学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷·拔高卷（浙江专用，范围：人教A版必修一～选择性必修一第三章3.2双曲线）

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C C B C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． （答案不唯一，满足即可） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）因为， 由正弦定理得，（2分） 则， 即，（3分） ，（4分） ，，则，（5分） ，.（6分） （2）因为是中点，所以. 两边平方得 .（8分） 所以，即，（9分） 又由均值不等式得，（11分） 当且仅当时等号成立，所以，（12分） 所以，即面积的最大值为.（13分） 16．（15分） （1）因为，，故，故.（2分） 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，（4分） 而平面，故.（6分） （2）由（1）可得平面，而，（7分） 故可建立如图所示的空间直角坐标系，（8分） 则，（10分） 因为， 故，所以，故，（11分） 而，设平面的法向量为， 则即，取，（13分） 故到平面的距离为.（15分） 17．（15分） （1）设，因， 所以，（4分） 化简得.（6分） 即动点的轨迹方程.（7分） （2）由（1）知动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 由两式相减得到.（10分） 即直线的方程为.（11分） 因为点到直线的距离，（13分） 所以.（15分） 18．（17分） （1）因为平面平面PAC，平面平面， ，且平面PAO，则平面PDB，（1分） 又因为平面PDB，所以，（2分） 在正方形ABCD中，，， 平面PAC，平面PAC，则平面PAC；（4分） （2）以AB为x轴，以AD为y轴，过点A的平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 如图，则，，，， 设，则，， 因为，所以①，（6分） 因为，所以②， 因为平面PAC，所以平面PAC法向量， 设平面BPC法向量，，， 则，则， 不妨取，则．所以,（8分） 因为二面角为， 所以③， 由①②③解得，，，或，，，（9分） 即或 ①当时，，，， 设平面DPC法向量，有， 则，不妨取，则，，所以， 则， 设PB与平面PCD所成角为，， 又因为，所以；（10分） ②当时，，，， 设平面DPC法向量，有， 则，不妨取，则，，所以， 则， 设PB与平面PCD所成角为，， 又因为，所以； 综上，PB与平面PCD所成角为或；（11分） （3）因为面，面，所以， 又因为，，，面， 所以面，又面，所以， 以为正交基建立空间直角坐标系， 因为，平面PAD，平面PAD，所以平面， 又因为平面PBC，且平面平面，所以，，（12分） 设，，，，，， 则，， 设平面法向量，有， 则，不妨取，则，所以，（13分） 因为平面PAC，所以平面法向量， 因为二面角为60°，所以， 即，解得，即，（14分） 设，，， 设平面ABQ法向量，有， 则，不妨取，则，所以， ，， 设平面CDQ法向量，有， 则，不妨取，则，所以，（16分） 则，（15分） 设，，， 则 ， 由，当且仅当时，等号成立， 故，即最小值为．（17分） 19．（17分） （1） 设椭圆焦距为，由离心率，得. 又椭圆过点，所以. 由得，解得. （3分） 所以椭圆的方程为.（5分） （2）由，得，，故，. 设直线（），与椭圆方程联立，消去得.（6分） 设，，则，. 于是.（8分） 以为底边，高为，所以面积. 整理得，平方得，（9分） 即，解得，又，故. 所以直线的方程为，即.（10分） （3）由椭圆关于原点对称，点与点关于原点对称，所以. 设的面积为. 直线经过原点，其方程为， 所以点到直线的距离，又，故.（11分） 由得，所以. 又.（13分） 由及，得. 代入，得，（14分） 所以.（15分） 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. （16分） 所以的最小值为.（17分） 试卷第 1 页（共 1 页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C]D] 口 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 款 4[A][B][C][D] 8[A][B][CI[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 蕾 12 射 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) H D D B B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册～选择性必修一第三章3.2双曲线。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线 的倾斜角为 ，则实数 （    ） A． B． C． D． 2．某校举办了一次数学素养测评，旨在检验学生的逻辑思维与应用能力，以下是随机抽取的10名学生的成绩（满分100分）：65，71，83，86，87，88，91，92，94，98，则这10名学生数学成绩的第70百分位数为（     ） A．92 B．91.5 C．91 D．89.5 3．我国自主研制的“JF－22”超高速风洞，是航空航天高端研发的国之重器．倘若某次风洞平面流场研究中，科研人员取平面内一组夹角为的单位气流矢量作为基底，发现某位置的合气流矢量可以唯一表示为，且合气流矢量与基底矢量相互垂直，则（   ） A． B． C． D． 4．若，，，则下列结论错误的是（   ） A．事件与相互独立 B． C．事件与互斥 D． 5．若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 6．已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 7．已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知点是直线：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则为纯虚数 D．若，则的最小值为1 10．如图，正方体的棱长为，为线段上一动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与的夹角的大小的取值范围是 C．的最小值为 D．当时，平面截该正方体所得截面的面积为 11．已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．双曲线的离心率为___________． 13．已知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则直线的方程为______． 14．已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 16．（15分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 17．（15分）已知圆，点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹与圆交于，两点，求. 18．（17分）已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面PAC，面面，． (1)证明：面PAC； (2)若，求直线PB与平面PCD所成角的大小； (3)如图，若，平面平面，Q为l上一动点．平面ABQ与平面CDQ夹角的大小为，求的最小值． 19．（17分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别是，，的离心率为，且过点，过且斜率大于0的直线交于，两点. (1)求的方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设为坐标原点，连接并延长交于点，求的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册～选择性必修一第三章3.2双曲线。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线 的倾斜角为 ，则实数 （    ） A． B． C． D． 2．某校举办了一次数学素养测评，旨在检验学生的逻辑思维与应用能力，以下是随机抽取的10名学生的成绩（满分100分）：65，71，83，86，87，88，91，92，94，98，则这10名学生数学成绩的第70百分位数为（     ） A．92 B．91.5 C．91 D．89.5 3．我国自主研制的“JF－22”超高速风洞，是航空航天高端研发的国之重器．倘若某次风洞平面流场研究中，科研人员取平面内一组夹角为的单位气流矢量作为基底，发现某位置的合气流矢量可以唯一表示为，且合气流矢量与基底矢量相互垂直，则（   ） A． B． C． D． 4．若，，，则下列结论错误的是（   ） A．事件与相互独立 B． C．事件与互斥 D． 5．若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 6．已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 7．已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知点是直线：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则为纯虚数 D．若，则的最小值为1 10．如图，正方体的棱长为，为线段上一动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与的夹角的大小的取值范围是 C．的最小值为 D．当时，平面截该正方体所得截面的面积为 11．已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．双曲线的离心率为___________． 13．已知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则直线的方程为______． 14．已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 16．（15分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 17．（15分）已知圆，点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹与圆交于，两点，求. 18．（17分）已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面PAC，面面，． (1)证明：面PAC； (2)若，求直线PB与平面PCD所成角的大小； (3)如图，若，平面平面，Q为l上一动点．平面ABQ与平面CDQ夹角的大小为，求的最小值． 19．（17分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别是，，的离心率为，且过点，过且斜率大于0的直线交于，两点. (1)求的方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设为坐标原点，连接并延长交于点，求的最小值. 试卷第 1 页（共 1 页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册～选择性必修一第三章3.2双曲线。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线 的倾斜角为 ，则实数 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为倾斜角为 ，所以斜率 ， 由直线 得斜率 ，所以 ，即 ． 2．某校举办了一次数学素养测评，旨在检验学生的逻辑思维与应用能力，以下是随机抽取的10名学生的成绩（满分100分）：65，71，83，86，87，88，91，92，94，98，则这10名学生数学成绩的第70百分位数为（     ） A．92 B．91.5 C．91 D．89.5 【答案】B 【分析】按从小到大排列起来，根据百分位数的概念进行计算． 【解析】共10个数据，因为， 故第70百分位数为第7个数与第8个数的平均数，为． 3．我国自主研制的“JF－22”超高速风洞，是航空航天高端研发的国之重器．倘若某次风洞平面流场研究中，科研人员取平面内一组夹角为的单位气流矢量作为基底，发现某位置的合气流矢量可以唯一表示为，且合气流矢量与基底矢量相互垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到向量垂直，利用向量垂直得到数量积为零，即可求出，然后直接求解向量的模即可. 【解析】由题得，，， 所以， 所以，， 所以. 4．若，，，则下列结论错误的是（   ） A．事件与相互独立 B． C．事件与互斥 D． 【答案】C 【分析】利用事件相互独立的定义判断A项；利用随机事件的概率加法公式计算判断B项；根据互斥事件的概率公式判断C项；利用事件相互独立的性质计算判断D项. 【解析】对于A，由可得, 因,则事件与相互独立，故A正确； 对于B,因,故B正确； 对于C，因，故事件与不互斥，即C错误； 对于D，由A项可得事件相互独立，故,即D正确. 5．若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【解析】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 6．已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】先找出对称轴上的定点，由对称性质得该定点到距离相等，写出的轨迹圆；再将轨迹圆与已知圆联立求交点，得到点坐标；计算圆心到直线的距离，对比半径判断直线与圆的位置关系. 【解析】∵圆，∴圆心，半径； 关于直线对称，且原点在直线上， ，， 则，故在圆上， 联立，解得，， ， ∵，∴，得， 所以直线方程为， 圆心到直线的距离：， ，直线与圆相离. 7．已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【解析】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即. 所以椭圆的离心率为. 8．已知点是直线：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由圆的切线的性质以及向量的数量积公式得到，利用对勾函数的单调性即可求解. 【解析】 已知点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为。 圆的圆心为，半径，根据切线的性质，，，且， 设，则， 在直角三角形中，有，， 向量点积公式为， 由于，， 所以， 令，因为在直线上，所以的最小值为圆心到直线的距离， 其中，所以，即， 利用对勾函数 的性质，其在时取得最小值， 由于，所以， 因此，在定义域内，此时取得最小值， 将代入得，， 所以 的最小值为，故A正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则为纯虚数 D．若，则的最小值为1 【答案】ABD 【分析】选项A，根据复数除法运算，求得，再根据模长运算即可求解；选项B，令，分别计算和，即可判断；选项C，设，由得，可解得，但要注意的取值；选项D，根据复数模长的几何意义即可判断. 【解析】对于A，根据复数除法，， 则，所以A正确； 对于B，令，则， 所以，，所以，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，， 因为，即，解得，， 所以当，，不是纯虚数，故C错误； 对于D，当，复数对应的点在单位圆上，即， 表示复数对应的点到点的距离，最小值为圆心到点的距离减去半径，即最小值为，故D正确. 故选：ABD. 10．如图，正方体的棱长为，为线段上一动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与的夹角的大小的取值范围是 C．的最小值为 D．当时，平面截该正方体所得截面的面积为 【答案】AD 【分析】对于A：可证平面，可知点到平面的距离为定值，进而可知三棱锥的体积为定值；对于B：可证平面，即可得，即可判断B；对于C：当点为的中点时，则，，即可分析最值；对于D：作辅助线，分析可知截面为四边形，进而可求截面面积. 【解析】对于选项A：因为，，可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为，可知点到平面的距离为定值， 且的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于选项B：因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 同理可证：， 且，平面，可得平面， 又因为平面，则， 所以直线与的夹角的大小为，是定值，故B错误； 对于选项C：因为为等边三角形，为等腰直角三角形（）， 当点为的中点时，则，， 即此时，均取到最小值，且，， 所以的最小值为，故C错误； 对于选项D：设， 因为，则，即，可知点为的中点， 设，的中点分别为，，连接，，，，， 因为，，且，， 则，，可知四边形为平行四边形，则， 又因为，，可知四边形为平行四边形，则， 可得，可知平面截该正方体所得截面为四边形， 且，， 所以所求截面的面积为，故D正确. 11．已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由圆的方程可得圆心坐标及半径，对A转化为直线与圆有交点时斜率最大值可得；对B转化为直线与圆有公共点时的最小值；对C设出直线方程求得点坐标，再用两点距离公式并结合圆点坐标范围可得；对D直接转化圆上的点到原点的距离的最小值问题可得. 【解析】对原圆方程配方得，圆心，半径 对A选项，令表示点与原点连线的斜率，即直线与圆有交点. 所以圆心到直线的距离，即， 平方整理得： ， 解得， 故​最大值为​​，A正确. 对B选项，设，即，即直线与圆有公共点， 所以圆心到直线距离 ，即， 解得，​ 所以的最小值为，不是，故B错误； 对C选项，过斜率为​的直线为， 令，得， ， 因为在圆上，所以，因此，故C正确； 对D选项，设，，， 所以， 因为，所以 ， 所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．双曲线的离心率为___________． 【答案】 【解析】因为，所以该双曲线是等轴双曲线，等轴双曲线的离心率为． 13．已知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】先由题意求出，再由点差法可以求出直线的斜率，由直线的点斜式化简即可求解. 【解析】根据题意，因为焦点在轴上，所以，则， 即椭圆，所以P点为椭圆内一点， 设，则，， 两式相减得，变形得， 因为点为线段的中点，所以， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 14．已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得. 【解析】设，， 由得：，， 又，，解得. 此时最的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 取，得. 综上所述：，的一个取值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 16．（15分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 16．（15分） 【答案】(1)证明： 因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. (2) 【分析】（1）利用勾股定理可得，结合面面垂直的性质定理可得平面，从而可得. （2）根据（1）的结果可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点面距. 【解析】（1）略 （2）由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取， 故到平面的距离为. 17．（15分）已知圆，点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹与圆交于，两点，求. 17．（15分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，把，用两点间距离公式表示成的式子，代入条件化简即可得解； （2），是圆与轨迹圆的公共点，圆方程相减，消去项，直接得到公共弦 所在直线的方程，再结合垂径定理求弦长. 【解析】（1）设，因， 所以， 化简得. 即动点的轨迹方程. （2）由（1）知动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 由， 两式相减得到. 即直线的方程为. 因为点到直线的距离， 所以. 18．（17分）已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面PAC，面面，． (1)证明：面PAC； (2)若，求直线PB与平面PCD所成角的大小； (3)如图，若，平面平面，Q为l上一动点．平面ABQ与平面CDQ夹角的大小为，求的最小值． 18．（17分） 【答案】(1)因为平面平面PAC，平面平面， ，且平面PAO，则平面PDB， 又因为平面PDB，所以， 在正方形ABCD中，，， 平面PAC，平面PAC，则平面PAC； (2)或 (3) 【分析】（1）借助面面垂直性质定理可得平面PDB，再利用线面垂直性质定理与判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，设，再求出平面BPC法向量，结合二面角为，计算即可得点坐标，再求出平面DPC法向量，利用空间向量夹角公式计算即可得； （3）建立适当空间直角坐标系后，分别求出平面、平面法向量，结合二面角为，利用空间向量夹角公式计算可得，再求出平面、平面法向量，利用空间向量夹角公式结合基本不等式计算即可得解. 【解析】（1）略 （2）以AB为x轴，以AD为y轴，过点A的平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 如图，则，，，， 设，则，， 因为，所以①， 因为，所以②， 因为平面PAC，所以平面PAC法向量， 设平面BPC法向量，，， 则，则， 不妨取，则．所以, 因为二面角为， 所以③， 由①②③解得，，，或，，， 即或 ①当时，，，， 设平面DPC法向量，有， 则，不妨取，则，，所以， 则， 设PB与平面PCD所成角为，， 又因为，所以； ②当时，，，， 设平面DPC法向量，有， 则，不妨取，则，，所以， 则， 设PB与平面PCD所成角为，， 又因为，所以； 综上，PB与平面PCD所成角为或； （3）因为面，面，所以， 又因为，，，面， 所以面，又面，所以， 以为正交基建立空间直角坐标系， 因为，平面PAD，平面PAD，所以平面， 又因为平面PBC，且平面平面，所以，， 设，，，，，， 则，， 设平面法向量，有， 则，不妨取，则，所以， 因为平面PAC，所以平面法向量， 因为二面角为60°，所以， 即，解得，即， 设，，， 设平面ABQ法向量，有， 则，不妨取，则，所以， ，， 设平面CDQ法向量，有， 则，不妨取，则，所以， 则， 设，，， 则 ， 由，当且仅当时，等号成立， 故，即最小值为． 19．（17分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别是，，的离心率为，且过点，过且斜率大于0的直线交于，两点. (1)求的方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设为坐标原点，连接并延长交于点，求的最小值. 19．（17分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由离心率与椭圆过点建立关于，，的方程组，求出，，得到椭圆的标准方程. （2）设直线的斜率为（），与椭圆方程联立，用韦达定理表示与；把的面积用底与高表示，得到关于的方程，解出后写出直线的方程. （3）由椭圆关于原点对称得. 用点到直线距离公式求的面积；用面积公式与数量积表示，代入韦达定理的结果化简为，再用基本不等式求最小值. 【解析】（1） 设椭圆焦距为，由离心率，得. 又椭圆过点，所以. 由得，解得. 所以椭圆的方程为. （2）由，得，，故，. 设直线（），与椭圆方程联立，消去得. 设，，则，. 于是. 以为底边，高为，所以面积. 整理得，平方得， 即，解得，又，故. 所以直线的方程为，即. （3）由椭圆关于原点对称，点与点关于原点对称，所以. 设的面积为. 直线经过原点，其方程为， 所以点到直线的距离，又，故. 由得，所以. 又. 由及，得. 代入，得， 所以. 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 试卷第 2 页（共 21 页） 试卷第 1 页（共 21 页） 学科网（北京）股份有限公司 $