专题04 数据的集中趋势和离散程度+等可能条件下的概率25大题型75题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材苏科版

专题04 数据的集中趋势和离散程度+等可能条件下的概率 基础·固本强基 题型1 平均数的计算 题型2 加权平均数的计算（重点） 题型3 求中位数与众数 题型4 求四分位数（重点） 题型5 画箱线图（重点） 题型6 求方差（重点） 题型7求离差平方和 题型8 等可能性 题型9 概率的计算（重点） 题型10 几何概率（重点） 提升·进阶突破 题型11 已知平均数求未知数据的值 题型12 利用加权平均数求未知数据的值 题型13 利用加权平均数做决策（重点） 题型14 利用中位数、众数求未知数据的值 题型15 运用中位数、众数做决策（重点） 题型16 求四分位数的综合计算（重点） 题型17 画箱线图综合 题型18 利用方差做决策（重点） 题型19 离差平方和的应用 题型20 列举法或树状图法求概率 题型21 概率的相关计算（重点） 题型22 概率的其他应用 拔高·压轴破难 题型23 数据的集中趋势和离散程度解答题（难点） 题型24 四分位数、箱线图解答题（难点） 题型25 概率的计算压轴题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 平均数的计算（共3小题） 【步骤】全部数据求和，再除以数据总个数，算出算术平均数。 【易错】不要漏数、重复统计数据；求和计算细心，勿算错总和。 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 2．（25-26八年级下·全国·期中）某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听454g，现抽取10听样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：g）如下：，，0，，0，0，，0，，．估计这批罐头质量的平均数为____________g． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）为纪念中国人民抗日战争胜利周年，某班组织了一次抗战知识竞赛，其中名同学的平均成绩为分，另外名同学的平均成绩为分，则这名同学的平均成绩为___分． 题型2 加权平均数的计算（共3小题） 【步骤】各数据乘对应权重，相加求和，权重总和作分母算出结果。 【易错】权重不是数据个数；权重之和必须为 1，不要直接取普通平均 4．（2026·江苏泰州·二模）在九年级学生评优活动中，综合成绩由“学业水平”和“综合素养”两项按比例组成．小康的“学业水平”为95分，“综合素养”为90分．若两项的权重分别为和，则小康的综合成绩为（） A．91 B．92 C．93 D．94 5．（2026·江苏苏州·二模）某中学规定九年级学生的学期数学综评成绩满分为130分，其中平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占．小苏同学的三项成绩如下表所示，则小苏同学这学期的数学综评成绩是（     ） 项目 平时 期中 期末 成绩 A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·江苏泰州·期中）某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛，已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止仪态这三项的得分（百分制）分别是分，分，分，若依次按照，，百分比确定成绩，则该选手的成绩是______ 分 题型3 求中位数与众数（共3小题） 【步骤】数据先排序，中位数看中间；众数找出现次数最多的数据。 【易错】求中位数一定要排序；众数可以多个，不是最大的数。 7．（2026·江苏无锡·中考真题）体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8，9，9，10，11．这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．8，9 B．9，9 C．9，8 D．11，9 8．（2026·江苏镇江·模拟预测）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周参加体育锻炼的时间的众数、中位数分别是_____． 9．（2026·江苏徐州·模拟预测）徐州香包是国家级非物质文化遗产，也是特色文旅文创标杆产品、两汉文化代表性民俗品牌．某店铺连续六天的徐州香包销售量分别为：137，141，129，180，137，155，这组数据的中位数是_________． 题型4 求四分位数（共3小题） 【步骤】数据从小到大排序，确定位置，依次求出下、中、上四分位数。 【易错】四分位数位置算法易混淆；注意奇数、偶数个数据的区别。 10．（26-27九年级上·云南曲靖·期中）如图是一组数据的箱线图，这组数据的下四分位数是_______． 11．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图是莉莉种植的20棵花卉10天的生长高度箱线图（单位：毫米），根据箱线图可知，这20棵花卉10天生长高度的上四分位数是_______________毫米． 12．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如图所示，则该班学生成绩的四分位数是______分． 题型5 画箱线图（共3小题） 【步骤】求出最小值、Q1、中位数、Q3、最大值，在数轴画出五数 【易错】箱线图只体现五数，看不出数据分布密度；刻度要均匀。 13．（25-26八年级下·全国·期中）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 14．（25-26八年级上·全国·期中）小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图： (1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？ (2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？ 15．（2025八年级上·全国·专题练习）已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 题型6 求方差（共3小题） 【步骤】先求平均数，各数据减平均数平方求和，再除以数据个数 【易错】方差是平方平均，勿忘平方；方差单位和原数据单位不一致 16．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：），分别为：，，，，．这组数据的方差是_______． 17．（25-26八年级下·黑龙江伊春·期末）已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是_______________． 18．（26-27八年级上·黑龙江大庆·期中）已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3， 另一组数据， 的方差为_______． 题型7 求离差平方和（共3小题） 【步骤】算出平均数，每个数据减去平均数，平方后全部相加 【易错】离差是数据减均值，先减再平方；不要先平方再相减 19．（26-27九年级上·福建福州·期中）某校八年级共有200名学生，平均年龄为14岁，年龄的方差为3，则该校八年级200名学生年龄的离差平方和为（     ） A．0 B．3 C．42 D．600 20．（25-26八年级下·福建福州·期末）计算一组数据的方差，列得算式，则这组数据的离差平方和是______． 21．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某水果经销商，去水果基地进了某种水果，发现这批水果的规格大小基本有5种（单位：克）：，，，，．经销商准备将这批水果分成小果与大果两组出售，其中小果组：，大果组：，根据“组内离差平方和最小”的原则，85应该放入________果组比较合理（填“大”或“小”）． 题型8 等可能性（共3小题） 【步骤】判断所有基本事件，每个事件发生机会大小完全相同 【易错】表面相同不一定等可能；要分清基本事件是否均等 22．（2026·湖南张家界·二模）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，乙出的卡片数字比甲大的概率是_________． 23．（2026·四川南充·一模）在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 24．（2026·江苏泰州·模拟预测）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗进校园”系列活动．九年级（）班准备从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动． (1)若采用抽签方式，甲同学被选中的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求恰好选中乙、丙两名同学的概率． 题型9 概率的计算（共3小题） 【步骤】找出全部等可能结果与符合条件结果，比值即为事件概率 【易错】概率是比值，范围 0 到 1；不要混淆频数与概率 25．（26-27九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子里装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是（     ） A． B． C． D． 26．（2026·山东淄博·中考真题）如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______． 27．（2026·江苏连云港·一模）在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4只（大小、形状相同）．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 1500 摸到白球的次数 73 115 152 370 602 751 1126 摸到白球的频率 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近__________（精确到），随机摸出一个球，摸到白球的概率是__________；试估算，口袋中白球的个数为__________． (2)用（1）的结论，如果从口袋中任意摸出一个球不放回，然后再从口袋中任意摸出一个球．请用树状图或列表的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 题型10 几何概率（共3小题） 【步骤】求事件对应区域度量与总区域度量，两者比值为几何概率 【易错】度量可以是长度面积；注意区域边界，不要重复计算 28．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，一个圆形转盘被等分成八个扇形区域，转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向标有“”所在区域的可能性________指针指向标有“”所在区域的可能性．（填“大于”“等于”或“小于”） 29．（25-26九年级上·江苏南京·期中）小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影区域的概率是_______． 提升·进阶突破 题型11 已知平均数求未知数据的值（共3小题） 31．（2026·江苏镇江·中考真题）将一组数据从左到右按序排列，第1个数是，第2个数是，从第2个数开始，每个数都是与它相邻的两个数的平均数．这组数据中前10个数的和为__________． 32．（2026九年级下·上海·专题练习）某小组5名学生一次测试的平均成绩为80分，已知其中4名学生的成绩分别为82分、78分、90分、75分，则另一名学生的成绩是（   ） A．72分 B．75分 C．80分 D．86分 33．（2026·江苏南京·二模）已知一组数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，若该组数据的中位数小于4，则a的值可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型12 利用加权平均数求未知数据的值（共3小题） 34．（25-26八年级下·北京西城·期末）一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 35．（24-25八年级上·山东威海·期中）单位招聘员工，采取笔试和面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．6名选手得分如下： 考试方式 1号选手 2号选手 3号选手 4号选手 5号选手 6号选手 笔试成绩/分 85 92 84 90 84 80 面试成绩/分 90 88 86 90 80 85 根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． (1)已知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； (2)在（1）的条件下，求2号选手的综合成绩． 36．（2026·河南·二模）在一次射击训练中，某小组的成绩如下表．已知该小组的平均成绩为7.9环，那么成绩为8环的人数为（    ） 环数 7 8 9 人数 2 1 A．5 B．6 C．7 D．8 题型13 利用加权平均数做决策（共3小题） 【步骤】分别计算各组加权平均分，对比数值大小，做出合理判断。 【易错】权重变化会改变结果；不能只看单项得分，忽略权重。 37．（26-27九年级上·全国·期中）某农场在三块田地上，用相同的管理技术种植水稻，种植面积和单位面积产量如下表： 地块 面积/公顷 单位面积产量/（吨/公顷） 一 2 15 二 5 12 三 3 10 (1)计算三块田地水稻的平均单位面积产量． (2)指出数据15，12，10的权的意义． 38．（26-27九年级上·全国·期中）为推选一名同学参加学校演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别就演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分．评委打分（满分10分）的结果如下表： 测试项目 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 (1)如果按三项得分的算术平均数大小确定优胜者，那么谁是优胜者？ (2)如果将三项得分按演讲内容、语言表达能力、感染力分别占的比例计算平均分，依平均分的高低确定优胜者，那么谁是优胜者？（可借助计算器计算） (3)如果认为语言表达能力最重要，那么请你给三项得分分配适当的权重，并确定优胜者． 39．（25-26八年级下·云南德宏·期末）为了推动人工智能技术的发展与普及，激发青少年对人工智能的兴趣和探索热情，学校组织了“人工智能创新大赛”．下表是八年级甲、乙两个班的各项成绩（单位：分）． 参赛班级 编程竞赛 智能机器人设计 算法挑战 甲 85 89 93 乙 91 85 88 (1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两班的平均成绩，从他们的平均成绩看，甲、乙两班谁的成绩更好？ (2)如果学校对编程竞赛、智能机器人设计、算法挑战成绩按照的比确定，请通过计算说明甲、乙两班谁的最终成绩更好？ 题型14 利用中位数、众数求未知数据的值（共3小题） 40．（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）有个正整数，它们的平均数是，中位数是，唯一的众数是，则这个数中最大的数的最大值为________． 41．（26-27九年级上·浙江杭州·自主招生）（多选）设有7个正整数分别是11，3，6，3，5，3，x，若将这列数的平均数、众数、中位数按照大小排序，恰好中间的数是左、右两个数的平均数，则x可以是（     ） A．2 B．4 C．16 D．18 42．（25-26八年级下·河南周口·期末）从小到大排列的一组数据：2，3，5，x，7，11，中位数为6，则这组数据的众数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．无法确定 题型15 运用中位数、众数做决策（共3小题） 43．（26-27九年级上·重庆·期中）某中学为了丰富同学们的校园文化生活，激发学生对科技创新的兴趣，举办了“校园科技体育节·智能机器人竞速赛”，比赛成绩为百分制．该校从七年级和八年级中各随机抽取了名参赛学生的比赛成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 信息一：七年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，． 信息二：八年级名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生在本次智能机器人竞速赛中成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级共有名学生参赛，八年级共有名学生参赛，请估计这两个年级在本次竞赛中成绩达到优秀的学生总共有多少人？ 44．（26-27九年级上·重庆·期中）为增强中学生反诈防范意识，某校开展反诈知识学习活动．为了解七、八年级学生对反诈知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取20名学生的反诈测试成绩（满分为100分，成绩均不低于60分），用表示学生测试得分，共分为四组： A：；B：；C：；D：． 绘制了统计图表： 七年级20名学生测试成绩在C组的数据是：83，86，89，86，84，86，81； 八年级20名学生测试成绩是：88，68，100，70，88，95，73，74，94，76，95，78，97，79，84，86，88，90，78，99． 七、八年级抽取学生反诈测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 a 86 八年级 85 87 b 七年级抽取学生反诈测试成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的反诈知识掌握情况更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校七年级有1200人，八年级有1000人，请估计该校七、八年级学生反诈测试成绩不低于90分的学生共有多少人？ 45．（26-27九年级上·重庆·期中）第二届重庆市中小学生科学家精神主题演讲活动决赛已于2026年5月举行，某学校组织了以“爱科学，提素养”为主题的知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是： 66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100 八年级20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：83，87，86，89，86，88 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 88 90 八年级 88 94 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科学知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写一条理由即可）； (3)若该校七年级有1000名学生，八年级有800名学生参加了此次以“爱科学，提素养”为主题的知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 题型16 求四分位数的综合计算（共3小题） 46．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）某校开展航天知识竞赛，记分员分别记录了甲，乙两组同学的得分情况（单位：分）．相关信息如下： 甲组：． 乙组：． 甲、乙两组竞赛成绩的箱线图如图． (1)求乙组的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中甲组的箱线图，绘制乙组的箱线图． 47．（26-27九年级上·吉林长春·期中）某校为促进学生养成健康生活习惯，组织该校、两个校区的全体学生开展了青少年健康知识测试，为了解八年级学生对健康知识的掌握情况，从，两个校区的八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩（百分制且为整数），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．从校区抽取的学生成绩如表1所示： 表1 分组 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 成绩/分 人数 1 3 2 4 4 2 b．从校区抽取的学生成绩按由小到大顺序排列如下： 70  74  77  77  78  79  79  81  82  85  85  85  85  87  88  88  91  96  96  97 c．从校区抽取的学生成绩的箱线图如图： d．从两个校区抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 表2 校区 平均数 中位数 众数 校区 84 82 校区 84 85 根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中_____，表2中_____，_____； (2)已知校区八年级有480名学生，估计校区八年级学生中成绩高于90分的学生有多少人； (3)若从校区抽取的第六组中某位学生的成绩是90分，求其余3名学生成绩中的最小值． 48．（26-27九年级上·江西·期中）某市射击队为了从两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，___________环，通过计算方差，___________． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 (2)小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填___________，②处应填___________，③处应填___________． 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 题型17 画箱线图综合（共3小题） 49．（26-27九年级上·河北沧州·期中）【概念理解】 箱线图由长方形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1，箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】 为了备考体育中考，某校九年级、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）． 体育老师已对A班同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图如图2所示； B班同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． (1)根据A班同学的箱线图，A班同学跳绳个数的平均数是______，四分位距是______． (2)根据B班同学的跳绳个数，请在图2中补全B班同学跳绳个数的箱线图，并标出B班同学跳绳个数的平均数，第一四分位数，中位数，第三四分位数及两端极值点． (3)已知A班同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404， a ， b ， c ，397，396，缺失了其中的三个数据，根据箱线图，通过计算将缺失的数据补全． (4)请结合A、B两班同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明，答一点即可） 50．（25-26八年级下·广西来宾·期末）响应“阳光体育，强健体魄”的校园号召，甲、乙两名同学主动坚持每日体育锻炼，并连续12次参与校级体能综合测评，用坚持磨炼意志、提升身体素质．现将甲、乙两位同学12次体能测试成绩（单位：分）统计如下： 甲：72，75，70，73，75，71，76，73，74，72，75，74 乙：69，74，72，75，73，76，71，77，73，75，72，74 (1)整理数据，补充填写下表： 学生 最小值 最大值 甲 70 72 73.5 75 76 乙 75 77 (2)请在图中补全乙同学的箱线图； (3)结合四分位数与箱线图，对比分析甲、乙两同学成绩分散程度． 51．（26-27九年级上·山东德州·期中）为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩百分制进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩单位：分 甲：，，，，，，，，，． 乙：，，，，，，，，，． 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数分 众数分 中位数分 方差分 甲 乙 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图单位：分 根据以上信息，回答下列问题： (1)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (2)根据【信息】和【信息】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 题型18 利用方差做决策（共3小题） 【步骤】算出方差，方差越小波动越小，结合平均数综合对比判断 【易错】方差比较前提是平均数相近；方差大不代表平均水平差。 52．（26-27九年级上·安徽六安·期中）智能科技点亮生活，某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 乙模型 根据以上信息回答下列问题： (1)__________，__________； (2)结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能服务系统，并说明理由． 53．（26-27九年级上·广西南宁·期中）为了参加“市中小学生首届诗词大会”，某中学八年级的两个班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制，单位：分）分别为 八（1）班：86，85，77，92，85； 八（2）班：79，85，92，85，89． 通过数据分析，列表如下： 班级 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 八（2）班 85 85 (1)直接写出表中，，的值：______，______，______． (2)求出的值； (3)根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由． 54．（26-27九年级上·河南开封·期中）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，某区相关部门对“校园餐”的满意度进行问卷调查．现分别从该区初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分（单位：分，满分：10分）情况如下： 抽取的学生打分情况统计表 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 8 8 高中 8 a b 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：_________，__________． (2)从抽取的学生打分情况折线统计图可知，_________（选填“”“”或“”）． (3)根据以上统计量分析，对“校园餐”的总体满意度更高的是初中学生还是高中学生？请说明理由． 题型19 离差平方和的应用（共3小题） 【步骤】计算离差平方和，衡量数据波动，结合题意分析离散程度 【易错】数据越多离差平方和一般越大，不能直接跨样本比较 55．（26-27九年级上·广西南宁·期中）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．教练计划将队员分成两组进行分层训练，先将五名同学成绩按照从小到大的顺序排列为：7，9，12，13，15．再分成两组分别计算各组的离差平方和（结果保留小数点后一位），结果如下表所示，则最合理的分组方式为第________个间隔． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 总离差平方和 第1个间隔 0 18.8 18.8 第2个间隔 2 4.7 6.7 第3个间隔 12.7 2 14.7 第4个间隔 22.8 0 22.8 56．（26-27九年级上·吉林长春·期中）甲、乙两名同学进行次模拟测试，已知两人测试成绩的平均分完全相同，甲成绩的离差平方和为，乙成绩的离差平方和为．若甲的成绩波动比乙更小，则整数的最大值为______． 57．（26-27九年级上·浙江温州·期中）统计兴趣小组的同学收集了我国7个地区的人均耕地面积（单位：公顷）数据：0.1，0.6，0.2，0.3，0.6，1.8，2.0．为合理分组，设计以下解决方案：规定两组组内离差平方和之和越小，分组越合理． 组序 分组情况 第1组组内离差平方和 第2组组内离差平方和 第1组 第2组 1 0.1，0.2，0.3 0.6，0.6，1.8，2.0 0.02 1.71 2 0.1，0.2，0.3，0.6 0.6，1.8，2.0 0.14 1.15 3 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6 1.8，2.0 0.21 0.02 4 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8 2.0 1.94 0 则合理分组是（     ） A．组序1 B．组序2 C．组序3 D．组序4 题型20 列举法或树状图法求概率（共3小题） 58．（26-27九年级上·浙江湖州·期中）一个不透明的袋中装有4个球，分别标有1、2、3、4四个号码，这些球除号码外都相同．甲同学每次搅匀后从袋中任意摸出一个球后再放回，并计划摸取球10次，现已摸取了8次，取出的结果如表所列： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 号码 2 2 4 4 2 1 4 1 若每次取球时，取出的号码即为得分，请回答下列问题： (1)乙同学说：“甲同学前8次摸球都没有得3分，因此第9次摸球一定得3分．”你认为乙的说法 （填正确或错误） (2)甲同学依计划继续从袋中再取球2次，这两次取球得分之和为，若发生“这10次得分的平均数不小于，且不大于”的情况， ①请求出的取值范围； ②请直接写出发生这种情况的概率是 ． 第10次    第9次 1 2 3 4 1 2 3 4 59．（数学（江苏泰州卷）-学易金卷：2025年中考押题预测卷）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）． (1)小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液，结果变红的概率是 ． (2)小明从上述4瓶溶液中向挑选的2瓶溶液分别滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求小明所选的两瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 60．（25-26九年级下·江苏镇江·期中）北京时间2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空逐梦星河”为主题的绘画大赛．现从中随机抽取部分参赛作品，按表现情况x（单位：分）分为，，，四组进行统计，制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的作品数量为________份，并补全条形统计图； (2)此次被抽取的参赛作品的众数为________分，中位数为________分； (3)求此次被抽取的参赛作品的平均数； (4)现从被抽取的D组学生中，随机再抽取2人参加市里的绘画大赛，已知D组学生中恰好有3名男生，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 题型21 概率的相关计算（共3小题） 61．（24-25九年级下·江苏泰州·期中）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶无色溶液(分别标记为A，B，C，D)，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）． (1)小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液中，结果变红的概率是 ． (2)小明从上述4瓶溶液中挑选2瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求小明所选的两瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 62．（25-26九年级下·江苏苏州·期中）学校为了解九年级学生对“八礼四仪”的掌握情况，对该年级的500名同学进行问卷测试，并随机抽取了10名同学的问卷，统计成绩如下： 得分 10 9 8 7 6 人数 3 3 2 1 1 (1)这10名同学这次测试的平均得分为________分，中位数为________分． (2)如果得分不少于9分的定义为“优秀”，估计这500名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数； (3)满分的3人中有两人来自春申班，一人来自预备班，若从中任取2人参加区级比赛，求预备班学生被选中的概率． 63．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在一个不透明的口袋里装着除颜色外完全相同的黑、白两种颜色的球共25个．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动过程中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数 42 66 b 202 324 401 摸到白球的频率 a 0.44 0.41 0.404 0.405 0.401 (1)填空：表中__________，__________； (2)任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值是__________（精确到0.1）； (3)若向口袋里再加入个白球，这时从口袋里任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为0.5，求的值． 题型22 概率的其他应用（共3小题） 64．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 65．（25-26七年级下·广东深圳·期末）某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买50元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得30元、20元、10元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是___________；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)计算：转动一次转盘获得20元购物券的概率是多少？ (3)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的概率和未得到购物券的概率，哪个大？ 66．（2026·福建厦门·一模）为迎接即将到来的五一假期，商场拟举行部分商品优惠促销活动，顾客可以从以下两种方案中任选一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：购物每满元可抽奖一次，具体规则是：在一个不透明箱子里装有张大小、形状一样的卡片，张卡片分别写着数字，，，，顾客从箱内随机抽出两张卡片，两张卡片上的数字之积记为，根据的值享受不同的优惠，如表所示． 的值 1 2 4 实际付款 9折 8折 7折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树状图（或列表法）求一次抽奖获得8折优惠的概率； (2)某顾客的购物金额为元，请你运用统计与概率的相关知识，分析并判断该顾客应选择哪种方案更为实惠． 拔高·压轴破难 题型23 数据的集中趋势和离散程度解答题（共3小题） 67．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）为了加强安全教育，某校组织七、八年级开展了以“急救安全注意事项”为主题的知识竞赛，为了解竞赛情况，王老师从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩．收集整理数据如表： 分数 70 75 80 85 90 95 100 七年级 2人 3人 2人 4人 5人 3人 1人 八年级 0人 2人 5人 8人 2人 人 1人 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 90 八年级 85 85 40 根据以上信息回答下列问题： (1)__________，__________，__________，__________． (2)通过对两个年级学生成绩的平均数和方差的比较，两个年级中哪个年级的学生成绩更稳定？并说明理由． 68．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）立定跳远是一项集弹跳、爆发力、身体协调性和技术等于一体的体育运动，其等级评价表如下： 立定跳远等级 男生成绩 女生成绩 优秀 良好 及格 不及格 【收集数据】某校为调查八年级男生的立定跳远水平，在该年级中随机抽取了20名男生立定跳远的成绩（单位：），数据收集如下： 235 210 210 228 205 241 203 210 232 162 223 225 208 165 238 212 236 167 220 210 【整理数据】将以上数据进行整理： 成绩 立定跳远等级 人数 百分比 优秀 6 良好 及格 不及格 3 【描述数据】根据整理的数据绘制如下统计图： 【分析数据】根据上述图表，计算平均数、中位数、众数、方差、四分位数如下： 平均数 中位数 众数 方差 四分位数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 212 211 210 206.5 211 请根据以上图表中的信息，完成下列问题： (1)______，______，______，______； (2)补全条形图和扇形图； (3)______，______； (4)若八年级男生共有180人，估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有多少人？ (5)对于样本中的20个立定跳远成绩数据，有人认为根据组内离差平方和最小原则，分组数越多越好，也有人认为分组数不宜过多．请结合统计学知识，谈谈你的看法，并说明在本题中分为几组更合适，理由是什么． 69．（2026·江苏盐城·模拟预测）知识回顾： 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 (1)如图，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第x时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______ (2)知识应用：如图，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度．（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，求小明到达点，所用的时间； (3)实际情况下，如图小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳． 小明的游泳轨迹可能是______（选择，，，其中一个） 小明可以游到的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置与的距离． 题型24 四分位数、箱线图解答题（共3小题） 70．（25-26八年级下·广东云浮·期末）某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，，80，，95．（，且，为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求，，． (2)观察图中乙组比赛成绩的箱线图求，． 71．（25-26八年级下·福建福州·期末）福州本土生鲜超市日渐增多，配送服务遍布全城．各大生鲜超市为提升同城配货效率，设立分拣、扫码、称重、打包四道连续工序作为全套流程，完成四道工序用时越少说明员工的业务水平越好．现对甲、乙、丙三家超市每超市名员工进行调研． 【数据统计】 数据随机抽取乙组名员工单人完成全套流程的用时（单位：分钟） 、、、、、、、、、 数据甲、乙、丙三家超市员工全套流程用时绘制了箱线图如下： (1)根据数据，箱线图中的值为________；比较三家超市完成全套工序耗时的集中趋势或离散程度，不难发现：________超市员工完成全套工序业务水平整体最好，________超市员工完成全套工序耗时离散程度最小．（填“甲”、“乙”或“丙”） (2)【深度分析】 为了让顾客更快收到货品，缩短出货耗时，各大超市都在努力提升超市配货效率．丙超市安排名员工采用流水接力作业模式，即每个员工负责一道工序并交接给下一个员工．默契的工序衔接，能省去每道工序单独启动准备的时间，因此四人流水接力总耗时，少于四道工序单独由一人完成所耗时之和．在员工训练过程中，店长发现平均每次交接工序节约时间（单位：分钟）与交接工序训练时长（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，，并且道工序流水作业总用时满足此公式：名员工完成全套工序流水接力作业用时总和一名员工单独完成四项工序用时三次交接总节约时间． ①求关于的函数表达式； ②已知丙超市的A仓库一名员工单独完成四道工序用时为分钟，则该仓库名员工完成全套工序流水作业用时总和（单位：分钟）与交接工序训练时长（单位：小时）之间的函数表达式为______________；（化简为的形式） ③丙超市B仓库一名员工单独完成四项工序用时比丙超市C仓库快7分钟，但由于员工培训时间太少，导致B仓库四名员工流水接力完成全套用时却比C仓库的流水接力用时慢分钟，且两个仓库的交接工序训练时长之和为小时．求B仓库交接工序训练时长． 72．（25-26九年级下·上海·期中）【背景介绍】箱线图由矩形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1所示，箱线图中最下端和最上端的竖直线段分别表示数据的最小和最大值；箱体的下端横线表示下四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，即前半部分数据的中位数）；箱体中部的横线表示中位数；箱体的上端横线表示上四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，后半部分数据的中位数）；箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为上四分位数减去下四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】为了备考体育中考，某校九年级A、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）．其中体育老师已对A班小组同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图（如图2）．B班小组同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． (1)根据A班小组同学的箱线图，问A班小组同学跳绳个数的平均数是_______，四分位距是_______． (2)根据B班小组同学的跳绳个数，请在图中补全B班小组同学跳绳个数的箱线图，并标出B班小组同学跳绳个数的平均数，及两端极值点． (3)已知A班小组同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404，______，_____，______，397，396，缺失了其中的三个数据，请根据箱线图将缺失的数据补全． (4)请结合A、B两班小组同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明） 题型25 概率的计算压轴题（共3小题） 73．（2026·湖南邵阳·三模）年，以“湘超”为主题的文创产品已形成官方统一引领、各赛区特色产品百花齐放、文旅产业深度联动的格局．某文创店内以吉祥物“湘湘”和“超超”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是（     ）（单选） ．玩偶    ．冰箱贴    ．创意摆件    ．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题： 最喜爱的文创产品的人数条形图 最喜爱的文创产品的人数扇形图 (1)本次抽样调查的样本容量是________，补全条形图； (2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________； 【做出合理估计】 (3)若全校共有名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 (4)文创店负责人为了宣传以吉祥物“湘湘”和“超超”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动：在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有，，，（玩偶、冰箱贴、创意摆件、手机挂件），摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 74．（2026·安徽滁州·一模）为了解2025年前三季度“长三角”41市经济运行情况，兴趣小组通过网络查询得知，经济增速最高为，最低为．他们将经济增速按照查询的结果进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．2025年前三季度“长三角”各市经济增速分布表： 分类 城市数量 增长率（精确到） A 7 B 14 C 11 D 9 b．B组具体数据如下表： 城市 南京 常州 嘉兴 六安 泰州 安庆 滁州 杭州 南通 扬州 蚌埠 池州 苏州 上海 增速 c．2025年前三季度，全国经济平均增速为． (1)本次调查中，经济增速的中位数落在___________组（填“A”“B”“C”或“D”）． (2)从表中数据可知，长三角41市中，前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为___________（精确到）； (3)现从B组增长率为的四个城市中，任选两个进行调查研究，通过画树状图或列表法求选中的两个城市是南京和六安的概率． 75．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题04 数据的集中趋势和离散程度+等可能条件下的概率 基础·固本强基 题型1 平均数的计算 题型2 加权平均数的计算（重点） 题型3 求中位数与众数 题型4 求四分位数（重点） 题型5 画箱线图（重点） 题型6 求方差（重点） 题型7求离差平方和 题型8 等可能性 题型9 概率的计算（重点） 题型10 几何概率（重点） 提升·进阶突破 题型11 已知平均数求未知数据的值 题型12 利用加权平均数求未知数据的值 题型13 利用加权平均数做决策（重点） 题型14 利用中位数、众数求未知数据的值 题型15 运用中位数、众数做决策（重点） 题型16 求四分位数的综合计算（重点） 题型17 画箱线图综合 题型18 利用方差做决策（重点） 题型19 离差平方和的应用 题型20 列举法或树状图法求概率 题型21 概率的相关计算（重点） 题型22 概率的其他应用 拔高·压轴破难 题型23 数据的集中趋势和离散程度解答题（难点） 题型24 四分位数、箱线图解答题（难点） 题型25 概率的计算压轴题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 平均数的计算（共3小题） 【步骤】全部数据求和，再除以数据总个数，算出算术平均数。 【易错】不要漏数、重复统计数据；求和计算细心，勿算错总和。 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【详解】解：． 2．（25-26八年级下·全国·期中）某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听454g，现抽取10听样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：g）如下：，，0，，0，0，，0，，．估计这批罐头质量的平均数为____________g． 【答案】455 【分析】计算质量差值的和，再求差值的平均数，最后加上标准质量得到平均质量． 本题主要考查了平均数的求法，正确理解定义是关键． 【详解】解：质量差值的和为：． 差值的平均数为：． 因此，平均质量为：． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）为纪念中国人民抗日战争胜利周年，某班组织了一次抗战知识竞赛，其中名同学的平均成绩为分，另外名同学的平均成绩为分，则这名同学的平均成绩为___分． 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的计算方法．先计算名同学的总成绩和名同学的总成绩，再求名同学的总成绩，最后除以得到平均成绩． 【详解】解：名同学的总成绩为 （分）， 名同学的总成绩为 （分）， 名同学的总成绩为 （分）， 这名同学的平均成绩为 （分）， 故答案为：． 题型2 加权平均数的计算（共3小题） 【步骤】各数据乘对应权重，相加求和，权重总和作分母算出结果。 【易错】权重不是数据个数；权重之和必须为 1，不要直接取普通平均 4．（2026·江苏泰州·二模）在九年级学生评优活动中，综合成绩由“学业水平”和“综合素养”两项按比例组成．小康的“学业水平”为95分，“综合素养”为90分．若两项的权重分别为和，则小康的综合成绩为（） A．91 B．92 C．93 D．94 【答案】C 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据加权平均数的计算规则，将两项成绩分别乘以对应权重后求和，即可得到综合成绩． 【详解】解：∵综合成绩为两项成绩分别乘以对应权重的和， ∴小康的综合成绩为：． 5．（2026·江苏苏州·二模）某中学规定九年级学生的学期数学综评成绩满分为130分，其中平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占．小苏同学的三项成绩如下表所示，则小苏同学这学期的数学综评成绩是（     ） 项目 平时 期中 期末 成绩 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照各成绩对应的权重加权求和即可得到综评成绩． 【详解】解：小苏的综评成绩为：， 因此小苏同学这学期的数学综评成绩是94分． 6．（25-26九年级下·江苏泰州·期中）某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛，已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止仪态这三项的得分（百分制）分别是分，分，分，若依次按照，，百分比确定成绩，则该选手的成绩是______ 分 【答案】 【分析】根据加权平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：该选手的成绩是（分）． 题型3 求中位数与众数（共3小题） 【步骤】数据先排序，中位数看中间；众数找出现次数最多的数据。 【易错】求中位数一定要排序；众数可以多个，不是最大的数。 7．（2026·江苏无锡·中考真题）体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8，9，9，10，11．这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．8，9 B．9，9 C．9，8 D．11，9 【答案】B 【详解】解：∵数据，，，，中出现次数最多， ∴众数为． ∵将数据从小到大排列后，第个数据为， ∴中位数为． 8．（2026·江苏镇江·模拟预测）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周参加体育锻炼的时间的众数、中位数分别是_____． 【答案】8小时、9小时 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：由统计图可知，该班40名同学一周参加体育锻炼的时间为8小时的人数是16人，人数最多， ∴众数是8小时； 将该班40名同学一周参加体育锻炼的时间从小到大排列，第20和21位置上的数都为9， ∴中位数是（小时）． 9．（2026·江苏徐州·模拟预测）徐州香包是国家级非物质文化遗产，也是特色文旅文创标杆产品、两汉文化代表性民俗品牌．某店铺连续六天的徐州香包销售量分别为：137，141，129，180，137，155，这组数据的中位数是_________． 【答案】139 【分析】先将数据按从小到大排序，根据数据个数为偶数时，中位数为排序后，中间两个数的平均数，即可求解． 【详解】解：将这组数据从小到大排序为，，，，，， ∴排序后第个和第个数据分别为137，141， ∴中位数为． 题型4 求四分位数（共3小题） 【步骤】数据从小到大排序，确定位置，依次求出下、中、上四分位数。 【易错】四分位数位置算法易混淆；注意奇数、偶数个数据的区别。 10．（26-27九年级上·云南曲靖·期中）如图是一组数据的箱线图，这组数据的下四分位数是_______． 【答案】 【分析】根据箱线图的结构，箱体的下边缘表示下四分位数，直接观察图形读取数值即可． 【详解】解：由箱线图可知，箱体的下边界对应的数值为60， ∴ 这组数据的下四分位数是60． 11．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图是莉莉种植的20棵花卉10天的生长高度箱线图（单位：毫米），根据箱线图可知，这20棵花卉10天生长高度的上四分位数是_______________毫米． 【答案】84 【分析】结合箱线图以及四分位数的定义即可得出上四分位数． 【详解】解：由箱线图可知，该数据的中位数为，上四分位数是． 12．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如图所示，则该班学生成绩的四分位数是______分． 【答案】 【详解】解：由箱线图可得，该班学生成绩的四分位数是68分 ． 题型5 画箱线图（共3小题） 【步骤】求出最小值、Q1、中位数、Q3、最大值，在数轴画出五数 【易错】箱线图只体现五数，看不出数据分布密度；刻度要均匀。 13．（25-26八年级下·全国·期中）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【答案】(1)部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是；部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是． 绘制箱线图如图． (2) 从箱线图看，A部门第一四分位数到中位数距离近，低业务量员工较集中； B部门箱子更长，数据分布更分散，且第三四分位数到最大值距离远，高业务量员工更分散． 【分析】（1）根据四分位数的位置，确定对应的值，再画出箱线图； （2）根据四分位数间距分析即可． 【详解】（1）解：部门数据的第一四分位数是由小到大排列的第个数，为，中位数为，第三四分位数是由小到大排列的第个数，为； 同理，部门数据的第一四分位数是38，中位数为45，第三四分位数是55． （2）略 14．（25-26八年级上·全国·期中）小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图： (1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？ (2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？ 【答案】(1)A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可) (2)A组有可能是青年组 【分析】本题考查了箱线图，能从箱线图获取信息是解题的关键． （1）观察箱线图，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群； （2）根据箱线图并结合实际情况即可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可)； （2）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间比于B年龄段人群晚，而表青年人晚上休息时间普遍晚于老年人， 所以A组有可能是青年组． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 【答案】(1)128；128 (2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学 (3)甲班平均分较高 【分析】本题考查箱线图的相关知识，涉及平均数，中位数，上四分位数，能够从箱线图中获取有用信息是解题的关键．四分位数应用于统计学的箱线图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱线图中“箱体”的下底边对应数据为下四分位数，上底边对应数据为上四分位数，中间的线对应中位数． （1）根据箱线图得到学生分数的大致分布情况，即可得出答案； （2）根据箱线图的定义解答即可； （3）根据箱线图得到学生分数在128分以上的大致情况，即可作出判断． 【详解】（1）解：由图可知，甲班成绩的中位数为128，乙班成绩的上四分位数为128， 故答案为：128；128； （2）解：甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学； （3）解：由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高． 题型6 求方差（共3小题） 【步骤】先求平均数，各数据减平均数平方求和，再除以数据个数 【易错】方差是平方平均，勿忘平方；方差单位和原数据单位不一致 16．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：），分别为：，，，，．这组数据的方差是_______． 【答案】 【详解】解：平均数， 各数与平均数的差的平方和为， 方差． 17．（25-26八年级下·黑龙江伊春·期末）已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是_______________． 【答案】 【分析】根据方差定义，方差等于离差平方和除以数据个数，已知数据个数为，离差平方和为，代入公式计算即可． 【详解】解：根据题意可知，共有个数据， ∵方差公式为，， ∴这组数据的方差． 18．（26-27八年级上·黑龙江大庆·期中）已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3， 另一组数据， 的方差为_______． 【答案】12 【分析】根据原数据的平均数和方差，结合方差定义推导新数据的方差，计算得到结果． 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为． ∵ 原数据平均数， ∵ 原数据方差， 设新数据的平均数为，方差为． ∵ ， ∴ ， ∴， 把代入， 得，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 题型7 求离差平方和（共3小题） 【步骤】算出平均数，每个数据减去平均数，平方后全部相加 【易错】离差是数据减均值，先减再平方；不要先平方再相减 19．（26-27九年级上·福建福州·期中）某校八年级共有200名学生，平均年龄为14岁，年龄的方差为3，则该校八年级200名学生年龄的离差平方和为（     ） A．0 B．3 C．42 D．600 【答案】D 【详解】解：设200名学生年龄的离差平方和为， 数据个数，方差， ∵ ， ∴ ． 20．（25-26八年级下·福建福州·期末）计算一组数据的方差，列得算式，则这组数据的离差平方和是______． 【答案】 【分析】根据方差算式确定这组数据，先计算平均数，再根据离差平方和的定义计算结果即可． 【详解】解：由给出的方差算式可得，这组数据为，，，，数据个数为， 计算这组数据的平均数：， 离差平方和为：， 代入计算得：． 21．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某水果经销商，去水果基地进了某种水果，发现这批水果的规格大小基本有5种（单位：克）：，，，，．经销商准备将这批水果分成小果与大果两组出售，其中小果组：，大果组：，根据“组内离差平方和最小”的原则，85应该放入________果组比较合理（填“大”或“小”）． 【答案】大 【分析】根据“组内离差平方和最小”的原则，分别计算放入小果组和大果组的总组内离差平方和，比较大小，总离差平方和更小的分组更合理． 【详解】解：分两种情况计算总组内离差平方和： ①将放入小果组， 此时小果组为， 大果组为 小果组平均数： 小果组离差平方和： 大果组平均数： 大果组离差平方和： 总组内离差平方和： ②将放入大果组， 此时小果组为， 大果组为 小果组平均数： 小果组离差平方和： 大果组平均数： 大果组离差平方和： 总组内离差平方和： 因为，放入大果组的总组内离差平方和更小，符合要求． 故放入大果组比较合理． 题型8 等可能性（共3小题） 【步骤】判断所有基本事件，每个事件发生机会大小完全相同 【易错】表面相同不一定等可能；要分清基本事件是否均等 22．（2026·湖南张家界·二模）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，乙出的卡片数字比甲大的概率是_________． 【答案】 【分析】所有等可能的结果为：，，，，，，，，，共有种等可能的结果，其中乙出的卡片数字比甲大的结果有种，分别为，，，，，故乙出的卡片数字比甲大的概率为． 【详解】解：甲手中卡片数字为1，4，5，乙手中卡片数字为2，3，6， 两人各随机出一张卡片，所有等可能的结果为：，，，，，，，，，共有种等可能的结果， 其中乙出的卡片数字比甲大的结果有种，分别为，，，，， 根据概率计算公式可得，乙出的卡片数字比甲大的概率为． 23．（2026·四川南充·一模）在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】替代物需要满足和原抛硬币试验一致，即能产生两种概率相等的结果，据此判断各选项即可． 【详解】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等． 选项A，均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物； 选项B，两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项C，两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项D，抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物． 24．（2026·江苏泰州·模拟预测）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗进校园”系列活动．九年级（）班准备从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动． (1)若采用抽签方式，甲同学被选中的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求恰好选中乙、丙两名同学的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先列举出从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动的结果，得到甲同学被选中的结果，代入简单概率公式计算即可； （2）用列表法得到所有等可能的结果及恰好选中乙、丙两名同学的结果，代入简单概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共种等可能的结果，其中含甲同学的结果有种， 甲同学被选中的概率是； （2）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 — 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 — 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 — 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 — 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好选中乙、丙两名同学的结果有种， 恰好选中乙、丙两名同学的概率是． 题型9 概率的计算（共3小题） 【步骤】找出全部等可能结果与符合条件结果，比值即为事件概率 【易错】概率是比值，范围 0 到 1；不要混淆频数与概率 25．（26-27九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子里装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵一个不透明袋子里装有3个红球，2个白球， ∴总球数为， ∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是． 26．（2026·山东淄博·中考真题）如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______． 【答案】 【分析】由题意可知书房里所有地砖的数量以及黑色地砖的数量，代入概率公式即可求解． 【详解】解：由题意可知，书房里地砖共有块，其中黑色地砖有块， 小球停在黑砖上的概率为． 27．（2026·江苏连云港·一模）在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4只（大小、形状相同）．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 1500 摸到白球的次数 73 115 152 370 602 751 1126 摸到白球的频率 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近__________（精确到），随机摸出一个球，摸到白球的概率是__________；试估算，口袋中白球的个数为__________． (2)用（1）的结论，如果从口袋中任意摸出一个球不放回，然后再从口袋中任意摸出一个球．请用树状图或列表的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 【答案】(1)，，3 (2) 【分析】（1）利用频率估计概率进行解答即可； （2）根据题意画出树状图，找出所有等可能的结果数和符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近， 则随机摸出一个球，摸到白球的概率是， 由于口袋里总共有4只球， 则口袋中白球的个数为； （2）解：画树状图得： 则共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有6种情况 因此，两次摸到的球的颜色正好相同的概率为． 题型10 几何概率（共3小题） 【步骤】求事件对应区域度量与总区域度量，两者比值为几何概率 【易错】度量可以是长度面积；注意区域边界，不要重复计算 28．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，一个圆形转盘被等分成八个扇形区域，转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向标有“”所在区域的可能性________指针指向标有“”所在区域的可能性．（填“大于”“等于”或“小于”） 【答案】 大于 【分析】先统计出转盘上标有数字“”和“”的扇形区域个数，再根据几何概率的意义确定各区域的可能性大小，即可得解． 【详解】观察图形可知，转盘被等分成个扇形区域， 其中标有数字“”的扇形区域有个， 标有数字“”的扇形区域有个， 当转盘停止转动时，指针指向标有“”所在区域的可能性为；指针指向标有“”所在区域的可能性为； ， 当转盘停止转动时，指针指向标有“”所在区域的可能性大于指针指向标有“”所在区域的可能性． 29．（25-26九年级上·江苏南京·期中）小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了几何概率问题，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，根据矩形的性质可得，证明，进而得出，根据几何概率，即可求解． 【详解】解：如图， 四边形是矩形，交于点，过点， ∴,， ∴， ∵， ∴， 又∵，, ∴， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影区域的概率是； 故选：C． 30．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影区域的概率是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，掌握击中黑色小正方形的概率等于黑色小正方形与正方形总面积之比是解题的关键． 直接用涂有黑色的小正方形个数除以小正方形的总个数即可解答． 【详解】解：∵大正方形等分为25个小正方形，其中涂有黑色的小正方形有9个，且每个小正方形被击中的概率相同， ∴任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是． 故答案为：． 提升·进阶突破 题型11 已知平均数求未知数据的值（共3小题） 31．（2026·江苏镇江·中考真题）将一组数据从左到右按序排列，第1个数是，第2个数是，从第2个数开始，每个数都是与它相邻的两个数的平均数．这组数据中前10个数的和为__________． 【答案】 【分析】根据题目条件，可依次求出前10个数，再计算求和即可． 【详解】解：设这组数据从左到右依次为， 由题意得，， ∵从第个数开始，每个数都是与它相邻的两个数的平均数， ∴对任意，有，整理得， 依次计算得：， ， ， ， ， ， ， ， 则前10个数的和： ． 32．（2026九年级下·上海·专题练习）某小组5名学生一次测试的平均成绩为80分，已知其中4名学生的成绩分别为82分、78分、90分、75分，则另一名学生的成绩是（   ） A．72分 B．75分 C．80分 D．86分 【答案】B 【分析】先求出5名学生的总成绩，再减去其他4名学生的成绩，即可得出答案. 【详解】解：5名学生一次测试的平均成绩为80分， 分 故选：B 【点睛】此题考查了算数平均数，掌握算数平均数的计算公式是解答此题的关键. 33．（2026·江苏南京·二模）已知一组数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，若该组数据的中位数小于4，则a的值可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】由平均数定义可得的值，再由中位数的定义可知a、b中必有一个是小于4的，即可得出答案． 【详解】解：∵数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4， ∴ ， ， 将此组数据由小到大排列，则第4个数据即为中位数， 又∵该组数据的中位数小于4， ∴a，b两数中必有一个值小于4， ， ∴a，b两数中较大的数的值大于9， ∴a的值可能是10． 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数定义：所有数的总和除以数的个数；中位数定义：将一组数据从小到大排列，若奇数个数据则中间的就是中位数，若偶数个数据，则取中间两个数的平均数作为中位数；熟练掌握平均数和中位数定义是解题的关键． 题型12 利用加权平均数求未知数据的值（共3小题） 34．（25-26八年级下·北京西城·期末）一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 【答案】7 【分析】先根据加权平均数计算公式求出甲组的加权平均成绩，再根据两组平均成绩相等建立关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：权重总和：． 甲组的加权平均成绩：， 乙组的加权平均成绩：， 由题意得， 即， 解得． 35．（24-25八年级上·山东威海·期中）单位招聘员工，采取笔试和面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．6名选手得分如下： 考试方式 1号选手 2号选手 3号选手 4号选手 5号选手 6号选手 笔试成绩/分 85 92 84 90 84 80 面试成绩/分 90 88 86 90 80 85 根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． (1)已知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； (2)在（1）的条件下，求2号选手的综合成绩． 【答案】(1)， (2)89.6 【分析】此题考查了加权平均数，二元一次方程组的应用，关键灵活运用有关知识列出算式． （1）先设笔试成绩和面试成绩各占的百分百是x，y，根据题意列出方程组，求出x，y的值即可； （2）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，求出其余2号选手的综合成绩，即可得出答案． 【详解】（1）解：设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是，根据题意得 ， 解得． 答：笔试成绩和面试成绩各占的百分比是，． （2）解：（分）． 答：2号选手的综合成绩是89.6． 36．（2026·河南·二模）在一次射击训练中，某小组的成绩如下表．已知该小组的平均成绩为7.9环，那么成绩为8环的人数为（    ） 环数 7 8 9 人数 2 1 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设成绩为8环的有x人，根据平均数的定义可得关于x的方程，解方程即得答案． 【详解】解：设成绩为8环的有x人，根据题意得： ，解得：x=7， 经检验：x=7是上述方程的解． 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数的定义和解分式方程，属于基础题型，熟练掌握平均数的概念是关键． 题型13 利用加权平均数做决策（共3小题） 【步骤】分别计算各组加权平均分，对比数值大小，做出合理判断。 【易错】权重变化会改变结果；不能只看单项得分，忽略权重。 37．（26-27九年级上·全国·期中）某农场在三块田地上，用相同的管理技术种植水稻，种植面积和单位面积产量如下表： 地块 面积/公顷 单位面积产量/（吨/公顷） 一 2 15 二 5 12 三 3 10 (1)计算三块田地水稻的平均单位面积产量． (2)指出数据15，12，10的权的意义． 【答案】(1)三块田地水稻的平均单位面积产量为吨/公顷． (2)数据，，的权分别为，，，对应三块田地的种植面积．权反映了各单位面积产量数据在计算平均单位面积产量时的重要程度，种植面积越大，对应的单位面积产量对平均单位面积产量的影响越大． 【分析】（1）以三块地的种植面积为权，通过总产量除以总面积计算平均单位面积产量； （2）结合种植场景，明确权对应的实际量，阐述其意义． 【详解】（1）解：三块地的总产量为（吨），总面积为（公顷）， 平均单位面积产量为（吨/公顷）． （2）略 38．（26-27九年级上·全国·期中）为推选一名同学参加学校演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别就演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分．评委打分（满分10分）的结果如下表： 测试项目 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 (1)如果按三项得分的算术平均数大小确定优胜者，那么谁是优胜者？ (2)如果将三项得分按演讲内容、语言表达能力、感染力分别占的比例计算平均分，依平均分的高低确定优胜者，那么谁是优胜者？（可借助计算器计算） (3)如果认为语言表达能力最重要，那么请你给三项得分分配适当的权重，并确定优胜者． 【答案】(1)丙是优胜者； (2)乙是优胜者； (3)示例：分配演讲内容、语言表达能力、感染力的权重为，此时乙是优胜者． 【分析】（1）分别计算出三名候选人三项打分的算术平均数，比较后即可得到答案； （2）分别计算出三名候选人三项打分的加权平均数，比较后即可得到答案； （3）根据题意给三项得分分配适当的权重，计算出三名候选人三项打分的加权平均数，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：甲的成绩的算术平均数（分）， 乙的成绩的算术平均数（分）， 丙的成绩的算术平均数（分）， ∵， ∴如果按三项得分的算术平均数大小确定优胜者，那么丙是优胜者； （2）解：甲的成绩的平均分为：（分）； 乙的成绩的平均分为：（分）； 丙的成绩的平均分为：（分）； ∵， ∴乙是优胜者； （3）解：示例：分配演讲内容、语言表达能力、感染力的权重为， 甲的成绩的平均分为：（分）； 乙的成绩的平均分为：（分）； 丙的成绩的平均分为：（分）； ∵， ∴乙是优胜者． 39．（25-26八年级下·云南德宏·期末）为了推动人工智能技术的发展与普及，激发青少年对人工智能的兴趣和探索热情，学校组织了“人工智能创新大赛”．下表是八年级甲、乙两个班的各项成绩（单位：分）． 参赛班级 编程竞赛 智能机器人设计 算法挑战 甲 85 89 93 乙 91 85 88 (1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两班的平均成绩，从他们的平均成绩看，甲、乙两班谁的成绩更好？ (2)如果学校对编程竞赛、智能机器人设计、算法挑战成绩按照的比确定，请通过计算说明甲、乙两班谁的最终成绩更好？ 【答案】(1) 解：∵各项成绩同等重要， ∴甲班的平均成绩： 乙班的平均成绩：， ∵， ∴从他们的平均成绩看，甲班的成绩更好． (2)解：甲班的最终成绩为：， 乙班的最终成绩为：， ∵， ∴从他们的最终成绩看，乙班的成绩更好． 【分析】（1）根据算术平均数的计算公式分别求出甲、乙的平均成绩，然后进行比较即可； （2）根据加权平均数的计算公式分别求出甲、乙的平均成绩，然后进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型14 利用中位数、众数求未知数据的值（共3小题） 40．（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）有个正整数，它们的平均数是，中位数是，唯一的众数是，则这个数中最大的数的最大值为________． 【答案】 【分析】设个正整数为、、、、（且、、、、为整数），根据它们唯一的众数是可确定、，根据它们的中位数是可确定、，再根据它们的平均数是可确定，即可得出答案． 【详解】解：设个正整数为、、、、（且、、、、为整数）， ∵它们唯一的众数是， ∴， ∵它们的中位数是， ∴， ∵唯一的众数是，且已出现次， ∴不能等于（否则也出现了次，这样众数不唯一）， 要使取最大值，则应取最小值，即， 又∵它们的平均数是， ∴， 解得：， ∴这个正整数为、、、、， ∴这个数中最大的为． 41．（26-27九年级上·浙江杭州·自主招生）（多选）设有7个正整数分别是11，3，6，3，5，3，x，若将这列数的平均数、众数、中位数按照大小排序，恰好中间的数是左、右两个数的平均数，则x可以是（     ） A．2 B．4 C．16 D．18 【答案】BD 【分析】先确定众数为3，再根据x的不同取值范围分类讨论中位数，结合三个统计量成等差数列的条件列方程求解． 【详解】解：已知数据中3出现3次，次数最多，故众数为3， 这组数据的平均数为， ∵这组数据均为正整数， ∴， 7个数的中位数为排序后第4个数，分情况讨论： ①当时，中位数为3，此时三个统计量为，按大小排序后中间数为3，由题意得，解得，不符合正整数要求，舍去； ②当时，为正整数，故，中位数为4，平均数为， 三个统计量为，排序后中间数为4，满足，符合题意； ③当时，中位数为5，而平均数， 由题意得，解得，符合正整数要求， 综上，可以是4或18． 42．（25-26八年级下·河南周口·期末）从小到大排列的一组数据：2，3，5，x，7，11，中位数为6，则这组数据的众数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查中位数与众数的定义，先根据中位数的定义求出x的值，再根据众数的定义得到最终结果． 【详解】解：∵这组数据共个数，个数为偶数，中位数是排序后中间两个数的平均数， ∴中位数等于排序后第个数与第个数的平均数， 已知中位数为，可得第个数与第个数的和为， 这组数据中位于中间的两个数一定为和， ∴ ， 解得， ∴这组数据为， ∵出现的次数最多， ∴这组数据的众数为，故选C． 题型15 运用中位数、众数做决策（共3小题） 43．（26-27九年级上·重庆·期中）某中学为了丰富同学们的校园文化生活，激发学生对科技创新的兴趣，举办了“校园科技体育节·智能机器人竞速赛”，比赛成绩为百分制．该校从七年级和八年级中各随机抽取了名参赛学生的比赛成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 信息一：七年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，． 信息二：八年级名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生在本次智能机器人竞速赛中成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级共有名学生参赛，八年级共有名学生参赛，请估计这两个年级在本次竞赛中成绩达到优秀的学生总共有多少人？ 【答案】(1)95；93；30 (2)解：七年级成绩较好； 理由：虽然七、八年级成绩的平均数相同，但是七年级的成绩的中位数比八年级的高，因此七年级的成绩较好． (3)380人 【分析】（1）找出七年级成绩出现次数最多的数即为七年级成绩的众数，找出八年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，根据频数之和为10，可求出八年级D组的人数所占百分比； （2）从中位数角度得出七年级的成绩较好； （3）根据样本中七、八年级成绩的优秀率，进而计算七、八年级优秀的人数即可． 【详解】（1）解：七年级10名学生的成绩中出现次数最多的是95，出现2次， ∴众数； 八年级学生成绩在A组的人数为：（人）， 在B组的人数为：（人）， 在C组的人数为4人， 在D组的人数为人， ∴八年级学生成绩中位数； ∵， ∴； （2）略 （3）解：（人）， 答：估计这两个年级在本次竞赛中成绩达到优秀的学生总共有380人． 44．（26-27九年级上·重庆·期中）为增强中学生反诈防范意识，某校开展反诈知识学习活动．为了解七、八年级学生对反诈知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取20名学生的反诈测试成绩（满分为100分，成绩均不低于60分），用表示学生测试得分，共分为四组： A：；B：；C：；D：． 绘制了统计图表： 七年级20名学生测试成绩在C组的数据是：83，86，89，86，84，86，81； 八年级20名学生测试成绩是：88，68，100，70，88，95，73，74，94，76，95，78，97，79，84，86，88，90，78，99． 七、八年级抽取学生反诈测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 a 86 八年级 85 87 b 七年级抽取学生反诈测试成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的反诈知识掌握情况更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校七年级有1200人，八年级有1000人，请估计该校七、八年级学生反诈测试成绩不低于90分的学生共有多少人？ 【答案】(1)86，88，30 (2)八年级学生的反诈知识掌握情况更好．理由：七、八年级学生的平均数相同，八年级学生的中位数、众数均高于七年级的，所以八年级学生的反诈知识掌握情况更好． (3)710人 【分析】（1）先求出七年级A、B两组的人数，再确定中位数出现在哪个组即可求；根据八年级20名学生测试成绩可确定，根据七年级A、B、C组的人数可求出； （2）对比七、八年级的平均数、中位数及众数可得结论； （3）分别求出两个年级成绩不低于90分的学生人数再相加即可． 【详解】（1）解：七年级A、B两组的人数有：（人）， 20名学生的测试成绩，中位数是第10、11个数的平均数，在C组，将这组的7个数从小到大排列后是：81，83，84，86， 86， 86，89；第10、11个数分别是86，86，（分）； 八年级20名学生测试成绩中，88出现3次，出现次数最多，所以， ，所以； （2）略 （3）解：八年级20名学生测试成绩中，90及以上的人数有7人，七年级90及以上的人数占，总人数有：（人）， 答：该校七、八年级学生反诈测试成绩不低于90分的学生共有710人． 45．（26-27九年级上·重庆·期中）第二届重庆市中小学生科学家精神主题演讲活动决赛已于2026年5月举行，某学校组织了以“爱科学，提素养”为主题的知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是： 66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100 八年级20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：83，87，86，89，86，88 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 88 90 八年级 88 94 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科学知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写一条理由即可）； (3)若该校七年级有1000名学生，八年级有800名学生参加了此次以“爱科学，提素养”为主题的知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】(1)93，88.5，30 (2)解：该校七年级学生科学知识竞赛的成绩较好．理由如下： 七年级学生科学知识竞赛的成绩的中位数90分大于八年级学生科学知识竞赛的成绩的中位数88.5分，该校七年级学生科学知识竞赛的成绩较好； (3)成绩达到优秀的共有910人 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据中位数求解即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【详解】（1）解：根据数据，七年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多， 所以众数； 由题知，八年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则； 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生， 又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数； （2）略； （3）解：（人）， 答：估计该校七、八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有910人． 题型16 求四分位数的综合计算（共3小题） 46．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）某校开展航天知识竞赛，记分员分别记录了甲，乙两组同学的得分情况（单位：分）．相关信息如下： 甲组：． 乙组：． 甲、乙两组竞赛成绩的箱线图如图． (1)求乙组的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中甲组的箱线图，绘制乙组的箱线图． 【答案】(1)乙组的上四分位数90，乙组的下四分位数78 (2) 【分析】（1）根据四分位数的求法作答即可； （2）根据（1）中数据绘制箱线图即可． 【详解】（1）解：乙组的上四分位数：方法一、乙组的中位数是， ∴乙组的上四分位数是中位数右侧四个数的中位数，即， 乙组的下四分位数是中位数左侧四个数的中位数，即， 方法二、∵，， ∴上四分位数是第、个数据的平均数，即， 下四分位数是第2、3个数据的平均数，即； （2）略 47．（26-27九年级上·吉林长春·期中）某校为促进学生养成健康生活习惯，组织该校、两个校区的全体学生开展了青少年健康知识测试，为了解八年级学生对健康知识的掌握情况，从，两个校区的八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩（百分制且为整数），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．从校区抽取的学生成绩如表1所示： 表1 分组 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 成绩/分 人数 1 3 2 4 4 2 b．从校区抽取的学生成绩按由小到大顺序排列如下： 70  74  77  77  78  79  79  81  82  85  85  85  85  87  88  88  91  96  96  97 c．从校区抽取的学生成绩的箱线图如图： d．从两个校区抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 表2 校区 平均数 中位数 众数 校区 84 82 校区 84 85 根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中_____，表2中_____，_____； (2)已知校区八年级有480名学生，估计校区八年级学生中成绩高于90分的学生有多少人； (3)若从校区抽取的第六组中某位学生的成绩是90分，求其余3名学生成绩中的最小值． 【答案】(1)；； (2)估计高于90分的学生有96人； (3)93． 【分析】（1）根据表格、箱线图以及中位数和众数的定义求解即可； （2）利用样本估计总体求解即可； （3）结合箱线图求解即可． 【详解】（1）解：由表格知， 解得； 由箱线图可知，校区中位数； B校区成绩里出现次最多，众数； （2）解：B校区样本人中高于90分的有：91，96，96，97，共4人 ∴， 答：估计高于90分的学生有96人； （3）解：A校区箱线图：最小值66，下四分位数76.5，中位数85，上四分位数91.5，最大值99． 一共20个数据，上四分位数是第15、16号两个数据的平均数，等于91.5． 也就是：第16号数据，第17号是第六组的第一个数据． 第六组：，本组一共4个学生，其中1人成绩是90分． 所有成绩从小到大排，第15、16、17、18号属于第六组，第19、20号属于第七组． 已知第六组最低分第15号成绩为90，结合第15、16号平均数为91.5， 计算可得第16号成绩为93，其余3名学生成绩最小值为93． 所以除去90分之外，剩下3名同学成绩的最小值是93． 48．（26-27九年级上·江西·期中）某市射击队为了从两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，___________环，通过计算方差，___________． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 (2)小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填___________，②处应填___________，③处应填___________． 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②；③． (3)应选拔运动员． 理由：， ∴运动员的平均成绩更高； ∵， ∴运动员的成绩更稳定． ∴应选拔运动员参加青少年射击比赛． 【分析】（1）由折线图读出B的成绩，求平均数与方差． （2）按四分位数的意义求①②③． （3）比较平均数与方差作决策． 【详解】（1）解：由图1可知，运动员B的八轮成绩为（环）， ∴（环）， ． （2）解：运动员A的成绩从小到大排列为， ∴①处，②处； 运动员B的成绩从小到大排列为， ∴③处． （3）略． 【点睛】本题考查平均数、方差、四分位数与箱线图的综合应用：方差越小成绩越稳定，平均数反映整体水平；作决策时应综合比较，本题中B的平均数更高且方差更小，故选拔B． 题型17 画箱线图综合（共3小题） 49．（26-27九年级上·河北沧州·期中）【概念理解】 箱线图由长方形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1，箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】 为了备考体育中考，某校九年级、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）． 体育老师已对A班同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图如图2所示； B班同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． (1)根据A班同学的箱线图，A班同学跳绳个数的平均数是______，四分位距是______． (2)根据B班同学的跳绳个数，请在图2中补全B班同学跳绳个数的箱线图，并标出B班同学跳绳个数的平均数，第一四分位数，中位数，第三四分位数及两端极值点． (3)已知A班同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404， a ， b ， c ，397，396，缺失了其中的三个数据，根据箱线图，通过计算将缺失的数据补全． (4)请结合A、B两班同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明，答一点即可） 【答案】(1)； (2) (3)403；401；398 (4)解：A班的四分位距远小于B班，说明A班抽取的10位同学跳绳成绩更集中，B班的成绩两极分化更明显；两个班跳绳成绩的平均数相同，但B班的满分人数占比更高，B班整体高分段表现更好． 【分析】（1）根据箱线图的信息可得答案； （2）求出B班的中位数，第一四分位数，第三四分位数和平均数，再画出对应的箱线图即可； （3）根据A班的中位数可得的值，根据第一四分位数可得的值，根据平均数可得的值； （4）结合箱线图言之合理即可． 【详解】（1）解：由题意得，A班同学跳绳个数的平均数是个， 四分位距是； （2）解：把B班同学跳绳个数按照从低到高的顺序排列：335，390，399，404，405，415，425，427，430，442， ∴； 方法1：前5个数的中位数为399，后5个数的中位数为427， ∴； 方法2：， ∴第一四分位数为排序后的第3个数，第三四分位数为排序后的第8个数， ∴； 综上所述，； 平均数为； 箱线图见答案； （3）解：∵A班同学的跳绳个数的中位数为， ∴， ∴； ∵A班同学的跳绳个数的第一四分位数为398， ∴同（2）可得A班同学的跳绳个数的第一四分位数为从大到小排序后的第8个数， ∴， ∵A班同学的跳绳个数的平均数为， ∴， ∴； （4）略 50．（25-26八年级下·广西来宾·期末）响应“阳光体育，强健体魄”的校园号召，甲、乙两名同学主动坚持每日体育锻炼，并连续12次参与校级体能综合测评，用坚持磨炼意志、提升身体素质．现将甲、乙两位同学12次体能测试成绩（单位：分）统计如下： 甲：72，75，70，73，75，71，76，73，74，72，75，74 乙：69，74，72，75，73，76，71，77，73，75，72，74 (1)整理数据，补充填写下表： 学生 最小值 最大值 甲 70 72 73.5 75 76 乙 75 77 (2)请在图中补全乙同学的箱线图； (3)结合四分位数与箱线图，对比分析甲、乙两同学成绩分散程度． 【答案】(1) 学生 最小值 最大值 甲 70 72 73.5 75 76 乙 69 72 73.5 75 77 (2) (3)从四分位数上看，两位同学的四分位数相同，箱线图上看甲的箱线图中的箱线的上下延伸段比乙的短，说明甲的成绩整体更集中稳定，乙的成绩比甲分散. 【分析】（1）将乙的数据从小到大排序，根据四分位数的计算方法进行计算即可； （2）根据表格数据，画出箱线图即可； （3）根据箱线图进行分析作答即可. 【详解】（1）解：将乙的数据从小到大排序为69，71，72，72，73，73，74，74，75，75，76，77； 故最小值为69， 求两种方法： 方法一：，故为第3个数据和第4个数据的平均数， 故； 方法二：前6个数据为69，71，72，72，73，73， 故为第3个数据和第4个数据的平均数， 故； 为第6个和第7个数据的平均数， 故； 填表略 （2）略 （3）略 51．（26-27九年级上·山东德州·期中）为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩百分制进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩单位：分 甲：，，，，，，，，，． 乙：，，，，，，，，，． 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数分 众数分 中位数分 方差分 甲 乙 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图单位：分 根据以上信息，回答下列问题： (1)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (2)根据【信息】和【信息】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】(1)；； (2)解：乙组竞赛成绩较好．理由如下： 因为乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差，说明乙组平均分更高，成绩更稳定．所以乙组竞赛成绩较好． 【分析】（1）根据四分位数的定义求出第一四分位数和第三四分位数，再画图即可； （2）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【详解】（1）解：把甲组学生竞赛成绩按照从低到高的顺序排列为：，，，，，，，，，， ∵一共有10个数据， ∴中位数为第5个数和第6个数的平均数，即中位数为； 方法一：前5个数据为，，，，，它们的中位数为，则， 后5个数据为，，，，，它们的中位数为，则； 方法二：，那么第3个数据即为下四分位数，即， ，那么第8个数据即为上四分位数，即； 甲组的最大数据100，中位数为，最小数为，补全甲组竞赛成绩的箱线图见答案； （2）略 题型18 利用方差做决策（共3小题） 【步骤】算出方差，方差越小波动越小，结合平均数综合对比判断 【易错】方差比较前提是平均数相近；方差大不代表平均水平差。 52．（26-27九年级上·安徽六安·期中）智能科技点亮生活，某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 乙模型 根据以上信息回答下列问题： (1)__________，__________； (2)结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能服务系统，并说明理由． 【答案】(1)； (2)示例：选拔甲模型部署，理由：甲模型平均数和中位数均更高，表现更优． 示例：选拔乙模型部署，理由：乙模型方差小，更稳定；乙模型低成功率区间表现更优且无明显极端低值． 【详解】（1）解：计算乙模型第一四分位数，乙模型数据排序为：，，，，，，，，，，共个数据，前个数据为，，，，，中位数为第个数：；计算甲模型第三四分位数，甲模型数据排序为：，，，，，，，，，，共个数据，后个数据为，，，，，中位数为第个数：； （2）解：示例：选拔甲模型部署，理由：甲模型平均数为高于乙模型的，且甲模型中位数也高于乙模型的，表现更优． 示例：选拔乙模型部署，理由：乙模型方差为低于甲模型的，更稳定；乙模型第一四分位数高于甲模型的，低成功率区间表现更优，最小值为也高于甲模型的，无明显极端低值． 53．（26-27九年级上·广西南宁·期中）为了参加“市中小学生首届诗词大会”，某中学八年级的两个班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制，单位：分）分别为 八（1）班：86，85，77，92，85； 八（2）班：79，85，92，85，89． 通过数据分析，列表如下： 班级 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 八（2）班 85 85 (1)直接写出表中，，的值：______，______，______． (2)求出的值； (3)根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由． 【答案】(1)86，85，85 (2)d的值为 (3)八（2）班前5名同学的成绩较好，理由如下， 由数据可知，两班成绩中位数，众数相同，而八（2）班平均成绩更高，且方差更小，成绩更稳定， 八（2）班前5名同学的成绩较好． 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义，计算即可； （2）根据方差的定义，计算即可； （3）根据平均数、中位数、众数和方差分析做出决策． 【详解】（1）解：八（2）班的平均分（分）； 八（1）班的前5名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：77，85，85，86，92，第三个数是85，所以中位数； 85出现了2次，次数最多，所以众数； （2）解：八（1）班的方差 ， 则的值为； （3）略 54．（26-27九年级上·河南开封·期中）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，某区相关部门对“校园餐”的满意度进行问卷调查．现分别从该区初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分（单位：分，满分：10分）情况如下： 抽取的学生打分情况统计表 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 8 8 高中 8 a b 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：_________，__________． (2)从抽取的学生打分情况折线统计图可知，_________（选填“”“”或“”）． (3)根据以上统计量分析，对“校园餐”的总体满意度更高的是初中学生还是高中学生？请说明理由． 【答案】(1)；9 (2) (3)对“校园餐”总体满意度更高的是初中学生，理由如下： 初中打分的方差更小，说明初中学生的满意度更稳定，打分差异更小；初中打分的最低分高于高中，没有过低分，整体满意度更均衡． 【分析】（1）从折线图获取高中10名学生的打分并将其从小到大排列即可求解； （2）观察折线统计图即可判断； （3）根据相关统计量进行判断即可． 【详解】（1）解：由折线图可得高中10名学生的打分从小到大排列为：， ∴中位数为：；众数：； （2）解：从折线图可以直观看出，高中打分的折线起伏更大，数据更分散；初中打分的折线更平缓，数据更集中． ∴； （3）略 题型19 离差平方和的应用（共3小题） 【步骤】计算离差平方和，衡量数据波动，结合题意分析离散程度 【易错】数据越多离差平方和一般越大，不能直接跨样本比较 55．（26-27九年级上·广西南宁·期中）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．教练计划将队员分成两组进行分层训练，先将五名同学成绩按照从小到大的顺序排列为：7，9，12，13，15．再分成两组分别计算各组的离差平方和（结果保留小数点后一位），结果如下表所示，则最合理的分组方式为第________个间隔． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 总离差平方和 第1个间隔 0 18.8 18.8 第2个间隔 2 4.7 6.7 第3个间隔 12.7 2 14.7 第4个间隔 22.8 0 22.8 【答案】2 【分析】最合理的分组满足总离差平方和最小，只需找到表格中总离差平方和最小对应的间隔序号即可． 【详解】解：∵ 离差平方和总和越小，组内数据越集中，分组越合理， ∴ 比较表格中各组的离差平方和：，，，， 可得最小的总离差平方和为，其对应的分组为第个间隔． 56．（26-27九年级上·吉林长春·期中）甲、乙两名同学进行次模拟测试，已知两人测试成绩的平均分完全相同，甲成绩的离差平方和为，乙成绩的离差平方和为．若甲的成绩波动比乙更小，则整数的最大值为______． 【答案】 【分析】甲成绩波动更小说明甲的方差更小，两人测试次数相同，平均分相同，因此甲的离差平方和小于乙的离差平方和，结合离差平方和非负，求出整数的取值范围即可求解． 【详解】解：∵两人都进行次测试，平均分相同，甲的成绩波动比乙更小，且方差越小数据波动越小，方差等于离差平方和除以测试次数， ∴甲的离差平方和小于乙的离差平方和， ∴， 解得， ∵离差平方和为非负数， ∴， 解得， ∴的取值范围是 ， ∴整数的最大值为． 57．（26-27九年级上·浙江温州·期中）统计兴趣小组的同学收集了我国7个地区的人均耕地面积（单位：公顷）数据：0.1，0.6，0.2，0.3，0.6，1.8，2.0．为合理分组，设计以下解决方案：规定两组组内离差平方和之和越小，分组越合理． 组序 分组情况 第1组组内离差平方和 第2组组内离差平方和 第1组 第2组 1 0.1，0.2，0.3 0.6，0.6，1.8，2.0 0.02 1.71 2 0.1，0.2，0.3，0.6 0.6，1.8，2.0 0.14 1.15 3 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6 1.8，2.0 0.21 0.02 4 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8 2.0 1.94 0 则合理分组是（     ） A．组序1 B．组序2 C．组序3 D．组序4 【答案】C 【分析】计算各组序的两组组内离差平方和之和，则和越小分组越合理，比较大小即可得解． 【详解】解：分别计算各组序的两组组内离差平方和之和： 组序1：， 组序2：， 组序3：， 组序4：， ∵， ∴组序3的分组最合理． 题型20 列举法或树状图法求概率（共3小题） 58．（26-27九年级上·浙江湖州·期中）一个不透明的袋中装有4个球，分别标有1、2、3、4四个号码，这些球除号码外都相同．甲同学每次搅匀后从袋中任意摸出一个球后再放回，并计划摸取球10次，现已摸取了8次，取出的结果如表所列： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 号码 2 2 4 4 2 1 4 1 若每次取球时，取出的号码即为得分，请回答下列问题： (1)乙同学说：“甲同学前8次摸球都没有得3分，因此第9次摸球一定得3分．”你认为乙的说法 （填正确或错误） (2)甲同学依计划继续从袋中再取球2次，这两次取球得分之和为，若发生“这10次得分的平均数不小于，且不大于”的情况， ①请求出的取值范围； ②请直接写出发生这种情况的概率是 ． 【答案】(1)错误； (2)①；②． 【分析】（1）由于有四种球，因此每次摸到3为其中一种可能，虽然前8次都没有摸到3，但是第9次也不可能一定摸到3，据此即可解答； （2）①根据题意列出关于a的不等式组，再解不等式组即可；②先根据题意列出表格，然后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）乙同学的说法错误． 理由：摸球共有四种可能，每种可能性相同，摸到3为其中一种可能，故得3分的概率为， 故乙同学的说法错误． （2）解：①前8次摸球得分的和为， 根据题意得：， 解得：． ②列表得 第10次    第9次 1 2 3 4 1 2 3 4 ∵最后两次摸球得分共有16种情况，每种情况可能性相同，符合的共有6种情况， ∴发生这种情况的概率． 59．（数学（江苏泰州卷）-学易金卷：2025年中考押题预测卷）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）． (1)小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液，结果变红的概率是 ． (2)小明从上述4瓶溶液中向挑选的2瓶溶液分别滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求小明所选的两瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色， 小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和 硝酸钾溶液（呈中性）不变色，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钙溶液（呈碱性）变红， ∴结果变红的概率：； （2）根据题意：列表如下： A B C D A B C D 由表知，共有12种可能出现的结果，其中1瓶变红、1瓶不变色有，，，，，，，共8种结果， 1瓶变红、1瓶不变色的概率为：． 60．（25-26九年级下·江苏镇江·期中）北京时间2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空逐梦星河”为主题的绘画大赛．现从中随机抽取部分参赛作品，按表现情况x（单位：分）分为，，，四组进行统计，制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的作品数量为________份，并补全条形统计图； (2)此次被抽取的参赛作品的众数为________分，中位数为________分； (3)求此次被抽取的参赛作品的平均数； (4)现从被抽取的D组学生中，随机再抽取2人参加市里的绘画大赛，已知D组学生中恰好有3名男生，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)，补全条形统计图如图所示： (2)， (3)分 (4) 【分析】（1）利用组的作品数量除以所占的比例即可得出本次抽取的作品数量，求出组的作品数量，即可补全条形统计图； （2）根据中位数和众数的定义计算即可得出结果； （3）根据平均数的定义计算即可得出结果； （4）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次抽取的作品数量为份， 组的作品数量为：（份）， 图略； （2）解：将抽取的这100份参赛作品的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是分，因此成绩的中位数是分， 由统计图可得，得分的人数最多，故此次被抽取的参赛作品的众数为分； （3）解：（分）； （4）解：列表得： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2） 男3 （男3，男1） （男3，男2） （男3，女1） （男3，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1） 共有20种等可能出现的结果，其中抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的情况有种， 故抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为． 题型21 概率的相关计算（共3小题） 61．（24-25九年级下·江苏泰州·期中）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶无色溶液(分别标记为A，B，C，D)，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）． (1)小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液中，结果变红的概率是 ． (2)小明从上述4瓶溶液中挑选2瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求小明所选的两瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式即可解题； （2）通过列表得出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【详解】（1）解：酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色， 小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和 硝酸钾溶液（呈中性）不变色，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钙溶液（呈碱性）变红， 结果变红的概率：； （2）解：根据题意：列表如下： A B C D A B C D 由表知，共有12种可能出现的结果，其中1瓶变红、1瓶不变色有，，，，，，，共8种结果， 1瓶变红、1瓶不变色的概率为：． 62．（25-26九年级下·江苏苏州·期中）学校为了解九年级学生对“八礼四仪”的掌握情况，对该年级的500名同学进行问卷测试，并随机抽取了10名同学的问卷，统计成绩如下： 得分 10 9 8 7 6 人数 3 3 2 1 1 (1)这10名同学这次测试的平均得分为________分，中位数为________分． (2)如果得分不少于9分的定义为“优秀”，估计这500名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数； (3)满分的3人中有两人来自春申班，一人来自预备班，若从中任取2人参加区级比赛，求预备班学生被选中的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用加权平均数公式计算平均分，根据中位数定义，对数据排序后计算中位数； （2）利用样本优秀率估计总体，计算500名学生中优秀人数； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及预备班学生被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：这10名同学这次测试的平均得分为： ， 将10个得分从小到大排列为：， 第5个和第6个数据均为9，故中位数； （2）解：抽取的10名同学中，得分不少于9分的人数为， （人）， 答：估计这500名学生中优秀人数为300人； （3）解：记春申班两名学生为，预备班学生为， 列表如下： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中预备班学生被选中的结果有4种， ∴预备班学生被选中的概率为． 63．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在一个不透明的口袋里装着除颜色外完全相同的黑、白两种颜色的球共25个．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动过程中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数 42 66 b 202 324 401 摸到白球的频率 a 0.44 0.41 0.404 0.405 0.401 (1)填空：表中__________，__________； (2)任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值是__________（精确到0.1）； (3)若向口袋里再加入个白球，这时从口袋里任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为0.5，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据频率=频数÷总次数的关系，可计算出、的值； （2）大量重复试验中频率稳定在概率附近的性质，由表格数据即可得出答案； （3）根据概率公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据频率的计算公式，可得， 根据频数的计算公式，可得； （2）解：观察表格可知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， 因此任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值是； （3）解：由（2）中得到的概率估计值，可得口袋中原有白球数量约为（个）， 向口袋中加入个白球后，白球总数量为个，球的总数量为个， 根据题意列方程得， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 因此的值为． 题型22 概率的其他应用（共3小题） 64．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1)①获得150元、75元、30元的购物券的概率是：，，；②获得购物券的概率是 (2)还需要将2个无色扇形涂成绿色 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；     （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：①转盘被等分成18个扇形，其中红色扇形有1个，黄色扇形有2个，绿色扇形有4个， 指针对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券， 小刚妈妈获得150元购物券的概率是， 小刚妈妈获得75元购物券的概率是， 小刚妈妈获得30元购物券的概率是；     ②转盘被等分成18个扇形，其中能够获得购物券的有：红色扇形1个，黄色扇形2个，绿色扇形4个，共7个扇形， 小刚妈妈获得购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 则，     解得：， 若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将2个无色扇形涂成绿色． 65．（25-26七年级下·广东深圳·期末）某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买50元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得30元、20元、10元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是___________；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)计算：转动一次转盘获得20元购物券的概率是多少？ (3)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的概率和未得到购物券的概率，哪个大？ 【答案】(1)不可能事件 (2) (3)未得到购物券的概率比得到购物券的概率大 【分析】（1）由于没有100元的购物券，故该事件为不可能事件； （2）用绿色区域个数除以分成的区域总数可得答案； （3）分别计算出得到购物券和未得到购物券的概率，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：∵30元、20元、10元的购物券，没有100元的购物券 ∴“转动一次转盘获得100元的购物券”是不可能事件； （2）解：， 答：转动一次转盘获得20元购物券的概率是； （3）解：得到购物券的概率为， 未得到购物券的概率为， ∵， ∴未得到购物券的概率比得到购物券的概率大． 66．（2026·福建厦门·一模）为迎接即将到来的五一假期，商场拟举行部分商品优惠促销活动，顾客可以从以下两种方案中任选一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：购物每满元可抽奖一次，具体规则是：在一个不透明箱子里装有张大小、形状一样的卡片，张卡片分别写着数字，，，，顾客从箱内随机抽出两张卡片，两张卡片上的数字之积记为，根据的值享受不同的优惠，如表所示． 的值 1 2 4 实际付款 9折 8折 7折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树状图（或列表法）求一次抽奖获得8折优惠的概率； (2)某顾客的购物金额为元，请你运用统计与概率的相关知识，分析并判断该顾客应选择哪种方案更为实惠． 【答案】(1) (2)选择方案一更为实惠 【分析】（1）利用列表法列出所有等可能的抽取结果，数出获得8折优惠的结果数，根据概率公式计算概率即可； （2）分别计算方案一的实际付款金额，和方案二的平均实际付款金额，比较大小后即可判断哪种方案更实惠． 【详解】（1）解：列表得所有抽取两张的等可能结果如下： 第一次第二次    乘积 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 共有12种等可能的结果，其中两张卡片数字之积（即获得8折优惠）的结果有8种． 所以获得8折优惠的概率为． （2）解：若顾客选择方案一，购物金额为300元，实际付款为： （元） 若顾客选择方案二，由（1）可知： ，对应9折，实际付款元 ，对应8折，实际付款元 ，对应7折，实际付款元 方案二的平均实际付款为： （元） 因为， 所以顾客选择方案一更为实惠． 拔高·压轴破难 题型23 数据的集中趋势和离散程度解答题（共3小题） 67．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）为了加强安全教育，某校组织七、八年级开展了以“急救安全注意事项”为主题的知识竞赛，为了解竞赛情况，王老师从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩．收集整理数据如表： 分数 70 75 80 85 90 95 100 七年级 2人 3人 2人 4人 5人 3人 1人 八年级 0人 2人 5人 8人 2人 人 1人 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 90 八年级 85 85 40 根据以上信息回答下列问题： (1)__________，__________，__________，__________． (2)通过对两个年级学生成绩的平均数和方差的比较，两个年级中哪个年级的学生成绩更稳定？并说明理由． 【答案】(1)2；85；85；85 (2)解：八年级的学生成绩更稳定，理由如下： ∵七年级的平均数为85，八年级的平均数为85，七年级方差为，八年级方差为， ∴两个年级的学生成绩平均数相同，而八年级的学生成绩的方差更小，根据方差越小，数据波动程度越小，成绩越稳定，因此八年级学生成绩更稳定． 【分析】先依据总人数求出的值，再利用加权平均数公式计算七年级平均分，排序取中间两数平均值得到中位数，统计出现频次最高分数得到八年级众数；对比两组方差数值大小判断成绩稳定性． 【详解】（1）解：∵抽取八年级一共20人， ∴， ∴． 七年级平均数， 将七年级20名成绩从小到大排列，中位数为第10、11个数的平均数， ∵，， ∴第10、11个数均为85， ∴中位数， 八年级得分85分的有人，人数最多，故众数． （2）略 68．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）立定跳远是一项集弹跳、爆发力、身体协调性和技术等于一体的体育运动，其等级评价表如下： 立定跳远等级 男生成绩 女生成绩 优秀 良好 及格 不及格 【收集数据】某校为调查八年级男生的立定跳远水平，在该年级中随机抽取了20名男生立定跳远的成绩（单位：），数据收集如下： 235 210 210 228 205 241 203 210 232 162 223 225 208 165 238 212 236 167 220 210 【整理数据】将以上数据进行整理： 成绩 立定跳远等级 人数 百分比 优秀 6 良好 及格 不及格 3 【描述数据】根据整理的数据绘制如下统计图： 【分析数据】根据上述图表，计算平均数、中位数、众数、方差、四分位数如下： 平均数 中位数 众数 方差 四分位数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 212 211 210 206.5 211 请根据以上图表中的信息，完成下列问题： (1)______，______，______，______； (2)补全条形图和扇形图； (3)______，______； (4)若八年级男生共有180人，估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有多少人？ (5)对于样本中的20个立定跳远成绩数据，有人认为根据组内离差平方和最小原则，分组数越多越好，也有人认为分组数不宜过多．请结合统计学知识，谈谈你的看法，并说明在本题中分为几组更合适，理由是什么． 【答案】(1)8；3；； (2)补全条形图和扇形图如下： (3)；230 (4)54人 (5)看法：分组数增加时，每个组内的数据量会变少，组内数据的相似度会提升，组内离差平方和会持续降低，但组数过多会让各组数据过于零散，无法体现立定跳远成绩的分布规律，掩盖不同水平群体的特征，还会大幅增加数据处理的冗余度，失去分组统计的实际意义； 根据这组立定跳远数据的特征，分为组‌最为合适，理由如下： 这组数据的分布存在明显的低分段（）、中低分段（）、中高分段（）、高分段（），4组可以清晰对应不同运动水平的群体，既保证每组内成绩接近、组内离差平方和足够小，也能直观呈现整体的成绩分布特征． 【分析】（1）根据表格数据计算即可； （2）结合（1）中的计算结果补全条形图和扇形图； （3）根据方差的定义和第三四分位数的定义计算； （4）利用样本估计总体的思想求解即可； （5）根据分组统计的意义解答． 【详解】（1）解：由表格数据可知，的有8人，的有3人， ∴，， ∵，， ∴，； （2）解：略 （3）解：方差； 20个数据从小到大排列：162 165 167 203 205 208 210 210 210 210 212 220 223 225 228 232 235 236 238 241， 后十位为212 220 223 225 228 232 235 236 238 241，则第三四分位数为（取中位数计算）：， ，则第三四分位数为（取百分数计算）：， ∴； （4）解：（人）， 答：估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有54人； （5）解：略 69．（2026·江苏盐城·模拟预测）知识回顾： 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 (1)如图，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第x时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______ (2)知识应用：如图，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度．（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，求小明到达点，所用的时间； (3)实际情况下，如图小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳． 小明的游泳轨迹可能是______（选择，，，其中一个） 小明可以游到的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置与的距离． 【答案】(1) (2) (3)小明不可以游到的位置； 【分析】（1）分从到和从到两种情况求解即可； （2）求得，用垂直的路程除以这个方向的速度，即得所用的时间； （3）根据题意，得水流速度恒定，故水平方向的速度恒定，而竖直方向的速度逐渐减少，继而解答即可； ②根据题意，得小明的速度方向一直垂直，而水流速度平行，所以它们的和速度一定不垂直，故他到不了点B的位置，先计算小明游到对岸所用的时间，然后乘水流速度，就是的距离； 【详解】（1）解：从到匀速行驶，汽车在该时间段内的平均速度为， ∴该时间段行驶的路程为； 从到汽车的速度随着时间均匀减小，因此汽车在该时间段内的平均速度为， 该时间段行驶的路程为； ∴小丽驾车从到共行驶； （2）解：根据题意，得游泳的水平速度抵消水流速度， 故， ，且， ， ， ； （3）解：∵水流速度恒定， ∴水平方向的速度恒定，而竖直方向的速度逐渐减少， ∴相同时间内垂直位移增量越来越小，因此轨迹向上凸，位于直线左侧， 故小明的游泳轨迹可能是； 解：小明不可以游到的位置； 设小明到达对岸所用时间为，则小明到达对岸时的速度为， 故小明的平均速度为：， 小明游过的竖直距离为：， 解得：或， ， 不符合要求，舍去， 故， ． 题型24 四分位数、箱线图解答题（共3小题） 70．（25-26八年级下·广东云浮·期末）某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，，80，，95．（，且，为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求，，． (2)观察图中乙组比赛成绩的箱线图求，． 【答案】(1)，，； (2)或93、； 【分析】（1）根据四分位数的定义进行解答即可； （2）根据题意进行分析讨论即可求出答案． 【详解】（1）解：将甲组成绩从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100         第一四分位数： 法一：，向上取整为第3个数据， ∴第一四分位数，         法二：∵甲组共有10个数据，第一四分位数为前5个数据的中位数， ∴第一四分位数， 第二四分位数： 法一：，为第5个数据， ∴第二四分位数，         法二：∵甲组共有10个数据，第二四分位数为第5个和第6个数据的平均数， ∴第二四分位数， 第三四分位数： 法一：，向上取整为第8个数据， 则第三四分位数； 法一：甲组共有10个数据，第三四分位数为后5个数据的中位数， ∴第三四分位数， （2）解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96， 由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93， 则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93， 第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90， 将乙组成绩（除外）从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，95，96         若在第4个位置，则中位数为，不符合题意；         若在第5个位置，则中位数为，即，由于， 不符合题意         若在第6个位置，则中位数为，即，         若在第7个位置，则中位数为，此时，         当时，乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 当时，乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 因此，或93、； 71．（25-26八年级下·福建福州·期末）福州本土生鲜超市日渐增多，配送服务遍布全城．各大生鲜超市为提升同城配货效率，设立分拣、扫码、称重、打包四道连续工序作为全套流程，完成四道工序用时越少说明员工的业务水平越好．现对甲、乙、丙三家超市每超市名员工进行调研． 【数据统计】 数据随机抽取乙组名员工单人完成全套流程的用时（单位：分钟） 、、、、、、、、、 数据甲、乙、丙三家超市员工全套流程用时绘制了箱线图如下： (1)根据数据，箱线图中的值为________；比较三家超市完成全套工序耗时的集中趋势或离散程度，不难发现：________超市员工完成全套工序业务水平整体最好，________超市员工完成全套工序耗时离散程度最小．（填“甲”、“乙”或“丙”） (2)【深度分析】 为了让顾客更快收到货品，缩短出货耗时，各大超市都在努力提升超市配货效率．丙超市安排名员工采用流水接力作业模式，即每个员工负责一道工序并交接给下一个员工．默契的工序衔接，能省去每道工序单独启动准备的时间，因此四人流水接力总耗时，少于四道工序单独由一人完成所耗时之和．在员工训练过程中，店长发现平均每次交接工序节约时间（单位：分钟）与交接工序训练时长（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，，并且道工序流水作业总用时满足此公式：名员工完成全套工序流水接力作业用时总和一名员工单独完成四项工序用时三次交接总节约时间． ①求关于的函数表达式； ②已知丙超市的A仓库一名员工单独完成四道工序用时为分钟，则该仓库名员工完成全套工序流水作业用时总和（单位：分钟）与交接工序训练时长（单位：小时）之间的函数表达式为______________；（化简为的形式） ③丙超市B仓库一名员工单独完成四项工序用时比丙超市C仓库快7分钟，但由于员工培训时间太少，导致B仓库四名员工流水接力完成全套用时却比C仓库的流水接力用时慢分钟，且两个仓库的交接工序训练时长之和为小时．求B仓库交接工序训练时长． 【答案】(1)；丙；乙 (2)①； ②； ③B仓库交接工序训练时长为5小时 【分析】（1）箱线图：箱线图矩形框下方横线代表下四分位数，箱体总长判断数据波动；用时越少代表业务水平越好； （2）①一次函数：已知两组点直接代入列方程组求解析式； ②将①中解析式代入即可求得； ③先拆分“单人独立用时、流水节约用时、总流水用时”三层关系，再设未知数联立方程消元求解． 【详解】（1）解：数据1为乙组10名员工用时先从小到大排序：24.4，24.7，24.9，25.5，25.7，26，26.3，26.4，26.5，26.6， 共10个数据，箱线图矩形框下方横线代表下四分位数， 解法一：为前5个数的中位数，即为24.4，24.7，24.9，25.5，25.7的中位数，因此， 解法二：，所以为排序后的第3个数，因此； 业务水平越好，完成工序用时越少：丙箱线整体位置最低，用时最少，丙超市整体业务水平最好； 离散程度看箱线图箱体的总长度，长度越短数据越集中、离散程度越小：乙的箱线最短，乙超市耗时离散程度最小． （2）解：①设一次函数解析式： 已知两组对应值：；，代入得方程组： ， 解得，， 函数表达式：． ②公式：流水总用时单人独立总用时三次交接总节约时间， 单人独立用时26.4分钟，每次节约，三次共节约， 即， 将代入： ， 解析式：． ③设B仓库训练时长为，C仓库训练时长为， 训练时长和：， B单人独立用时比C快0.7分钟：， B流水总用时比C流水慢1.1分钟：， 对C：， 对B：， 代入列等式： ， 整理得， ， 解得，， 检验范围、均满足，符合题意． B仓库交接工序训练时长为5小时． 72．（25-26九年级下·上海·期中）【背景介绍】箱线图由矩形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1所示，箱线图中最下端和最上端的竖直线段分别表示数据的最小和最大值；箱体的下端横线表示下四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，即前半部分数据的中位数）；箱体中部的横线表示中位数；箱体的上端横线表示上四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，后半部分数据的中位数）；箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为上四分位数减去下四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】为了备考体育中考，某校九年级A、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）．其中体育老师已对A班小组同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图（如图2）．B班小组同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． (1)根据A班小组同学的箱线图，问A班小组同学跳绳个数的平均数是_______，四分位距是_______． (2)根据B班小组同学的跳绳个数，请在图中补全B班小组同学跳绳个数的箱线图，并标出B班小组同学跳绳个数的平均数，及两端极值点． (3)已知A班小组同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404，______，_____，______，397，396，缺失了其中的三个数据，请根据箱线图将缺失的数据补全． (4)请结合A、B两班小组同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明） 【答案】(1)407.2；17 (2) 补全B班小组同学跳绳个数的箱线图如下， (3)403，401，398 (4)1、A、B两班跳绳个数的平均数相同；2、A班跳绳个数的四分位距更小，说明A班同学跳绳整体水平更整齐，更稳定，差距更小；3、B班跳绳个数极差更大，说明B班跳绳水平两极分化明显，满分人数多于A班，也存在成绩较低的同学． 【分析】（1）由图即可得A班小组同学跳绳个数的平均值和四分位距； （2）将B班小组同学的跳绳个数从小到大排列分别计算出平均数，及两端极值，画出图即可； （3）将A班小组同学的跳绳个数从小到大排列根据中位数，下四分位数，平均数即可求解； （4）根据箱线图及数据特征写出结论即可． 【详解】（1）解：由图可得，A班小组同学跳绳个数的平均数是407.2，四分位距是． （2）解：∵B班小组同学的跳绳个数从小到大排列为：335，390，399，404，405，415，425，427，430，442， ∴最大值为442，最小值为335，，，，平均数； （3）解：∵A班小组同学的跳绳个数从小到大排列为： 396，397，______，_____，______， 404，405，415，418，435， 由图可得，中位数，则第5个数为403， 下四分位数，则第3个数为398， ∵A班小组同学跳绳个数的平均数是407.2， ∴第4个数为， ∴缺失的数据从大到小为403，401，398． （4）解：1、A、B两班跳绳个数的平均数相同； 2、A班跳绳个数的四分位距更小，说明A班同学跳绳整体水平更整齐，更稳定，差距更小； 3、B班跳绳个数极差更大，说明B班跳绳水平两极分化明显，满分人数多于A班，也存在成绩较低的同学． 题型25 概率的计算压轴题（共3小题） 73．（2026·湖南邵阳·三模）年，以“湘超”为主题的文创产品已形成官方统一引领、各赛区特色产品百花齐放、文旅产业深度联动的格局．某文创店内以吉祥物“湘湘”和“超超”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是（     ）（单选） ．玩偶    ．冰箱贴    ．创意摆件    ．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题： 最喜爱的文创产品的人数条形图 最喜爱的文创产品的人数扇形图 (1)本次抽样调查的样本容量是________，补全条形图； (2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________； 【做出合理估计】 (3)若全校共有名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 (4)文创店负责人为了宣传以吉祥物“湘湘”和“超超”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动：在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有，，，（玩偶、冰箱贴、创意摆件、手机挂件），摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 【答案】(1)； ； (2)； (3)名； (4)． 【分析】（1）用喜爱冰箱贴的人数除以它所占的比例即可，再求出喜爱玩偶的人数，然后补全条形统计图； （2）用度乘以喜爱“玩偶”的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）， 喜欢玩偶的人数：（名），即可补全条形图，条形图略； （2）“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是：； （3）（名）； （4）树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果数为， 所以甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 74．（2026·安徽滁州·一模）为了解2025年前三季度“长三角”41市经济运行情况，兴趣小组通过网络查询得知，经济增速最高为，最低为．他们将经济增速按照查询的结果进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．2025年前三季度“长三角”各市经济增速分布表： 分类 城市数量 增长率（精确到） A 7 B 14 C 11 D 9 b．B组具体数据如下表： 城市 南京 常州 嘉兴 六安 泰州 安庆 滁州 杭州 南通 扬州 蚌埠 池州 苏州 上海 增速 c．2025年前三季度，全国经济平均增速为． (1)本次调查中，经济增速的中位数落在___________组（填“A”“B”“C”或“D”）． (2)从表中数据可知，长三角41市中，前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为___________（精确到）； (3)现从B组增长率为的四个城市中，任选两个进行调查研究，通过画树状图或列表法求选中的两个城市是南京和六安的概率． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）得出前三季度经济增速超过全国平均水平的城市数，除以被调查的城市数可得结论； （3）分别用A、B、C、D表示南京、常州、嘉兴和六安，画出树状图，得出所有等可能的结果数，和选中的两个城市是南京和六安的结果数，再用概率公式计算出概率即可． 【详解】（1）解：把41个数据按从小到大的顺序排列，最中间的是第21个数据， 而A类与B类数量和， 所以，在本次调查中，经济增速的中位数落在B组； （2）解：前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为：； （3）解：分别用A、B、C、D表示南京、常州、嘉兴和六安，画树状图如下： 由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中选中的两个城市是南京和六安的结果数有2种， 所以，选中的两个城市是南京和六安的概率为． 75．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【答案】任务一：不要争着去抽签，因为谁先踢的概率相等．任务二： 【分析】本题考查了概率的应用，抽签的公平性；用列举法求事件的概率，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签； （2）设进球为1，未进为0，第四轮的甲、乙比分情况为：，，，，所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，， ，，再得出第五轮的比赛得分可能，共12种比分可能，按比赛的规则，乙有7种获胜的可能性，结合两种上述情况即可得到结果． 【详解】解：任务一、甲、乙两队不需要争着去抽签， 原因：点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签． 任务二：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为. $