24.1.2垂直于弦的直径（题型专练）数学人教版九年级上册

24.1.2垂直于弦的直径 题型一、圆的轴对称性 1．（22-23九年级上·浙江金华·期中）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ）    A．1 B．2 C．5 D．无数条 【答案】C 【分析】根据题意，画出该图形的对称轴，即可求解． 【详解】解∶如图所示，一共有5条对称轴． 故选：C．      【点睛】本题主要考查了轴对称图形，若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 题型二、垂径定理的认识 2．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（    ） A．AE＝BE B．OE＝DE C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理即可判断． 【详解】解：是的直径，弦于点， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧，根据垂径定理即可进行判断，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径，是弦，，垂足为M， ∴，，， 无法判断， 故选：C 题型三、利用垂径定理求弦长和半径 4．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C在上，垂直平分于点．现测得，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理和垂径定理，关键是利用垂径定理解答． 连接，利用垂径定理解答即可． 【详解】连结，如图，设半径为， ∵垂直平分于点， ∴，， ∴， ∴点O，D，C三点共线， ， ， 在中， ，即 解得：， 则圆的半径为． 故答案为：A． 5．（24-25九年级下·湖南永州·期中）如图，是⊙的直径，是⊙的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，解题关键是理解垂径定理的内容并能灵活运用于计算． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，， ∴， ∴， 故选：B ． 6．（22-23九年级下·浙江·开学考试）如图，是的直径，弦垂足为P．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，设的半径为，在直角三角形中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：设的半径为， 则 ∵， ∴ 则： 解得： ∴， 故答案为：． 7．（21-22九年级上·福建厦门·期中）如图，是的直径，弦于点，若，．求的半径． 【答案】 【分析】连接，由垂径定理可得，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵为直径， ∴ 由勾股定理得： 答：圆的半径为5 【点睛】此题考查了圆的垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 8．（21-22九年级上·湖北武汉·期中）如图，在半径为5的⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，AE＝BE，已知CE＝2，求AD的长． 【答案】 【分析】连接AO，根据半径和CE的长度求出OE的长度，然后在△AEO中根据勾股定理求出AE的长度，然后在△AED中根据勾股定理即可求出AD的长度． 【详解】解：如图所示，连接AO， ∵⊙O的半径是5， ∴OC=OD=5， ∴， ∴， ∵直径CD与弦AB相交于点E，AE＝BE， ∴， ∴在△AEO中，， ∴在△AED中，． ∴AD的长度为． 【点睛】此题考查了圆的垂径定理的运用，勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握圆的垂径定理和勾股定理． 9．（24-25九年级上·重庆永川·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)4 (2)5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到；由勾股定理求出长． （1）由垂径定理得到； （2）设，得，由勾股定理可得,求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直径， ∴； （2）解：∵， ∴ 设， ∵, ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 题型四、垂径定理的推论 10．（21-22九年级上·福建厦门·期中）如图，为直径，交弦AD于点E，若E点为AD中点，则说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理的推论和垂径定理进行判断即可． 【详解】解：∵为直径，E点为AD中点， ∴， ∴，， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，解题关键是熟练运用垂径定理及推论进行证明推导． 11．（2022九年级上·全国·专题练习）垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 ． 【答案】 垂直于弦 两条弧 【分析】根据垂径定理的推论的内容直接得出答案． 【详解】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 故答案为：垂直于弦，垂直于弦． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，解答时熟悉垂径定理的推论的内容是关键． 12．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，得到是解答的关键．连接，先根据垂径定理的推论得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是圆的直径，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：8． 13．（22-23九年级上·北京西城·期末）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点D，连接，．若，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解． 【详解】解：设的半径是， 点是的中点，过圆心， ， ，， ，， 在直角中，由勾股定理得， ， 解得， ， ． 题型五、垂径定理的应用 14．（24-25九年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，连接，根据垂径定理的推论得，设，则，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵点D是的中点， ∴，． 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 故选：C． 15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，则半径的长度为（   ）寸． A．5 B．8 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由寸可求出的长，再设出圆的半径为寸，表示出的长，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵为的直径，，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为寸，则寸， ∵寸， ∴寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴， 解得， ∴则半径的长度为寸， 故选：D． 16．（24-25九年级下·陕西汉中·期中）管是灌溉的常用工具之一，如图是一个圆柱形水管在某次灌溉时横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面的宽为，水面最深的地方高度为，则该水管的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的几何性质、垂径定理以及勾股定理，过点作的垂线交于点，交优弧于点，连接，利用垂径定理得到，再用勾股定理得到方程求解即可． 【详解】过点作的垂线交于点，交优弧于点，连接 ， 设 ，即 解得： 故选：B． 17．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则 ． 【答案】寸 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由垂径定理得到寸，设的半径为x，则，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：连接， ∵寸， ∴寸， 设的半径为x，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ∴寸， 故答案为：寸． 18．（24-25九年级上·陕西西安·期末）王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点，连接，作AB的垂直平分线交于点，交于点，测出，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，， 在中，， ∴， 解得：； ∴圆形工件的半径为． 故答案为：． 19．（24-25九年级上·吉林·期中）某型号的圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．设其圆心为点，若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为．求这个圆形截面的半径． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，解题的关键是熟练运用垂径定理． 先作辅助线，利用垂径定理求出半径，再根据勾股定理计算． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接， 则， ∵， ∴， 设半径为，则， 由勾股定理得，， 即， 解得：． 答：这个圆形截面的半径是. 20．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 【答案】修理工人应准备直径为的管道 【分析】该题考查了勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 如图，过点O作于D，连接，则．设半径为，则，．在中，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于D，连接， 则． 设半径为，则，． 在中，， 即， 解得：， ． 故修理工人应准备直径为的管道． 21．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 【答案】该圆形工件的半径． 【分析】此题考查了垂径定理的应用．根据线段垂直平分线段，得出，连接，则，再设的半径为，可得，然后解方程即可． 【详解】解：圆心落在上，平分， 线段垂直平分线段， 、、三点所在圆的圆心在上， ， 连接，则， 设的半径为， ， ， ， 解得：， 该圆形工件的半径． 题型一、利用垂径定理解决平行弦问题 22．（22-23九年级上·天津和平·期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离． 【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图， ， ， ，， 而，， ，， 在中，，； 在中，，； 当圆点在、之间，与之间的距离； 当圆点不在、之间，与之间的距离； 所以与之间的距离为7或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用． 23．（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 24．（22-23九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ． 【答案】或/7或1 【分析】如图，，，过点作于，交于点，连，根据垂径定理得，由于，，则，根据垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出，再进行讨论即可求解． 【详解】解：如图，，， 过点作于，交于点，连， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ， 同理可得， 当圆心在与之间时，与的距离； 当圆心不在与之间时，与的距离． 故答案为7或1． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 25．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 26．（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）由圆的对称性，连接、交于点，连接并延长交于点即可； （2）连接，如图，根据垂径定理得到，，再利用三角形面积公式计算出，设的半径，则，，利用勾股定理得到，解方程即可． 【详解】（1）解：连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，如图1， 点为所作； （2）连接，如图2， 点为劣弧的中点， ，， 的面积为6， ， 解得， 设的半径，则，， 在中，， 解得， 即的半径为10． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 题型二、利用垂径定理求同心圆问题 27．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键． 当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围． 【详解】解：如图，当与小圆相切时有一个公共点， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴； 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点， 此时， 所以的取值范围是． 故选：A． 28．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 29．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 题型三、建立垂径定理模型解决实际问题 30．（24-25九年级下·河南许昌·开学考试）如图，有一拱桥为圆弧形，跨度，拱高，当洪水泛滥时，跨度只有时要采取紧急措施．当测量人员测得水面到拱顶距离只有时，是否需要采取紧急措施？ 【答案】不需要采取紧急措施 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接、，由题意可得，，，，，，由垂径定理可得，，再利用勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接、， ， 由题意可得：，，，，，， 由垂径定理可得：，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不需要采取紧急措施． 31．（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【答案】(1) (2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，利用垂径定理可得，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答； （2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，由题意得四边形是矩形，则有，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过，再结合货轮露出水面部分的实际高度，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可． 【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、， 由题意得，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 桥拱圆弧所在圆的半径为． （2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点， 由题意得，四边形是矩形， ， ， ， 由（1）得，， ， ， 要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过， ， 需要提前增加货物， 由题意得，至少需要增加吨， 答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨． 32．（2025·河南郑州·一模）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，． (1)求的长． (2)一艘船要经过该桥洞，矩形是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽为10米，高为2米．受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由． 【答案】(1)米 (2)该船能通过该桥洞，见解析 【分析】（1）由垂径定理可知，易得米，，于是，（米），再由可得答案； （2）如图（1），延长交于点F，交半圆O于点H，则米，米，由（1）易得米，则米， 【详解】（1）解：如图（1），过点O作于点E，则，． 连接，则米，，当箱子随水面上升1米，点H到线段的距离为2米，求出当木箱刚好通过该桥洞时，的长度，若该长度小于2，则此木箱能通过该桥洞，否则不能． ， （米）， （米）； （2）解：该船能通过该桥洞．理由如下： 如图（1），延长交于点F，交半圆O于点H，则米，米， 由（1）易得米， 米， 若该船随水面上升1米，则点H到线段的距离为2米， 若该船刚好能通过该桥洞，情形如图（2），过点O作于点G， 延长交半圆O于点H，连接， 则米，米． 在中，由勾股定理得（米）． 米． ， 该船能通过该桥洞． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、特殊角的三角函数值、含30度角的直角三角形性质、矩形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 33．（2025·云南丽江·模拟预测）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为， 故选：C． 34．（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点，，垂足为点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理，连接，，作于点，交于点，交于点，证明四边形是矩形，得出，，由垂径定理可得，由勾股定理可得，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，作于点，交于点，交于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴圆盘离桌面最近的距离是， 故选：D． 35．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 36．（2022·黑龙江·一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【答案】 【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 37．（20-21九年级上·天津和平·期中）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ． 【答案】 【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值． 【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H． ∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F， ∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9， ∴，， ∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21， BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21， 在Rt△BCH中，根据勾股定理得：， 即PA＋PC的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键． 38．（23-24九年级上·福建厦门·期末）关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题： (1)求证：关于x的“勾系方程”必有实数根. (2)如图，已知、是半径为5的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾系方程”. ①求的度数， ②直接写出的长：_____________（用含a、b的式子表示）. 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可判断； （2）①由勾股定理，圆周角定理，垂径定理即可求解． ②过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，根据，得出，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程是“勾系方程”， 且，， ， ， ， 方程必有实数根； （2）解：①，理由如下： 作于，延长交于，连接， ， ， ， ， ， 是“勾系方程”， ， ； ， ； ， ， ， ， ． ②如图所示，过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形， ∴， ∵，则 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了“勾系方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，三角形全等，解题的关键是明白“勾系方程”的定义． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.2垂直于弦的直径 题型一、圆的轴对称性 1．（22-23九年级上·浙江金华·期中）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ）    A．1 B．2 C．5 D．无数条 题型二、垂径定理的认识 2．（九年级上·全国·课后作业）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（    ） A．AE＝BE B．OE＝DE C． D． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 题型三、利用垂径定理求弦长和半径 4．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C在上，垂直平分于点．现测得，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·湖南永州·期中）如图，是⊙的直径，是⊙的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（22-23九年级下·浙江·开学考试）如图，是的直径，弦垂足为P．若，则的长为 ． 7．（21-22九年级上·福建厦门·期中）如图，是的直径，弦于点，若，．求的半径． 8．（21-22九年级上·湖北武汉·期中）如图，在半径为5的⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，AE＝BE，已知CE＝2，求AD的长． 9．（24-25九年级上·重庆永川·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 题型四、垂径定理的推论 10．（21-22九年级上·福建厦门·期中）如图，为直径，交弦AD于点E，若E点为AD中点，则说法错误的是（    ） A． B． C． D． 11．（2022九年级上·全国·专题练习）垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 ． 12．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则 ． 13．（22-23九年级上·北京西城·期末）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点D，连接，．若，，求的面积． 题型五、垂径定理的应用 14．（24-25九年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，则半径的长度为（   ）寸． A．5 B．8 C．12 D．13 16．（24-25九年级下·陕西汉中·期中）管是灌溉的常用工具之一，如图是一个圆柱形水管在某次灌溉时横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面的宽为，水面最深的地方高度为，则该水管的半径为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则 ． 18．（24-25九年级上·陕西西安·期末）王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点，连接，作AB的垂直平分线交于点，交于点，测出，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为 ． 19．（24-25九年级上·吉林·期中）某型号的圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．设其圆心为点，若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为．求这个圆形截面的半径． 20．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 21．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 题型一、利用垂径定理解决平行弦问题 22．（22-23九年级上·天津和平·期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 23．（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 24．（22-23九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ． 25．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 26．（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 题型二、利用垂径定理求同心圆问题 27．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 29．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 题型三、建立垂径定理模型解决实际问题 30．（24-25九年级下·河南许昌·开学考试）如图，有一拱桥为圆弧形，跨度，拱高，当洪水泛滥时，跨度只有时要采取紧急措施．当测量人员测得水面到拱顶距离只有时，是否需要采取紧急措施？ 31．（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 32．（2025·河南郑州·一模）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，． (1)求的长． (2)一艘船要经过该桥洞，矩形是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽为10米，高为2米．受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由． 33．（2025·云南丽江·模拟预测）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点，，垂足为点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 36．（2022·黑龙江·一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 37．（20-21九年级上·天津和平·期中）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ． 38．（23-24九年级上·福建厦门·期末）关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题： (1)求证：关于x的“勾系方程”必有实数根. (2)如图，已知、是半径为5的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾系方程”. ①求的度数， ②直接写出的长：_____________（用含a、b的式子表示）. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$