第二章 实数 素养巩固-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

2026-2027北师大版数学八年级上册素养巩固 第二章实数 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数中，是无理数的是(    ) A. B. C. D. 2.已知是的算术平方根，则的立方根是(    ) A. B. C. D. 3.下列说法不正确的是(    ) A. 的平方根是 B. 是的算术平方根 C. 立方根等于本身的数是和 D. 4.若式子有意义，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.已知整数满足，参考表格中的数据，判断的值为(    ) A. B. C. D. 7.若，其中是最简二次根式，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.如图，课上老师用个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形无重叠，无间隔已知小长方形的长为，宽为，下列结论不正确的是(    ) A. 大长方形的长为 B. 大长方形的宽为 C. 大长方形的周长为 D. 大长方形的面积为 9.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式的结果为  (    ) A. B. C. D. 10.如图，通过画边长为的正方形，就能准确地把表示在数轴上的点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.的平方根是          ，的算术平方根是          ． 12.比较大小：          。 13.若与最简二次根式可以合并，则          ． 14.将一个的长方形如图所示放置在数轴上，则点表示的数是          ． 15.年月日，科学杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：约率和密率同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和即有，其中，，，为正整数，则是的更为精确的近似值例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为          ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分计算： ； ． 17.本小题分 【阅读材料】对于一些特殊类型的根式，我们有一些常用的化简计算的方法． 如：，这是利用平方差公式进行化简运算的思路． 除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性质． 如：对于， 设． 由，可知． 由，解得． 即． 【学以致用】请你根据以上介绍的方法，化简． 18.本小题分 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，小明是这样解答的： 因为， 所以， 所以，即， 所以。 所以。 请你根据小明的解题过程，解决如下问题：            化简： 若，求的值。 19.本小题分 阅读下面的材料，解答问题： 我们知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分你同意小明的表示方法吗 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： 的整数部分是          ，小数部分是          ． 若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 20.本小题分 综合与实践 问题情境： 在学习了勾股定理和实数后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 操作发现： “毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点在图中画出，其顶点，，都在格点上，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他们借助此图求出了的面积． 在图中，的三边长分别是          ，          ，          的面积为          ．实践探究： 在如图所示的正方形网格中画出顶点都在格点上，使，，，并求出的面积． 继续探究： “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料： 已知三角形的三边长分别为，，，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究古希腊的几何学家海伦，在他的著作度量一书中，给出了求其面积的海伦公式，其中． 我国南宋时期数学家秦九韶，给出了著名的秦九韶公式． 若一个三角形的三边长分别是，，请选择一种方法求这个三角形的面积写出计算过程 21.本小题分 分析探索题：细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，，           ； 用含是正整数的等式表示上述变化规律：           ，          ； 如果一个三角形的面积是，那么它是第          个三角形； 求出的值． 22.本小题分 任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数：其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数，则称无理数的“雅区间”为例如：，所以的“雅区间”为． 请解答下列问题： 无理数的“雅区间”是            ，无理数的“雅区间”是           某一无理数的“雅区间”为，且满足其中是关于，的二元一次方程 的一组正整数解，求的值． 如图，在数轴上，若无理数的“雅区间”为其中，无理数的“雅区间”为，和互为相反数，为个单位长度．现点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，、两点同时运动，设运动的时间为秒，问当为何值时，原点恰好是线段的三等分点？ 23.本小题分 一次数学兴趣小组活动，老师和几个同学一起探讨：中的，，三者的关系． 同学甲：已知，，可以求，是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方． 如：，其中是的次方． 同学乙：已知，，可以求，是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根． 如：，其中是的二次方根或平方根；，其中是的三次方根或立方根． 老师：两位同学说得很好，那么请大家计算： 的四次方根等于______；的五次方根等于______． 同学丙：老师，如果已知和，那么如何求呢？这又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问得好，已知，，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，叫做以为底的对数，记作：例如：，叫做以为底的对数，记作根据题意，请大家计算： ______； ______． 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么 请你利用上述性质计算：． 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.  11.  12.  13.  14.  15.  16.（1）解：原式． （2）原式．   17.【解】设． ，． ，． 原式．   18.（1） （2）。 （3）因为， 所以，所以， 即。 所以， 所以。   19.（1） ； （2），即，的整数部分为，即．，即，，的整数部分为，小数部分为，即．．，的平方根为．  20.（1）； ； ； （2）画出如图所示画图不唯一． 的面积． （3）不妨令，，， 所以， 所以， 所以这个三角形的面积是．   21.（1） （2）   ； （3） （4）．   22.（1） ； （2）是雅区间，   ，均为整数，   又，是关于，的二元一次方程的一组正整数解，   符合条件的，有，，；，，；   ，，时，将，代入，   得，      ，，时，将，代入，   得，      答：的值为或． （3），，，，均为雅区间的边界点，   ，，，，均为整数，   和互为相反数，且为个单位长度，根据雅区间的定义，   ，且，   ，，，，   秒时，，，点是的三等分点，   当时，   ，解得舍去，   当时，   ，解得舍去或，   答：时，点是的三等分点．   23.，； （2）  ，；  （3） ．  学科网（北京）股份有限公司 $