3.3垂径定理（分层作业，10大题型）数学新教材浙教版九年级上册

分层作业 3.3 垂径定理 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用垂径定理求值 题型02 垂径定理的推论 题型03 垂径定理在作图中的应用 题型04 用垂径定理进行证明 题型05 用垂径定理解决平行弦问题 题型06 垂径定理的实际应用 题型07 利用垂径定理求其他问题 B组 能力进阶 题型01 用垂径定理解决同心圆问题 题型02 垂径定理·综合应用 C组 思维拔高 题型 垂径定理·创新性问题 利用垂径定理求值题型01 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，则    ） A． B． C． D． 2．如图， 的直径，的弦于点，且，则的长为（    ） A．4 B． C．6 D．8 3．如图，的半径为，点是弦延长线上一点，，连接，，若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的相关直线．例如，点的相关直线为．已知点，点．点为直线上的动点．以为圆心，6为半径作圆．在点运动过程中，当点的相关直线与圆交于，两点时，的最小值为8，则的值为________． 5．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，的直径垂直于弦，垂足为E，， (1)求的半径长； (2)连接，求的长． (3)作于点F，求的长． 垂径定理的推论题型02 1．下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 2．如图，是的直径，是的弦，于点，则下列结论不一定正确的是要（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格上格点，其中点、、，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（   ）． A． B． C． D． 4．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为_______________    5．如图，是的直径，弦垂直平分，点是弧上的一点，连结，，，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的是__． 垂径定理在作图中的应用题型03 1．如图，在中，用尺规按照下面步骤作图： ①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作，分别交于点M，N． 嘉嘉和瑣瑣分别给出了一个结论．嘉嘉：点O是的外心． 瑣瑣：若，则． 对于两人的结论，下列判断正确的是（   ） A．两人的结论都正确 B．两人的结论都不正确 C．嘉嘉的结论正确，瑣瑣的结论不正确 D．瑣瑣的结论正确 ，嘉嘉的结论不正确 2．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心和半径．（保留作图痕迹） 3．如图，P为内一点，你能用尺规作出的一条弦，使P恰为的中点吗？请说明理由． 4．如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 5．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 用垂径定理进行证明题型04 1．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：． 2．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O． （1）求证：； （2）若，⊙O的半径为5，求△ABC的面积． 3．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明． 4．如图，是的弦，点C、D在直线上，且，连接．求证： 5．是的直径，弦，垂足为H，连接，，． (1)如图1，连接，，若H是的中点，求证：四边形是菱形． (2)如图2，作的平分线，交于点E，求证：E为的中点． (3)如图3，若的半径是1，，求点O到弦的距离． 用垂径定理解决平行弦问题题型05 1．下列命题中，是真命题的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．平分弦的直径一定垂直于这条弦 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 2．已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为17cm，，，则AB、CD间的距离为________． 3．已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为_______cm． 4．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 5．如图，已知线段，是的两条弦，且，于点，．延长至点，使，连结，．为线段上一点，分别延长，交于点，连结． (1)求证：是直角三角形． (2)当线段与的一边平行时，求的值． (3)记与交于点，当为的中点时，求的长． 垂径定理的实际应用题型06 1．如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高cm，底面直径cm，球的最高点到瓶底面的距离为cm，则球的半径为（  ）cm（玻璃瓶厚度忽略不计）． A．7.5 B．7 C．6.5 D．6 2．请完善本课时的知识结构． 垂径定理（1） 定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径_________，并且_______． ∵是直径，，垂足为点 ， ∴__________， ∴________．    3．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的最大深度为________m． 4．（2025·广西南宁·三模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 5．一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？ 利用垂径定理求其他问题题型07 1．（24-25九年级上·山东德州·期中）以下命题正确的是（   ） A．任何一条直径都是圆的对称轴 B．周长相等的圆是等圆 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是圆上任意两点所连的线段 2．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，弦，垂足为E，如果，，那么_____． 4．（25-26九年级上·浙江 湖州·月考）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 5．在平衡直角坐标系中，线段，点，在线段上，且，为的中点，如果任取一点，将点绕点顺时针旋转得到点，则称点为点关于线段的“旋平点”．    (1)如图1，已知，，，知果为点关于线段的“旋平点”，画出示意图，写出的取值范围； (2)如图，的半径为，点，在上，点，如果在直线上存在点关于线段的“旋平点”，求的取值范围． 用垂径定理解决同心圆问题题型01 1．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 2．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 4．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点与相等吗？为什么？ 5．（25-26九年级上·上海·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 垂径定理·综合应用题型02 1．如图，的半径是4，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（   ） A． B． C．5 D． 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=5，AE=1，则弦CD的长是（       ） A．5 B． C． D．6 3．如图，⊙O的半径为5，弦，B是的中点，连接，则的长为 _____． 4．如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过，，三点，则这条圆弧所在圆的半径长为（     ） A． B． C．2 D． 5．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____． 6．如图所示，⊙O的半径OA=4，∠AOB=120°，则弦AB长为____________. 7．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 8．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A． B． C． D． 垂径定理·创新性问题题型 1．（2025·山东泰安·三模）如图，在四边形中，，，若，，则四边形的面积为（   ） A．44 B．48 C． D． 2．综合与实践． 主题活动 探究窗花图案的几何知识 文化背景 窗花的历史可以追溯到汉代，当时人们用各种材料制作薄片，通过镂空雕刻的艺术形式创造出各种图案，贴在窗户上作为装饰．随着造纸术的发明和普及，纸张逐渐成为窗花的主要材料，使得窗花艺术得到更广泛的发展．如图1的窗花寓意着团圆平安，欢乐祥和． 实践探究 从图1的窗花图案中可抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形(如图2)，我们称这种图形为“环花”，设直线l与“环花”从左到右依次交于点A，B， C， D． 探究1：写出图2中线段与的数量关系：____________；小明经过观察认为当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立；请给出证明． 探究2：若图3中，且大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长． 拓展迁移 探究3：将两个同心圆替换成两个菱形，如图4，点O是这两个菱形对角线的公共交点， 且F，B，D，H 四点均在对角线上，直线l不经中心O，与两个菱形从左到右依次交于点M，N，P，Q，求的值． 3．如图，矩形的顶点，在半径为5的上，，当点在上运动时，点也随之运动，则矩形的对角线的最小值为（    ）． A． B． C． D． 4．某打卡点“戒指桥”的数学模型如图所示．线段是其中一条拉索，点在圆上，点、是圆和水平桥面的交点．小明测得，，且在点和点观测点的仰角均为，则_______，“戒指”的半径为________． 5．（24-25九年级下·北京·月考）如图1，对于外的线段上的各点均在外）和直线上的点，给出如下定义：若线段绕点旋转某一角度得到的线段恰好是的弦，则称点为线段关于的“割圆点”，在平面直角坐标系中，的半径为1． (1)如图2，已知点，，，．在线段，，中，存在关于的“割圆点”的线段是 ，该“割圆点”的坐标是 ； (2)直线经过点，与轴的交点为点．点，点都在线段上，且．若线段关于的“割圆点”为点，写出点的横坐标的取值范围； (3)直线经过点，不重合的四个点都在直线上，且点既是线段关于的“割圆点”，又是线段关于的“割圆点”，线段，的中点分别为点，，记线段的长为d．请直接写出d的取值范围． 6．（2025·广东佛山·三模）综合与实践： 探索求圆半径的方法 背景 素材 数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形（或半圆形）纸片，及一张宽2cm且足够长的矩形纸带（如图1）设计了一系列任务，请帮助解决问题． 任务一 （1）若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过，．现测得，则可知该圆的半径为_____． 任务二 （2）如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点在半圆上．若，，求圆的半径． 任务三 （3）从该矩形纸片上剪下一部分，使得，分别以，所在直线为旋转轴，得到两个圆柱，绕旋转得到的圆柱体积，绕旋转得到的圆柱体积，比较大小：_____（填“”，“”或“”）． 任务四 （4）若矩形纸片的长，宽，猜想：绕______（填“”或“”）旋转得到的圆柱体积更大，请证明你的猜想． 7．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，内接于圆O，过点A作于D，E为弧中点，连接交于点F． (1)求证：； (2)如图2，过点A作的垂线，交圆O于点G，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接与交于点H，连接并延长交于点N，连接，若，，，求的长． 8．根据素材解决问题： 设计货船通过拱桥的方案 素材1 左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离． 素材2 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3 垂径定理 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用垂径定理求值 题型02 垂径定理的推论 题型03 垂径定理在作图中的应用 题型04 用垂径定理进行证明 题型05 用垂径定理解决平行弦问题 题型06 垂径定理的实际应用 题型07 利用垂径定理求其他问题 B组 能力进阶 题型01 用垂径定理解决同心圆问题 题型02 垂径定理·综合应用 C组 思维拔高 题型 垂径定理·创新性问题 利用垂径定理求值题型01 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，则    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查垂径定理，即垂直于弦的直径平分这条弦，根据垂径定理得即可解答． 【详解】解：∵为直径，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图， 的直径，的弦于点，且，则的长为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意连接，则，，利用勾股定理即可求得，最后由完成解答． 【详解】解：连接， 则， ∴， 由勾股定理得： ∴ 故选：D． 3．如图，的半径为，点是弦延长线上一点，，连接，，若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、垂径定理，作于，连接，则，由含角的直角三角形的性质可得，由垂径定理可得，由勾股定理可得，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接，则， ，，， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的相关直线．例如，点的相关直线为．已知点，点．点为直线上的动点．以为圆心，6为半径作圆．在点运动过程中，当点的相关直线与圆交于，两点时，的最小值为8，则的值为________． 【答案】或##或1 【分析】求出直线的解析式为：，求出点M的关联直线经过定点；如图所示，过点C作于H，连接，则，得出，说明要想最小，则要使最大，根据的最小值为8，得出的最小值为4，求出，根据当点H与点重合时，最大，得出，解方程即可． 【详解】解：设直线的解析式为：，把点，点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∴点M的关联直线为， ∴点M的关联直线经过定点； 如图所示，过点C作于H，连接，则， ∴， ∴要想最小，则要使最大， ∵的最小值为8，即的最小值为4， ∴， 当点H与点重合时，最大， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解一元二次方程，一次函数与几何综合等，正确推出点M的关联直线经过定点是解题的关键． 5．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，的直径垂直于弦，垂足为E，， (1)求的半径长； (2)连接，求的长． (3)作于点F，求的长． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键． （1）连接，设的半径长为r，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）先求出，利用勾股定理计算出， （3）由和垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】（1）解：连接，如图， 设得半径为r， ∵， ∴， ， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， 解得， 即的半径长为5； （2）解： ∵，，，， ∴， ∴在中，， （3）∵，， ∴， ∴在中，， 即的长； 垂径定理的推论题型02 1．下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 【答案】D 【分析】根据垂径定理对选项A、C进行判断，根据垂径定理的推论对B、D选项进行判断． 【详解】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误； B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误； C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误； D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理及垂径定理的推论，掌握并理解定理的内容是解答此题的关键 2．如图，是的直径，是的弦，于点，则下列结论不一定正确的是要（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．由于，根据垂径定理有，，因为、都为圆的半径，可得，不能得出． 【详解】解：∵， ∴，，所以A选项、B选项正确，不符合题意； 只有当垂直平分时，，所以C选项符合题意； ∵、都为圆的半径， ∴，所以D选项正确，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格上格点，其中点、、，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理推论的应用，连接，，作与的垂直平分线，交于一点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，交点即为所求圆弧的圆心，掌握垂径定理推论是解题的关键． 【详解】解：连接，，作与的垂直平分线，交于一点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，交点即为所求圆弧的圆心，如图， 则圆心是， 故选：． 4．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为_______________    【答案】4 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是：根据垂径定理的推论得，再根据勾股定理得，即可求出答案． 【详解】解：， ， 在中，， ， ． 故答案为：4． 5．如图，是的直径，弦垂直平分，点是弧上的一点，连结，，，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的是__． 【答案】①③④ 【分析】连接，，过点作于点，交的延长线于点，在上取一点，使得．首先证明，，是等边三角形，再证明，依次判断各结论即可得解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，交的延长线于点，在上取一点，使得． 垂直平分线段， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 故①正确， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 故③正确， ，，， ， 四边形的面积， 故④正确， 在中，，， 无法确定的值， ， 故②错误． 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、垂径定理、等边三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等，作出合适的辅助线并证得，，是等边三角形是解题的关键． 垂径定理在作图中的应用题型03 1．如图，在中，用尺规按照下面步骤作图： ①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作，分别交于点M，N． 嘉嘉和瑣瑣分别给出了一个结论．嘉嘉：点O是的外心． 瑣瑣：若，则． 对于两人的结论，下列判断正确的是（   ） A．两人的结论都正确 B．两人的结论都不正确 C．嘉嘉的结论正确，瑣瑣的结论不正确 D．瑣瑣的结论正确 ，嘉嘉的结论不正确 【答案】C 【分析】本题考查了作图复杂作图,尺规作图和三角形外心的性质．根据三角形外心的定义对嘉嘉的结论进行判断；利用垂径定理对瑣瑣的结论进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故嘉嘉的结论正确； ， ∴，不能说明， 和的长度不确定，故瑣瑣的结论不正确． 故选：C． 2．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心和半径．（保留作图痕迹） 【答案】 【分析】本题考查的是确定残弧的圆心与半径，根据弦的垂直平分线过圆心作图即可． 【详解】解：（1）在圆上取两条弦，； （2）分别作，的垂直平分线，交于一点O． 则点O就是所求的圆心． （3）连接，则就是这个圆的半径． 3．如图，P为内一点，你能用尺规作出的一条弦，使P恰为的中点吗？请说明理由． 【答案】解：如图： 理由： ∵， ∴，即P恰为的中点. 【分析】如图：作射线，以P为圆心，以为半径作弧，交射线于点N，分别以点O，点N为圆心，以大于为半径画弧，二弧交于点E，F，作直线交圆O于A，B两点，可得弦即为所求． 【详解】略 4．如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 【答案】(1) 点为所作；如图1， (2)10 【分析】（1）由圆的对称性，连接、交于点，连接并延长交于点即可； （2）连接，如图，根据垂径定理得到，，再利用三角形面积公式计算出，设的半径，则，，利用勾股定理得到，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）连接，如图2， 点为劣弧的中点， ，， 的面积为6， ， 解得， 设的半径，则，， 在中，， 解得， 即的半径为10． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 5．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 【答案】(1) 如图， 点即为所求； (2) 如图， 点即为所求； (3)点即为所求 (4) 【分析】（）找中点，连接，交与点； （）先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可； （）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点； （）根据网格特征即可； 此题考查了无刻度直尺作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用． 【详解】（1）略． （2）略． （3）略． （4）如图，已知图中， 延长交于点， ∴，根据网格作高的特点，作的高， ∴，延长交于点， 根据同弧所对的圆周角相等，则， ∴， ∴， ∴ ， ∴点即为所求． 用垂径定理进行证明题型04 1．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：． 【答案】 证明：如图：连接． ∵于M，于N． ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 连接．由垂径定理结合可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】略． 2．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O． （1）求证：； （2）若，⊙O的半径为5，求△ABC的面积． 【答案】 （1）证明：在⊙O中， ∵ OD⊥BC于D， ∴ BD=CD， ∴ AD垂直平分BC， ∴ AB=AC； （2） 【分析】（1）根据垂径定理可得AD垂直平分BC，即可证明结论； （2）连接OB，根据勾股定理可得，得出，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）略； （2）连接OB，如图所示： ∵BC=8，由（1）得BD=CD， ∴ ， ∵ ， ∴ ，                        ∴ ， ∴ △ABC的面积：， ∴ △ABC的面积为32． 【点睛】题目主要考查垂径定理的应用，垂直平分线的性质，勾股定理等，理解题意，综合运用各个定理性质是解题关键． 3．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明． 【答案】 证明：过O作OM⊥AB于M， ∴AM=BM ∵AE=BF ∴EM="FM" 即OM垂直平分EF ∴OE=OF 【详解】试题分析： 略 考点：本题考查的是垂径定理，垂直平分线的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 4．如图，是的弦，点C、D在直线上，且，连接．求证： 【答案】 证明：如图所示，过点O作于E， 由垂径定理可知， ∵， ∴，即， ∴是的垂直平分线， ∴． 【分析】如图所示，过点O作于E，由垂径定理可知，再推出，则是的垂直平分线，由此即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查垂径定理，线段垂直平分线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 5．是的直径，弦，垂足为H，连接，，． (1)如图1，连接，，若H是的中点，求证：四边形是菱形． (2)如图2，作的平分线，交于点E，求证：E为的中点． (3)如图3，若的半径是1，，求点O到弦的距离． 【答案】(1) 证明: ∵是的直径, ， ， 又∵是中点, ∴四边形中，对角线互相垂直平分， ∴四边形为菱形； (2) 证明: 连接，如图: ， ， ∵是 的角平分线， ， ， ∴， ， ， 又∵为直径， ， ∴是的中点， (3) 【分析】本题主要考查了圆的综合题，题目较为简单，合理运用垂径定理和勾股定理是本题解题的关键． （1）根据垂径定理可知，然后根据菱形的判定定理解答即可； （2）连接，根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质，得出，然后根据圆心角与弧的关系解答即可； （3）根据垂径定理和勾股定理，依次求出的长，最后可以求出到弦的距离. 【详解】（1）略 （2）略 （3）， ， ， ， 又， ， ∴到的距离． 用垂径定理解决平行弦问题题型05 1．下列命题中，是真命题的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．平分弦的直径一定垂直于这条弦 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】此题需要根据平行四边形的判定、矩形的判定、垂径定理、三角形的外心四个知识点，分别对四个结论进行判断，然后得出正确的结果． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误； B、对角线平分且相等的四边形是矩形，错误； C、平分弦的直径不一定垂直于这条弦，错误； D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，正确； 故选：D． 【点睛】此题考查命题与定理，此题应注意：垂直于弦的直径平分弦，但是平分弦的直径不一定垂直于弦． 2．已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为17cm，，，则AB、CD间的距离为________． 【答案】7或 【分析】过圆心作两条平行线的垂线，根据垂径定理分别在直角三角形中计算即可． 【详解】如图，当两条弦在圆心两侧时： AB、CD是⊙O的两条平行弦， 过圆心作MN分别垂直于AB、CD， 则根据垂径定理可得：，， 在中，； 同理在中，； 则， 同理可得：当两条弦位于圆心同侧时，， 故答案为：7或． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理解直角三角形，熟练掌握垂径定理并仔细计算是解题关键． 3．已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为_______cm． 【答案】7或17##17或7 【分析】首先分先AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，画出图形，过圆心O作两弦的垂线，利用垂径定理可分别求出圆心到两弦的距离，从而可求出两弦间的距离． 【详解】①当弦AB、CD在圆心的同侧时，如图1 过点O作OF⊥CD交AB于点E，连接OA，OC ∵ ∴OE⊥AB ∵AB=24，CD=10 ∴AE=12，CF=5 又∵⊙的直径为26 ∴OA=OC=13 ∴， ∴EF=OF-OE=7 ②当弦AB、CD在圆心的异侧时，如图2 过点O作OF⊥CD，延长FO交AB于点E，连接OA，OC ∵ ∴OE⊥AB ∵AB=24，CD=10 ∴AE=12，CF=5 又∵⊙的直径为26 ∴OA=OC=13 ∴， ∴EF=OF+OE=17 故答案为：7或17． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，解题是要注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论． 4．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． (2) 证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 5．如图，已知线段，是的两条弦，且，于点，．延长至点，使，连结，．为线段上一点，分别延长，交于点，连结． (1)求证：是直角三角形． (2)当线段与的一边平行时，求的值． (3)记与交于点，当为的中点时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)或 (3) 【分析】由题意得，则有，得，结合垂直可得，进一步得到，即可证明垂直； 由已知得，，①若，有，求得，由，求得即可；②若，作，则，设，则有解得，利用即可． 连结，，延长作于点，作交于点，可得交于点，，进一步得到，利用勾股定理求得，有，则，结合，设，，则，由，解得，根据勾股定理得即可． 【详解】（1）略 （2）由已知可得， ①如图，若 则 ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． ②如图，若， 则， 作，则，设， ∴，解得， 则． （3）连结，，延长作于点，作交于点，如图， 则, ∵为的中点， ∴交于点，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴, ∴， 设，，则， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查同弧所对的圆心角相等、垂直平分线的性质、平行线的性质、垂径定理、勾股定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉平行线的性质和解直角三角形，且利用分类讨论思想． 垂径定理的实际应用题型06 1．如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高cm，底面直径cm，球的最高点到瓶底面的距离为cm，则球的半径为（  ）cm（玻璃瓶厚度忽略不计）． A．7.5 B．7 C．6.5 D．6 【答案】A 【分析】如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可. 【详解】如下图所示，设球的半径为rcm， 则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm， ∵EG过圆心，且垂直于AD， ∴G为AD的中点， 则AG=0.5AD=0.5×12=6cm， 在中，由勾股定理可得， ， 即， 解方程得r=7.5， 则球的半径为7.5cm． 故选择：A 【点睛】本题考查了主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键． 2．请完善本课时的知识结构． 垂径定理（1） 定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径_________，并且_______． ∵是直径，，垂足为点 ， ∴__________， ∴________．    【答案】 平分这条弦 平分这条弦所对的弧 【分析】根据垂径定理内容进行作答即可． 【详解】解：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． ∵ 是直径，，垂足为点， ∴， ∴． 故答案为：平分这条弦，平分这条弦所对的弧，， 【点睛】本题主要考查的是垂径定理内容，正确掌握垂径定理内容是解题的关键． 3．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的最大深度为________m． 【答案】 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理． 根据题意可得出，，由勾股定理得出，则水的最大深度． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴水的最大深度， 故答案为：． 4．（2025·广西南宁·三模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 【答案】26 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由寸可求出的长，再设出圆的半径为寸，表示出的长，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵为的直径，，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为寸，则寸， ∵寸， ∴寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴， 解得， ∴寸， 故答案为：26． 5．一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？ 【答案】水面上升的高度为10cm或70cm． 【分析】分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB 由垂径定理得：BC＝AB＝30cm， 在Rt△OBC中，OC＝＝40cm， 当水位上升到圆心以下时  水面宽80cm时， 则OC′＝＝30cm， 水面上升的高度为：40﹣30＝10cm； 当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm， 综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 利用垂径定理求其他问题题型07 1．（24-25九年级上·山东德州·期中）以下命题正确的是（   ） A．任何一条直径都是圆的对称轴 B．周长相等的圆是等圆 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是圆上任意两点所连的线段 【答案】B 【分析】本题考查了圆的有关概念和性质，垂径定理等相关知识；需要特别注意的是轴对称图形的对称轴是一条直线． 根据圆的有关概念和性质，垂径定理等知识对各个命题进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，故此选项说法错误，不符合题意； B、周长相等的圆的半径也相等，故是等圆，故此选项说法正确，符合题意； C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故此选项说法错误，不符合题意； D、通过圆心并且两端都在圆周上的线段叫做圆的直径，故此选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 2．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理的应用，找到线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点即可得到圆心坐标． 【详解】解：如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点M，即为弧的圆心， ∴圆心的坐标是， 故选：B． 3．如图，是的直径，弦，垂足为E，如果，，那么_____． 【答案】 【分析】根据直径，得出半径；由，，根据垂径定理得出；在中，利用勾股定理求出；再根据正弦函数的定义，求出的度数. 【详解】解：∵直径， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴. 故答案为： 4．（25-26九年级上·浙江 湖州·月考）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果； （2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：弦垂直平分半径． ，， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：的半径为， 垂直平分半径， ，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， 弦的长为． 5．在平衡直角坐标系中，线段，点，在线段上，且，为的中点，如果任取一点，将点绕点顺时针旋转得到点，则称点为点关于线段的“旋平点”．    (1)如图1，已知，，，知果为点关于线段的“旋平点”，画出示意图，写出的取值范围； (2)如图，的半径为，点，在上，点，如果在直线上存在点关于线段的“旋平点”，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋平点的定义，找到点，即可； （2）由点Q在x轴上，当点P也在x轴上时，点的横坐标有最值，由长求出弦心距长，在求出长，分两种情况求出点坐标即可． 【详解】（1）解：设，，且， ∵点、在线段上，且，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵点与点关于点对称， ∴，， ∴， ∴的取值范围为：； （2） 解：∵点Q在x轴上， ∴当点P也在x轴上时，点的横坐标有最值， 如图，作弦心距， ， 半径3， ， ， ， 当点P在x轴负半轴时，， ， ， ； 当点P在x轴正半轴时， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查新定义圆和对称的知识，解题的关键是理解旋平点的定义，根据定义，进行解题． 用垂径定理解决同心圆问题题型01 1．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 2．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键． 当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围． 【详解】解：如图，当与小圆相切时有一个公共点， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴； 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点， 此时， 所以的取值范围是． 故选：A． 3．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 4．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点与相等吗？为什么？ 【答案】 AC=BD. 证明：作OE⊥AB， 根据垂径定理得AE=BE，CE=DE， 故BE-DE=AE-CE， 即AC=BD. 【分析】过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD； 【详解】略 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线是解决本题的关键. 5．（25-26九年级上·上海·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 即； (2) 【分析】（）过点作于点，由垂径定理得，，进而即可求证； （）连接、，可得，，即得，设，则，，利用勾股定理求出的值进而即可求解； 本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 即小圆半径的值为． 垂径定理·综合应用题型02 1．如图，的半径是4，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，含的直角三角形，连接，则，过点O作交于点D，则可计算出，利用勾股定理求出，进一步利用垂径定理即可求出弦的长． 【详解】解：连接，则，过点O作交于点D， ∵若， ∴， 则= ∴． 故选：A． 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=5，AE=1，则弦CD的长是（       ） A．5 B． C． D．6 【答案】C 【分析】连接OC，由垂径定理得CD=2CE，再由勾股定理求出CE，即可得出答案． 【详解】解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，BE=5，AE=1， ∴CD=2CE，∠OEC=90°，AB=AE+BE=6， ∴OC=OA=3， ∴OE=OA-AE=3-1=2， 在Rt△COE中，由勾股定理得：， ∴CD=2CE=， 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键． 3．如图，⊙O的半径为5，弦，B是的中点，连接，则的长为 _____． 【答案】3 【分析】连接，根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵B是的中点，， ∴，， ∴在中，， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论、勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论是解答的关键． 4．如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过，，三点，则这条圆弧所在圆的半径长为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中圆弧所在圆的半径计算，解题核心是利用垂径定理的推论确定圆心，再结合勾股定理计算半径． 【详解】解：圆弧经过，，三点，连接，， 圆心在和垂直平分线的交点， 半径． 5．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____． 【答案】3 【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点O作OH⊥CD于H， 连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4， 在Rt△OCH中，OH＝＝3， 所以CD与AB之间的距离是3． 故答案为3． 【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 6．如图所示，⊙O的半径OA=4，∠AOB=120°，则弦AB长为____________. 【答案】4 【详解】如图，作OC垂直弦AB于点C， ∴AC=BC， ∵∠AOB=120°， ∴∠AOC=60°，即∠OAC=30°， 又∵OA=4， ∴OC=OA=2， ∴AB=2AC＝2＝2＝4. 故答案为4. 7．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 8．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 垂径定理·创新性问题题型 1．（2025·山东泰安·三模）如图，在四边形中，，，若，，则四边形的面积为（   ） A．44 B．48 C． D． 【答案】A 【分析】由，推出点四点共圆，连接，根据勾股定理求出，过点A作于E，连接，利用等腰三角形性质（“三线合一”）及垂径定理的推论证得，且共线，过点O作于F，则，通过勾股定理求得，根据中位线求得，最后根据 求得结果． 【详解】解：在四边形中，， 四点共圆，设圆心为O， 连接，则是直径， 在中，，， ， 过点A作于E， ， 连接，则， 共线， 在中，， ， ， 在中，， 过点O作于F，则， ， ， 在中，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（两腰相等、三线合一、等边对等角等）、直角三角形的性质（勾股定理等）以及四点共圆的判定和性质，三角形的中位线定理，垂径定理的推论等知识，解题的关键在于证明四点共圆的条件，通过共圆得到角之间的关系，再结合等腰三角形和直角三角形的特性进行推理计算．同时，构造辅助线将复杂的四边形问题转化为熟悉的三角形问题，运用三角形的性质和定理求解 ． 2．综合与实践． 主题活动 探究窗花图案的几何知识 文化背景 窗花的历史可以追溯到汉代，当时人们用各种材料制作薄片，通过镂空雕刻的艺术形式创造出各种图案，贴在窗户上作为装饰．随着造纸术的发明和普及，纸张逐渐成为窗花的主要材料，使得窗花艺术得到更广泛的发展．如图1的窗花寓意着团圆平安，欢乐祥和． 实践探究 从图1的窗花图案中可抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形(如图2)，我们称这种图形为“环花”，设直线l与“环花”从左到右依次交于点A，B， C， D． 探究1：写出图2中线段与的数量关系：____________；小明经过观察认为当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立；请给出证明． 探究2：若图3中，且大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长． 拓展迁移 探究3：将两个同心圆替换成两个菱形，如图4，点O是这两个菱形对角线的公共交点， 且F，B，D，H 四点均在对角线上，直线l不经中心O，与两个菱形从左到右依次交于点M，N，P，Q，求的值． 【答案】探究1：； 当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立，证明如下： 如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． 探究2：； 探究3：1 【分析】探究1：根据，，再利用线段的和差即可求解；过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； 探究2：同理探究1得：，，连接，设，根据大圆面积是小圆面积的3倍，得到，在中，，即，在中，，即，由此建立方程求解即可； 探究3：连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】探究1： 解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：（相等） 探究2： 同理探究1得：，， ∵， ∴，， 连接， 设， 则大圆面积为，小圆面积为， ∵大圆面积是小圆面积的3倍， ∴，即， 在中，，即， 在中，，即， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴，即大圆的半径长为； 探究3： 解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、勾股定理，平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．如图，矩形的顶点，在半径为5的上，，当点在上运动时，点也随之运动，则矩形的对角线的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，取的中点，连接，，在Rt中，为中点，，当时，最小，此时矩形的对角线最小. 、、三点共线时，最小，此时在Rt中，设，知道，长度，根据勾股定理建立方程，即可求解的长度，进而求得的长度. 【详解】解：如图，取的中点，连接，， 在Rt中，为中点，， 当时，最小，此时矩形的对角线最小， ∵，为弦，为中点， ∴在过的直径上， 而为圆心，则、、三点都在一条直线上； 故、、三点共线时，最小； 此时在Rt中，设，知道，， 有， 有， 解得，(舍去)， ， 故选A． 【点睛】本题考查了圆内动点问题、垂径定理等知识，根据垂径定理作出图形是解题的关键． 4．某打卡点“戒指桥”的数学模型如图所示．线段是其中一条拉索，点在圆上，点、是圆和水平桥面的交点．小明测得，，且在点和点观测点的仰角均为，则_______，“戒指”的半径为________． 【答案】 【分析】第1空，因为在点和点观测点的仰角均为，与互补，即可求出结果；第2空，取，的中点，分别为，，作与的中垂线，，交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，则点为该圆圆心，为该圆半径，先求得的值，证得四边形是矩形，，再证得，在中，求得，最后运用勾股定理，在中，求得的长． 【详解】解：在点和点观测点的仰角均为， ，， ， 如图，取，的中点，分别为，，作与的中垂线，，交于点，过点作，交于点，过点作交于点，连接，则点为该圆圆心，为该圆半径， ∵为中点，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵为中点，， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴，故“戒指”的半径为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆的性质，解三角形，矩形的性质及判定，勾股定理的运用，题目综合性强，灵活运用以上几何知识是解题的关键． 5．（24-25九年级下·北京·月考）如图1，对于外的线段上的各点均在外）和直线上的点，给出如下定义：若线段绕点旋转某一角度得到的线段恰好是的弦，则称点为线段关于的“割圆点”，在平面直角坐标系中，的半径为1． (1)如图2，已知点，，，．在线段，，中，存在关于的“割圆点”的线段是 ，该“割圆点”的坐标是 ； (2)直线经过点，与轴的交点为点．点，点都在线段上，且．若线段关于的“割圆点”为点，写出点的横坐标的取值范围； (3)直线经过点，不重合的四个点都在直线上，且点既是线段关于的“割圆点”，又是线段关于的“割圆点”，线段，的中点分别为点，，记线段的长为d．请直接写出d的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）由题意得，若将绕着点R旋转后的圆记作，则经过，点在弦的垂直平分线上，且的半径与的半径相等，“割圆点”R在线段的垂直平分线于弦所在的直线的交点，由，得到不是关于的“割圆点”的线段；确定点为中点，而的垂直平分线于平行，故不是关于的“割圆点”的线段；对于线段，先确定点为中点，“割圆点”一定是弦所在的直线与的垂直平分线的交点，可求直线表达式为：，把代入得即可； （2）可求直线表达式为，为等腰直角三角形，则，，找到两个临界位置，当点Q与点V重合时，则点落在x轴上，此时，当点Q运动到使得点P与W重合时，此时点落在y轴上，则，代入直线，可求，因此可求的取值范围； （3）可求，由于直线l经过点，以直线分析，由题意得，点在以点H为圆心，为半径的圆上，则线段是以点为圆心，1为半径的圆被直线l所割的弦，连接，，，第一种情况，当线段在点H异侧时，此时，当与直线相切时，此时点A、B重合，点C、D重合，连接，则可求得，同理得，因此，但是取不到，故；第二种情况，当线段在点H同侧时，当点M与点N重合时，此时A、C重合，B、D重合，则，当线段为与直线相交的线段，另一个与直线相切，此时最大，但是取不到，由于点C、D重合，连接，可求，故，综上即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴不是关于的“割圆点”的线段， 由题意得，若将绕着点R旋转后的圆记作，则经过， 则， ∴点R在的垂直平分线上， ∵，， ∴， ∴点为中点， ∵的垂直平分线与平行， ∴不是关于的“割圆点”的线段， 由题意得圆心在弦的垂直平分线上，且根据旋转的性质， 得， ∴点即为中点， 由题意得“割圆点”一定是弦所在的直线与的垂直平分线的交点，如图： ∵，， ∴设直线表达式为： ， 代入得：， 解得， ∴直线表达式为：， 把代入得：， ∴， ∴， ∴是关于的“割圆点”的线段， 故答案为：，； （2）解：将代入得， ∴直线表达式为， 当时，， ∴， ∴， 由题意知点R为的垂直平分线与直线的交点，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 而，， ∴， 当点Q与点V重合时，则点落在x轴上，此时，如图： 当点Q向上运动时，点R也向上运动，此时，如图： 当点Q运动到时，即的垂直平分线与直线平行，此时正无穷大，如图： ∴， 当点Q继续向上运动一点时，的垂直平分线与直线交点在第三象限很远处， 此时负无穷大，如图： 当点Q运动到使得点P与W重合时，此时点落在y轴上， ∴，代入直线得：， ∴， ∴， 综上所述：或； （3）∵点， ∴， ∵直线l经过点，以直线分析， 由题意得，点在以点H为圆心，为半径的圆上，则线段是以点为圆心，1为半径的圆被直线l所割的弦， 连接，， ∵经过圆心，点M为中点， ∴， ∴， 当减小时，增大直至等于，如图： 第一种情况，当线段在点H异侧时， 当点与点M重合时，此时，如图： 当与直线相切时，此时点A、B重合，点C、D重合，连接，如图： 则，同理， ∴，但是取不到， ∴； 第二种情况，当线段在点H同侧时， 当点M与点N重合时，此时A、C重合，B、D重合，如图： ∴， 当线段为与直线相交的线段，另一个与直线相切，此时最大，但是取不到，由于点C、D重合，如图，连接， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了新定义，难度很大，旋转的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握应用上述知识点，正确理解题意，找出临界位置是解决本题的关键． 6．（2025·广东佛山·三模）综合与实践： 探索求圆半径的方法 背景 素材 数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形（或半圆形）纸片，及一张宽2cm且足够长的矩形纸带（如图1）设计了一系列任务，请帮助解决问题． 任务一 （1）若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过，．现测得，则可知该圆的半径为_____． 任务二 （2）如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点在半圆上．若，，求圆的半径． 任务三 （3）从该矩形纸片上剪下一部分，使得，分别以，所在直线为旋转轴，得到两个圆柱，绕旋转得到的圆柱体积，绕旋转得到的圆柱体积，比较大小：_____（填“”，“”或“”）． 任务四 （4）若矩形纸片的长，宽，猜想：绕______（填“”或“”）旋转得到的圆柱体积更大，请证明你的猜想． 【答案】任务一：；任务二：；任务三：；任务四：． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆柱体体积． 任务一：根据勾股定理求出的长即可求解； 任务二：作于点N，交于点M，连接，，由垂径定理得，根据求出的值，进而可求出半径； 任务三：根据圆柱体体积公式分别计算即可得出结论； 任务四：根据圆柱体体积公式分别计算即可得出结论． 【详解】解：任务一：∵四边形是矩形， ∴， ∴是直径． ∵，， ∴， ∴该圆的半径为． 故答案为：； 任务二：如图3，作于点N，交于点M，连接，， 则四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：圆的半径为； 任务三：解：绕旋转得到的圆柱体积； 绕旋转得到的圆柱体积， ∴ 任务四：解：绕旋转得到的圆柱体积； 绕旋转得到的圆柱体积， ∵， ∴ ∴， 故绕旋转得到的圆柱体积更大 7．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，内接于圆O，过点A作于D，E为弧中点，连接交于点F． (1)求证：； (2)如图2，过点A作的垂线，交圆O于点G，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接与交于点H，连接并延长交于点N，连接，若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：因为E为弧中点，连接交于点F， 所以，且， 因为， 所以； (2) 证明：延长，交于点Q， 因为，，， 所以四边形是矩形， 所以， 所以， 所以， 故； (3) 【分析】（1）利用垂径定理的推论，得到，根据平行线的判定证明即可； （2）延长，交于点Q，证明四边形是矩形，结合垂径定理，证明即可； （3）以点F为原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，得到，故，，利用待定系数法，解方程组求解即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：以点F为原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系如下， 设，则， ， 所以 所以， 因为， 所以， 所以， 故，， 因为，， 所以， 所以， 根据（2）的结论，得， 设， 根据勾股定理，得， 故， 整理，得， 解得（舍去）， 故，， 故，，， 设直线的表达式为， 将分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． 设直线的表达式为， 将分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为． 设直线的表达式为， 将分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． 根据题意，得， 解得， 故， 设直线的表达式为， 将分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． 根据题意，得， 解得， 故， 故． 8．根据素材解决问题： 设计货船通过拱桥的方案 素材1 左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离． 素材2 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【答案】(1) (2) 10吨 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，任务1，设 圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，设桥拱的半径为，则，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题； 任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数． 【详解】解：任务1，设圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，如图， 设桥拱的半径为，则， ， ， ， ， ， 圆形拱桥的半径为． 任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由： 当是的弦时，与的交点为，连接，，如图， 四边形为矩形， ， ， ∵，， ． ， ， ， ， 根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱， 船在水面部分可以下降的高度为． 货船的载重量每增加吨，则船身下降， 吨， 至少要增加10吨的货物才能通过． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $