4.2.1 指数函数的概念及其图象和性质（学案）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

XINKECHENG XUEAN第4章幂函数、指数函数和对数函数 4.2指数函数 第一课时指数函数的概念及其图象和性质 明学习目标 知结构体系 1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念 课标 2.掌握指数函数的图象及简单性质. 指数爆炸 要求 指数函数的概念 3.初步学会运用指数函数来解决问题。 数 指数衰减 指数函数的图象 数 应用 重点 重点：指数函数的概念与图象， 指数函数的性质 难点 难点：指数函数图象的应用. [四剧学习内空」 落实必备知识 ■（一）指数函数的概念 ③若a=1,则对任意的x∈R,a=1是一个常量，没有 1.指数函数的概念 研究的必要性」 为了避免上述各种情况的发生，规定a>0,且 在幂的表达式中，如果让底数为 a≠1.有此规定后，对任意的x∈R,a都有意义， 而取指数为 ,则得到一类新的函数y= 且ar>0. a(x∈R),这叫作指数函数，其中a>0,且a≠1.：(2)函数y=a(a>0,且a≠1)的定义域为什么是R? 2.指数爆炸 指数的范围已经拓展到了实数，当a>0,且a≠1，x (1)当底数a>1时，指数函数值随自变量的： 是一个实数时，a表示一个确定的实数，即a(a> 0,且α≠1)对任意实数x都有意义，因此指数函数 增长而 ,底数a较大时指数函数值增长 y=a的定义域是R. 速度惊人，被称为指数爆炸. 即时小练帮你学道 (2)在经济学或其他学科中，当某个量在 ；1.判断正误 个既定的时间周期中，其 是 (1)函数y=一2是指数函数， ( 一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也 (2)函数y=2+是指数函数. 称指数增长。 (3)函数y=(-5)r是指数函数. 3.指数衰减 :2.若指数函数f(x)过点(1,3)，则f(3)= 如果底数0<a<1时，指数函数值随自变量 (二)指数函数的图象和性质 的增长而 以至无限接近于 ,叫 1.指数函数y=a(a>0,且a≠1)的图象与性质 作指数衰减.指数衰减的特点是：在一个既定的 a>1 0<a<1 时间周期中，其 是一个常量 微点注解/霜你坦清 Y-0 (1)为什么规定底数a>0,且a≠1？ 图象 ①若a=0,则当x>0时，a=0;当x≤0时，a无意义. 101) (0,1) ②若a<0,则对于x的某些数值，可使a无意义.如 0 11 y=（一2)，对于x=2,4…,函数值不存在. 铺了89 │数学必修第一册│xNKECHENG XUEAN ___续表2.底数与指数函数图象的关系 a>1ⅵ_____0<a<1（1)由指数函数y=a^’的图象与直线x=1 定义域___________；相交于点(1，a)可知，在y轴右侧，图象从下到 值域⋮上相应的底数由小变大。 |过定点|过定点___，即x=—_时，y=（2)由指数函数y=a”的图象与直线x= 性|函数值上当。x≥0时，_-当x>0时，⋮-1相交于点(-1，=)可知， 单调性│在R上是_____在R上是在y轴左侧，图象从下到上相/y-a_2 应的底数由大变小。如图所 对称性│y=a’与y=(÷)的图象关于y轴对称示，指数函数底数的大小关系_________⋮示，指数函数底数的大小关系 ——微点注解/帮你理清—_[为0≤a_4≤a_3≤1≤a_2≤a_1· （1)当底数a是否大于1不确定时，必须分a≥1或0<—即时小练/和你学画— a<1两种情况讨论函数的图象和性质。 （2)指数函数的图象都经过点(O，1)且图象都在x轴上方．一函数y=2”的图象是（） （3)指数函数y=a^x(a≥0，且a≠1)的图象恒过点 （0，1)，(1，a)，(-1a)，只要确定了这三个点的坐o° 标，即可迅速地画出指数函数y=a’(a≥0，且a≠1)A Bⅳ 的大致图象． （4)当a>1时，x→-∞，y→0；当0<a<1时，x→+∞， y yt y→0.(其中“x→＋∞”的意义是“x趋近于正无穷大”) （5)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对 o/1三_ oi 三 称，根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象c D 画出另一个函数的图象．—2.当x∈[-2.2)时，y=3―-1的值域是_ m扇学习的溶之强化关键能力 _[题点一]—⋮_…[方法技巧] 指数函数的概念及应用（1)判断一个函数是否为指数函数，只需判断其 [典例]_（1）下列函数中是指数函数的是解析式是否符合y=a(a≥0，且a≠1)这一形式，其具 _____（填序号)。系在数“点”备的特点为：__________ 抓住点数，表数，排 ①y=(÷)﹔②y=2×3^”；二5作进行料是指 ③y=3^x；④y=4^”；⑤y=3^x＋1；数| ◎y=+1（2)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数 法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件求出解 （2)若指