第一章 勾股定理——勾股定理的逆定理与实际应用专项小卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

北师大版八年级数学（上册）专项小卷 勾股定理的逆定理 · 实际应用 （配套第一章 1.2 一定是直角三角形吗） 满分：60 分　　考试时间：40 分钟 题　号 一 二 三 附加题 总　分 得　分 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 木工师傅制作了一个三角形木架，量得其三边长分别为 9 dm、12 dm、15 dm，则这个木架的形状是（　　） A. 锐角三角形　　B. 直角三角形　　C. 钝角三角形　　D. 不能构成三角形 2. 甲、乙两人同时从同一地点 O 出发，甲走了 60 m 到达 A 处，乙走了 80 m 到达 B 处，此时两人相距 100 m，则 ∠AOB 的度数为（　　） A. 60°　　B. 90°　　C. 120°　　D. 150° 3. 工人师傅用三根木条钉成一个三角形窗框，量得三边长分别为 30 cm、40 cm、50 cm，则这个窗框（　　） A. 是锐角三角形　　B. 有一个角是直角　　C. 是钝角三角形　　D. 三个角都不是直角 4. 某工厂生产的直角三角形零件，其三边长分别为 9 cm、12 cm、15 cm，则该零件斜边上的高为（　　） A. 6 cm　　B. cm　　C. 8 cm　　D. cm 5. 电工师傅要检修一根旗杆，需先确认旗杆是否与地面垂直。他量得地面上点 C 到旗杆底部 B 的距离 BC = 5 m，旗杆高 AB = 12 m，点 A 到点 C 的距离 AC = 13 m，则这根旗杆与地面（　　） A. 垂直　　B. 不垂直，∠B 是锐角　　C. 不垂直，∠B 是钝角　　D. 无法判断 6. 某农户有一块三角形土地，其三边长分别为 13 m、14 m、15 m，则这块土地的形状是（　　） A. 直角三角形　　B. 锐角三角形　　C. 钝角三角形　　D. 无法确定 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 7. 某建筑队用一段钢管弯成一个三角形支架，其三边长分别为 6 dm、8 dm、10 dm，则这个三角形支架是 __________ 三角形。 8. 甲、乙两辆汽车同时从同一路口 O 出发，甲车向东行驶 9 km，乙车向南行驶 12 km，此时两车相距 15 km，则甲、乙两车行驶方向的夹角为 __________。 9. 某三角形零件的三边长分别为 cm、 cm、 cm，则这个零件 __________（规定直角零件为合格品，填“合格”或“不合格”）。 10. 已知一个三角形的三边长分别为 2、4、x，且这个三角形是直角三角形，则 x = __________。 11. 某三角形钢架的三边长之比为 1∶∶2，则这个钢架是 __________ 三角形，三边中最长的边所对的角为 __________ 度。 三、解答题（本大题共 3 小题，共 27 分。解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 12.（9 分）某工厂生产三角形零件，质检员需要判断抽检的零件是否为直角三角形（直角零件为合格品）。现抽查三个零件，测得它们的三边长（单位：cm）如下，请判断各零件是否合格，并说明理由： （1）（3 分）6，8，10； （2）（3 分）5，6，8； （3）（3 分），2，3。 13.（9 分）如图，学校有一块四边形空地 ABCD，测得 ∠B = 90°，AB = 20 m，BC = 15 m，CD = 7 m，AD = 24 m。求这块空地 ABCD 的面积。 14.（9 分）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 O 出发。甲船沿正北方向以每小时 12 海里的速度航行，乙船以每小时 16 海里的速度沿某一方向航行。2 小时后，甲船到达 A 处，乙船到达 B 处，此时测得 A、B 两处相距 40 海里。 （1）（3 分）求 OA、OB 的长； （2）（3 分）判断甲、乙两船的航线 OA 与 OB 是否互相垂直，并说明理由； （3）（3 分）求 △AOB 的面积。 附加题（5 分，不计入总分） 建筑工地上，李师傅发现了一个规律：当 n 取大于 1 的整数时，以 n2 - 1、2n、n2 + 1 为三根钢管长度的三角形钢架，总能围成一个直角三角形。请你说明这个规律成立的理由。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B B B A B 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 7. 直角 8. 90° 9. 合格 10. 2 或 2 11. 直角；90 三、解答题（共 27 分） 12.（每小题 3 分，共 9 分） （1）三边中 10 最长。因为 6² + 8² = 36 + 64 = 100，而 10² = 100，所以 6² + 8² = 10²。由勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，该零件合格。（3 分） （2）三边中 8 最长。因为 5² + 6² = 25 + 36 = 61，而 8² = 64，所以 5² + 6² ≠ 8²，这个三角形不是直角三角形，该零件不合格。（3 分） （3）三边中 3 最长。因为 ()² + 2² = 5 + 4 = 9，而 3² = 9，所以 ()² + 2² = 3²。由勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，该零件合格。（3 分）【点拨】判断前要先找出最长边，再检验两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。 13.（9 分）连接 AC。（1 分） 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，由勾股定理得 AC = = = = 25（m）。（3 分） 在 △ACD 中，因为 CD² + AD² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625，而 AC² = 25² = 625，所以 CD² + AD² = AC²。由勾股定理的逆定理，得 ∠D = 90°，即 △ACD 是直角三角形。（3 分） 所以 S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = × 20 × 15 + × 7 × 24 = 150 + 84 = 234（m²）。答：这块空地 ABCD 的面积为 234 m²。（2 分）【点拨】先用勾股定理求出对角线 AC，再用逆定理判定 △ACD 为直角三角形，从而把四边形的面积转化为两个直角三角形面积之和。 14.（9 分） （1）甲船 2 小时航行的路程 OA = 12 × 2 = 24（海里），乙船 2 小时航行的路程 OB = 16 × 2 = 32（海里）。（3 分） （2）在 △AOB 中，因为 OA² + OB² = 24² + 32² = 576 + 1024 = 1600，而 AB² = 40² = 1600，所以 OA² + OB² = AB²。由勾股定理的逆定理，得 ∠AOB = 90°，即甲、乙两船的航线 OA 与 OB 互相垂直。（3 分） （3）S△AOB = × OA × OB = × 24 × 32 = 384（平方海里）。答：△AOB 的面积为 384 平方海里。（3 分）【点拨】先用“速度×时间”求出 OA、OB，再比较三边的平方判定直角；三条边的长度都已知时，用逆定理比直接测量角度更方便。 附加题（5 分） 设三边长分别为 n2 - 1、2n、n2 + 1。 因为 n 是大于 1 的整数，所以 n² + 1 > n² - 1；又 n² + 1 - 2n = (n - 1)² > 0，所以 n² + 1 > 2n。因此 n² + 1 是最长边。（2 分） 又因为 (n² - 1)² + (2n)² = n⁴ - 2n² + 1 + 4n² = n⁴ + 2n² + 1 = (n² + 1)²，（2 分） 所以 (n² - 1)² + (2n)² = (n² + 1)²。由勾股定理的逆定理，以这三边为边长的三角形是直角三角形。即李师傅发现的规律成立。（1 分） 北师大版八年级数学（上册）　勾股定理的逆定理·实际应用专项小卷　　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $