3.3 第1课时垂径定理-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

第3章圆的基本性质 3.3垂径定理 第1课时垂径定理 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025宜宾中考]如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB=8,OC=5,则OD的长是 () A.3 B.2 C.6 D.2 4 B D (第1题) (第2题) (第3题) 2.新情境数学文化我国古代数学著作《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋壁 中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”大意如下：如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD 于点P,CP=1寸，AB=10寸，则CD的长是 () A.20寸 B.23寸 C.26寸 D.30寸 3.如图，在⊙O中，弦AB=6,点C在弦AB上移动，连结OC,过点C作CD⊥OC,交⊙O于点D, 则CD长的最大值为 4.★如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O)中，大圆的弦AB交小圆于点 C,D. (1)求证：AC=BD. (2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=6,且圆心O到直线AB的距离为3，求AC的长. ·0 (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，⊙O的半径为5，弦AB=6,点C在弦AB上，延长C0交⊙O于点D,则CD D 长的取值范围是 ( A.6≤CD≤8 B.8≤CD≤10 C.9CD<10 D.9≤CD≤10 A B (第5题) 6.舒境生活实际只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在 的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于 43 拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 A,B,C,D四，点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm,AB=8cm,CD=6cm.请你帮忙计算 纸杯杯口的直径为 cm. D 0 B (第6题) (第7题) 7.方程思想如图，⊙O内有折线OABC,OA=4,BC=10,∠A=∠B=60°，则AB的长为 8.如图所示为一个半圆形桥洞截面示意图，点O为圆心，直径AB是河底线，弦CD是水位线， CD∥AB,且AB=26m,OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE:CD=5:24. (1)求CD的长. (2)汛期来临时，水面以每小时4的速度上升，请问：经过多长时间桥洞会被水灌满？ D 0 (第8题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN,∠NPB=45° (1)若AP=2,BP=6,求MN的长 (2)若MP=3,NP=5,求AB的长， ③》当点P在AB上运动时∠NP听=45不变).PPY的值是否发生变化？若不查，诗求 出其值；若变化，请求出其范围。 备用图 (第9题) 44 >“答案与解析”见D27∠AOC=180°-（∠0AC+∠0CA)=180°-55°=125. G (第7题) 8.(1)如图，连结OC.因为C是ACB的中点，所以AC BC.所以∠COD=∠COE.因为OA=OB,AD=BE,所以 OA一AD=OB一BE,即OD=OE.在△COD和△COE (OD=OE, 中，3∠COD=∠COE,所以△COD≌△COE.所以CD= C0=C0, CE.(2)如图，连结OM,ON.由(1)知，△COD≌ △COE,所以∠CO=∠CEO,∠OCD=∠OCE.因为OC= OM=ON,所以∠OCM=∠M,∠OCN=∠N.所以 ∠M=∠N.因为∠CDO=∠M+∠MOD,∠CEO= ∠N+∠NOE,所以∠MOD=∠NOE,即∠MOA= ∠NOB.所以AM=BN. 0 B N (第8题) 9.A如图，连结AC,OC,OB,过点B作BH⊥AO交AO 的延长线于点H.设⊙O的半径为r,因为CD垂直平分半 径0A,所以AC-0C,0D=号0A=.因为0A-0C, 所以OA=OC=AC.所以△OAC是等边三角形.所以 ∠AOC=60°.因为C是AB的中点，所以∠BOC= ∠AOC=60°.所以∠BOH=180°-∠AOC-∠BOC= 180°-60°-60°=60°.所以∠OBH=90°-∠BOH=90° 60=30.所以0H=号0B=号.所以BH= V0s-0m√P-(可-，DH=0D+0H r.因为在Rt△BHD中，BH+DH=BD,所以 (停)广'+=(27)，解得r=4或r=-4(舍去.所以 ⊙0的半径为4. (第9题) D 10.4√2一4<0D<2√如图①，连结OC,当点M落在 OB上时，CD⊥OB.因为C是AB的中点，所以AC=CB. 因为∠A0B=90°，所以∠A0C=∠COB=号∠AOB= 45°.因为∠CD0=90°，所以∠DCO=∠COD=45°.所以易 用cD-0D号0C-号×1-2E如图8当点M洁在 OA上时，连结CM,CB,CO,DM,过点C作CT⊥OB于点 T,CJ⊥OA于点J,则∠CJO=∠JOT=∠OTC=90°，所 以四边形JOTC是矩形.因为易知OT=TC,所以四边形 JOTC是正方形.所以OJ=OT=CJ=CT=2√2.因为 CM=CB,CJ=CT,∠CJM=∠CTB=90°，所以 Rt△CJM≌Rt△CTB(HL).所以JM=TB=4-2√2.设 OD=y,则DM=DB=4-y.因为OMP+OD2=DM,所 以[2√2-(4-22)]+y2=(4-y)2,解得y=4√2-4. 综上所述，当点M落在扇形AOB内（不含边界），OD长的 取值范围是42-4<OD<22. D B ① ② (第10题) 3.3垂径定理 第1课时垂径定理 1A因为半径0CLAB于点D,所以AD=AB 2×8=因为0A=OC=5,所以在R△0DA中，0D= √OA2-AD=√52-4=3. 2.C如图，连结OA.因为CD是⊙O的直径，AB⊥CD, AB=10寸，所以AP=BP=号AB=5寸.设O0的半径 为x寸，则OC=x寸.因为CP=1寸，所以OP=(x一1)寸. 在Rt△AOP中，根据勾股定理，得AP2十OP2=OA2,即 52+(x-1)2=x2,解得x=13.所以CD=20C=26寸. P 0 D (第2题) 3.3如图，连结OD.因为OD为⊙O的半径，OC⊥CD, 所以CD=√OD-OC.要使CD的长最大，则OC的长 必须最小(OD的长为定值).因为C是弦AB上一动点，所 以当OC LAB时，OC最短（垂线段最短），即此时点D与 点B(或点A)重合，即CD长的最大值是AB=宁× 6=3. (第3题) 4.(1)如图，过点O作OE⊥AB于点E.因为OE⊥AB, 所以AE=BE,CE=DE.所以AE-CE=BE-DE.所以 AC=BD.(2)如图，连结AO,C0.因为AO=10,OE= 3,所以AE=√AO-OE=√102-3=√9I.因为 CO=6,OE=3,所以CE=√CO2-OE=√62-32= 3W3.所以AC=AE-CE=√J91-3√3 0 B (第4题) 方法归纳 垂径定理基本图形计算中的“四变量”“两关系” (1)四变量：如图，设弦长为a,弦心距为d,半径为 r,孤的中点到弦的距离（弓形高）为h,知道这四个变量 中的任意两个即可求其他两个 h a 0 (②)两关系：0（受）》°+d-r,②h+d= 提示：计算时，常通过连半径或过圆心作弦的垂线段来 构造直角三角形 5.D如图，过点O作OH⊥AB于点H,则BH= 号AB=号×6=3.因为⊙0的半径为5，所以0B=5所 以OH=√OB2-BH=√5-3=4.所以当点C和点 H重合时，OC长最小是4，CD长最小是4十5=9：当CD 是⊙0的直径时，CD长最大，是5×2=10.所以CD长的 取值范围是9CD10. 0 CH A B (第5题) 6.10如图，设圆心为点O,过点O作OM⊥CD于点M, MO的延长线交AB于点N,连结OD,OB.依题意，得 CD/AB,所以MNLAB,MN=7cm所以DM=2CD= 合x6=3Xem,BN=号AB=号×8=4(m.设OM xcm,所以ON=MN-OM=(7-x)cm.因为OM+ MD2=OD,ON2+BN2=OB2,所以OMP+MD2= ON2+BN2.所以x2+32=(7-x)2+42,解得x=4.所以 OM=4cm.所以OD=√3+4=5(cm).所以纸杯杯口 的直径为5×2=10(cm). C M B (第6题) 7.6如图，延长AO交BC于点D,过点O作OE LBC于 点E,则BE=号C=5,∠DB0=90:因为∠A=∠B 60°，所以∠ADB=60°.所以∠DOE=30°，△ADB为等边 三角形.所以设BD=AD=AB=x.因为OA=4,BE=5, 所以DE=BD-BE=x-5,OD=AD-OA=x-4. 因为∠DB0=90,∠D0E=30,所以DE=20D.即x 1 5=2(x-4),解得2=6.所以AB=6. D .0 A (第7题) 8.(1)如图，连结OD.因为直径AB=26m,所以OD= OB=ON=2AB=2×26=13(m.因为0E1CD.所以 DE=2CD.因为OE:CD=5:24,所以OE:ED=5： 12.设OE=5xm(x>0),则ED=12xm.在Rt△ODE中， OE2+ED=OD2,即(5x)2+(12x)2=13,解得x=1或 x=-1(舍去).所以OE=5m,ED=12m所以CD= 2ED=24m.(2)如图，延长OE交半圆O于点F,则 0F-号AB=13m因为0E-5m所EF=OF-0E- 28 13一5=8(m).因为8÷4=2(h),所以经过2h桥洞会被水 灌满。 E D 0 (第8题) 9.(1)过点O作OH⊥MN于点H,连结ON.因为AP= 2,BP=6,所以AB=AP+BP=2+6=8.所以OA= 0N=3AB=4所以0P=0M-AP=4-2=2在 R△PHi0中，因为∠0PH=45,所以易得OH-号0n √2.在Rt△OHN中，因为ON=4,OH=√2，所以NH= √ON2-OH=√4-(2)2=√14.因为OH⊥MN,所 以MH=NH.所以MN=2NH=2√I4.(2)过点O作 OH⊥MN于点H,连结ON,则MH=NH.因为MP=3, NP=5,所以MN=MP+NP=3+5=8.所以MH= NH=2MN=4.所以PH=MH-MP=4-3=1.在 Rt△POH中，因为∠OPH=45°，所以OH=PH=1.在 Rt△OHN中，因为NH=4,OH=1,所以ON= √OI+NΠ=√+4F=√17.所以AB=2ON= 2m.(3PMPN的值不发生变化.如图O,当点 AB2 P在点O的左侧时，过点O作OH⊥MN于点H,连结 ON,则MH=NH.设⊙O的半径为R,在Rt△OHN中， OH+NH=ON2=R.在Rt△POH中，因为∠OPH= 45°，所以OH=PH.所以PH+NH=R2.因为PMP+ PN2=(HM-PH)2+(NH+PH)2=(NH-PH)2+ (NH+PH)2=2(PH+NH)=2R2.又AB2=4R2,所 以N-瓷=如周@，当点P与京0速合 时，MN是⊙O的直径，此时PM=PN=R,所以 PF+P心_RtR-如图@，当点P在点O的右 AB 4R2 侧时，同理可得PM+PN=(HM+PH)+(NH一 PH)2=(NH+PH)2+(NH-PH)2=2(PH2+ NH)P=2R.又AB2=4R,所t以PM+PN_2R=1 AB2 4R22 综上所述，PMrP心的值不发生变化，为定值 AB? A B O(P) ① ② ③ (第9题) D 第2课时垂径定理的逆定理 1C当AP-号AB时，AP=PB,即宜径CD平分弦 AB,所以CD⊥AB.故①正确.当OP=PC时，过点P的 弦有无数条，不能得到CD LAB.故②错误.当AB-2BC 时，AC-BC,即直径CD平分AB,所以CD⊥AB.故③正 确.当AD=BD时，直径CD平分ADB,所以CD⊥AB. 故④正确.综上所述，①③④符合题意，共3个. 2.√3如图，连结OC.因为∠DOB=120°，所以∠AOD= 180°-∠BOD=180°-120°=60°.因为C为BD的中点， 所以D=.所以∠0C=∠B0C-号∠DOB=60 所以∠AOD=∠DOC.所以AD=CD.所以OD⊥AC.所 以∠OAE=90°-∠AOD=90°-60°=30°.设OA=r,则在 R△AB0中，OE==DE=1,所以OM=2所以AE √OA2-OE=√/22-1平=3. A 0 B (第2题) 3.连结OC.设⊙O的半径为R.因为AP：PB=1:5, AP+PB=2R所以OP-号R.因为CP-PD.即直径 AB平分弦CD,所以CP=CD=50P1CD.所以 O=Op+CP.所以R=(号R)°+5，解得R=3后 (负值舍去).所以⊙0的半径为35. 4.B易知当PQ的长取得最小值时，点P在AB上.如 图，连结OQ,OA,OP.因为AB=8,Q为AB的中点，所以 AQ=2AB=4,0Q⊥AB.因为∠AQ0=90,所以0Q= √OA-AQ=√52-4=3.因为PQ≥OP-0Q=5- 3=2,所以当O,Q,P三点共线时，PQ长取得最小值， 为2. (第4题) 5.B如图，连结OA,OC,OC交AB于点D.由题意，得 OA=OC=4m.因为C为运行轨道的最低点，所以AC= 29