何图形，使它能解释恒等式． （3）小明制作了图3所示的正方形和长方形硬纸片，其中A类纸片3张，B类纸片若干张，C类纸片4张，小明用这些硬纸片刚好拼成了一个长方形（纸片不重叠），请问B类纸片有多少张？并写出利用所拼的图形可解释的代数恒等式． 25. 综合实践 活动目的 探究因式分解的其他方法 材料1 在因式分解中有一类形如二次三项式的因式分解的方法叫作“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，如图所示，则． 材料2 “探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下： 甲： =（分成两组） =（直接运用公式） = 乙： =（分成两组） =（提公因式） = 这种分解因式的方法叫作“分组分解法”． 材料3 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是“换元法”．例如： 因式分解： 解：设， 则原式=． 学习上述材料内容，合作交流完成下列任务 任务1 （1）因式分解： ①；②． 任务2 （2）①因式分解：；②若分别为三边的长，且，请判断的形状，并说明理由． 任务3 （3）①因式分解：； ②求证：多项式的值一定是非负数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年（上）第二次综合练习 八年级数学 （练习时间：120分钟） 一、选择题 1. 随着人们健康生活理念的增强，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义“把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形”逐项判断解答即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 计算的结果是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，即底数不变，指数相加，据此求解即可． 【详解】解：∵ （同底数幂相乘法则）， ∴ ， 故选：B． 3. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，据此判断求解即可． 【详解】解：A、，能用平方差公式计算，符合题意； B、，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 4. 如图所示的两个三角形全等，a，b，c分别表示两个三角形的三边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的性质，根据三角形全等对应角相等直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴， 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括单项式的乘法、合并同类项、积的乘方和同底数幂的除法；根据运算法则逐一判断． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，符合题意； 故选D． 6. 下列各式中，分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的方法，因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），掌握相关知识是解决问题的关键．分别对每个选项按照因式分解的方法和定义进行分析，判断其是否正确． 【详解】解：A、，该选项因式分解不彻底，错误； B、，因式分解正确； C、，该选项因式分解后漏项，错误； D、该选项原式右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，错误． 故选：B． 7. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：A． 8. 已知代数式，无论取任何值，它的值一定是（ ） A. 正数 B. 非正数 C. 负数 D. 非负数 【答案】B 【解析】 【分析】原式提出-1后利用完全平方差公式分解即可得出答案． 【详解】解：==， 所以原式的值一定是非正数． 故选B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，将原式利用完全平方公式分解是解决此题的关键． 9. 如图，已知，点在边上，点，在边上，且，若，，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形中角所对直角边等于斜边一半及等腰三角形性质，过F作，根据，得到，，结合得到，即可得到答案； 【详解】解：过F作于H， ∵，，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ， ∴， ∴， 故选：B． 10. 若，则ab的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的性质，解题的关键在于通过将不同底数的幂转化为同底数形式．运用幂的运算性质，化为同底数幂即可求解． 【详解】解：， ，即， ，即， ， 故选：C． 二、填空题 11. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆应用以及同底数幂的乘法，利用指数法则和负数的奇数次幂性质，将原式化简为同底数幂的乘法，再计算指数运算． 【详解】解：， ． 故答案为：． 12. 如图，是的中线，，，的周长为，则的周长为______． 【答案】##26厘米 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中线，根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长， 故答案为：． 13. 已知点和点关于轴对称，则______，______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】解∶∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴，， 故答案为∶3，． 14. 如图，在中，，为的角平分线，若，，则边上的高线长______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作于点，根据角平分线的性质可得，据此解答即可．解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，过点作于点， ∵为的角平分线，即， ∴， 即边上的高线长． 故答案为：． 15. 若多项式可因式分解为，则的值为_________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算，也考查了平方差公式，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，得出，即可作答． 【详解】解：依题意，∵多项式可因式分解为， ∴ ∴ 故答案为：25 16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算中的某项的系数的规律探究，掌握探究的方法并总结运用规律是解本题的关键． 先计算，，，再观察得到的前面两项，再利用前面两项的系数规律可得答案． 【详解】解：， ， ， …， 观察可知：展开式的前两项为， ∴当时，含项的系数为． 故答案为：． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，涉及多项式乘以多项式、单项式乘以多项式运算，同底数幂的乘法运算，幂的乘方、积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先根据同底数幂的乘法运算，幂的乘方、积的乘方运算法则计算，再进行合并即可； （2）先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式运算法则计算，再进行合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，求下列各式的值． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键； （1）由可代入进行求解即可； （2）由可代入进行求解即可； （3）由可代入进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴． 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） ； （2） ． 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，常用的分解因式的方法有：提公因式法分解因式、公式法分解因式． 用提公因式法分解因式，提出公因式即可； 把转化成，利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题关键． 先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，最后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ． 当，时， 原式 ． 21. 如图，和相交于点O，，，． 求证． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．证明，则，利用线段的差即可证明结论． 【详解】略 22. 如图，若每个小长方形的长为，宽为． （1）求阴影部分的面积； （2）当时，阴影部分的面积是多少？ 【答案】（1） （2）40 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据阴影部分面积等于长方形面积减去三个空白三角形面积即可求解； （）把，代入求解即可； 【小问1详解】 解：阴影部分的面积是： ； 【小问2详解】 解：当时， 阴影部分面积． 23. 如图，在中，，点是边上的中点．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， 因为，点是边上的中点， 所以， 所以， 因为是线段的垂直平分线， 所以， 所以． 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质及等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可得出，从而得出，再根据垂直平分线的性质可得，最后根据等量代换即可得证． 【详解】略 24. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．例如图1，利用面积的不同表示方法可以用来解释代数恒等式． （1）根据图2，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式． （2）试画出一个几何图形，使它能解释恒等式． （3）小明制作了图3所示的正方形和长方形硬纸片，其中A类纸片3张，B类纸片若干张，C类纸片4张，小明用这些硬纸片刚好拼成了一个长方形（纸片不重叠），请问B类纸片有多少张？并写出利用所拼的图形可解释的代数恒等式． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求， （3）①B类纸片有7张，； ②B类纸片有13张，； ③B类纸片有8张， 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘法与几何图形． （1）根据图形，可以解答本题； （2）根据题意可以画出相应的图形； （3）根据多项式乘法即可解答本题． 【小问1详解】 解：由题意可得，大长方形的面积可表示或， 即 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可得，①B类纸片有7张，； ②B类纸片有13张，； ③B类纸片有8张，． 25. 综合实践 活动目的 探究因式分解的其他方法 材料1 在因式分解中有一类形如二次三项式的因式分解的方法叫作“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，如图所示，则． 材料2 “探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下： 甲： =（分成两组） =（直接运用公式） = 乙： =（分成两组） =（提公因式） = 这种分解因式的方法叫作“分组分解法”． 材料3 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是“换元法”．例如： 因式分解： 解：设， 则原式=． 学习上述材料内容，合作交流完成下列任务 任务1 （1）因式分解： ①；②． 任务2 （2）①因式分解：；②若分别为三边的长，且，请判断的形状，并说明理由． 任务3 （3）①因式分解：； ②求证：多项式的值一定是非负数． 【答案】（1）①；②； （2）①； ②是等腰三角形，理由如下：，，， ∵是的三边， ∴， ∴， ∴， 故是等腰三角形； （3）①； ②证明： 令， 原式 ； 故的值一定为非负数． 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法，分组分解法，换元法是解题的关键： （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）①利用分组分解法进行求解即可；②将等式左边进行因式分解后，进行判断即可； （3）①利用换元法进行因式分解即可；②利用换元法进行因式分解即可． 【详解】解：（1）①； ②； （2）① ； ②略 （3）①， 设， 原式 ； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $