5 认识常见的数量关系（二）第11周（手册）-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年四年级上册数学（北京版·新教材）

2.719-19=700700÷(19+1)=35 答：另一个乘数是35。 3.531-15-2-2=512512÷(15+1)=32 32×15+2=482答：除数是32，被除数是482。 解析根据题意可知，被除数十除数十商十余数 531①，被除数=除数×商+余数②，将②代入①， 得除数×商十余数十除数十商十余数=531。因为 商是15，余数是2，所以除数×15+2+除数+15十 2=531。由此得到除数是531一15-2-2=512， 512÷(15+1)=32,被除数是32×15+2=482。 第9周 综合拓展题被除数最值问题 1.最小：40×10+19=419最大：40×24+19= 979答：这个三位数最小是419，最大是979。 2.13-1=1212×13+12=168 答：这个数最大是168。 3.11×12=132,2000=132×15+20,在大于12 且小于2000的自然数中，被11及12除，余数相同 的数有132+1、132+2、…、132+10；132×2+1、 132×2+2、…、132×2+10;…;132×15+1、132× 15+2、·、132×15+10,共有10×15=150（个） 4.因为999=43×23+10，所以a最大是23。因 为余数b小于除数43，所以b最大是42。因为 43×22+42=988<1000,22+42=64,23+10= 33,64>33,所以a+b最大是64 思维创新题盈亏问题 1.216+144=360(千克)10-8=2（天） 360÷2=180(千克)180÷36=5（千克） 答：平均每名工人每天用5千克水泥。 2.40-30=10(盒)5×10=50（盒） 250+50=300(盒)55-30=25（盒） 300÷25=12(名)55×12=660（盒） 答：一共有12名员工，需要打包的文具一共有660盒。 3.30-15=15(棵)(27-12)×3=45（棵）》 15+45=60(棵)27-15=12（棵） 60÷12=5(组)15×(5-1)+30=90（棵） 答：参加植树的少先队员有5组，一共要植90棵树。 解析将第一个条件转化为“若每组都植15棵，会多 出30一15=15（棵）”，将第二个条件转化为“若每组 都植27棵，会少(27一12)×3=45（棵）”，再运用盈 亏公式求出参加植树的少先队员的组数，进而求出 植树的棵数。 五 认识常见的数量关系（二） 第10周 综合拓展题用对比法求单价 1.跳绳：33×3-69=30（元）7×3-11=10（根） 30÷10=3(元/根) 皮球：33-3×7=12（元）12÷3=4（元/个） 答：跳绳的单价是3元/根，皮球的单价是4元/个。 2.1670+1740=3410(元) 3410÷(5+6)=310(元) 裤子：1670-310×5=120（元/条） 上衣：310-120=190（元/件） 答：上衣的单价是190元/件，裤子的单价是120元/条 思维创新题往返奔跑的小狗 1.80+120=200(米)1800÷200=9（分） 380×9=3420(米)答：小狗一共跑了3420米。 2.800×4=3200(米)答：小狗一共跑了3200米。 解析由题意可知，小狗跑的速度是爷爷走路速度 的4倍，因为爷爷走完全程所用的时间就是小狗往 返跑的时间，所以小狗所跑的路程也是爷爷所走路 程的4倍。 第11周 综合拓展题“火车”过隧道问题 1.39+525=564(米)564÷12=47（秒） 答：该客机完全通过滑行道约需要47秒。 解析客机完全通过滑行道，需要行驶的总路程 客机自身的长度十滑行道的长度。 2.260+580=840(米)840÷42=20（米） 答：这列火车每秒行驶20米。 解析火车从车头上桥到车尾离桥，一共行驶了 260+580=840(米)，根据“路程÷时间=速度”即 可求出火车的行驶速度。 3.475-250=225(米)29-20=9（秒） 225÷9=25(米/秒)25×20-250=250（米） 72千米/时=20米/秒250+200=450（米） 25+20=45(米/秒)450÷45=10（秒） 答：错车而过需要10秒。 解析先根据快车通过两条隧道的路程差和时间 差，求出这列快车的速度。再根据速度和通过250 米长的隧道的时间，求出这列快车的车长。最后根 据“错车时间=车长之和÷速度和”，求出与另一列 慢车错车而过的时间。本题中要特别注意把72千 米/时换算成20米/秒。 思维创新题用假设思想解决求平均速度问题 1.假设甲、乙两地之间的路程是180千米。 180÷30=6(时)180÷60=3（时） 180×2=360(千米)360÷(6+3)=40（千米/时） 答：这辆汽车在甲、乙两地往返一次的平均速度是 40千米/时。 2.假设小强家到学校的路程是300米。 300÷75=4(分)300÷50=6（分） 300×2=600(米)600÷(4+6)=60（米/分） 答：小强上学和放学回家的平均速度是60米/分。 解析求小强上学和放学回家的平均速度，要用上 学和放学回家的总路程除以上学和放学回家所用 的总时间。可以假设小强家到学校的路程是300 米，那么上学所用的时间是300÷75=4（分），放学回 家所用的时间是300÷50=6（分），上学和放学回家 的总路程是300×2=600（米），所以小强上学和放学 回家的平均速度是600÷(4十6)=60（米/分）。 3.假设这次登山比赛的一半路程是90米。 90÷45=2(分)90÷30=3（分） 90×2=180(米)180÷(2+3)=36（米/分） 答：小雪的平均速度是36米/分。 解析可以假设这次登山比赛的一半路程是90米， 用90米分别除以开始的一半路程的速度和剩下的 一半路程的速度，算出对应的时间，用总路程除以 总时间就是这次登山比赛中小雪的平均速度。 六探索计算中的规律 第12周 综合拓展题组算式乘积最大、最小问题 1.最大：820×64=52480或640×82=52480 最小：468×20=9360 答：它们的乘积最大是52480，最小是9360。 2.最大：542×63=34146最小：356×24=8544 答：它们的乘积最大是34146，最小是8544。 3.最大：751×93=69843最小：379×15=5685 答：它们的乘积最大是69843，最小是5685。 解析一个三位数乘一个两位数，要使乘积最大，就 要使这两个数最高位上的数字尽可能大。所以组 成的算式可能是9□□×7☐，也可能是7☐□× 9☐。数字3、5可能放在三位数的十位上，也可能 放在两位数的个位上。这样就可以得到下面四个 算式：931×75、951×73、731×95、751×93。分别 计算后发现751×93的乘积最大。同理，要使乘积 最小，就要使这两个数最高位上的数字尽可能小。 所以组成的算式可能是1☐口×3☐，也可能是 3□☐×1☐。数字5、7可能放在三位数的十位上， 也可能放在两位数的个位上。这样就可以得到下 面四个算式：159×37、179×35、359×17、379×15. 分别计算后发现379×15的乘积最小。 思维创新题从简单的情况想起解决复杂的问题 1.2026个 解析从简单情况开始列举，列表如下： 乘数 积中双数 算式 位数 的个数 1 8×9=72 1 88×99=8712 2 3 888×999=887112 3 8888×9999=88871112 4 88888×99999=8888711112第11周 综合拓展题“火车”过隧道问题 典例精析 举一反三 这辆客车完全通过隧道要用多长 1.我国首款具有自主知识产权的喷气 时间？ 式中程干线客机C919全长约39米， 这辆客车每秒行驶16米， 翼展约36米。若该客机以平均12米/ 客车的长度是12米。 秒的速度通过525米长的机场滑行 道（滑行道可视作静止），则该客机 隧道长324米 完全通过滑行道约需要多长时间？ [解析]客车完全通过隧道，意思是从 车头进入隧道到车尾离开隧道。根据 题意，可以画出如下示意图： 客车长12米隧道长324米 2.一列长260米的火车，通过一座长 车头车尾 车头车尾 580米的铁桥需要42秒。这列火 客车完全通过隧 车每秒行驶多少米？ 道要行驶的路程 由图可知，这辆客车完全通过隧道要 行驶的路程一隧道的长度十客车车身 的长度。求客车完全通过隧道要用的 时间，可根据“路程÷速度=时间”来 3.一列快车通过250米长的隧道用了 列式计算。 20秒，通过475米长的隧道用了 [答案]324+12=336（米） 29秒。若这列快车与另一列车长 336÷16=21(秒) 为200米、速度为72千米/时的慢 答：这辆客车完全通过隧道要用21秒。 车相遇，错车而过需要多少秒？ 点评：客（火）车过隧道（桥梁等）问题中，客 (火)车行驶的路程=隧道（桥梁等）的长 度十车身的长度；客（火）车行驶的路程÷ 速度=通过的时间。 21 思维创新题 用假设思想解决求平均速度问题 典例精析 举一反三 爷爷通过爬山来锻炼身体，上山 1.一辆汽车往返于甲、乙两地，去时的 的速度是40米/分，沿原路返回时的 速度是30千米/时，沿原路返回时 速度是60米/分。爷爷上、下山的平 的速度是60千米/时。这辆汽车在 均速度是多少？ 甲、乙两地往返一次的平均速度是 [解析]首先要明确上、下山的平均速 多少？ 度不是上山和下山速度的平均数，要 求爷爷上、下山的平均速度，需要用 上、下山的总路程除以上、下山的总时 间，但题目中只提供上山和下山的速 度，没有提供其他信息。此类问题可 2.小强早晨从家去上学的速度是75 以用假设思想来解决，先假设上山或 米/分，下午放学按原路回家的速 下山的路程为一个具体数量，再分别 度是50米/分。小强上学和放学回 算出上山和下山需要的时间，最后用 家的平均速度是多少？ 上、下山的总路程除以上、下山的总时 间来解答。 [答案]假设爷爷上山的路程是1200米。 1200÷40=30(分) 3.在一次登山比赛中，开始的一半路 1200÷60=20(分) 程，小雪的速度是45米/分，剩下的 1200×2=2400(米) 一半路程，小雪的速度是30米/分。 30+20=50(分) 这次登山比赛中，小雪的平均速度 2400÷50=48(米/分) 是多少？ 答：爷爷上、下山的平均速度是 48米/分。 点评：解决此题的关键是抓住上、下山的总 路程不变，可以假设上山或下山的路程为 具体数量来帮助解题。 22