天津市蓟州区九年级数学上学期课时作业（人教版九年级上册26.4实际问题与二次函数（3）--抛物线类型）

一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 【26.4实际问题与二次函数（3）——抛物线图像实际应用专项作业】 学段学科 【初中】【数学】 适用年级 【九年级】 教材版本 【人教版】 对应内容 【第二十六章二次函数】 作业类型 【课后作业】 完成时长 总时长_45_分钟 设计者 【张密】 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求：本作业对应的学科核心素养是数学建模、直观想象、运算能力、逻辑推理，需达成能够建立平面直角坐标系，构建抛物线数学模型解决拱桥、运动轨迹等实际情境问题，能结合图像信息求解高度、宽度等实际量学业质量标准。 教材地位：本课时是二次函数实际应用第三课时，在学生掌握二次函数图像性质、利润、面积实际问题基础上，学习几何轨迹类实际应用；教会学生把现实拱形、物体运动轨迹抽象成抛物线，强化建模思想，体会数形结合思想。 教学重难点：本作业聚焦的重难点：重点：建立合适平面直角坐标系，利用顶点式求抛物线解析式，求解实际高度、水平宽度；难点：读懂实际情境图像，区分顶点高度、地面高度，结合实际情境辨析结论正误。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生掌握二次函数三种解析式，会求顶点、函数值；已经完成二次函数利润、面积类实际问题训练；具备基础平面直角坐标系相关知识。 现有困惑 不会合理建立坐标系，混淆“距离地面高度”和“距离顶点高度”；读题读图能力弱；结论辨析类综合题容易遗漏条件；计算根号、区间范围容易出错。 差异分析 基础薄弱学生能直接代入计算，但不会自主建系，综合多选题容易漏判；中等学生可以完成基础求解析式，复杂辨析题考虑不全面；优等生可以快速建模，需要综合多选题型训练审题严谨度。 3. 设计意图 本套作业围绕抛物线拱形、物体运动轨迹实际场景，由基础选择、填空到综合结论辨析题分层设计，落实建系、求解析式、数形结合计算的核心方法，强化区分顶点高度与地面高度等易错点，兼顾不同层次学生训练，提升数学建模与直观想象核心素养。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 复述抛物线实际问题的解题流程，辨别地面高度、顶点高度、水平宽度之间的关系 直观想象 正确率、概念复述 能力运用 B 会建立合适平面直角坐标系，选用顶点式求解抛物线解析式，代入求解实际高度、水平宽度 数学建模、数学运算 过程记录、建系方法选用、计算过程 思维发展 C 结合图像与函数，对多个结论进行推理辨析，识别题目隐藏实际限制条件 逻辑推理 论证思路、选项判断依据 情感态度 D 感受二次函数在建筑、运动生活场景的应用价值，养成结合图像审题的解题习惯 应用意识 解题步骤、审题标注 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 选择题 东方之门拱形抛物线，已知总高、底部宽，求离地150m水平宽度 A、B 基础练习，训练顶点建系，分清顶点高度和离地高度 答案：A（40m）；评价要点：能正确建立坐标系，写出抛物线解析式，区分距离顶点高度与地面高度。 2 填空题 赵州桥拱桥，已知水面宽、拱高，水位上升，求此时水面宽度 A、B 基础填空，练习以水面为x轴建系，根号运算 答案：；评价要点：正确设解析式，代入数值，会利用对称性计算水平宽度。 3 选择题 龙舟过拱桥，给出抛物线关系式，判断3个结论正误 A、B、C 综合题型，求零点、顶点、限定y求x，结合实际设计赛道 答案：D；评价要点：会求抛物线零点、顶点纵坐标；根据安全高度求解x取值区间，结合实际取整数。 4 选择题 足球射门抛物线轨迹，结合图像判断3个结论 A、B、C 物体运动轨迹，顶点式应用，抛物线平移理解 答案：B；评价要点：熟练顶点式，利用对称轴性质比较函数值，理解起脚点移动对应抛物线平移。 5 选择题 纸飞机，抛物线结合直线滑行，多条件综合判断 A、B、C 抛物线与直线结合，交点意义，限定高度求取值区间 答案：D；评价要点：理解交点含义，联立计算，分抛物线、滑行两段分析。 6 选择题 池塘池底向下开口抛物线截面，辨析4个结论 A、B、C 开口向上抛物线，深度、宽度计算，辨析比例关系 答案：A；评价要点：注意抛物线开口方向，区分纵坐标数值与实际深度。 7 解答题 小球抛出落在斜坡上，求抛物线顶点；树高以及树高最大值 A、B 运动轨迹+斜坡直线与抛物线交点；求线段最值，配方法求二次函数最值 答案：顶点；①米；②米；评价要点：会求直线解析式，联立坐标差表示线段，配方法求实际情境下二次函数最值，注意自变量取值范围。 8 解答题 篮球传球抛物线，求参数、最大高度、下落接球最小水平距离 A、B 物体抛射轨迹，代入求系数，配方求顶点，利用求根公式，筛选下落阶段解 答案：①；②；③米；评价要点：能识别出手点坐标，掌握配方法、一元二次方程求根公式，会结合实际舍去上升阶段的解。 9 解答题 音乐喷泉抛物线，求水管高度；射灯水平距离；水管下降高度 A、B 顶点式求抛物线；已知函数值求自变量；形状对称轴不变，不变重新求解析式 答案：①米；②①米，②米；评价要点：读懂“形状、对称轴不变即不变”，代入落地条件求新顶点，再求处的实际高度。 10 解答题 隧道抛物线截面，自建坐标系写解析式；已知等高两点水平距离求照明灯高度 A、B 自主建立平面直角坐标系；利用抛物线对称性求横坐标再代入求值 答案：①；②；评价要点：能够自主合理建系，会使用抛物线对称性简化计算，正确代入计算函数值。 五、作业评价 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 选择题 东方之门拱形抛物线，已知总高、底部宽，求离地150m水平宽度 A、B 基础练习，训练顶点建系，分清顶点高度和离地高度 答案：A（40m）；评价要点：能正确建立坐标系，写出抛物线解析式，区分距离顶点高度与地面高度。 2 填空题 赵州桥拱桥，已知水面宽、拱高，水位上升，求此时水面宽度 A、B 基础填空，练习以水面为x轴建系，根号运算 答案：；评价要点：正确设解析式，代入数值，会利用对称性计算水平宽度。 3 选择题 龙舟过拱桥，给出抛物线关系式，判断3个结论正误 A、B、C 综合题型，求零点、顶点、限定y求x，结合实际设计赛道 答案：D；评价要点：会求抛物线零点、顶点纵坐标；根据安全高度求解x取值区间，结合实际取整数。 4 选择题 足球射门抛物线轨迹，结合图像判断3个结论 A、B、C 物体运动轨迹，顶点式应用，抛物线平移理解 答案：B；评价要点：熟练顶点式，利用对称轴性质比较函数值，理解起脚点移动对应抛物线平移。 5 选择题 纸飞机，抛物线结合直线滑行，多条件综合判断 A、B、C 抛物线与直线结合，交点意义，限定高度求取值区间 答案：D；评价要点：理解交点含义，联立计算，分抛物线、滑行两段分析。 6 选择题 池塘池底向下开口抛物线截面，辨析4个结论 A、B、C 开口向上抛物线，深度、宽度计算，辨析比例关系 答案：A；评价要点：注意抛物线开口方向，区分纵坐标数值与实际深度。 7 解答题 小球抛出落在斜坡上，求抛物线顶点；树高以及树高最大值 A、B 运动轨迹+斜坡直线与抛物线交点；求线段最值，配方法求二次函数最值 答案：顶点；①米；②米；评价要点：会求直线解析式，联立坐标差表示线段，配方法求实际情境下二次函数最值，注意自变量取值范围。 8 解答题 篮球传球抛物线，求参数、最大高度、下落接球最小水平距离 A、B 物体抛射轨迹，代入求系数，配方求顶点，利用求根公式，筛选下落阶段解 答案：①；②；③米；评价要点：能识别出手点坐标，掌握配方法、一元二次方程求根公式，会结合实际舍去上升阶段的解。 9 解答题 音乐喷泉抛物线，求水管高度；射灯水平距离；水管下降高度 A、B 顶点式求抛物线；已知函数值求自变量；形状对称轴不变，不变重新求解析式 答案：①米；②①米，②米；评价要点：读懂“形状、对称轴不变即不变”，代入落地条件求新顶点，再求处的实际高度。 10 解答题 隧道抛物线截面，自建坐标系写解析式；已知等高两点水平距离求照明灯高度 A、B 自主建立平面直角坐标系；利用抛物线对称性求横坐标再代入求值 答案：①；②；评价要点：能够自主合理建系，会使用抛物线对称性简化计算，正确代入计算函数值。 ✅ 知识点总结 1.常见场景：拱门、桥拱、门洞、隧道、喷泉喷水轨迹，建立抛物线模型。 2.解题步骤 ① 建立平面直角坐标系，优先将抛物线顶点放在原点或者地面中点，简化计算； ② 设抛物线解析式：顶点式；顶点在原点用； ③ 代入已知点坐标，求出系数； ④ 将目标高度代入解析式，求横坐标；左右横坐标相减得到水平宽度。 3.高频易错点 （1）分清：离地面高度和距离抛物线顶点高度，二者不要混淆； （2）水平宽度 = 右侧横坐标 − 左侧横坐标，坐标取绝对值； （3）长度不能为负数。 六、试题详情 1（拱门）图①是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将优秀传统文化与现代建筑融为一体，传承了中国的历史文化。“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图②，已知其底部宽度AB为80 m，高度为200 m，则离地面150 m处的水平宽度(即CD的长)为（ ） (A)40 m (B)45 m (C)50 m (D)55 m 2（拱桥）在我国河北省赵县有一座闻名遐迩的古桥——赵州桥，它是世界上现存年代最久远、保存完整的大石拱桥之一，被誉为“中国第一古桥”。赵州桥是中国古代桥梁建筑的杰出典范，尤其是那道横断面呈抛物线形的大拱，仿佛在穿越时空向世人诉说古老东方的智慧与巧思。站在赵州桥上，我们观测到桥下的水面宽度恰好为，拱桥最高点离水面的高为，则当水位上升时，水面的宽度为____。 3. （龙舟）赛龙舟是中国端午节的习俗之一.某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分.如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系。据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m。有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是9m； ③若每条龙舟赛道宽度为9m，则最多可设计龙舟赛道4条。 其中，正确结论的个数有（） A. B. C. D. 4. （足球射门）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（为原点，高）正前方8 m的处射门，球射向球门的路线可以看作抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面的高度为3 m。有下列结论： ①该球经过区域； ②该球飞行的水平距离为4 m时的高度大于飞行的水平距离为7 m时的高度； ③为球门的高上一点，。若该球员先从处带球向他的正后方（图中轴的正方向）移动2 m后再射门，且球射向球门的路线形状、球的最大高度均保持不变，则球经过区域。 其中，正确结论的个数为（） A. B. C. D. 5. （纸飞机）小明很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段。如图，以地平线为轴，起抛点所在的铅垂线为轴，建立平面直角坐标系，上抛和下降的飞行路径看作是抛物线的一部分，滑行的飞行路径可看作是直线，且当纸飞机飞行的水平距离为8 m时进入滑行阶段。有下列结论： ①当时，纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.2 m； ②当纸飞机的落地点与起抛点的水平距离为15 m时，的值为1.9； ③当时，小明的前方有一堵高2.7 m的围栏，若纸飞机可以顺利飞过围栏，则小明距离围栏的水平距离最少为1 m，最多为9.4 m。 其中，正确结论的个数是（） A. B. C. D. 6. （池塘截面）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位:m)。有下列结论： ①； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面的距离为1.8 m； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的。 其中结论正确的个数是（） A. B. C. D. 7.（斜坡）在平面直角坐标系中，从点处抛出一个小球，落到斜坡上的点处，小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分。 （Ⅰ）求该抛物线的顶点坐标。 （Ⅱ）在斜坡上的点处（不与点，重合）有一棵树，小球恰好经过树的顶端。 ①当点的横坐标为时，求树的高度； ②求树的高度的最大值。 8.（篮球）小明和小亮参加了一次篮球比赛，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明站立的位置为原点建立平面直角坐标系，篮球在点正上方的点处出手，篮球的高度与水平距离之间满足函数解析式：。 (1)求的值； (2)求篮球在运动过程中离地面的最大高度； (3)小明传球给小亮，小亮手举过头顶在对方球员后方接球，已知小亮跳起后，手离地面的最大高度，若小亮想在球下落过程中顺利接住球，则他至少应距离小明多远？ 9.（喷泉） 如图是一个音乐喷泉的示意图，在点处竖直放置一根水管，在水管的顶端处安装一个喷水头，喷出的水柱为抛物线，喷出的抛物线形水柱在与水管的水平距离为处达到最高，最大高度为，水柱落地处与水管的水平距离为，以水平 地面为轴，水管所在直线为轴建立平面直角坐标系。 (1)求水管的高度。 (2)若在第一象限竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端恰好碰到水柱。 ①求景观射灯与水管的水平距离； ②现计划降低水管高度，使水柱落地处恰好在点处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少米？ 10.如图，要修建一条截面为抛物线的隧道，线段表示水平的路面，根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为。 (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点处分别安装照明灯）。若要求处照明灯的水平距离为，求照明灯的高度。 七、答案与解析 1.答案：A（40 m） 解析：以抛物线顶点为坐标原点，竖直向下为轴，水平向右为轴，抛物线解析式。 B点坐标代入： 抛物线方程：。 离地面150m，距离顶点高度：，即。 两点横坐标为，。 2.答案： 解析：①建立坐标系，求抛物线解析式 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系。 由题意：，。 设抛物线解析式： 将代入： 抛物线： ②水位上升1m，此时水面纵坐标 水位上升，此时水面位置的纵坐标 ，代入解析式： 两个交点坐标：、 水面宽度 3.答案：D 解析：函数： ①求水面宽度，水面 解得，所以，①正确 ②配方求顶点（最大高度） 顶点，拱桥最大高度9m，②正确 ③安全要求：龙舟高2m，安全距离至少3m 桥拱高度至少：，即令 安全区间：，安全宽度 每条赛道9m：，最多4条赛道，③正确 4.答案：B 解析：顶点，，设顶点式： 代入： 解析式： ①求（球门位置）时： 说明球落地在，到不了，①错误 ②抛物线对称轴，开口向下 距离对称轴： 距离对称轴： 离对称轴越远，函数值越小，所以高度高度，②正确 ③球员向后移动2m，新起脚点，顶点仍保持最高点高度3，对称轴向右移动，设新抛物线，代入 新解析式： 当，（球不会到y轴）。 球到之前早已落地，无法到达球门区域，③错误 只有结论②正确。 5.答案：D 解析：进入滑行阶段，抛物线与直线在相交，横坐标都是8。 ①，滑行直线，代入 进入滑行高度3.2m，①正确 ②落地点水平距离15m，落地点在滑行直线， 代入直线： 直线：，时， 所以交点在抛物线上，代入抛物线： ，②正确 ③，抛物线，围栏高 解得，在抛物线阶段，所以在时，高度高于2.7。 ，抛物线，代入滑行直线，，滑行直线 滑行段（）令： 所以能飞过围栏的区间：，最少1m，最多9.4m，③正确 6.答案：A 解析：抛物线顶点，设，点在抛物线上。 代入： 抛物线解析式：，②正确 ①，由对称性，，，不是24，①错误 ③水面CD在，代入抛物线 顶点，深度：，不是1.8m，③错误 ④原来水面宽30m，水面在，深度5m； 水面宽度减半：15m，则交点横坐标，代入： 深度，原来深度5，，④错误 只有结论②正确。 7.（Ⅰ）求抛物线顶点坐标 把代入： 抛物线解析式： 化为顶点式： 顶点坐标： （Ⅱ）① 当横坐标为，求高度 先求直线解析式。 设，代入： 直线： · ，点纵坐标：， · ，在抛物线上：， ② 求树高度的最大值 设横坐标为（） 在上： 在抛物线上： 树高： ，开口向下， 当时，最大，最大值米。 8.答案 (1) (2)最大高度 (3)至少相距米 (1) 求的值 出手点坐标：，代入解析式： (2) 求篮球离地面的最大高度 函数为： 配方写成顶点式： ，抛物线开口向下。 当时，。 篮球离地面最大高度： (3) 求小亮至少距离小明多远 接球高度，代入解析式： 求根公式： 得到两个解： （上升阶段），（下落阶段） 题目要求在下落过程接球，所以取。 小亮至少距离小明米。 9.答案 (1)水管高度米 (2)①水平距离米；②水管要降低米 (1)求水管的高度 抛物线顶点，设顶点式： 水柱落地在，代入： 抛物线解析式： 求点（）： (2)①求射灯与AO的水平距离 点纵坐标，代入抛物线： ，（舍去，第一象限） 水平距离： ②求水管降低多少米 新抛物线：形状、对称轴不变，顶点横坐标仍然是，； 落地处，设新抛物线： 代入： 新抛物线解析式： 求新喷水头高度（）： 原高度，新高度 下降高度： 10.答案 (1) (2)照明灯高度 (1) 建立坐标系，求解析式 以为原点，所在直线为轴，垂直向上为轴建立平面直角坐标系。 ，，抛物线顶点。 设抛物线顶点式： 把代入： 抛物线解析式： (2) 求照明灯高度 抛物线对称轴：。 两点等高，水平距离，两点关于对称轴对称。 两点到对称轴距离： 左侧点横坐标： 将代入解析式： 照明灯高度为（也就是） 1 学科网（北京）股份有限公司 $