精品解析：江苏徐州市沛县第五中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情调研 数学试题

九年级上学期第一次学情调研数学试卷 一、单项选择（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需依据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A、当时，方程二次项系数为0，不是一元二次方程； B、将右边展开得，移项化简后为，不含二次项，不是一元二次方程； C、方程为整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，二次项系数，是一元二次方程； D、方程分母中含有未知数，不是整式方程，故不是一元二次方程． 2. 关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 无法确定 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 3. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限 C. 随着的增大而减小 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【详解】解：由得，将代入解析式，得，故A正确； 函数图象在第一、三象限，故B正确； 该函数仅在每个象限内随的增大而减小，并非对任意都成立，故C错误； 当时，随的增大而减小，且时，故，D正确． 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 5. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 过圆心的弦是圆的直径 B. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C. 周长相等的两个圆是等圆 D. 经过圆内一定点可以作无数条弦 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A、过圆心的弦是圆的直径，这是直径的定义，A正确； 选项B、在同一个圆中，当弦为直径时，所对的两条弧相等，且都为半圆，其他情况下一条弦所对的两条弧，是一条优弧和一条劣弧，两条弧不相等，因此同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，B错误； 选项C、根据圆的周长公式半径，周长相等的圆，半径也相等，为等圆，C正确； 选项D、经过圆内一定点可以作无数条弦，D正确． 6. 如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择． 【详解】解：如图： ∵的图象在第二象限， ∴， ∵ 的图象都在第一象限， ∴， 当时，，由图象可知，， ∴， 故选：A． 7. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式为，从而可得反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，由此即可得出结果． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴在第二象限， ∴， ∵，， ∴，在第四象限， ∵， ∴， ∴． 8. 设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知区间的最大值判断的符号，求出的值，再结合反比例函数的增减性求目标区间的最大值． 【详解】解：∵当时，的最大值为， ∴， ∵反比例函数中时，每个象限内随的增大而减小， ∴在中，取最小值时，取得最大值， 将，代入，得， ∴反比例函数解析式为， ∵当时，，随的增大而减小， ∴取最小值3时，取得最大值，为． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 将一元二次方程化为一般形式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过移项将原方程化为的形式即可． 【详解】解：， 移项得． 10. 方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 或 解得，． 故答案为：，． 11. 若方程的两个实数根为，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式通分变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵方程的两个实数根为，， ∴根据根与系数的关系可得 ，， ∵， 将，代入， 得原式． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】需要同时满足两个条件：一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有两个不相等的实数根要求根的判别式大于0，分别解不等式取交集即可得到结果． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 综上，的取值范围是且． 13. 已知直线与双曲线 的交点为，那么代数式的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用函数交点坐标同时满足两个函数解析式，得到与的关系式，代数式因式分解后整体代入求解． 【详解】解： 点是直线与双曲线的交点， 由，移项得： ， 由，两边同乘得： ， ， 将，代入， 原式． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 15. 如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ， 而， ， ， ， ． 16. 如图，平面直角坐标系中，点在轴上，，，点在反比例函数的图象上．把绕点顺时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过B作轴于点，过作轴于点D，先根据等腰直角三角形的性质得到，设则，代入中求得，则；设，根据反比例函数图象上点的坐标特征和勾股定理求得，，利用完全平方公式求得a、b值即可解答． 【详解】解：过B作轴于点，过作轴于点D， ∵，， ∴， 设则， ∴， ∵点B在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，∴， 由旋转性质得， ∵ ∴， ∴，， ∵且， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，涉及反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、勾股定理、完全平方公式的应用、旋转性质等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键． 三．解答题（本大题共10小题，共92分） 17. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）确定一元二次方程的系数，计算判别式后用公式法求解； （2）移项后提取公因式因式分解，转化为一元一次方程求解； 【小问1详解】 解： 方程中，，，， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解： 原式移项得， 提取公因式得， 即， ∴或， 解得：，． 18. 一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）当时，求x的值． 【答案】（1）该反比例函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）中求得的函数解析式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， 把代入得到，， 解得， ∴该反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，，解得． 19. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图面积是，求金色纸边的宽 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系并列出方程．先通过设未知数，根据矩形的面积公式列出方程后进而求解即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为x厘米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即金色纸边的宽为5cm． 20. 如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上． 【答案】 证明：连接，， ∵，AB的中点为O， ∴， ∴A，B，C，D四点在以O为圆心，长为半径的圆上． 【解析】 【分析】连接、，由直角三角形斜边上的中线定理得，则可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】（1）证明： 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）由即可证明； （2）由题意得到，，得出，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程有两个实数根，， ，， ， ， 解得． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求出点D坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）找出一次函数的图象在反比例函数图象上面的部分即可； （3）求出，设，则，再根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴， 将，代入一次函数得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：观察图象，当时，自变量x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 23. 某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品． （1）据统计，该纪念品在此电商平台年月的销售量是万件，年月的销售量达到万件． 若月至月的销售量月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）某实体店该纪念品的进价为每件元，若售价定为每件元，每天可售出件，市场调研发现，每件商品的售价每降低元，每天销量可增加件，为配合“江南文化节”的推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若要使每天销售后获利元，每件商品的售价应降低多少元？ 【答案】（1） 月平均增长率为． （2） 每件商品的售价应降低元． 【解析】 【分析】（1）本题为增长率问题，由初始量最终量（为增长月数），列方程即可求出增长率； （2）由利润公式：单件商品利润销售量总利润，列方程解决问题，注意题目要求尽量减少库存，优先选择降价多的方案． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 设每件商品的售价应该降低元，则每件商品的利润为元，每天的销量为件， 依题意可得：， 解得，（不符合题意，舍去） 答：每件商品的售价应该降低元． 24. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ （3）当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】（1）， （2）至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 （3） 解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【小问1详解】 解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 【小问2详解】 解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． 【小问3详解】 略 25. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． （1）下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． （2）若是“美丽方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①③ （2）或 （3），理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【解析】 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【小问1详解】 解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． 【小问2详解】 解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第一次学情调研数学试卷 一、单项选择（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 无法确定 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限 C. 随着的增大而减小 D. 当时， 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 过圆心的弦是圆的直径 B. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C. 周长相等的两个圆是等圆 D. 经过圆内一定点可以作无数条弦 6. 如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 将一元二次方程化为一般形式为_________． 10. 方程的解为______． 11. 若方程的两个实数根为，，则的值是______． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 13. 已知直线与双曲线 的交点为，那么代数式的值为_________． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 15. 如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 16. 如图，平面直角坐标系中，点在轴上，，，点在反比例函数的图象上．把绕点顺时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，则点的坐标为________． 三．解答题（本大题共10小题，共92分） 17. 解方程： （1）； （2）； 18. 一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）当时，求x的值． 19. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图面积是，求金色纸边的宽 20. 如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求出点D坐标． 23. 某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品． （1）据统计，该纪念品在此电商平台年月的销售量是万件，年月的销售量达到万件． 若月至月的销售量月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）某实体店该纪念品的进价为每件元，若售价定为每件元，每天可售出件，市场调研发现，每件商品的售价每降低元，每天销量可增加件，为配合“江南文化节”的推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若要使每天销售后获利元，每件商品的售价应降低多少元？ 24. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ （3）当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 25. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． （1）下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． （2）若是“美丽方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $