精品解析：江苏常州市武进区前黄实验学校2026-2027学年初三上学期数学第一次阶段学情检测

前黄实验初三第一次月考 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外， ∴OP＞4， 故选：D． 【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 2. 如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 故选：. 3. 若是方程的一个根，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】解：将代入方程， 得， 整理得， 解得． 4. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 5. 如图，在中，，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． 由，可得，根据相似三角形性质得，然后把，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 故选：C． 6. 如图，是的直径．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，三角形的内角和定理等知识．根据直径所对的圆周角和三角形的内角和定理求出度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．重物上升的高度就是点旋转转过的弧长，利用弧长公式进行计算即可解决问题． 【详解】解：滑轮的半径为， 滑轮上点A转过的度数为时，所对应的弧长为：， 重物上升了 故选：B． 8. 某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边缘分别与杯底相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，设圆心，过点O作于N，交于点M，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 已知是关于x的一元二次方程的两实数根，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和求解即可． 【详解】解：在方程中，，， 由根与系数的关系可得 ． 10. 一个正多边形每个内角是，则这是一个正____边形． 【答案】##九 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角与外角，解题思路为先根据邻补角的性质求出正多边形的一个外角度数，再利用多边形外角和定理计算边数． 【详解】解：正多边形的一个内角是， 它的一个外角是：， 多边形的外角和为， 这个正多边形的边数是：． 11. 如图，为的直径，点、是的三等分点，，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，由平角的定义可得，再根据弧与圆心角之间的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， ∵点、是的三等分点， ∴， 故答案为：． 12. 如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是_________．（不考虑缝隙等因素） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：灯罩的铁皮的面积是． 13. 已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 14. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意得到，再判定，即可求解． 【详解】解：设点到的高为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，为的一条弦，圆周角，若直径为10，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角和解直角三角形，掌握相关性质，正确作出辅助线是正确解答此题的关键． 连接并延长，交于，连接，根据同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角，解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接并延长，交于，连接， 是的直径， ， ， ， 直径为10， ， 中，， 故答案为：． 16. 如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长； 故答案为：12． 17. 如图，在中，，，、分别是的内心和外心，连接，若，则的长______． 【答案】 【解析】 【分析】过内心作三角形三边的垂线，利用内心到三边距离相等的性质，结合判定四边形 为正方形，然后设正方形边长为，结合含角的直角三角形边长关系和的长度建立方程，求出正方形边长，再通过证明得到，结合外心的性质算出，最后在中用勾股定理求出． 【详解】解：如图，过点作，，，连接， ，，， ，， 点为的外心， ， 点为的内心， ，平分， ， 四边形是正方形， ， 设正方形边长为，则， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内心和外心的定义与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，含角的直角三角形的边长关系，掌握三角形内心和外心的性质是解题关键． 18. 如图，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ=90°，则线段CQ的取值范围是____． 【答案】≤CQ≤12． 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切，二是半圆和AB相交，首先求得相切时CQ的值，即可进一步求解相交时CQ的范围． 【详解】∵Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°， ∴AB=13， ①当半圆O与AB相切时，如图，连接OP， 则OP⊥AB，且AC=AP=5， ∴PB=AB﹣AP=13﹣5=8； 设CO=x，则OP=x，OB=12﹣x； 在Rt△OPB中，OB2=OP2+OB2， 即(12﹣x)2=x2+82， 解之得x=， ∴CQ=2x=； 即当CQ=且点P运动到切点的位置时，△CPQ为直角三角形． ②当＜CQ＜12时，半圆O与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形； ③当CQ=12时，Q与B重合，半圆与AB有两个交点，除点B外的另一个交点满足△CPQ为直角三角形； ④当0＜CQ＜时，半圆O与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆O外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形； ∴当≤CQ≤12时，△CPQ可能为直角三角形． 故答案为：≤CQ≤12． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理的推论，以及切线的性质等，熟练掌握基本性质进行综合分析是解题关键． 三、解答题（本大题共9小题，共84分） 19. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接运用配方法求解； （2）把右侧整体移到左边，整理后提取公因式，用因式分解法降次解方程． 【小问1详解】 解： 移项： 配方： 开平方： 解得：； 【小问2详解】 解： 变形： 移项： 提取公因式： 或 解得：． 20. 我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； （2）当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【答案】（1）， （2）当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元 【解析】 【分析】（1）根据“若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”，列式计算即可得出结果； （2）设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒， ∴当销售价为110元/盒时，每天的销售量为盒，每天盈利元； 【小问2详解】 解：设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∴当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元． 21. 如图，点在的直径的延长线上，点在上，且AC=CD，∠ACD=120°. （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积. 【答案】 （1）证明：连接OC． ∵AC＝CD，∠ACD＝120°， ∴∠A＝∠D＝30°． ∵OA＝OC， ∴∠2＝∠A＝30°． ∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90°， 即OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）图中阴影部分的面积为－． 【解析】 【分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD＝90°．根据等腰三角形的性质即可证明； （2）先根据直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半求出OD，然后根据勾股定理求出CD，则阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∠1＝∠2＋∠A＝60°． ∴S扇形BOC＝＝． 在Rt△OCD中，∠D＝30°， ∴OD＝2OC＝4， ∴CD＝＝． ∴SRt△OCD＝OC×CD＝×2×＝． ∴图中阴影部分的面积为：－． 22. 如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若所对圆心角的度数为，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据为的直径，得出，根据，得出，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明； （2）连接，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接 ∵， ∴． ∵， ∴． 23. 如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． （1）若点B是的中点，求证：； （2）若，，求的半径r． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦及圆心角间的关系，勾股定理，掌握垂径定理是解决本题的关键． （1）证明，可得，即可证明； （2）由垂径定理可得，然后设的半径为r，由勾股定理即可列出方程，解方程即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接, 设的半径为r，， 则， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 24. 分别按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图1，用无刻度的直尺和圆规作的外接圆； （2）如图2，在方格纸中，经过格点，用无刻度的直尺确定圆心的位置； （3）如图3，的顶点在上，点在内，，用无刻度的直尺画的内接三角形，使与相似． 【答案】（1） 如图，所作的外接圆即为所求． （2） 如图，点P即为圆心． （3） 如图3，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本作图（外接圆、确定圆心）以及相似三角形的作图，涉及直角三角形的外接圆性质、圆心的几何确定方法、相似三角形的判定与圆周角性质，解题的关键是利用相关几何性质（如直角三角形外心在斜边中点、圆心在弦的垂直平分线上、直径所对圆周角为直角等）进行作图． （1）在中，斜边的中点为其外心，故先确定斜边，再作斜边的中点，最后以该中点为圆心、斜边长度的一半为半径画圆，即为所求外接圆． （2）圆心在两条直径的交点上，故在方格纸中，利用格点正方形作出两个直角三角形（三角形各顶点均在圆上），两直径的交点即为圆心P． （3）利用“同弧圆周角相等”、“直径所对圆周角为”即可构造所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 已知，中，点D在上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，，E为线段上一点（不与A、C重合），连接，若的长为正整数，请求出的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）的长可为、、 【解析】 【分析】（1）先证明，再由相似三角形的性质解答即可； （2）求出，，当时，利用等面积法求出，从而可得，再结合的长为正整数即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 如图：当时， ∵，， ∴， ∴， ∵E为线段上一点（不与A、C重合）， ∴， ∵的长为正整数， ∴的长可为、、． 26. 如图，正方形的边长为4，是边的中点，点在射线上，过点作于点，垂足为，连接． （1）求证：； （2）设，是否存在实数，使得与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：在正方形中，， ， ， ； （2）存在实数，使得与相似，或5 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意可分当点在线段上，当点在线段延长线上，然后根据相似三角形的性质可进行求解 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：存在实数，使得与相似． 理由如下： 如图，当点在线段上，连接， 若，则， ， ， 四边形为平行四边形， ， 是的中点， ， ，即． 如图，当点在线段延长线上，连接． 若，则，， ， ， ． ， 点为的中点． ， ． ，即， ， ，即． 综上所述，满足条件的的值为2或5． 27. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以速度向点移动，连接，点的运动时间为． （1）当的面积等于时，求的值； （2）以为圆心，为半径画． ①当与线段所在直线相切时，求的值； ②当与线段有两个公共点时，求的取值范围． 【答案】（1）或； （2）①或； ②． 【解析】 【分析】（1）由题意得，，，，，则可用代数式表示出的面积，再将的面积代入即可求解； （2）①分两种情况讨论：当时；时，根据圆与直线相切即为圆与直线的距离等于半径列出方程即可求解； ②与线段有两个公共点即为与线段的距离小于半径且，列出一元二次不等式即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：依题得：，，，， ， 当的面积等于时， 即， 解得，， 故或； 【小问2详解】 解：①当时，点在点处，点在点处， 此时， 且根据矩形性质可得， 则此时以为圆心，为半径画，即为以为圆心，为半径画，与线段所在直线相切， 故满足条件； 当时，作交于点， 与线段所在直线相切， ， 在矩形中，， 又， 四边形是矩形， ， 即， 中，， ， 解得，（舍）， 综上，当与线段所在直线相切时，或； ②与线段有两个公共点， ，即，， ，即， 解得或（舍）； 连接， 由图得，当时，与线段才有两个公共点， ， 在矩形中，，， 中，， 即， 又， ， 解得或（舍）． 综上，当与线段有两个公共点时，． 【点睛】本题考查的知识点是动态几何问题(一元二次方程的应用)、已知直线和圆的位置关系求半径的取值、矩形的判定与性质、勾股定理、二次函数与不等式综合，解题关键是将直线和圆的位置关系转化为半径与直线和圆距离的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前黄实验初三第一次月考 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 若是方程的一个根，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 4. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中，，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（ ） A. B. C. D. 8. 某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边缘分别与杯底相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的直径为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 已知是关于x的一元二次方程的两实数根，则的值为________． 10. 一个正多边形每个内角是，则这是一个正____边形． 11. 如图，为的直径，点、是的三等分点，，则的度数为________． 12. 如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是_________．（不考虑缝隙等因素） 13. 已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 14. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则__________． 15. 如图，为的一条弦，圆周角，若直径为10，则______． 16. 如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 17. 如图，在中，，，、分别是的内心和外心，连接，若，则的长______． 18. 如图，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ=90°，则线段CQ的取值范围是____． 三、解答题（本大题共9小题，共84分） 19. 解一元二次方程： （1） （2） 20. 我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； （2）当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 21. 如图，点在的直径的延长线上，点在上，且AC=CD，∠ACD=120°. （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积. 22. 如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若所对圆心角的度数为，求的度数． 23. 如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． （1）若点B是的中点，求证：； （2）若，，求的半径r． 24. 分别按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图1，用无刻度的直尺和圆规作的外接圆； （2）如图2，在方格纸中，经过格点，用无刻度的直尺确定圆心的位置； （3）如图3，的顶点在上，点在内，，用无刻度的直尺画的内接三角形，使与相似． 25. 已知，中，点D在上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，，E为线段上一点（不与A、C重合），连接，若的长为正整数，请求出的长． 26. 如图，正方形的边长为4，是边的中点，点在射线上，过点作于点，垂足为，连接． （1）求证：； （2）设，是否存在实数，使得与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 27. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以速度向点移动，连接，点的运动时间为． （1）当的面积等于时，求的值； （2）以为圆心，为半径画． ①当与线段所在直线相切时，求的值； ②当与线段有两个公共点时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $