第三章函数的概念与性质（期中知识清单）高一数学上学期湘教版

第三章 函数的概念与性质　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 函数的概念 1.1 函数的定义 设 、 是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系 ，对于集合 中的任何一个数 ，在集合 中都有唯一的数 和它对应，那么称这样的对应 ： 为定义于 取值于 的函数，也记作 其中， 叫作自变量， 的取值范围 叫作函数的定义域；与 对应的数 叫作函数值，记作 ；所有函数值组成的集合 叫作函数的值域，值域是集合 的子集。 示例： 一次函数 是定义于 、取值于 的函数，其定义域为 ，值域为 。 注意： 函数定义强调”唯一”与”确定”：给定定义域内任意一个 ，通过对应关系 得到的 必须唯一；但同一个 可以对应多个不同的 。 1.2 函数的三要素 由函数的定义可知，函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定，因此确定一个函数主要取决于两个要素：定义域和对应关系。对值域的了解表明对函数有了更深入的认识，所以值域也是函数的要素之一。 函数的三要素： 要素 含义 定义域 自变量 的取值范围 对应关系 由 到 的确定的对应法则 值域 所有函数值 组成的集合，是 的子集 示例： 函数 的定义域为 ，对应关系是”平方”，值域为 。 1.3 相等函数 两个函数 和 ，当且仅当有相同的定义域，且对每个 都有 时，叫作相等。也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么它们不是同一个函数。 示例： 与 的解析式可化为相同形式，但前者定义域为 ，后者定义域为 ，所以二者不是相等函数。 1.4 映射的概念 在函数的定义中，把”数集”放宽为一般的集合，就得到映射的概念。 设 、 是两个非空的集合，如果按照某种对应关系 ，对于集合 中的任何一个元素 ，在集合 中都有唯一的元素 和它对应，这样的对应 叫作集合 到集合 的映射，记作 ：，或者 ，。 这里， 叫作映射的定义域，与 对应的 叫 的像，记作 （或 ），由所有 的像组成的集合叫作映射的值域。 对照映射的定义可知，本章所讲的函数是非空数集到非空数集的映射。 示例： 平面上的点与其坐标的对应，是点集合到二元数组集合的映射。 2. 表示函数的方法 2.1 解析法 把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式（也叫作解析表达式或函数关系式）。解析法就是用解析式来表示函数的方法。 示例： 正方形面积 是边长 的函数，用公式 （）表示。 2.2 列表法 用表格列出自变量与函数值的对应关系来表示函数的方法，叫作列表法。 示例： 某商品每件价格为 元，购买件数 与总价 的关系可用下表表示： 件数 1 2 3 4 5 总价 2 4 6 8 10 2.3 图象法 用图象来表示函数的方法叫作图象法。作函数图象通常有列表、描点、连线三个步骤：先找一些有代表性的自变量值 及对应的函数值 列表，再在坐标平面上描出这些点 ，最后用光滑曲线按自变量由小到大的顺序连接起来。 示例： 作出函数 （）的图象，可先取 等值列表、描点、连线。 2.4 自然定义域 如果函数由一个解析式表示，并且不考虑它的实际意义，那么这个函数的定义域就是指使这个解析式有意义的自变量取值范围，也称为自然定义域。 在实际问题中，函数的定义域还受到实际意义的制约，通常将自然定义域收缩到某个子集作为函数的定义域。 示例： 函数 的自然定义域为 。 3. 简单的分段函数 3.1 分段函数的定义 一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数。 示例： 绝对值函数 是一个分段函数：当 时，；当 时，。 注意： 分段函数虽然分了段，但仍然是一个函数，而不是几个函数；解决分段函数问题时通常要”分段”讨论，但最后要有统一的结论，分段仅仅是用不同的表达式。 4. 