第一章勾股定理——勾股定理的逆定理专项小卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

北师大版八年级数学（上册）专项小卷 勾股定理的逆定理 （配套第一章 1.2 一定是直角三角形吗） 满分：60 分　　考试时间：40 分钟 题　号 一 二 三 附加题 总　分 得　分 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（　　） A. 3，4，5　　B. 2，3，4　　C. 4，5，6　　D. 5，11，12 2. 一个三角形的三边长分别为 5、12、13，则这个三角形是（　　） A. 锐角三角形　　B. 直角三角形　　C. 钝角三角形　　D. 等腰三角形 3. 命题“如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形”的逆命题是（　　） A. 如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形 B. 如果一个三角形是直角三角形，那么它的三边长 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2 C. 如果三角形的三边长 a、b、c 不满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形不是直角三角形 D. 如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边长 a、b、c 不满足 a2 + b2 = c2 4. 若一个三角形的三边长分别为 9、40、41，则这个三角形的面积为（　　） A. 180　　B. 360　　C. 90　　D. 720 5. 在 △ABC 中，三边长分别为 a、b、c，且满足 a2 - b2 = c2，则 △ABC 是（　　） A. 以 a 为斜边的直角三角形　　B. 以 b 为斜边的直角三角形 C. 以 c 为斜边的直角三角形　　D. 不是直角三角形 6. 若一个三角形的三边长分别为 8、15、17，则该三角形最长边上的高为（　　） A. 15　　B. 　　C. 8　　D. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 7. 若一个三角形的三边长分别为 7、24、25，则这个三角形是 __________ 三角形。 8. 在 △ABC 中，AB = 12，BC = 16，AC = 20，则 △ABC 中最大角的度数为 __________。 9. 若一个三角形的三边长分别为 、、，则这个三角形是 __________ 三角形。 10. 若一个三角形的三边长分别为 2、3、x，且这个三角形是直角三角形，则 x = __________。 11. 用一根长为 24 cm 的绳子围成一个三边长之比为 3∶4∶5 的三角形，则这个三角形是 __________ 三角形，最长边的长为 __________ cm。 三、解答题（本大题共 3 小题，共 27 分。解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 12.（9 分）判断下列以 a、b、c 为三边的三角形是不是直角三角形，并说明理由： （1）（3 分）a = 9，b = 12，c = 15； （2） （3 分）a = 6，b = 7，c = 9； （3）（3 分）a = ，b = 2，c = 。 13.（9 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13。求四边形 ABCD 的面积。 14.（9 分）如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，以左下方的格点 O 为原点建立平面直角坐标系，格点 △ABC 的三个顶点分别为 A(2，0)、B(4，1)、C(0，4)。 （1）（4 分）分别求 AB、AC、BC 的长； （2）（5 分）判断 △ABC 是不是直角三角形，并说明理由。 附加题（5 分，不计入总分） 已知一个三角形的三边长分别为 a、b、c，且满足 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c，判断这个三角形的形状，并说明理由。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B B A A B 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 7. 直角 8. 90° 9. 直角 10. 或 11. 直角；10 三、解答题（共 27 分） 12.（每小题 3 分，共 9 分） （1）因为 9² + 12² = 81 + 144 = 225，而 c² = 15² = 225，所以 a² + b² = c²。由勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且 c = 15 为斜边。（3 分） （2）三边中 9 最大。因为 6² + 7² = 36 + 49 = 85，而 9² = 81，所以 a² + b² ≠ c²，这个三角形不是直角三角形。（3 分） （3）因为 ()² + 2² = 3 + 4 = 7，而 c² = ()² = 7，所以 a² + b² = c²。由勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且 c = 为斜边。（3 分）【点拨】判断时要先找出最长边，再检验两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。 13.（9 分）连接 AC。 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，由勾股定理得 AC = = = = 5。（3 分） 在 △ACD 中，因为 AC² + CD² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169，而 AD² = 13² = 169，所以 AC² + CD² = AD²。由勾股定理的逆定理，得 ∠ACD = 90°，即 △ACD 是直角三角形。（3 分） 所以 S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = × 3 × 4 + × 5 × 12 = 6 + 30 = 36。答：四边形 ABCD 的面积为 36。（3 分）【点拨】本题先用勾股定理求出 AC，再用逆定理判定 △ACD 为直角三角形，从而把四边形面积转化为两个直角三角形面积之和。 14.（9 分） （1）由坐标可得： AB = = = ； AC = = = = 2； BC = = = = 5。（4 分） （2）在 △ABC 中，AB² + AC² = ()² + (2)² = 5 + 20 = 25，而 BC² = 5² = 25，所以 AB² + AC² = BC²。由勾股定理的逆定理，△ABC 是直角三角形，且 ∠A = 90°。（5 分）【点拨】网格中求两点间距离，先求横、纵坐标之差的平方和，再开方；判定直角时统一比较三边的平方，且要先确定最长边。 附加题（5 分） 因为 a² + b² + c² + 50 = 6a + 8b + 10c， 移项、配方得 (a² - 6a + 9) + (b² - 8b + 16) + (c² - 10c + 25) = 0， 即 (a - 3)² + (b - 4)² + (c - 5)² = 0。（2 分） 因为 (a - 3)² ≥ 0，(b - 4)² ≥ 0，(c - 5)² ≥ 0，所以 (a - 3)² = 0，(b - 4)² = 0，(c - 5)² = 0，即 a = 3，b = 4，c = 5。（2 分） 又因为 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²，所以这个三角形是直角三角形。答：这个三角形是以 c = 5 为斜边的直角三角形。（1 分） 北师大版八年级数学（上册）　勾股定理的逆定理专项小卷　　第 6 页　共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $