学易金卷：高一数学上学期期中模拟卷·拔高卷（全国通用，人教A版，范围：必修第一册第一章～第三章）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（新情景）如图，在菱形ABCD中，，，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 3．（新考法）已知非空数集M具有如下性质：①若则；②若，则．下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 4．（改编题）已知，且，记为的最大值，记为的最大值.已知，对任意，恒成立，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D．2 5．（新文化）对于定义域为的函数，记．若任取，都有，则称为“晨晖函数”．判断下列两个命题：命题①：“晨晖函数”一定是奇函数；命题②：存在“晨晖函数”，使得．则下面说法正确的是（    ）. A．命题①正确，命题②正确 B．命题①错误，命题②正确 C．命题①正确，命题②错误 D．命题①错误，命题②错误 6．（新定义）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，.下列命题不正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．若，恒成立，则实数a的取值范围为 D．若不等式的解集为，则 7．关于的不等式 恰有2个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．记，若正实数，，满足，则的最小值为（   ） A．9 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B． 的最小值为 C． 的最小值为2 D．的最大值为 10．已知是定义在R上的偶函数，为奇函数，，且对任意，当时，恒成立，则（    ） A．的图像关于点对称 B． C．在上单调递增 D． 11．给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（    ） A． B．的值可能为 C．的最大元素不大于 D．的值可能为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围为__________． 13．抛物线的开口向下，图象与x轴交于和，且，下列结论：①；②；③若，、是抛物线上两点，则当时，；④关于x的一元二次方程有实数根；⑤关于x的不等式的解集为．其中正确的结论是________（填写序号）. 14．定义函数，给出下列结论： ①； ②； ③若直线与的图像有3个交点，则； ④在区间上的值域为，则的最大值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是增函数； (3)若实数满足，求实数的范围． 16．（15分） （1）已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围； （2）已知，，若q是p的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17．（15分） 不等式 (1)若存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围 (2)若对于实数不等式恒成立，求实数的取值范围 (3)解关于的不等式 18．（17分） 已知，均为任意正数． (1)求的最大值． (2)证明：． (3)若不等式恒成立，求的取值范围． 19．（17分） 若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． (3)设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C C A C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．①②③⑤ 14．①②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以有，即，所以， 又因为，即，解得，所以（经检验符合题意）.（4分） （2）任取，且， 那么， 由于且，所以，，而，， 所以，即，因此在上是增函数.（8分） （3）实数满足，即满足， 由于是奇函数，所以，不等式化为， 由（2）可知在上是增函数，该函数图象连续，所以，解得， 所以实数的取值范围为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）设为的两个不等的负根，则， 解得，记集合， 而，解之得，记集合， 若p真q假，则， 若p假q真，则， 综上若、一真一假，则{或} ；（7分） （2）由，解不等式得， 记集合， 由， 解不等式得， 记集合， 因为q是p的必要不充分条件， 所以集合C是集合D的真子集， 则，解得，显然等号不能同时取到， 故实数的取值范围为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）不等式可化为， 因为，，所以只需能成立即可． 即在上有解， 因为，所以， 所以实数的取值范围为；（4分） （2）不等式可化为， 令， 若对于实数不等式恒成立， 则，解得或． 所以或.（9分） （3）不等式可化为， 若，则，不等式的解集为， 若，， 若，则，或，不等式的解集为， 若，则，不等式的解集为， 若，则，不等式的解集为． 若，则，，不等式F的解集为． 综上所述： 若，则不等式的解集为， 若，则不等式的解集为， 若，则不等式的解集为． 若，则不等式的解集为， 若，则不等式的解集为．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为为正数，则， 因(当且仅当时取等号)， 则，故可得， 即的最大值为1；（5分） （2）证明：由(1)知，当且仅当时取等. 因 ，当且仅当 时取等， 则，当且仅当时取等. 故成立；（10分） （3）不等式恒成立等价于，对一切恒成立， 注意到， ，又恒成立， 则得，当且仅当且， 即，时取等， 故得， 由题意，，解得， 故的取值范围为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）集合的所有不同的2划分为，，.（5分） （2）该命题为假命题，理由如下： 假设命题为真，则不妨设中元素的最大值为，中元素的最小值为，由题可知：，所以， 因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以， 因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即命题不可能成立；（10分） （3）由于集合中有16个元素，所以，，中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素， 设，，，，，，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么，，，，， 又因为，，，，， 所以，，，，， 则，中必有一个集合至少包含，，，，中的3个元素， 不妨设这3个元素为， 由假设可知：，，， 对任意，，存在，， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，即存在，存在，，使得．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（新情景）如图，在菱形ABCD中，，，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 3．（新考法）已知非空数集M具有如下性质：①若则；②若，则．下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 4．（改编题）已知，且，记为的最大值，记为的最大值.已知，对任意，恒成立，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D．2 5．（新文化）对于定义域为的函数，记．若任取，都有，则称为“晨晖函数”．判断下列两个命题：命题①：“晨晖函数”一定是奇函数；命题②：存在“晨晖函数”，使得．则下面说法正确的是（    ）. A．命题①正确，命题②正确 B．命题①错误，命题②正确 C．命题①正确，命题②错误 D．命题①错误，命题②错误 6．（新定义）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，.下列命题不正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．若，恒成立，则实数a的取值范围为 D．若不等式的解集为，则 7．关于的不等式 恰有2个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．记，若正实数，，满足，则的最小值为（   ） A．9 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B． 的最小值为 C． 的最小值为2 D．的最大值为 10．已知是定义在R上的偶函数，为奇函数，，且对任意，当时，恒成立，则（    ） A．的图像关于点对称 B． C．在上单调递增 D． 11．给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（    ） A． B．的值可能为 C．的最大元素不大于 D．的值可能为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围为__________． 13．抛物线的开口向下，图象与x轴交于和，且，下列结论：①；②；③若，、是抛物线上两点，则当时，；④关于x的一元二次方程有实数根；⑤关于x的不等式的解集为．其中正确的结论是________（填写序号）. 14．定义函数，给出下列结论： ①； ②； ③若直线与的图像有3个交点，则； ④在区间上的值域为，则的最大值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是增函数； (3)若实数满足，求实数的范围． 16．（15分） （1）已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围； （2）已知，，若q是p的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17．（15分） 不等式 (1)若存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围 (2)若对于实数不等式恒成立，求实数的取值范围 (3)解关于的不等式 18．（17分） 已知，均为任意正数． (1)求的最大值． (2)证明：． (3)若不等式恒成立，求的取值范围． 19．（17分） 若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． (3)设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．【答案】C 【解析】由题意知，且1和2是方程的两个根， 根据韦达定理得，解得， 不等式，即，化简得，解得或， 则不等式的解集为：. 故选：C 2．（新情景）如图，在菱形ABCD中，，，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 2．【答案】A 【解析】解：如图所示，连接BD，过点B作于点E， 当时，M在AB上， 菱形ABCD中，，， ，则是等边三角形， ， ，， ，又 ， 当时，M在BC上， ， 综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分， 当时，函数图象是直线的一部分. 故选：A 3．（新考法）已知非空数集M具有如下性质：①若则；②若，则．下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．【答案】C 【解析】对于A，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得， 若，令，，则，， 令，，不存在，即，矛盾，所以，A错误； 对于B，因为，根据性质②，得， 进而，，…，，，B错误； 对于C，因为，，所以，因为，，所以，C正确； 对于D，若，，则，D错误． 故选：C. 4．（改编题）已知，且，记为的最大值，记为的最大值.已知，对任意，恒成立，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D．2 4．【答案】C 【解析】因为，，所以， 因为，所以， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故的最大值为1，即. 因为，所以， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以的最大值为2，即. 则对，恒成立， 可化为对，恒成立. 令，则，故. 对，恒成立， 可化为对，恒成立. 因为，所以， 所以，此时， 所以， 当，，时，等号成立. 此时成立， 所以的最大值为. 故选：C. 5．（新文化）对于定义域为的函数，记．若任取，都有，则称为“晨晖函数”．判断下列两个命题：命题①：“晨晖函数”一定是奇函数；命题②：存在“晨晖函数”，使得．则下面说法正确的是（    ）. A．命题①正确，命题②正确 B．命题①错误，命题②正确 C．命题①正确，命题②错误 D．命题①错误，命题②错误 5．【答案】A 【解析】命题①：根据题意，则， ，， 故，一定有，即， 所以“晨晖函数”一定是奇函数，故命题①正确； 命题②，由可知，点在函数图象上， 根据“晨晖函数”定义，点也必在函数图象上， 由于这四个点的横坐标各不相同，不违背函数的定义， 故可以构造出满足条件的“晨晖函数”，因此存在这样的函数，命题②正确. 故选：A. 6．（新定义）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，.下列命题不正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．若，恒成立，则实数a的取值范围为 D．若不等式的解集为，则 6．【答案】C 【解析】令， 对于A：不等式变为，解得，但，所以n不存在，故原不等式解集为，所以A正确 对于B：由，即，所以满足的整数或或. 若，则；若，则；若，则. 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C：因为，所以或或或. 而恒成立，即对恒成立，不等式变形为， 当时，；当时，；当时，；当时，； 所以要对恒成立，得，故C不正确； 对于D：因为不等式的解集为，即时满足，时不满足. 当时，，即；当时，，即； 当时，，即；当时，，即. 综上所述，得，故D正确. 故选：C. 7．关于的不等式 恰有2个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．【答案】B 【解析】原不等式可化简为， 即， ∵不等式恰有2个整数解， ∴，即或， 当时，，， 不等式解集为， ∵，∴两个整数只能取，即，解得； 当时，，， 不等式解集为，∵， ∴两个整数只能取，即，解得. 故答案为：B． 8．记，若正实数，，满足，则的最小值为（   ） A．9 B． C． D． 8．【答案】D 【解析】已知正实数，，满足，则， 由最大值的性质， ， 当且仅当时等号成立， 故，即最小值为． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B． 的最小值为 C． 的最小值为2 D．的最大值为 9．【答案】ACD 【解析】对于A：由基本不等式，， 当且仅当时取等号，故最大值为，故A正确； 对于B： 当且仅当，即时取等号， 结合可得当，时，取最小值，最小值为，故B错误； 对于C：，， 所以，当取等号， 最小值为，故C正确； 对于D： 即，当且仅当， 即时取等号，最大值为，故D正确. 故选：ACD 10．已知是定义在R上的偶函数，为奇函数，，且对任意，当时，恒成立，则（    ） A．的图像关于点对称 B． C．在上单调递增 D． 10．【答案】ABD 【解析】A选项，由为奇函数，得， 得， 所以的图象关于点对称，A正确． B选项，由是偶函数，得， 结合， 得，即， 即，所以， 所以的周期为16，，B正确． C选项，由题意得在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递减． 又的周期为16，所以在上单调递减，C错误． D选项，由的图象关于点对称，所以 ，，， ，， . 由为偶函数可得，，， ，，， ，， 结合上述条件可得， 因为的周期为16，所以 ，D正确. 故选：ABD 11．给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（    ） A． B．的值可能为 C．的最大元素不大于 D．的值可能为 11．【答案】AD 【解析】∵ 集合 ，且 ， 可得 ，中最大元素为. 对于选项A， 题设明确，根据子集定义，可得 ，故A正确. 设中最小元素为，最大元素为，. ∵ ，即. ∵ ，故的最小元素为. ∵ ，故的最大元素为. 要满足，需保证的最大元素小于的最小元素， 即 ①. 对于选项C：若，则，， 满足，且，故C错误. 对于选项B、D：要使最大，可取为连续自然数集合，此时. 代入①得 . 又 ，当时，， 因为，所以， 代入得，且， 满足①式，此时符合所有条件，故可能为，故D正确. 当时，，因为，所以， 代入得，超出的元素范围，不可能成立，故B错误. 故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围为__________． 12．【答案】 【解析】由，得，由，得， 所以的解集为， 大于的整数依次为， 题目要求恰好两个整数解，只能是， 所以， 由，得， 即，解得或， 由，得，解得， 所以的解集为， 即实数的取值范围为． 故答案为：. 13．抛物线的开口向下，图象与x轴交于和，且，下列结论：①；②；③若，、是抛物线上两点，则当时，；④关于x的一元二次方程有实数根；⑤关于x的不等式的解集为．其中正确的结论是________（填写序号）. 13．【答案】①②③⑤ 【解析】抛物线开口向下，， 抛物线与x轴交于和，对称轴为直线， ，则对称轴在y轴右侧，即， ，， 将代入抛物线得，， ，，，，故①正确． 抛物线可写成交点式，， ，，不等式两边同乘得， 即，故②正确． 若，则对称轴为直线， 开口向下，抛物线上点离对称轴越远，函数值越小， ，，两点到对称轴的距离分别为，， 若，则，平方得， 化简得，即，故当时，，故③正确． 关于x的方程有实根，需满足，为顶点的纵坐标， ， 代入不等式得，即， ，∴，故不等式不成立，方程无实根，故④错误． 整理不等式得， 由得，代入得，即， ，，解得，故⑤正确． 故答案为：①②③⑤. 14．定义函数，给出下列结论： ①； ②； ③若直线与的图像有3个交点，则； ④在区间上的值域为，则的最大值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 14．【答案】①②④ 【解析】记，，则. 当 时,， 当时,， ； 由上两式得：当或时，，此时； 当时，，此时. 即. ,结论①正确. ，分两种情形.当时，，而，等式成立.当时，，故 两种情形等式都成立,结论②正确. 函数的对称轴为，. 则函数在单调递减，值域为； 在上单调递增，值域为； 在上单调递减，值域为； 在上单调递增，值域为. 当也有三个解,结论③错误. 一方面， 恒成立，当且仅当，故要取到最小值必须有. 另一方面，令，解得. 由在各个区间的单调性与值域知， 当时，取得最大值,结论④正确. 故答案为：①②④. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是增函数； (3)若实数满足，求实数的范围． 15．（13分） 【解析】【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以有，即，所以， 又因为，即，解得，所以（经检验符合题意）. （2）任取，且， 那么， 由于且，所以，，而，， 所以，即，因此在上是增函数. （3）实数满足，即满足， 由于是奇函数，所以，不等式化为， 由（2）可知在上是增函数，该函数图象连续，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 16．（15分） （1）已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围； （2）已知，，若q是p的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（15分） 【解析】（1）设为的两个不等的负根，则， 解得，记集合， 而，解之得，记集合， 若p真q假，则， 若p假q真，则， 综上若、一真一假，则{或} ； （2）由，解不等式得， 记集合， 由， 解不等式得， 记集合， 因为q是p的必要不充分条件， 所以集合C是集合D的真子集， 则，解得，显然等号不能同时取到， 故实数的取值范围为. 17．（15分） 不等式 (1)若存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围 (2)若对于实数不等式恒成立，求实数的取值范围 (3)解关于的不等式 17．（15分） 【解析】（1）不等式可化为， 因为，，所以只需能成立即可． 即在上有解， 因为，所以， 所以实数的取值范围为； （2）不等式可化为， 令， 若对于实数不等式恒成立， 则，解得或． 所以或. （3）不等式可化为， 若，则，不等式的解集为， 若，， 若，则，或，不等式的解集为， 若，则，不等式的解集为， 若，则，不等式的解集为． 若，则，，不等式F的解集为． 综上所述： 若，则不等式的解集为， 若，则不等式的解集为， 若，则不等式的解集为． 若，则不等式的解集为， 若，则不等式的解集为． 18．（17分） 已知，均为任意正数． (1)求的最大值． (2)证明：． (3)若不等式恒成立，求的取值范围． 18．（17分） 【解析】（1）因为为正数，则， 因(当且仅当时取等号)， 则，故可得， 即的最大值为1； （2）证明：由(1)知，当且仅当时取等. 因 ，当且仅当 时取等， 则，当且仅当时取等. 故成立； （3）不等式恒成立等价于，对一切恒成立， 注意到， ，又恒成立， 则得，当且仅当且， 即，时取等， 故得， 由题意，，解得， 故的取值范围为. 19．（17分） 若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． (3)设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． 19．（17分） 【解析】（1）集合的所有不同的2划分为，，. （2）该命题为假命题，理由如下： 假设命题为真，则不妨设中元素的最大值为，中元素的最小值为，由题可知：，所以， 因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以， 因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即命题不可能成立； （3）由于集合中有16个元素，所以，，中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素， 设，，，，，，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么，，，，， 又因为，，，，， 所以，，，，， 则，中必有一个集合至少包含，，，，中的3个元素， 不妨设这3个元素为， 由假设可知：，，， 对任意，，存在，， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，即存在，存在，，使得． / 学科网（北京）股份有限公司 $