专题02 二次函数全章30大题型复习（期中专项训练·冲刺版）九年级数学上学期新教材人教版

专题02 二次函数 题型1 二次函数的概念 （常考点） 题型16 由实际问题列二次函数的解析式（重点） 题型2 由二次函数的定义求字母的值（常考点） 题型17 二次函数的实际应用---面积问题（难点） 题型3  y=ax²的图象和性质（重点） 题型18 二次函数的实际应用---商品销售问题（难点） 题型4  y=a（x﹣h）²+k的图象和性质（重点） 题型19 二次函数的实际应用---运动轨迹问题（常考点） 题型5 把y=ax²+bx+c化成顶点式 （重点） 题型20二次函数的实际应用---拱桥问题（常考点） 题型6　 y=ax²+bx+c的图象和性质（重点） 题型21 二次函数的实际应用---投球问题（重点） 题型7　 利用二次函数的性质比较函数值的大小  题型22 二次函数的实际应用---喷水问题（重点） 题型8 二次函数的图象共存问题 （难点） 题型23 二次函数的实际应用---动点运动问题（重点） 题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴（常考点） 题型24 二次函数与新定义问题（难点） 题型10 待定系数法求二次函数的解析式 （常考点） 题型25二次函数与线段问题（难点） 题型11 二次函数与一元二次方程（重点） 题型26二次函数的综合---面积问题（难点） 题型12 二次函数与不等式（难点） 题型27二次函数的综合---特殊三角形（难点） 题型13 二次函数的平移（常考点） 题型28 二次函数的综合---特殊四边形的存在性问题（难点） 题型14 二次函数的多结论问题（常考点） 题型29二次函数的综合---角度问题（难点） 题型15 二次函数的性质求最值（难点） 题型30二次函数的综合--其它问题（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 二次函数的概念（共3小题） 1．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数，即可判断． 【详解】解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 2.把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 故选：D 3.下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，二次函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（、、是常数，）是二次函数．直接利用二次函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：：①为一次函数，不是二次函数； ②，是二次函数； ③，最高次数为3，不是二次函数； ④，含有分式，不是二次函数； ⑤，可能为0，不一定是二次函数； ∴只有②是二次函数，个数为1， 故选：A． 题型2 由二次函数的定义求字母的值（共3小题） 4.（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）若关于x的函数是二次函数，、 则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数是否为二次函数，必须满足二次项的系数不为这一核心条件，本题结合二次函数的定义即可完成判断． 【详解】解：选项，当时，二次项系数，函数的最高次项为二次项，符合二次函数的定义要求，故符合题意； 选项，仅限制，无法排除的情况，若，二次项系数为，函数就不再是二次函数，故不符合题意； 选项，若，代入后二次项系数为，原函数化为，属于一次函数，故不符合题意； 选项，若，当时，会让二次项系数消失，函数化为一次函数，故不符合题意． 5.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若是二次函数，则的值 是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，解题需同时考虑二次项次数为、二次项系数不为两个条件，不可遗漏系数限制． 【详解】解：由二次函数定义得二次项次数为、二次项系数不为， ∴且， 解得：或， 解得：， ∴． 6．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案； （）根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当，即时，原函数为，是一次函数； 当即时，原函数为，也是一次函数， 综上所述，当或时，是一次函数． 题型3  y=ax²的图象和性质（共3小题） 7．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）关于抛物线，下列说法中正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．图像位于第二、四象限 C．抛物线有最低点 D．抛物线在直线的左侧部分是上升的 【答案】D 【分析】由二次项系数的符号确定抛物线开口方向，结合对称轴分析图像位置与增减性． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数， ∴抛物线开口向下，有最高点，故A、C错误； ∵对任意实数，， ∴，即图像位于第三、四象限及原点，故B错误； ∵该抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴在直线左侧，随的增大而增大，即图像是上升的，故D正确． 8．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与二次函数的图像，理解掌握函数图像的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：A．函数图像可得，则 开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B．函数图像可得，则 开口方向向下正确，顶点坐标为，故选项B正确； C．函数图像可得，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D．函数图像可得，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选：B． 9．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 题型4  y=a（x﹣h）²+k的图象和性质（共3小题） 10．（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 11．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，下列结论： ①开口向上；②对称轴为；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接利用二次函数性质判断各结论． 【详解】解：①∵， ∴抛物线开口向下， ∴①错误； ②∵对称轴为直线， ∴②错误； ③∵顶点坐标为， ∴③正确； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴④正确； 综上所述，正确结论共2个． 题型5 把y=ax²+bx+c化成顶点式（共3小题） 13．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）将二次函数化为的形式，结果为_____． 【答案】 【详解】解：． 14．（23-24九年级上·北京东城·期末）用配方法将二次函数化为的形式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键．根据配方法求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·上海静安·阶段检测）已知：某个二次函数的一般式为：． (1)用配方法把一般式化为顶点式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)求这个二次函数图像与轴的交点坐标． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)和 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数的一般式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）令求出，即可得到函数图象与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：令，即， 解得：，， ∴函数图像与轴的交点坐标为和． 题型6　 y=ax²+bx+c的图象和性质（共3小题） 16．已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值是3 B．图象的对称轴是直线 C．图象开口向下 D．图象与x轴有两个交点 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象及其性质，涉及抛物线与x轴交点，对称轴，开口方向，二次函数的最值.先将二次函数解析式化为顶点式，即可判断A、B、C，然后计算的值即可判断D． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，故C不符合题意； 该函数有最小值3，故A符合题意； 该抛物线对称轴是直线，故B不符合题意； ，则该抛物线与x轴没有交点，故D不符合题意． 故选：A． 17．已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据当和当时的函数值相同可得对称轴，再根据对称性可得当和当时的函数值相同，据此可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同， ∴， 故选：C． 18．二次函数（为常数，且）与轴的一个交点的横坐标是、顶点坐标为，则下列关于二次函数的说法中正确的是（   ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是3 C．当时，随的增大而减小 D．二次函数图象与轴的交点的纵坐标是8 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的顶点坐标即可得二次函数图象的对称轴是直线，则A错误；根据二次函数的对称性可得二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是4，则B错误；根据二次函数的对称轴是直线和可得当时，随的增大而增大，则C错误；先设二次函数的解析式为，再将点代入求出，则可得二次函数的解析式，然后将代入二次函数的解析式求出的值，由此即可得D正确． 【详解】解：∵二次函数（为常数，且）的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，则选项A错误； ∵这个二次函数与轴的一个交点的横坐标是， ∴二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是，则选项B错误； ∵这个二次函数图象的对称轴是直线，且， ∴当时，随的增大而增大，则选项C错误； ∵二次函数（为常数，且）的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴二次函数的解析式为， 将代入得：， ∴二次函数图象与轴的交点的纵坐标是8，则选项D正确； 故选：D． 题型7　 利用二次函数的性质比较函数值的大小 （共3小题） 19．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，比较三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵，且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵抛物线过三点，且， ∴． 20．（2026·浙江金华·二模）已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，利用开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较三个点的距离即可得到结果． 【详解】解：抛物线解析式为，其中二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 三个点的横坐标到对称轴的距离为：，，， ， ． 21．（26-27九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的图象及性质，求出二次函数图象的对称轴，分别计算各点横坐标到对称轴的距离，由开口向上可得离对称轴越远的点的纵坐标越大，据此判断即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵点，，在二次函数的图象上， 且，图象开口向上， ∴． 题型8 二次函数的图象共存问题 （共3小题） 22．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 23．（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，根据二次函数图像可知，开口向上，可得到，继而可得到一次函数图像的位置，即可判断； 对于B，开口向下，可得到，继而可得到一次函数图像的位置，即可判断； 对于C，根据二次函数图像可知，开口向上，可得到，交y轴于负半轴，得到，继而根据一次函数图像的位置，即可判断， 对于D，根据二次函数图像可知，开口向下，可得到，交y轴于负半轴，得到，继而可根据一次函数图像的位置，即可判断，从而得到正确选项． 【详解】解：A．根据二次函数图像可知，开口向上，可得到，一次函数经过一、二、四象限，得；故错误； B．开口向下，可得到，一次函数经过一、二、三象限，得；故错误； C．根据二次函数图像可知，开口向上，可得到，交y轴于负半轴，得到，一次函数经过一、二、三象限，得，，故错误； D．根据二次函数图像可知，开口向下，可得到，交y轴于负半轴，得到，此时经过二、三、四象限，故正确． 24．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）一次函数和二次函数（为常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象的开口方向和对称轴位置确定a、b的符号，进而得到一次函数图象经过的象限，即可得出答案． 【详解】解：当二次函数的图象开口向上，对称轴位于y轴右侧时，，，即， 此时一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选项A正确，符合题意，选项C、D错误，不符合题意； 当二次函数的图象开口向下，对称轴位于y轴右侧时，，，即， 此时一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选项B错误，不符合题意． 题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴（共3小题） 25．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ，两点纵坐标相等， 对称轴为，故D错误， ， 顶点的纵坐标大于，A、C错误，B正确， 故选：B． 26．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）点和都在抛物线上，且，则的值是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可得抛物线的对称轴为直线，再由 与 纵坐标相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵ 与 纵坐标相等， ∴， ∴． 27．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线（a为常数）． （1）若该抛物线经过点，则_______； （2）若点，，，均在该二次函数的图象上，则______． 【答案】 1 2 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据对称轴公式和抛物线的对称性可得，则，据此可求出，，则，再根据点A的坐标可得，整理，得，据此可得答案． 【详解】解：（1）把点代入二次函数，得，解得． （2）∵点，在该二次函数的图象上，该抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴抛物线的解析式为． 又∵点，在该二次函数的图象上， ∴， ， ∴． 又∵点在该二次函数的图象上， ∴， 整理，得， ∴． 题型10 待定系数法求二次函数的解析式 （共3小题） 28．（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）已知抛物线经过，，三点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求该抛物线的对称轴及最值． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，函数有最大值为4 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线的解析式为，即； （2）解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 函数有最大值为4． 29．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的顶点坐标为，该抛物线的图象在轴上截得的线段长为． (1)求该抛物线图象与轴的交点坐标； (2)求该抛物线的表达式． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）由抛物线对称性求图象与轴的交点坐标即可； （2）由待定系数法求抛物线的表达式即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的图象在轴上截得的线段长为， 抛物线的对称轴为，则该抛物线图象与轴的交点在对称轴左侧的坐标是、对称轴右侧的坐标是； （2）解：由（1）知该抛物线图象与轴的交点坐标为和， 设抛物线的表达式为， 抛物线的顶点坐标为， 将代入得， 解得， 该抛物线的表达式为． 30．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）求二次函数的解析式 (1)经过三点的二次函数的解析式． (2)二次函数的图象的顶点为，与y轴交于点，则该二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得 解得 ∴二次函数的解析式为． （2）∵二次函数的图象的顶点为， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得 解得 ∴二次函数的解析式为． 题型11 二次函数与一元二次方程（共3小题） 31．（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）若抛物线（a、c为常数，且）与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求抛物线的对称轴，再利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质计算另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 且抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为， 设另一个交点为， ∴． 解得． ∴另一个交点坐标为． 32．（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解，直接得出答案． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与轴的交点坐标是和， ∴ 一元二次方程的解为，． 故选：D． 33．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1． （1）求a和b； （2）抛物线与y轴交于点B，将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度，当直线恰与抛物线有一个交点时，求m． 【答案】（1）a，b＝1； （2）m＝2． 【分析】（1）利用待定系数法求得即可； （2）利用抛物线的解析式求得B点的坐标，即可利用待定系数法求得直线AB的解析式，进一步求得平移后的直线解析式，根据题意得到﹣x﹣4﹣mx2+x﹣4，即x2+2x+m＝0，则Δ＝0，即可得出22﹣40，解得m＝2． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴， 解得a，b＝1； （2）在yx2+x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4， ∴B（0，﹣4）， 由A（﹣4，0），B（0，﹣4）得直线AB解析式为y＝﹣x﹣4， 将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得到y＝﹣x﹣4﹣m， ∵直线恰与抛物线有一个交点时， ∴令﹣x﹣4﹣mx2+x﹣4，即x2+2x+m＝0，则Δ＝0， ∴22﹣40， 解得m＝2． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，解题的关键是明确题意得到关于m的方程． 题型12 二次函数与不等式（共3小题） 34．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当或时，抛物线在直线下方，因此不等式的解集是或． 35．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得中x的取值范围就是二次函数图像在一次函数图像下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：若，则， 有图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，即， ∴当或时，， 则当或时，， 故选：B． 36．（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． 根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根：________________． (2)若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________________． (3)当时，的取值范围是________________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，进而可得出方程的两个根； （2）根据抛物线的顶点坐标为且开口向下求解即可； （3）根据图象解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的两个根是； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为且开口向下， ∴方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为； （3）解：由图象可知，当时，的取值范围是或． 题型13 二次函数的平移（共3小题） 37．（天津市红桥区2026-2027学年九年级上学期九月学情自测数学试题）将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将的图象向左平移3个单位长度，得，再向上平移4个单位长度，得． 38．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得， 再向上平移3个单位，得． 39．抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求得函数解析式是解题的关键．根据二次函数图象平移的规律即可得到平移后的函数解析式． 【详解】解：∵， ∴抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 题型14 二次函数的多结论问题（共3小题） 40．（2026九年级上·浙江·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．①③④ 【答案】A 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系，可判断①正确；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，可判断②不正确；利用二次函数的增减性可判断③不正确；根据当时，抛物线取得最大值，可判断④正确；把代入，可判断⑤正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过，即，故②不正确； ∵，且抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值，， 当时，， ∵， ∴，故④正确； 把代入得，即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是①④⑤． 41．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；②根据抛物线的对称轴即可得结论；③根据抛物线的顶点坐标及其它任何坐标的纵坐标进行比较即可得结论；④根据时，可得结论． 【详解】解：∵函数图象的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，，即，故②正确， ∵函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵当时，为函数的最大值， 当时，， ∴， 即，故③正确； 由图象知，当时，， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的个数是3个． 42．（26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线如图所示，该抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥（为任意实数），其中正确的结论有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】先根据抛物线的开口，与轴交点位置，对称轴分析符号，即可判断①③，根据抛物线与轴交点个数判断②，根据和时，对应的点在轴的上方还是下方判断④和⑤，再根据最值判断⑥． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线 ， 抛物线与轴的交点位于原点上方， ，故结论①错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ，故结论②正确； 对称轴为直线， ，即 ，故结论③正确； 当时，对应的点在轴下方的抛物线上， ，故结论④正确； 对称轴为直线， 与时的函数值相等， 当时，， 当时，，故结论⑤正确； 抛物线开口向下， 当时，函数取得最大值， ，即，故结论⑥正确． 综上所述，正确的结论有5个． 题型15 二次函数的性质求最值（共3小题） 43．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数在范围内的最小值为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】找出二次函数的对称轴，根据在 的范围内有最小值得出答案． 【详解】解：对配方，得， ∵ 函数图象开口向上，对称轴为直线，且， ∴ 当时，取得最小值， ∵在范围内的最小值为， ∴ ， 解得. 44．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 45．（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知抛物线（a，b，c为常数且）经过和两点． (1)求的值； (2)求当随的增大而减小时，自变量的取值范围； (3)若直线与抛物线有且只有一个交点． ①求的值； ②若点在直线上，点在抛物线上．当时，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)当，函数开口向上，时，随的增大而减小；当，函数开口向下，时，随的增大而减小 (3)①；② 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式，即可求解； （2）根据（1）可知，将代入解析式，得到，则二次函数的对称轴为直线，再根据a的正负情况，判断解析式的开口方向，即可求解； （3）①将和代入解析式，联立函数解析式，根据直线和抛物线有且只有一个交点，则对应的方程有两个相等的实数根，根据，即可求解；②根据题意可知直线解析式为，二次函数解析式为，用含的式子将和表示出来，根据，可得，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将代入解析式，得， 解得． （2）解：由（1）可知，则解析式为， 把点代入解析式，得， 化简得， 二次函数的对称轴为直线， 当，函数开口向上，时，随的增大而减小； 当，函数开口向下，时，随的增大而减小． （3）解：①可知二次函数解析式为， 联立函数解析式，得 ， ∵， ∴， 直线与抛物线有且只有一个交点， ， 解得或（不合题意，舍去）． ②根据题意可知直线解析式为，二次函数解析式为， 当时，，， 则， ， 当时，n有最大值，最大值为． 题型16 由实际问题列二次函数的解析式（共3小题） 46．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 47．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 48．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 题型17 二次函数的实际应用---面积问题（共3小题） 49．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，李叔叔想用长为的篱笆围成一个矩形草莓园，且要求矩形的一边的长不得低于，草莓园中有一横两纵且宽均为的小路，其余部分种草莓，则种草莓部分的最大面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设草莓部分的面积为S，，则，再表示出种植草莓区域的长和宽，然后根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：把小路平移到上方和左方，面积不变，如图： 设草莓部分的面积为S，，则， ∵小路的宽均为， ∴，， ∴， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，． 50．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）为加强学生的素质教育，让学生看到自己的劳动成果，兴华中学围建了一个如图所示的矩形苗圃园让学生种菜．苗圃园其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成，已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为，这个苗圃园的面积为． (1)求与之间的函数关系式； (2)求出的取值范围； (3)当矩形场地的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 【答案】(1) (2) (3)垂直于墙的一边的长 【分析】（1）根据矩形的面积公式列出函数关系式即可； （2）根据矩形的边长为正数，且与墙平行的边长不超过，列出不等式组进行求解即可； （3）令，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，平行于墙的边长为， ∴； （2）解：由题意，， 解得； （3）解：当时， 解得或（不合题意，舍去）； 答：垂直于墙的一边的长. 51．（2026·山东泰安·三模）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)该矩形停车场的最大面积为 【分析】（1）容易判断与都是等腰直角三角形，则，结合矩形的性质可得； （2）结合图形容易判断，解不等式即可； （3）利用矩形面积公式可得关于的二次函数，再结合二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由图可知，, ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 答：该矩形停车场的最大面积为． 题型18 二次函数的实际应用---商品销售问题（共3小题） 52．（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． (1)要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ (2)每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每盒月饼的售价应定为74元； (2)当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 【分析】（1）根据总利润等于每盒利润乘以销量，列出函数关系式，令，求出的值，即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，； 当时， 解得， ∵尽快减少库存， ∴，此时售价为（元）； 答：每盒月饼的售价应定为74元； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向下，当时，函数有最大值为； 故当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 53．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．制作一件A品成本为6元，制作一件B品成本为4元，同时收集到如下信息： 信息1：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息2：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 模型建立 (1)设销售A品和B品的总利润为w元，A品涨价后的售价为m元/件，则每件A品的利润为 元，A品的销量为 件，每件B品的利润为 元，B品的销量为 件，求总利润w关于A品涨价后的售价m的函数解析式． 方案设计 (2)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案，并求出此时的最大利润． 【答案】(1)；；12；； (2)A品的销量为件，B品的销量为件，最大值为4800元 【分析】（1）设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，根据题意列出代数式和函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件； 总利润关于的函数解析式为； （2）解： ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为4800元， 此时A品的销量为件，B品的销量为件． 54．（26-27九年级上·湖北荆门·阶段检测）为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为元，规定每千克售价需超过成本，但不高于元，日销售量（千克）与售价（元千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为元． (1)分别求出与，与之间的函数解析式； (2)该合作社决定从每天的销售利润中拿出元设立“助学基金”， ①若捐款后合作社的剩余利润是元，求该农产品的售价； ②若捐款后合作社的剩余利润不低于元，直接写出该农产品的售价的范围； (3)若该农产品的日销量不低于千克，当售价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】(1)， (2)①该农产品的售价为30元/千克；②该农产品的售价的范围为（元千克） (3)售价定为45元时，每天获取的利润最大，最大为1750元 【分析】（1）利用待定系数法求y与x的函数关系式，根据求W与x之间的函数解析式； （2）①每天利润为元，代入W与x之间的函数解析式，解一元二次方程即可； ②每天利润不低于元，代入W与x之间的函数解析式，利用二次函数图象解不等式即可； （3）先求出售价的取值范围，将W与x之间的函数解析式变形为顶点式，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：， 把，代入得 ， 解得， ∴y与x的函数关系式为：； ∴， 即； （2）解：①由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵， ∴， 答：该农产品的售价为30元/千克； ②由题意得，， 整理得，， 解得， ∵， ∴， 即该农产品的售价的范围为（元千克）； （3）解：∵该农产品的日销量不低于千克， ∴， 解得， ∴， ， ∵， ∴开口向下， ∵对称轴为直线， ∴在时，W随x的增大而增大， ∴时，（元）， 答：售价定为45元时，每天获取的利润最大，最大为1750元． 题型19 二次函数的实际应用---运动轨迹问题（共3小题） 55．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）2026美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 足球离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如下表： … 10 12 14 16 18 … … 4.5 4.8 4.9 4.8 4.5 … (1)求与的函数表达式； (2)已知守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． ①若守门员选择原地接球，能否防守成功？请通过计算说明理由； ②通过系统监测，足球飞行的水平速度为．若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 【答案】(1) (2)①不能，理由： ，， ， 当时，， 守门员的最大防守高度为，， 若守门员选择原地接球，不能防守成功． ② 【分析】（1）根据表格设二次函数顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出时对应的高度，即可得解；②先求出当时对应的水平距离，进而求出守门员最少后退距离和所用时间，即可得解． 【详解】（1）解：由表格可知，当和时，的值相同， 对称轴为直线， 顶点为， 设与的函数表达式为， 将，代入得，， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：①略 ②由题意可知，当守门员刚好接到球时，球的离地高度为， 当时，， 解得：或， 由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，则舍去， 此时，即足球的飞行距离为，守门员最少后退， 足球飞行的水平速度为， 足球飞行的时间为， 守门员后退时间为 守门员成功防守的最小后退速度为． 56．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）第二届“东北超”于5月23日晚在沈阳体育中心正式拉开帷幕．小明发现，球员在禁区外起脚射门，足球一次次在空中划出优美的弧线，其运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分．为研究射门的轨迹规律，以射门瞬间足球的位置为原点O，水平向右（指向球门）为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．球员甲在某次禁区外射门中，足球被踢出时，初始位置A距离地面的高度为0.5米；当足球水平飞行10米时，达到飞行的最高点P，距离地面高度为4.5米． (1)在给定的平面直角坐标系中，求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知标准足球球门横梁高度为2.44米，球门中心点正对原点O所在的水平直线，球员甲在距离球门18米处完成（1）中的远射．请通过计算判断，在无拦截的状态下，此次射门足球能否直接飞入球门？（仅考虑高度和水平位置，忽略其他因素） 【答案】(1) (2)能射入球门 【分析】（1）设抛物线对应的函数表达式为，再将点代入得出答案； （2）将代入关系式求出，再根据判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线过点，顶点． 设抛物线对应的函数表达式为， 将代入得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：能射入球门． 在中，令，则． ∵， ∴此次射门足球能直接飞入球门． 57．车辆年检是保障道路交通安全的关键环节．通过年检中的刹车距离检测，可准确判断刹车系统是否正常工作，避免因刹车失灵引发交通事故，因此刹车距离检测是车辆年检的重要项目之一．某车辆年检机构对一辆待检汽车进行刹车性能测试，模拟汽车在城市道路按规定速度行驶时的刹车情况，记录到以下一组数据： 信息窗 ①开始刹车后行驶的距离（单位：m）与刹车后行驶的时间（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 刹车后行驶的时间（单位：s） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离（单位：m） 0 14 24 30 (1)求关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）． (2)当汽车刹车后行驶了时，求的值． (3)年检标准规定，该型号汽车在此次测试速度下刹车，最大刹车距离不得超过，否则判定为刹车性能不合格．通过计算判断该车的刹车性能是否符合年检标准． 【答案】(1) (2) (3)该车的刹车性能符合年检标准， 计算如下： ∵， ∴当时，汽车停下，最大刹车距离为． ∵， ∴该车的刹车性能符合年检标准． 【分析】（1）根据表格数据，利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）将代入（1）中解析式，即可解答； （3）根据（1）中函数解析式求出最大刹车距离，即可解答； 【详解】（1）解：由于当时，， 故设关于的函数解析式为， 将 代入，得， 解得， 故关于的函数解析式为； （2）解：由（1）知， 当时，， 解得：（舍去）， 所以当汽车刹车后行驶了时，的值为； （3）略 题型20二次函数的实际应用---拱桥问题（共3小题） 58．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，有一抛物线形拱桥，桥下的正常水位宽为20米，水位上升米就达到警戒线，这时水面宽为12米． (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以平均每小时米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到桥拱顶? 【答案】(1) (2)小时 【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，设，，列方程组并解方程组即可； （2）警戒线到桥顶的距离为，根据水位以平均每小时米的速度上升即可求出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ， 由 ，可设， 由，水位上升米就达到警戒线， ∴可设， 把，代入函数解析式得到， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）可知，，即警戒线到桥顶的距离为， 由水位以平均每小时米的速度上升得到（小时） 即从警戒线开始，再持续小时才能到桥拱顶． 59．（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）某景区有一座石门，底部为矩形，其中长是，宽为．顶部为抛物线形，拱高．以的中点为原点，所在的直线为轴，竖直方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)若增加夜间照明效果，需在石门顶部装盏射灯，每相邻两盏射灯之间的水平距离相等，最外侧两盏与石门左右两侧边缘的水平距离均为，请用坐标表示这四盏射灯的位置． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法得到抛物线的解析式． （2）根据射灯的放置方式得到射灯的横坐标，进而得到射灯的坐标． 【详解】（1）解：由图可知抛物线的顶点坐标为，即， ∴设抛物线的解析式为， ∴将代入，得：， ∴解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵最外侧两盏与石门左右两侧边缘的水平距离均为，每相邻两盏射灯之间的水平距离相等， ∴射灯之间的距离为，最外侧射灯的横坐标到轴的距离为， ∴盏射灯的横坐标分别为， 当和时，， 当和时，， ∴四盏射灯的位置坐标分别为． 60．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ (3)在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 【答案】(1) (2)米 (3)这艘船能从这座拱桥下通过 【分析】（1）以所在直线为x轴，以的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，可设抛物线的解析式为，把点代入，即可求解； （2）求出当时，x的取值，即可求解； （3）求出当船在拱桥正中心行驶时，拱桥高出水面的高度，即可求解． 【详解】（1）解：如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得：， 此时水面的宽度是米； （3）解：∵船宽， ∴当船在拱桥正中心行驶时，船边缘的横坐标为， 当时，， 此时拱桥高出水面的高度为米， ∵物资顶部距水面，且， ∴这艘船能从这座拱桥下通过． 题型21 二次函数的实际应用---投球问题（共3小题） 61．（2026·甘肃武威·一模）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】C 【分析】此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米． 62．某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 【答案】(1) (2) 解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴小明抛出的乒乓球能投入箱子； 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 （2）略 63．如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． (1)求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 【答案】(1) (2)乒乓球发球器此次发出的球无效， 由题意可知点A的横坐标为1.4， 当时，， ， 乒乓球越过了球网． 令，则， 解得（舍去），． ， 乒乓球没有落在球台上． 综上可得乒乓球发球器此次发出的球无效． 【分析】（1）由乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，设抛物线的函数表达式为，由发球点的高度为，得点C的坐标为，代入解方程求出a值即可． （2）先求得时的y值，可判断是不是越过球网；再求得时的x值，可判断是否落在球台上，进而可判断是否有效． 【详解】（1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，点C的坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）略． 题型22 二次函数的实际应用---喷水问题（共3小题） 64．（26-27九年级上·全国·课后作业）某高为的喷水管竖直向上喷水，水在空中的高度h（单位：m）与水离开水管后在空中的时间t（单位：s）的关系近似为． (1)水离开喷水管后，经过多久能落回到起始高度？ (2)喷出的水在空中的最大高度是多少？ 【答案】(1) 水离开喷水管后经过落回到起始高度 (2) 喷出的水在空中的最大高度为 【分析】（1）令，解一元二次方程，舍去初始时刻的解得到结果； （2）将二次函数解析式配方为顶点式，结合开口方向求最大值； 【详解】（1）解：由题意，水的起始高度为，落回起始高度时， 代入，得， 解得，， ∵为水刚离开喷水管的初始时刻，不符合题意，舍去， ∴， 答：水离开喷水管后经过能落回到起始高度； （2）解： ， ∵， ∴当时，取得最大值， 答：喷出的水在空中的最大高度是． 65．（2026·陕西西安·模拟预测）某市消防中队引进一种新型高层专用消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计） 已知，，从处喷出的水流高度（）与水平距离（）之间的关系为． (1)求，的值； (2)点在点正前方1米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到36米，则消防车从点应至少前进多少米？ 【答案】(1) (2)3米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据已知数据确定点和，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出当时，或．再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：将和代入中，得 解得 ． （2）解：令，得， 解之，得或． ， ∴消防车从点至少前进3米才能使处的水流高度达到36米． 66．（湖北十堰市茅箭区十堰二中等校2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷）根据以下素材，探索完成任务． 喷泉中的数学问题 素材1 某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管米，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，已知在与池中心点水平距离为2米时，水柱达到最高，此时高度为1.5米． 素材2 现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高． 问题解决： (1)确定水柱形状：根据素材1，求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式． (2)探究喷水高度：改建前，身高为1.67米的小明站在距离喷水管3米处，他会被喷到吗？ (3)确定设计方案：根据素材2，喷水管要升高多少？ 【答案】(1) (2)小明会被水喷到 (3)喷水管要升高 【分析】（1）根据水柱最高点的坐标设抛物线顶点式，代入点坐标，即可求出第一象限部分水柱的函数表达式； （2）令，代入已求得的抛物线解析式，计算此处的水柱高度，再与小明的身高比较，进而判断小明是否会被水喷到； （3）设喷水管升高 ，由题意可知改建后抛物线的形状不变，因此新的抛物线解析式可写为，由于改建后落水点距离原点水平距离为米，故将代入新解析式，解得即可． 【详解】（1）解：由题意，得抛物线顶点坐标为，点坐标为， 设抛物线的解析式为，将点代入得， 解得， 水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数解析式为； （2）解：由题意，令，则， ， 小明会被水喷到； （3）解：设喷水管升高 ． 则抛物线的解析式为， 把点代入上式，得， 解得． 喷水管要升高． 题型23 二次函数的实际应用---其它问题（共3小题） 67．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图所示，已知在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ． （用含的代数式表示）； (2)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (3)点、运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理得， ∴， ∴方程没有实数根， ∴的面积不能等于； (3)当点、运动秒后，的面积最大，最大为 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （3）将三角形的面积转化为二次函数，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意得，． （2）略 （3）解：当点运动到点时，（秒）； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大，最大为， 故当点、运动秒后，的面积最大，最大为． 68．问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能覆盖着火点 理由如下，由题意得，， 对于， 令，则，解得或， ， ∴点， ∴点． 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面的保护半径为， ∴此抛物线与x轴的两个交点为和，即和， 将代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点在抛物线与x轴形成的区域的外侧， ∴不能覆盖着火点. 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出新的抛物线的解析式，求出时的函数值，进行判断即可. 【详解】（1）解：由题意，所在抛物线的顶点坐标为，点， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得，解得， 所在抛物线的解析式为，即； （2）略 69．（2026·湖南·中考真题）如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为：；抛物线的函数表达式为： (3) 【分析】（1）由确定，利用勾股定理由、求点的横坐标． （2）用待定系数法分别求直线和抛物线的解析式． （3）先由总造价与单价求出栅栏总长为，即；设，利用抛物线解析式写出，利用直线解析式写出；由把用表示，再得到关于的一元二次方程，结合取根，即可得到栅栏到铁路（轴）的距离． 【详解】（1）解： 为原点，为轴，， ， 点到的距离，， ∴， ∴， ． （2）解：设直线的函数表达式为：， 将、代入得：， 解得， 直线的函数表达式为：． 顶点到的距离为，到的距离为， ， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为：． （3）解：∵建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元， ∴栅栏总长为， ， 设点的坐标为，且， 点到铁路的距离小于， ， 点在抛物线上， ， ， 设点的坐标为，且， 点在直线上， ， ， ， ， 整理得：， 又， ， 将代入，整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 栅栏到铁路的距离为． 题型24 二次函数与新定义问题（共3小题） 70．定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和． (1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．     ①________；   ②________；   ③________． (2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围； (3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值． 【答案】(1)×；√；× (2) (3) 【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解； （3）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可． 【详解】（1）解：①令，方程无解， ∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×； ②令， 解得：，， ∴函数图像上存在“青竹点”和，故答案为：√； ③令，方程无解， ∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×； （2）解：由题意得， 整理，得， ∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”， ∴， 解得； （3）解：由题意得 整理，得 ∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”， ∴ 整理，得 ∴当时，a的最小值为， ∵当时，a的最小值为c， ∴ ∴， 【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式． 71．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可； （2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可． 【详解】（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得， ∴一次函数与轴的交点为； 当时，，函数为二次函数， ∵， ∴ ， ∴当时，与轴总有交点， ∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点； （2）解：当时，不符合题意， 当时，对于函数， 令，则， ∴， ∴或 ∴或， ∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数， ∴或或或或或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去）， ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键． 72．规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”． （1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式； （2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C1； ①求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式； ②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值； （3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx2+（m﹣）x﹣（2m﹣）都不通过点P，求符合条件的点P坐标． 【答案】（1）y= ，(2) ① ，② 或 （3）（1，1），(-2，7). 【分析】（1）取y=-2x+3上两点（0，3），（ ，0），求出这两点关于y=-x对称点，代入y=kx+b，求出k，b的值则可以得出解析式； （2）①设C2上的点为（x，y），其关于（1，0）的对称点代入C1上，则可以求出C2 的解析式； ②C1与y轴交于（0，4a-1）， C2与y轴交于（0，-16a+1）根据AB=16，列方程求出a的值， （3）求出y=-2x-3关于原点对称函数为y=-2x+3，根据抛物线不通过点P： ，令 ，得出x，将x的值代入y=-2x+3中，由于函数值得唯一性，得出点P的坐标. 【详解】（1）取y=-2x+3上两点（0，3），（ ，0）两点关于y=-x对称点为（-3，0），（0，- ） 设y=x+b，则 ， 解得 ， 则 ， （2）①设C2上的点为（x，y），其关于（1，0）的对称点为（2-x，-y）， (2-x，-y)在C1上，则 C2:， ②C1关于y轴交于（0，4a-1）， C2关于y轴交于（0，-16a+1）， AB=｜(4a-1)-(-16a+1)｜=16， ｜2a-2｜=16，解得a= 或- ， （3）y=-2x-3关于原点对称函数为y=-2x+3， 抛物线: 令 ，得x1=1，x2=-1，则抛物线经过（1， ），（-2， ） 令x=1，y=-2x-3=1，令x=-2，y=-2x+3=7， 点（1，1）（-2，7）在y=-2x+3上 由于函数值的唯一性，上述两点不可能在抛物线上， 故P为(1，1)或(-2，7)． 【点睛】此题是一次函数，二次函数的综合，包含求函数的解析式，函数的对称性，一次函数的点的坐标特征，二次函数图像和性质，以及一次函数与一元一次方程结合，解题的关键是熟悉一次函数，二次函数的图像和性质． 题型25二次函数与线段问题（共3小题） 73．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式： （1）首先得点，，那么把A，B坐标代入，即可求得函数解析式； （2）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点B，连接交对称轴的一点就是M．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令，则， ∴点A坐标为， ∵线段，直线与x轴交于B点， ， 把点坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由（1）得：抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M在同一直线上时，的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 74．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）如图1，抛物线的顶点为D，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点B及点C． (1)求抛物线解析式； (2)在直线上方（不和点B、C重合）抛物线上有一动点P． ①点P的纵坐标的取值范围为 ； ②过点P作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； (3)如图2当P在抛物线上运动时（不和点A、B、C重合），过点P作x轴的垂线，交直线于点E，交x轴于点F，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；②的最大值为：； (3)点P的坐标为：或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①观察函数图象即可求解； ②设点，则点，则，即可求解； （3）设，则点，则，，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于点B及点C， 当时；当时，， ∴点B、C的坐标分别为：、， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式可知点， ①当点P在上方时，则点P的纵坐标的取值范围为：， 故答案为：； ②如图，设点，则点， 则， ，故有最大值， 当时，的最大值为：； （3）解：如图2，设，则点， 则，， ， 即， 解得：（舍去）或2或， 故点P的坐标为：或． 75．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上一点，当最小时，求点的坐标； (3)若点P在抛物线的图象上，当面积为27时，则点的坐标为 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先得出，则可得当三点共线时，的值最小，即的值最小，再求出直线的解析式，将代入计算即可； （3）设点的坐标为，则点到的距离为，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，，即， ∵如图，点为该抛物线对称轴上一点， ∴点的横坐标为2，且， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，即的值最小， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入直线得：， ∴点的坐标为． （3）解：设点的坐标为，则点到的距离为， ∵，， ∴， ∴的面积为， ∵的面积为27， ∴，即， ∴或， 解得或，， 当时，； 当或时，； 综上，点的坐标为或或． 题型26二次函数的综合---面积问题（共3小题） 76．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求二次函数的解析式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与几何图形的问题， 对于（1），根据待定系数法求出关系式即可； 对于（2），先求出点C的坐标，可知，再根据面积相等得出点P的纵坐标，然后解方程得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，， ∴   ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设（，）， 在中， 当时，，    ∴， ∵    ∴    ∴， ∵点在二次函数图象上，   ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为． 77．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为抛物线的顶点，求的面积； (3)若点P为直线下方抛物线上的一点，是否存在点P使的面积为最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． （1）把、两点坐标代入抛物线解析式，可求得、的值，可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解析式可求得、的坐标，可求得直线解析式，设对称轴交直线于点，则可求得点坐标，可求得的长，则可求得的面积； （3）设，则，，根据列出关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线、为常数）与轴相交于点、， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：， ，且， 设直线解析式为，则有， 解得， 直线解析式为， 设对称轴交于点，则， ， ； （3）解：设，则， ∴， ， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为． 78．（2026·安徽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 【分析】（1）先由直线与轴交于点求出点坐标，再将，，代入抛物线解析式，求出、、的值即可； （2）先求出直线解析式，过点作轴交于点，设点（），则点，由得，结合二次函数的图象与性质即可得到四边形面积的取值范围； （3）由得出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则点， 将，，代入抛物线解析式， 得， 解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：将代入直线， 得， ， 则直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点， 设点（），则点， ， ， ， ， ， ，对称轴为， 又， 当或时，， ， 四边形面积的取值范围是； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 题型27二次函数的综合---特殊三角形（共3小题） 79．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一交点为 ． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点 是该抛物线上的动点，过点 作垂直 轴的直线，交轴于点 ，交 于点 ，设点 的横坐标为 （）． ①当 时，求点 的坐标； ②当 为以 为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的 的值． 【答案】(1) (2)①；②或． 【分析】（1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，，代入解答即可； ②分两种情况讨论：当时，；当时，过点作于点，则为的中点，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：直线与轴，轴的交点坐标分别为、， 抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 所求抛物线的函数表达式为，即； （2）解：①，则， ，， 当时，， 解得：或（与重合，舍去）， 当时，， 故； ②∵， ∴ 由①得， 以为腰，分两种情况讨论： 当时，， 解得或（舍； 当时，过点作交于，则为的中点，即，如图1， 解得或（舍）； 综上所述：满足条件的的值为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 80．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为；②存在，点M的坐标为或 【分析】（1）根据题意，分别求出点C的坐标，利用求出点A的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设点P的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，用含a的式子表示出点E的坐标，用含a的式子表示出和的长度，由，得到关于a的方程，求得a的值，即可得到点P的坐标； ②设点M的坐标为，分别求得、、的长度，根据是以为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是为斜边，二是为斜边，利用勾股定理列出关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与抛物线交于点， ∴点坐标为， 把点、坐标代入解析式 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①∵是直线上方的抛物线上一点 ∴设点的坐标为 设直线解析式： 将点、坐标代入解析式，得 解得： ∴ ∵轴于，交于点，如图， ∴点坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）， 当时， ∴点坐标是 ②∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为 ∵点，点， ∴， ∵为以为直角边的直角三角形， Ⅰ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， Ⅱ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴ ∴点M的坐标为 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 81．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点是第三象限抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，当时，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） (3)如图3，在（2）的条件下，过点作轴的垂线，点在直线上，连接、交于点，当，且时，求的值；请在射线上取点，连接，若为等腰三角形，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)；或 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）由轴可知，根据三角形的面积公式即可得到与的函数关系式； （3）当，且时，可得，根据全等三角形的性质可以求出，从而可知点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，根据等腰三角形的性质分情况求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：轴， ， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点在第三象限， 点到轴的距离为， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ； （3）解：如下图所示，延长交直线于点，过点作轴于点， 由可得：， 抛物线的对称轴为， 点与点关于直线对称， 点的坐标为， 设， 则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 整理可得：， 或， 点在第三象限， ， ； 点的坐标为，点的坐标为， ， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 当时，可得：， 整理可得：， ， 方程无解， 不成立； 当时，可得：， 整理可得：， 解得：，， 点在射线上， ， 不符合题意，舍去， 当时，可得：， 此时点的坐标是； 当时，可得：， 解得：， 此时， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标为或． 题型28 二次函数的综合---特殊四边形的存在性问题（共3小题） 82.如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）． 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线经过点B（3，0），可得A（﹣1，0），用待定系数法即可求解； （2）分两种情形讨论：①当BC为对角线时，②当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可． 【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0）， ∴A（﹣1，0）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3； （2）设E（1，a），F（m，n）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴BC＝3， ①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2， ∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2， 解得：a，或a， ∴E（1，）或（1，）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴m+1＝0+3，n0+3或n0+3， ∴m＝2，n或n， ∴点F的坐标为（2，）或（2，）； ②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2， ∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2， 解得：a＝4或a＝﹣2， ∴E（1，4）或（1，﹣2）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2， ∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1， ∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1）， 综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）． 【点睛】本题是二次函数综合题，本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题． 83．如图，已知抛物线y＝αx2+bx+3经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）若P是直线BC下方的抛物线上一个动点，当PBC的面积最大时，求点P的坐标． （3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M在抛物线的对称轴上，点N在y轴上，当以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）；（3）(2，1+2)或(2，1﹣2)或(2，3) 【分析】（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式，利用待定系数法可求； （2）设出点P的坐标（m，m2﹣4m+3），用含有m的式子求得△PBC的面积，应用二次函数的性质可求△PBC面积的最大值时的m的值，P点坐标可求； （3）利用分类讨论的思想，分以CE为边和以CE为对角线两种情形讨论．利用菱形的四条边相等和对角线垂直平分的性质可求点M的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）和B（3，0）， ∴． 解得：． ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3； （2）如图，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设P（m，m2﹣4m+3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+n， ∵点B（3，0），点C（0，3）， ∴． 解得：． ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3． ∴D（m，﹣m+3）． ∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m． ∵ ∴ 整理为顶点式得：． ∵， ∴当m＝时，S△PBC有最大值． 当m＝时，代入抛物线解析式得函数值． ∴P． （3）如下图， ∵抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2，直线BC的解析式为y＝﹣x+3， ∴点E的坐标为（2，1）． ∵C（0，3）， ∴EC＝． ①当以EC为边时，所得的菱形为CEM1N1和CEM2N2， 根据菱形的四条边相等， ∴． ∵点M在对称轴x＝2上， ∴，． ②当以EC为对角线时，所得的菱形为CEM3N3， ∵CE与M3N3互相垂直平分，又∠BCO＝45°，记CE与M3N3的交点为F， ∴△CN3F是等腰直角三角形． ∴． 则点M3的坐标为（2，3）． 综上，M点的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2）或（2，3）． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，准确求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数最值问题的常用求解方式，并灵活运用分类讨论的思想是解题关键． 84．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线表达式为，点的坐标为 (2)的最大值为，四边形的面积 (3)点的坐标为、、 【分析】（1）根据直线与轴交于点，与轴交于点，求出坐标再利用待定系数法求抛物线表达式． （2）根据点，点的坐标求出直线表达式，设点和点坐标，表示出进行求最大值即可，根据观察图像发现四边形是直角梯形，表示出四边形各边的长度，利用梯形的面积公式求解即可． （3）分类讨论点的位置，分别计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，直线与轴交于点，与轴交于点 令即解得 ∴点的坐标为 令即 ∴点的坐标为 抛物线经过，两点，将坐标代入得 解得 ∴抛物线表达式为． 抛物线与轴交于，两点，令得 解得， ∵点的坐标为 ∴点的坐标为． （2）解：由（1）知点的坐标为，点的坐标为 设直线的函数表达式为，代入坐标得 解得 ∴直线的函数表达式为 ∵点在线段上，设点坐标为，其中 过点的直线平行于轴，交抛物线于点 ∴点坐标为 当时，线段在抛物线上方 ∴ 整理得 ∴当时，取得最大值，的最大值为． ∴点坐标为，点坐标为 ∴四边形的顶点坐标为，，， ∵在轴上，在轴上， ∴四边形是直角梯形 根据直角梯形的顶点坐标可知，， ∴ ∴． （3）解：存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形 根据题意可知点的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴上， ∴设点的坐标为，点在抛物线上，设点的坐标为， 当平行四边形以为边时，且， ∴点和点的纵坐标相等，即， ∴ 解得， ∴点的坐标为或 ∵点的坐标为 ∴点的坐标为（不符合题意舍去） ∴点的坐标为 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，，点的坐标为（不符合题意舍去） 当时，，点的坐标为满足点在抛物线上 ∴点的坐标为 当平行四边形以为边，为对边时 且 ∵点和点的纵坐标差为 ∴点和点的纵坐标差为 即 当 解得，与相同舍去 当 解得， ∴点的坐标为或 以为平行四边形对角线时，的中点坐标为，则的中点坐标也为即 解得，与相同舍去 综上所述，点的坐标为、、． 题型29二次函数的综合---角度问题（共3小题） 85．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 86．如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把代入函数解析式即可求出； （2）设，又，分三种情况：①以为对角线，则的中点重合，可得；②以为对角线，则的中点重合，由无解，知这种情况不存在；③以为对角线，则的中点重合，解得； （3）作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，由得，可得，即，设直线解析式为，可得直线解析式，由，得坐标． 【详解】（1）解：经过， ， （2）抛物线上存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知， 抛物线解析式为， 设，又， 以为对角线，则的中点重合， ， 解得， 以为对角线，则的中点重合， ， 同时满足两个方程的不存在， 这种情况不存在； 以为对角线，则的中点重合， ， 解得，， ， 综上所述，坐标为或； （3）抛物线在第一象限内的部分存在一点，使得平分，理由如下： 作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，如图： ， ， ， 关于直线对称， ，， ， ， 设直线解析式为，将代入得： ， 解得， 直线解析式为， 由，得或（不在第一象限，舍去） 87．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）先求出直线的解析式，证明为等腰直角三角形，则，设，则，可得，即可求解； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 当时，取得最大值，此时点，的面积最大，最大值为； （3）解：存在． 当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； 当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 题型30二次函数的综合--其它问题（共3小题） 88．抛物线过点，．点，点是抛物线上两点，将此抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）记为图象． (1)求抛物线解析式； (2)当点，重合时，求点的坐标； (3)当抛物线的顶点在图象上时，设图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为、求与之间的关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由、重合可得，解得，再将代入到抛物线的表达式即可求解； （3）利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴和顶点坐标，由抛物线的顶点在图象上，可得出图象的最低点的纵坐标，再分两种情况讨论：①点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，②点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，表示出对应的最高点的纵坐标，即可求出与之间的关系式． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴将，代入到抛物线得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵、重合， ∴， 解得， ∴， 将代入到抛物线的表达式得， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在图象上， ∴图象的最低点的纵坐标为，且点、在抛物线的对称轴的两侧， ①若点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，即， 解得， 此时到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵， ∴图象的最高点为点， ∴图象最高点的纵坐标为， ∴； ②若点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，即， 解得， 此时到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵， ∴图象的最高点为点， ∴图象最高点的纵坐标为， ∴； ∴与之间的关系式为． 89．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴、y轴于，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点C． (1)求k、c的值； (2)求点C的坐标和抛物线的顶点坐标； (3)若点M为直线AB上一动点，将点M向右平移4个单位长度，得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）令，代入求出点C的坐标，把化成顶点式即可得出顶点坐标； （3）数形结合，分情况讨论确定MN的位置，进而求出点M的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， 解得∶． ∵抛物线经过点， ∴， 解得∶． （2）解：在中，令得 ， 解得：，； ∴点的坐标为． ∵， ∴抛物线的顶点坐标为． （3）解：分情况讨论： ①当点M在点A的左侧时，设点M（m，m+3），此时点N（m+4，m+3）恰好在抛物线上，即 -(m+4)2-2(m+4)+3= m+3 解得：m1=-3，m2=-8 结合图象得：时线段MN与抛物线有一个交点； ②当点M在A点时，点M（-3，0）向右移动4个单位得到的N点（1，0）恰好与C点重合，此时线段MN与抛物线有两个交点， ∴≠-3； ③当点M在线段AB上，且M不在A点时， ∵M，N的距离为4，而A、B的水平距离3，故此时线段MN与抛线只有一个公共点， ∴-3<≤0； ④当点M在点B的右侧时，线段MN与抛物线没有公共点； 综上所述，点的横坐标的取值范围为或． 【点睛】此题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，解题的关键是数形结合，第（3）问要注意分情况讨论，不重不漏． 90．已知：二次函数G：（m为常数）． (1)当时，二次函数G的顶点坐标为 ． (2)二次函数G的图象经过点，求的值． (3)该抛物线在 上最高点的纵坐标为y0，直接写出y0与m的函数关系式． (4)点P在二次函数G上，点P与点Q关于点对称，把线段PQ绕点P逆时针旋转得到线段，以、为边作正方形，设点P的横坐标为，直接写出点M或N在二次函数G上时m的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4)m的值为或． 【分析】（1）把代入函数关系式，化为顶点式即可； （2）把代入函数关系式，解一元二次方程即可求解； （3）将函数解析式化为顶点式，确定对称轴，再按对称轴在范围内和不在范围内分情况讨论，根据函数增减性确定关系式即可； （4）先由点P的横坐标得到点P的坐标，然后由中点公式求得点Q的坐标，然后由正方形的性质求得m的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 二次函数G的顶点坐标为． （2）解：将点代入， 得， 解得，， 故的值为或． （3）解：， 二次函数G的对称轴为直线 ， 当，即时， 抛物线在上的函数值随x的增大而增大， 当时，函数值最大， ， 当 ，即时， 抛物线在上的函数值随x的增大先增大后减小， 当时，函数值最大， ， 综上所述，． （4）解：如图，过点P作轴，过点Q作于H，过点M作于K， 则 ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点P的横坐标为， 的坐标为 ， 点P与点Q关于点对称， ， ， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， 当点M在抛物线上时，， 解得：； 当点N在抛物线上时，， 解得：； 综上所述，m的值为或． $专题02 二次函数 题型1 二次函数的概念 （常考点） 题型16 由实际问题列二次函数的解析式（重点） 题型2 由二次函数的定义求字母的值（常考点） 题型17 二次函数的实际应用---面积问题（难点） 题型3  y=ax²的图象和性质（重点） 题型18 二次函数的实际应用---商品销售问题（难点） 题型4  y=a（x﹣h）²+k的图象和性质（重点） 题型19 二次函数的实际应用---运动轨迹问题（常考点） 题型5 把y=ax²+bx+c化成顶点式 （重点） 题型20二次函数的实际应用---拱桥问题（常考点） 题型6　 y=ax²+bx+c的图象和性质（重点） 题型21 二次函数的实际应用---投球问题（重点） 题型7　 利用二次函数的性质比较函数值的大小  题型22 二次函数的实际应用---喷水问题（重点） 题型8 二次函数的图象共存问题 （难点） 题型23 二次函数的实际应用---动点运动问题（重点） 题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴（常考点） 题型24 二次函数与新定义问题（难点） 题型10 待定系数法求二次函数的解析式 （常考点） 题型25二次函数与线段问题（难点） 题型11 二次函数与一元二次方程（重点） 题型26二次函数的综合---面积问题（难点） 题型12 二次函数与不等式（难点） 题型27二次函数的综合---特殊三角形（难点） 题型13 二次函数的平移（常考点） 题型28 二次函数的综合---特殊四边形的存在性问题（难点） 题型14 二次函数的多结论问题（常考点） 题型29二次函数的综合---角度问题（难点） 题型15 二次函数的性质求最值（难点） 题型30二次函数的综合--其它问题（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 二次函数的概念（共3小题） 1．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2.把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 3.下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，二次函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 由二次函数的定义求字母的值（共3小题） 4.（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）若关于x的函数是二次函数，、 则（     ） A． B． C． D． 5.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若是二次函数，则的值 是（     ） A． B． C．或 D． 6．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 题型3  y=ax²的图象和性质（共3小题） 7．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）关于抛物线，下列说法中正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．图像位于第二、四象限 C．抛物线有最低点 D．抛物线在直线的左侧部分是上升的 8．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型4  y=a（x﹣h）²+k的图象和性质（共3小题） 10．（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，下列结论： ①开口向上；②对称轴为；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型5 把y=ax²+bx+c化成顶点式（共3小题） 13．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）将二次函数化为的形式，结果为_____． 14．（23-24九年级上·北京东城·期末）用配方法将二次函数化为的形式为__________． 15．（24-25九年级上·上海静安·阶段检测）已知：某个二次函数的一般式为：． (1)用配方法把一般式化为顶点式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)求这个二次函数图像与轴的交点坐标． 题型6　 y=ax²+bx+c的图象和性质（共3小题） 16．已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值是3 B．图象的对称轴是直线 C．图象开口向下 D．图象与x轴有两个交点 17．已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 18．二次函数（为常数，且）与轴的一个交点的横坐标是、顶点坐标为，则下列关于二次函数的说法中正确的是（   ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是3 C．当时，随的增大而减小 D．二次函数图象与轴的交点的纵坐标是8 题型7　 利用二次函数的性质比较函数值的大小 （共3小题） 19．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 20．（2026·浙江金华·二模）已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 21．（26-27九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 题型8 二次函数的图象共存问题 （共3小题） 22．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 23．（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象为（     ） A． B． C． D． 24．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）一次函数和二次函数（为常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（     ） A．B． C． D． 题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴（共3小题） 25．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可以是（     ） A． B． C． D． 26．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）点和都在抛物线上，且，则的值是（     ）． A． B． C． D． 27．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线（a为常数）． （1）若该抛物线经过点，则_______； （2）若点，，，均在该二次函数的图象上，则______． 题型10 待定系数法求二次函数的解析式 （共3小题） 28．（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）已知抛物线经过，，三点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求该抛物线的对称轴及最值． 29．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的顶点坐标为，该抛物线的图象在轴上截得的线段长为． (1)求该抛物线图象与轴的交点坐标； (2)求该抛物线的表达式． 30．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）求二次函数的解析式 (1)经过三点的二次函数的解析式． (2)二次函数的图象的顶点为，与y轴交于点，则该二次函数的解析式． 题型11 二次函数与一元二次方程（共3小题） 31．（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）若抛物线（a、c为常数，且）与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（     ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 33．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1． （1）求a和b； （2）抛物线与y轴交于点B，将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度，当直线恰与抛物线有一个交点时，求m． 题型12 二次函数与不等式（共3小题） 34．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 35．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 36．（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． 根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根：________________． (2)若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________________． (3)当时，的取值范围是________________． 题型13 二次函数的平移（共3小题） 37．（天津市红桥区2026-2027学年九年级上学期九月学情自测数学试题）将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（     ） A． B． C． D． 38．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 39．抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得到的抛物线的解析式是 ． 题型14 二次函数的多结论问题（共3小题） 40．（2026九年级上·浙江·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．①③④ 41．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 42．（26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线如图所示，该抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥（为任意实数），其中正确的结论有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型15 二次函数的性质求最值（共3小题） 43．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数在范围内的最小值为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 44．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 45．（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知抛物线（a，b，c为常数且）经过和两点． (1)求的值； (2)求当随的增大而减小时，自变量的取值范围； (3)若直线与抛物线有且只有一个交点． ①求的值； ②若点在直线上，点在抛物线上．当时，直接写出的最大值． 题型16 由实际问题列二次函数的解析式（共3小题） 46．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 47．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 48．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 题型17 二次函数的实际应用---面积问题（共3小题） 49．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，李叔叔想用长为的篱笆围成一个矩形草莓园，且要求矩形的一边的长不得低于，草莓园中有一横两纵且宽均为的小路，其余部分种草莓，则种草莓部分的最大面积为（） A． B． C． D． 50．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）为加强学生的素质教育，让学生看到自己的劳动成果，兴华中学围建了一个如图所示的矩形苗圃园让学生种菜．苗圃园其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成，已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为，这个苗圃园的面积为． (1)求与之间的函数关系式； (2)求出的取值范围； (3)当矩形场地的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 51．（2026·山东泰安·三模）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 题型18 二次函数的实际应用---商品销售问题（共3小题） 52．（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． (1)要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ (2)每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 53．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．制作一件A品成本为6元，制作一件B品成本为4元，同时收集到如下信息： 信息1：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息2：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 模型建立 (1)设销售A品和B品的总利润为w元，A品涨价后的售价为m元/件，则每件A品的利润为 元，A品的销量为 件，每件B品的利润为 元，B品的销量为 件，求总利润w关于A品涨价后的售价m的函数解析式． 方案设计 (2)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案，并求出此时的最大利润． 54．（26-27九年级上·湖北荆门·阶段检测）为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为元，规定每千克售价需超过成本，但不高于元，日销售量（千克）与售价（元千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为元． (1)分别求出与，与之间的函数解析式； (2)该合作社决定从每天的销售利润中拿出元设立“助学基金”， ①若捐款后合作社的剩余利润是元，求该农产品的售价； ②若捐款后合作社的剩余利润不低于元，直接写出该农产品的售价的范围； (3)若该农产品的日销量不低于千克，当售价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 题型19 二次函数的实际应用---运动轨迹问题（共3小题） 55．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）2026美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 足球离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如下表： … 10 12 14 16 18 … … 4.5 4.8 4.9 4.8 4.5 … (1)求与的函数表达式； (2)已知守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． ①若守门员选择原地接球，能否防守成功？请通过计算说明理由； ②通过系统监测，足球飞行的水平速度为．若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 56．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）第二届“东北超”于5月23日晚在沈阳体育中心正式拉开帷幕．小明发现，球员在禁区外起脚射门，足球一次次在空中划出优美的弧线，其运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分．为研究射门的轨迹规律，以射门瞬间足球的位置为原点O，水平向右（指向球门）为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．球员甲在某次禁区外射门中，足球被踢出时，初始位置A距离地面的高度为0.5米；当足球水平飞行10米时，达到飞行的最高点P，距离地面高度为4.5米． (1)在给定的平面直角坐标系中，求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知标准足球球门横梁高度为2.44米，球门中心点正对原点O所在的水平直线，球员甲在距离球门18米处完成（1）中的远射．请通过计算判断，在无拦截的状态下，此次射门足球能否直接飞入球门？（仅考虑高度和水平位置，忽略其他因素） 57．车辆年检是保障道路交通安全的关键环节．通过年检中的刹车距离检测，可准确判断刹车系统是否正常工作，避免因刹车失灵引发交通事故，因此刹车距离检测是车辆年检的重要项目之一．某车辆年检机构对一辆待检汽车进行刹车性能测试，模拟汽车在城市道路按规定速度行驶时的刹车情况，记录到以下一组数据： 信息窗 ①开始刹车后行驶的距离（单位：m）与刹车后行驶的时间（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 刹车后行驶的时间（单位：s） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离（单位：m） 0 14 24 30 (1)求关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）． (2)当汽车刹车后行驶了时，求的值． (3)年检标准规定，该型号汽车在此次测试速度下刹车，最大刹车距离不得超过，否则判定为刹车性能不合格．通过计算判断该车的刹车性能是否符合年检标准． 题型20二次函数的实际应用---拱桥问题（共3小题） 58．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，有一抛物线形拱桥，桥下的正常水位宽为20米，水位上升米就达到警戒线，这时水面宽为12米． (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以平均每小时米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到桥拱顶? 59．（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）某景区有一座石门，底部为矩形，其中长是，宽为．顶部为抛物线形，拱高．以的中点为原点，所在的直线为轴，竖直方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)若增加夜间照明效果，需在石门顶部装盏射灯，每相邻两盏射灯之间的水平距离相等，最外侧两盏与石门左右两侧边缘的水平距离均为，请用坐标表示这四盏射灯的位置． 60．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ (3)在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 题型21 二次函数的实际应用---投球问题（共3小题） 61．（2026·甘肃武威·一模）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 62．某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 63．如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． (1)求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 题型22 二次函数的实际应用---喷水问题（共3小题） 64．（26-27九年级上·全国·课后作业）某高为的喷水管竖直向上喷水，水在空中的高度h（单位：m）与水离开水管后在空中的时间t（单位：s）的关系近似为． (1)水离开喷水管后，经过多久能落回到起始高度？ (2)喷出的水在空中的最大高度是多少？ 65．（2026·陕西西安·模拟预测）某市消防中队引进一种新型高层专用消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计） 已知，，从处喷出的水流高度（）与水平距离（）之间的关系为． (1)求，的值； (2)点在点正前方1米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到36米，则消防车从点应至少前进多少米？ 65．（湖北十堰市茅箭区十堰二中等校2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷）根据以下素材，探索完成任务． 喷泉中的数学问题 素材1 某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管米，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，已知在与池中心点水平距离为2米时，水柱达到最高，此时高度为1.5米． 素材2 现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高． 问题解决： (1)确定水柱形状：根据素材1，求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式． (2)探究喷水高度：改建前，身高为1.67米的小明站在距离喷水管3米处，他会被喷到吗？ (3)确定设计方案：根据素材2，喷水管要升高多少？ 题型23 二次函数的实际应用---其它问题（共3小题） 67．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图所示，已知在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ． （用含的代数式表示）； (2)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (3)点、运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 68．问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 69．（2026·湖南·中考真题）如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 题型24 二次函数与新定义问题（共3小题） 70．定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和． (1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．     ①________；   ②________；   ③________． (2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围； (3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值． 71．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 72．规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”． （1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式； （2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C1； ①求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式； ②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值； （3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx2+（m﹣）x﹣（2m﹣）都不通过点P，求符合条件的点P坐标． 题型25二次函数与线段问题（共3小题） 73．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 74．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）如图1，抛物线的顶点为D，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点B及点C． (1)求抛物线解析式； (2)在直线上方（不和点B、C重合）抛物线上有一动点P． ①点P的纵坐标的取值范围为 ； ②过点P作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； (3)如图2当P在抛物线上运动时（不和点A、B、C重合），过点P作x轴的垂线，交直线于点E，交x轴于点F，当时，求点P的坐标． 75．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上一点，当最小时，求点的坐标； (3)若点P在抛物线的图象上，当面积为27时，则点的坐标为 ． 题型26二次函数的综合---面积问题（共3小题） 76．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求二次函数的解析式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 77．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为抛物线的顶点，求的面积； (3)若点P为直线下方抛物线上的一点，是否存在点P使的面积为最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 78．（2026·安徽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 题型27二次函数的综合---特殊三角形（共3小题） 79．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一交点为 ． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点 是该抛物线上的动点，过点 作垂直 轴的直线，交轴于点 ，交 于点 ，设点 的横坐标为 （）． ①当 时，求点 的坐标； ②当 为以 为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的 的值． 80．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 81．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点是第三象限抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，当时，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） (3)如图3，在（2）的条件下，过点作轴的垂线，点在直线上，连接、交于点，当，且时，求的值；请在射线上取点，连接，若为等腰三角形，直接写出符合条件的所有点的坐标． 题型28 二次函数的综合---特殊四边形的存在性问题（共3小题） 82.如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 83．如图，已知抛物线y＝αx2+bx+3经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）若P是直线BC下方的抛物线上一个动点，当PBC的面积最大时，求点P的坐标． （3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M在抛物线的对称轴上，点N在y轴上，当以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标． 84．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型29二次函数的综合---角度问题（共3小题） 85．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 86．如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 87．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型30二次函数的综合--其它问题（共3小题） 88．抛物线过点，．点，点是抛物线上两点，将此抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）记为图象． (1)求抛物线解析式； (2)当点，重合时，求点的坐标； (3)当抛物线的顶点在图象上时，设图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为、求与之间的关系式． 89．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴、y轴于，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点C． (1)求k、c的值； (2)求点C的坐标和抛物线的顶点坐标； (3)若点M为直线AB上一动点，将点M向右平移4个单位长度，得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 90．已知：二次函数G：（m为常数）． (1)当时，二次函数G的顶点坐标为 ． (2)二次函数G的图象经过点，求的值． (3)该抛物线在 上最高点的纵坐标为y0，直接写出y0与m的函数关系式． (4)点P在二次函数G上，点P与点Q关于点对称，把线段PQ绕点P逆时针旋转得到线段，以、为边作正方形，设点P的横坐标为，直接写出点M或N在二次函数G上时m的值． $