函数的单调性与最值 4.1 函数的最大（小）值 设 是函数 的定义域， 是 的一个非空的子集，如不加说明，我们认为 是个区间。 如果有 ，使得不等式 对一切 成立，就说 在 处取到最大值（），称 为 的最大值， 为 的最大值点。 仿照上面，同样可以写出 的最小值和最小值点的定义。最大值和最小值统称为最值。 示例： 函数 在 处取到最小值 ， 是最小值点；定义域为 时无最大值。 4.2 函数的单调性 如果对于 上任意两个值 、，当 时，都有 ，就称 是区间 上的增函数，也称 在区间 上单调递增。 如果对于 上任意两个值 、，当 时，都有 ，就称 是区间 上的减函数，也称 在区间 上单调递减。 示例： 函数 在 上单调递增；函数 在 上单调递减。 4.3 单调区间 如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 叫作 的单调区间。 示例： 函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，这两个区间都是它的单调区间。 5. 函数的奇偶性 5.1 偶函数 如果函数 的图象是以 轴为对称轴的轴对称图形，就称 是偶函数。 用数学符号语言描述：如果对一切使 有定义的 ， 也有定义，并且 成立，则称 为偶函数。 示例： 是偶函数，因为 。 5.2 奇函数 如果函数 的图象是以原点为中心的中心对称图形，就称 是奇函数。 用数学符号语言描述：如果对一切使 有定义的 ， 也有定义，并且 成立，则称 为奇函数。 示例： 是奇函数，因为 。 注意： 判断函数奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称；定义域关于原点不对称的函数，既不是奇函数也不是偶函数。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 奇函数在原点有定义时 若 是奇函数且在 处有定义，则 。如 满足 。 【使用提醒】 此结论只对”在 处有定义”的奇函数成立；若定义域不含 ，则不能使用。 1.2 奇偶函数的运算性质 运算 结论 奇 奇 偶函数 偶 偶 偶函数 奇 偶 奇函数 奇 奇 奇函数 偶 偶 偶函数 示例： 定义在 上的两个奇函数的乘积是偶函数。 1.3 奇偶函数在对称区间上的单调性 奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反。 示例： 偶函数 在 上递减，在 上递增；奇函数 在 上递增。 1.4 复合函数的单调性（同增异减） 设 ，。若 与 的单调性相同，则复合函数 递增；若单调性相反，则复合函数递减。 示例： 中，外层 递增、内层 在 上递增，故原函数在 上递增。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求函数的定义域 根据解析式各部分的约束条件列出不等式（组）求解：分式中分母不等于 ，偶次根式中被开方数不小于 ；实际问题还需结合实际意义。 示例： 求 的定义域，需满足 且 ，得定义域为 。 2.2 判断两个函数是否相等 先看定义域是否相同，再看化简后的解析式是否相同，两者都相同才是相等函数。 示例： 与 定义域都是 ，且 ，故二者相等。 2.3 定义法证明函数的单调性 按”设值、作差（或作商）、变形、定号、下结论”五步：任取 属于区间，作差 ，因式分解或配方化为可判断符号的积的形式，由符号确定增减性。 示例： 证明 在 上递增：任取 ，则 ，故 ，是增函数。 2.4 判断函数的奇偶性 先求定义域并判断其是否关于原点对称（不对称则非奇非偶），再计算 ，与 、 比较： 为偶函数， 为奇函数，都不满足则非奇非偶。 示例： 判断 的奇偶性：定义域为 ，，故为奇函数。 2.5 求二次函数在区间上的最值 先看对称轴与所给区间的位置关系，结合开口方向确定最值：开口向上时，对称轴在区间内则顶点为最小值、端点之一为最大值；对称轴在区间外则区间端点分别取最值。 示例： 求 在 上的最值：对称轴 在区间内，最小值为 ，最大值为 。 3. 