第二章实数单元测试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学上册 第二章《实数》单元测试卷 满分：120 分 考试时长：100 分钟 班级：____________ 姓名：____________ 得分：____________ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项） 1．下列各数中，是无理数的是（　　） A．3.14　　B．　C．　　D． 2．4 的算术平方根是（　　） A．2　　B．−2　　C．±2　　D．16 3．下列计算正确的是（　　） A． = ±3 B． = −5 C．(−)2 = 5 D． = 2 4．若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（　　） A．x ≥ 3　　B．x > 3　　C．x ≤ 3　　D．x ≠ 3 5．估计 的值在（　　） A．1 到 2 之间　　B．2 到 3 之间　　C．3 到 4 之间　　D．4 到 5 之间 6．−27 的立方根是（　　） A．3　　B．−3　　C．±3　　D．−9 7．如图，把两个边长为 1 的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长是（　　） A．1　　B．　　C．2　　D．2 8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A．√8　　B．　　C．　　D． 9．若 = 1 − x，则 x 的取值范围是（　　） A．x > 1　　B．x ≥ 1　　C．x < 1　　D．x ≤ 1 10．如图，正方形 OABC 的边长为 1，以原点 O 为圆心、对角线 OB 的长为半径画弧，交数轴正半轴于点 P，则点 P 表示的数是（　　） A．1　　B．　　C．2　　D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．−64 的立方根是 ____________。 12． 的平方根是 ____________。 13．若 + |b + 2| = 0，则 (a + b)2026 = ____________。 14．计算： − = ____________。 15．比较大小：4 ____________ （填“>”“<”或“=”）。 16．如图，一个正方形的面积是 5 cm2，则它的边长是 ____________ cm。 17．写出一个比 3 大且比 4 小的无理数：____________。 18．计算：( + 2)( − 2) = ____________。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分。解答应写出必要的文字说明与演算步骤） 19．（10 分）计算： (1) + − (2) ( + 1)2 − 20．（10 分）求下列各式中的 x： (1) 4 − 9 = 0； (2) 3(x − 1) + 27 = 0。 21．（10 分）已知 a = + 1，b = − 1，求下列各式的值： (1) a + b；　　(2) ab；　　(3) 2a − 2b。 22．（12 分）如图，在数轴上，点 A 表示的数是 −2，点 B 表示的数是 。 (1) 求线段 AB 的长（用含 的式子表示）； (2) 求线段 AB 的中点 C 表示的数（用含 √3 的式子表示）； (3) 通过估算，比较线段 AB 的长与 3.7 的大小。 23．（12 分）观察下列等式： 第 1 个： = 2； 第 2 个： = 3； 第 3 个： = 4； …… (1) 写出第 4 个等式； (2) 用含 n（n 为不小于 2 的整数）的等式表示你发现的规律，并验证它的正确性。 24．（12 分）综合与实践：如图，正方形 ABCD 的边长为 1。 (1) 求对角线 AC 的长； (2) 借助这个图形，说明如何在数轴上画出表示 的点； (3) 比较 与 1.4 的大小。 参考答案与解析 一、选择题：1．C　2．A　3．C　4．A　5．C　6．B　7．B　8．C　9．D　10．B 1．C：无理数是无限不循环小数。3.14 是有限小数，22/7 是分数，√4 = 2 是整数，它们都是有理数；π/2 是无理数。 2．A：正数的算术平方根只有一个且为正数，√4 = 2。注意“算术平方根”不取负值，±2 是 4 的平方根。 3．C：√9 = 3（A 错）；√((−5)2) = √25 = 5（B 错）；(−√5)2 = 5，正确；∛(−8) = −2（D 错）。 4．A：二次根式有意义要求被开方数非负，即 x − 3 ≥ 0，解得 x ≥ 3。 5．C：∵ 42 = 16 < 17 < 25 = 52，∴ 4 < √17 < 5，故 3 < √17 − 1 < 4。 6．B：∵ (−3)3 = −27，∴ −27 的立方根是 −3。负数的立方根为负数。 7．B：两个小正方形的面积和为 2，拼成的大正方形面积仍是 2，故边长为 √2。 8．C：最简二次根式要求被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数。√8 = 2√2，√(1/2) 与 √0.5 的被开方数含分母（小数），只有 √15 符合。 9．D：√((x − 1)2) = |x − 1|。由 |x − 1| = 1 − x 知 x − 1 ≤ 0，即 x ≤ 1。 10．B：正方形边长为 1，对角线 OB = √(12 + 12) = √2，故点 P 表示的数是 √2。 二、填空题 11．−4。∵ (−4)3 = −64，∴ −64 的立方根是 −4。 12．±2。先算 √16 = 4，再求 4 的平方根，得 ±2（这是最常见的易错点）。 13．1。由非负性得 a − 1 = 0 且 b + 2 = 0，故 a = 1，b = −2，a + b = −1，(−1)2026 = 1。 14．√3。√12 = 2√3，2√3 − √3 = √3。 15．>。∵ 42 = 16 > 15，∴ 4 > √15。 16．√5。正方形的边长 = √(面积) = √5（cm）。 17．√10（答案不唯一）。∵ 32 = 9 < 10 < 16 = 42，∴ 3 < √10 < 4，且 √10 是无理数，符合要求。 18．3。由平方差公式得 (√7)2 − 22 = 7 − 4 = 3。 三、解答题 19．(1) 原式 = 6 + (−3) − 0.5 = 2.5。(2) 原式 = (5 + 2√5 + 1) − 2√5 = 6。 20．(1) 4 = 9， = 9/4，所以 x = ±3/2。 　　(2) (x − 1)3 = −27，x − 1 = −3，所以 x = −2。 21．(1) a + b = (√3 + 1) + (√3 − 1) = 2√3。 　　(2) ab = (√3 + 1)(√3 − 1) = (√3)2 − 12 = 3 − 1 = 2。 　　(3) a2 − b2 = (a + b)(a − b) = 2√3 × 2 = 4√3。 22．(1) AB = √3 − (−2) = √3 + 2。 　　(2) 点 C 是 AB 的中点，C 表示的数为 (−2 + √3) ÷ 2 = （√3 − 2）/2。 　　(3) ∵ √3 ≈ 1.732，∴ AB = √3 + 2 ≈ 3.732 > 3.7。 23．(1) 第 4 个等式为 √(5 − 5/26) = 5√(5/26)。 　　(2) 规律：√(n − n/(n2 + 1)) = n√(n/(n2 + 1))（n ≥ 2，n 为整数）。 　　验证：左边 = √((n(n2 + 1) − n)/(n2 + 1)) = √(n3/(n2 + 1))； 　　右边 = √(n2 × n/(n2 + 1)) = √(n3/(n2 + 1))。左右两边相等，等式成立。 24．(1) 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AC = √(AB2 + BC2) = √(12 + 12) = √2。 　　(2) 以原点 O 为圆心、AC 的长（即 √2）为半径画弧，交数轴正半轴于点 P，则点 P 表示的数就是 √2。 　　(3) ∵ √2 ≈ 1.414 > 1.4，∴ √2 > 1.4。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $