6 数学百花园 第14周（手册）-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年五年级上册数学（北京版·新教材）

六数学百花园 第14周 综合拓展题 密铺图形中的角度问题 。典例精析 举一反三 如图，某文化广场的地面是由正五边形 1.小明家刚购买了一套新房，准备用地板 (5条边的长度相等，5个内角的度数相等) 砖密铺新居地面，要求地板砖都是正多 边形，每块地板砖的各边长都相等，各个 (4个锐角的度数相等)密铺而成 角也相等，某家装市场有如下五种型号 的地板砖，它们每个角的度数分别是 的，求∠1的度数。 60°、90°、120°、108°、135°，如果用同一种 地板砖铺，那么这些地板砖哪些适用？ 哪些不适用？请说说你的理由。 [解析]如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5组成一 个周角，所以它们的度数和是360°。从一个 顶点出发，可将1个正五边形分成3个三角 形，则正五边形的内角和为180°×3=540°， 2.如图所示为用形状、大小完全相同的平 ∠2，∠3，∠5是正五边形的内角，正五边形 行四边形和正方形密铺成的图案的一部 的每个内角的度数是540°÷5=108°，∠1和 分。这个图案中，平行四边形的内角各 ∠4的度数相等，所以∠1=∠4=(360°一 是多少度？ 108°×3)÷2=18°。 [答案]180°×3=540° 3.下面的图案是由两种多边形密铺而成的 540°÷5=108°(360°-108°×3)÷2=18° 正十边形，涂色小四边形的四条边都相 答：∠1的度数是18°。 等，求∠3的度数。 点评：各边相等，各角也相等的多边形叫作正多 边形。正多边形的内角和=（边数一2）×180°。 求密铺图形中某一个角的度数时，要充分利用公 共顶点处所有角的度数和是360°及各图形的特 点进行求解。 27 思维创新题 有趣的盈亏问题 。典例精析 2.用绳子量井深，把绳子折三折测量时，井 水果店有一批苹果，若每千克卖1.2 外余绳3.8米，把绳子折四折测量时，井 元，则会亏40元；若每千克卖1.5元，则能 外余绳1.2米。 赚80元。为尽快卖出，老板降价出售，结果 你知道井深和绳长 赚了40元。每千克苹果是以多少元的价格 各是多少米吗？ 出售的？ [解析]可以用盈亏问题的思路来解决本 题。若每千克卖1.2元，则会亏40元；若每 千克卖1.5元，则能赚80元，两种卖法所得 钱数相差40+80=120（元），每千克的价格 相差1.5-1.2=0.3（元），由此可求出这批 苹果共有120÷0.3=400（千克）。然后以每千 克1.2元为基础，亏40元，则每千克亏40÷ 400=0.1(元)，从而可知成本价是每千克 1.2+0.1=1.3(元)。最后根据赚了40元，得 3.饲养员给老虎喂食。如果每只老虎分 每千克赚了40÷400=0.1（元）。因此每千克 6.5千克肉，那么有一只老虎没肉吃；如 苹果是以1.3+0.1=1.4（元）的价格出售的。 果每只老虎分5.8千克肉，那么还多0.5 [答案](40+80)÷(1.5-1.2)=400（千克） 千克肉。 1.2+40÷400=1.3(元) 1.3+40÷400=1.4(元) 饲养员一共要分 多少千克的肉？ 答：每千克苹果是以1.4元的价格出售的。 点评：解答盈亏问题常用的公式：（盈十亏）÷每 份差=份数，（大盈一小盈）÷每份差=份数，（大 亏一小亏)÷每份差=份数。 举一反三 1.某超市购进一批羽毛球，若每个卖6.4元， 则会亏30元；若每个卖7.9元，则能赚 60元。每个羽毛球的成本价是多少元？ 28等或宽相等的图形，并以相等的边为公共边来拼， 找出长方形的长和宽，再根据“长方形的周长= (长十宽)X2“长方形的面积=长X宽”即可解答。 2.空白部分：b2厘米2 涂色部分：a×b-b×b=(ab-b2)厘米 解析先根据正方形的面积计算公式求出正方形的 面积，即空白部分的面积，再根据长方形的面积计 算公式求出大长方形的面积，用大长方形的面积减 去正方形的面积即可求出涂色部分的面积。 思维创新题运用列表法解决有规律 拼摆或排列问题 1.(1)68解析由题表中排数与座位个数的变化 规律可知，排数每增加1，座位个数就增加3，所以 第7排有50+3×(7-1)=68（个）座位。 (2)座位个数y与排数x之间的关系为y=50十 3(.x-1)=3.x十47 (3)当x=12时，y=3.x+47=3×12+47=83 答：当x=12时，这一排一共有83个座位。 2.(1)4n+1解析第1个图形中有(1十4)根火 柴棒；第2个图形中有(1十4×2)根火柴棒；第3个 图形中有(1十4×3)根火柴棒…由此可知，第n 个图形中有1十4×n=(4n十1)根火柴棒。 (2)8033 (3)(2025-1)÷4=506(个) 答：第506个图形中有2025根火柴棒。 第13周 综合拓展题求解稍复杂的含有字母的 式子中的未知数 1.x=5 2.x=2 3.x=7.5 4.x=3 思维创新题用含有字母的式子解决 稍复杂的行程问题 1.假设需要行驶x小时。 (110+105)x=680+72.5x=3.5 3 答：需要行驶3.5小时。 解析根据“两车从出发到相遇后又相距72.5千 米”，可得两车合着走了一个全程后，又继续合着走 了72.5千米。根据“速度和×时间=总路程”可以 得出等量关系：（甲车的速度十乙车的速度）X时 间=一个全程十72.5千米。 2.假设乙车平均每小时行驶x千米，则甲车平均 每小时行驶1.2x千米。 1.2x×2.6-15.6=2.6.x+15.6x=60 60×1.2=72(千米)(60+72)×2.6=343.2（千米） 答：A、B两地相距343.2千米。 解析由“甲车的速度是乙车的1.2倍”可知，甲车 的速度比乙车的速度快，所以相遇时甲车超过中点 15.6千米，乙车距离中点还有15.6千米，根据题 意画出如下示意图。 甲车行的路程乙车行的路程 相遇处 A地日 □B地 中点15.6千米 根据上图可以得出等量关系：甲车2.6小时行驶的 路程一15.6千米=乙车2.6小时行驶的路程+ 15.6千米。假设乙车平均每小时行驶x千米，则 甲车平均每小时行驶1.2x千米，先求解出甲、乙 两车每小时行驶多少千米，再求A、B两地相距多 少千米。 六 数学百花园 第14周 综合拓展题密铺图形中的角度问题 1.60°、90°、120的适用，108°、135的不适用 理由：因为铺地板要围成一个周角是360°，所以所 选用的地板砖的每个角的度数都必须能被360 整除。 2.360°-90°×2=180°180°÷4=45 (360°-90°)÷2=135 答：平行四边形的内角分别是45°、135°、45°、135°. 3.(10-2)×180°÷10=144°360°÷10=36 (144°-36)÷2=54°答：∠3的度数是54°。 8 解析先计算出正十边形一个内角的度数是(10 2)×180°÷10=144°，因为10个相同的锐角组成 了一个周角，所以1个锐角的度数为360°÷10= 36°，所以∠2=36°。观察题图，易得∠1=∠3。由 ∠1+∠3+36°=144°可知，∠3=(144-36)÷ 2=54°。 思维创新题有趣的盈亏问题 1.(30+60)÷(7.9-6.4)=60(个) 6.4+30÷60=6.9(元) 答：每个羽毛球的成本价是69元 2.(3.8×3-1.2×4)÷(4-3)=6.6(米) (6.6+3.8)×3=31.2(米) 答：井深6.6米，绳长31.2米。 解析折三折测量时，井外余绳3.8米，即井外绳长 3.8×3=11.4(米)；同理，折四折测量时，井外绳长 1.2×4=4.8(米)。两次井外的绳长相差11.4 4.8=6.6(米)，井内的绳长相差1倍井深。因为绳 长不变，所以两次测量的井外相差的绳长与井内相 差的绳长相等。由此可知，井深为6.6米，从而可 求出绳长。 3.6.5+0.5=7(千克)7÷(6.5-5.8)=10（只） 6.5×(10-1)=58.5(千克) 答：饲养员一共要分58.5千克肉。 解析每只老虎分6.5千克肉，有一只老虎没肉吃， 即少6.5千克肉。两种不同的分法最后相差 6.5十0.5=7（千克），每只老虎分得的肉相差 6.5-5.8=0.7(千克)，由此可求出老虎的只数为 7÷0.7=10,从而求出肉的质量为6.5×(10 1)=58.5(千克). 七总复习 第15周 综合拓展题用转化法巧求图形面积 1.(1)9-2×2=5(米)15-2×2=11（米） (5+11)×6÷2=48(米2) 答：种花的面积是48米2。 (2)85×48=4080(元)答：一共需要4080元. 2.小路：5×16=80（米2） 草坪：(32+38-5×2)×16÷2=480（米2） 答：小路的面积是80米2，草坪的面积是480米2。 思维创新题小数乘除法中的错中求解问题 1.163.8÷(10-1)=18.2 答：正确的积是18.2。 解析根据题意，一个乘数扩大到原来的10倍，另 一个乘数不变，则积就扩大到原来的10倍，比正确 的积多了9倍，9倍是163.8,1倍是163.8÷9，即 正确的积。 2.1.8÷(10-1)=0.2 答：正确的商是0.2。 解析根据题意，被除数扩大到原来的10倍，除数 不变，则商也扩大到原来的10倍，比正确的商多了 9倍，9倍是1.8,1倍是1.8÷9，即正确的商。 期末综合特训 第16周 同步拓展训练 1.0.027027…0.054054…0.081081… 0.108108…一位数除以37，商是一个循环小数， 整数部分是0，小数部分的循环节是27乘这个一 位数的积（积是两位数时，积的前面加一个0） 0.162162…0.216216…0.243243… 2.0.125×0.125×…×0.125×0.125× 10个0.125 8×8X…×8×8×2×2×2= 9个8 0.125×0.125×…×0.125×0.125× 10个0.125 8×8X…×8×8×8= 10个8 (0.125×8)×(0.125×8)×…×(0.125×8)= 10组(0.125×8) 1×1×…×1=1 10个1 3.4(6.x-3)-3(3x十2)=30-x 24x-12-9.x-6=30-x 15x-18=30-x 15.x-18+x=30-x+x 16.x-18=30 16.x-18+18=30+18 16.x=48 16.x÷16=48÷16 x=3 9