求值 / 判断单调性小技巧 技巧 要点 示例 具体函数求值 代入解析式直接算，分段函数先判断自变量落在哪一段 中 ， 抽象函数赋值 取特殊值（如 、）解出 等 由 令 得 图象法判单调性 从左到右看图象：上升为增、下降为减 折线上升段对应递增区间 数形结合求值域 画出图象，看纵坐标的变化范围 的图象最低点为 ，值域为 4. 常见考试模型 4.1 分段函数模型 公式： 自变量在不同取值范围内对应不同解析式，如分段计费：不超过 千瓦时部分单价 元、超过部分单价 元，则 （），（）。 限定： 求值、作图、解方程都须先判断自变量落在哪一段，再选用对应解析式；分段点处取值的归属要按题意确定。 示例： 如电费不超过 元时按第一段计费，超过时按第二段计费，先判金额所在段再反解用电量。 4.2 二次函数最值模型 公式： 的对称轴为 ，顶点纵坐标 为最值。 限定： 时开口向上有最小值、 时开口向下有最大值；限定区间时须结合对称轴与区间的位置分类讨论。 示例： 如 开口向下，对称轴 ，在 上最大值为 。 4.3 抽象函数模型 公式： 由给定的恒等式（如 、）通过赋值、代换来求函数值或判断性质。 限定： 赋值要结合已知条件和所求目标选取；判断奇偶性常令 或取对称点。 示例： 如 满足 ，令 得 ，令 得 ，故 为奇函数。 【使用提醒】 抽象函数由恒等式推出的性质，需先确认 、定义域等前提，避免在定义域不含 时误用 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：求定义域时漏掉约束条件，导致定义域扩大 典例： 求函数 的定义域。 错解： 要使分式有意义，只需 ，所以定义域为 。 正解： 函数中既有偶次根式又有分式，需同时满足 且 ，解得 且 ，故定义域为 。 原因： 条件遗漏。学生看到分式就只想到”分母不为 “，忽视了偶次根式”被开方数不小于 “这一条件。纠正要点：求定义域要把解析式中所有构成部分（分式、偶次根式、对数真数等）的约束条件全部列出，取交集。 易错点 2：判断函数是否相等时只看解析式，不看定义域 典例： 判断 与 是否为同一函数。 错解： 因为 ，所以 与 是同一个函数。 正解： 的定义域为 ，而 的定义域为 ，两者定义域不同，所以不是同一个函数。 原因： 概念理解错误。学生误以为”解析式相同就是同一函数”，忽略了”两个函数相等必须定义域相同”这一前提。纠正要点：判断函数是否相等，先比定义域、再比对应关系，两步缺一不可。 易错点 3：分段函数求值或作图时用错解析式 典例： 已知函数 满足：当 时 ，当 时 ，求 。 错解： 因为 属于第一段 ，所以 。 正解： 满足第二段条件 ，应代入 ，故 。 原因： 条件遗漏。学生没有看清分段点 属于哪一段（这里是”“而非”“），把分段点的取值归错了段。纠正要点：分段函数求值先确定自变量所属区间，特别注意分段点处”““”“”“”的边界归属。 易错点 4：证明单调性时作差变形不彻底就下结论 典例： 用定义证明 在 上是减函数。 错解： 任取 ，，因 ，所以 ，故 是减函数。 正解： 。因 ，故 ，且 得 ，两负相乘为正，即 ，，故 在 上是减函数。 原因： 符号处理失误。学生只看到 就误以为整体为负，没有对 的符号作正确判断（在 上这一项是正的）。纠正要点：作差后要彻底通分、因式分解，把各项符号都判断清楚再定号，不能只看一项。 易错点 5：判断奇偶性时忽视定义域关于原点对称的前提 典例： 判断函数 ， 的奇偶性。 错解： 因为 ，所以 是偶函数。 正解： 定义域 关于原点不对称（例如 但 ），故 既不是奇函数也不是偶函数。 原因： 概念理解错误。学生只验证 ，忘了奇偶性成立的前提是”定义域关于原点对称”。纠正要点：判断奇偶性第一步先看定义域是否关于原点对称，不对称直接判”非奇非偶”，无需再算 。 易错点 6：奇函数在原点有定义时忘记 典例： 已知定义在 上的奇函数 满足 时 ，求 的值。 错解： 由 时的解析式 ，直接代入 得 。 正解： 因 是定义在 上的奇函数，且在 处有定义，由奇函数性质 令 得 ，故 。 原因： 概念理解错误。 时的解析式不适用于 ，不能直接代入。本题虽碰巧得到 ，但正确依据应是”奇函数在原点有定义则 “。纠正要点：分段给出解析式时，原点处的值要由奇偶性等整体性质确定，而不能代入只在某一段成立的解析式。 学科网（北京）股份有限公司 $