专题03 直线和圆的方程（期中真题汇编，浙江专用）高二数学上学期

专题03 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定的直线方程，直接求出倾斜角作答. 【详解】 直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角为. 故选：C 2．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线过点，，则直线的斜率为（     ） A. -1 B. 1 C.  D.  【答案】B 【分析】 根据直线斜率的计算公式求解即可. 【详解】 因为，， 所以 故选：B. 3．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）已知点，，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C. 3 D. 2 【答案】C 【分析】 由斜率公式计算． 【详解】 根据题意可得直线的斜率. 故选：C． 4．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）已知直线与垂直，则实数的值为（     ） A. 2 B. -2 C.  D.  【答案】A 【分析】 对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解. 【详解】 当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 5．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先判断直线的斜率，得到直线方程，再得出倾斜角. 【详解】 由直线过，两点，可得不存在， 所以直线方程为，倾斜角为. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·浙江台金七校·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题可得直线斜率，即可得倾斜角. 【详解】 ，则直线斜率为， 则直线倾斜角满足. 故选：B 7．（25-26学年高二上·浙江台金七校·期中）直线和直线，则“”是“”的（       ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】 由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 8．（25-26学年高二上·浙江衢州五校联·期中）已知直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据题意，利用直线的斜率与倾斜角的关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】 直线的倾斜角为，可得，由，可得或， 则直线的斜率为或，所以充分性不成立； 反之：若直线的斜率为，可得，所以，所以必要性成立， 所以直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的必要不充分条件. 故选：B. 9．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）若直线的倾斜角为，则（       ） A. 0 B.  C.  D. 不存在 【答案】A 【分析】 根据直线得出斜率进而得出倾斜角. 【详解】 直线的斜率为0， 倾斜角为. 故选：A. 10．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）已知两条直线和，若，则实数的值为（       ） A. 或1 B.  C. 1 D.  【答案】D 【分析】 应用直线垂直的系数关系列式计算求解. 【详解】 两条直线和， 因为，所以，则实数. 故选：D. 11．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）直线的倾斜角是（     ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【分析】 根据倾斜角与斜率的关系即可得到答案. 【详解】 的斜率为，设其倾斜角为，， 则，则. 故选：A. 12．（25-26学年高二上·浙江温州·期中）直线的倾斜角是（     ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】D 【分析】 由直线的斜截式即可得到直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】 直线即的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则， 所以直线的倾斜角是. 故选：D 13．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）“”是“直线与直线平行”的（       ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 由可得直线与直线平行，即充分条件成立；由直线与直线平行，求得的值为，即必要条件成立； 【详解】 因为，所以直线，直线，则与平行，故充分条件成立； 当直线与直线平行时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线，直线平行，故必要条件成立. 综上知，“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：A. 14．（25-26学年高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中）已知两条直线，，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 求出“”的充要条件，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】 若“”，则 ， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 15．（25-26学年高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中）若直线的倾斜角为，则实数的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将直线变成斜截式，可得斜率k，根据倾斜角，求得斜率k，即可求得答案. 【详解】 直线l变形可得，斜率， 因为倾斜角为，所以斜率， 所以，解得. 故选：B 16．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）已知直线过点，则直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由即可求解. 【详解】 设直线的倾斜角为， ， 所以， 故选：D 17．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）直线：，：，若，则实数的值为（       ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 【答案】C 【分析】 根据两直线垂直的公式求解即可. 【详解】 因为：，：垂直， 所以， 解得或， 将，代入方程，均满足题意， 所以当或时，. 故选：. 18．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）（多选）已知直线，直线，则（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 过定点 D. 当不经过第二象限时，则 【答案】BC 【分析】 对于A：根据直线垂直运算求解即可；对于B：根据直线平行求的值，并代入检验；对于C：整理可得，进而分析定点；对于D：分和，结合直线的斜截式方程分析求解. 【详解】 因为直线，直线， 对于选项A：若，则，解得或，故A错误； 对于选项B：若，则，解得或， 若，则直线，直线，可知，符合题意； 若，则直线，直线，可知两直线重合，不符合题意； 综上所述：，故B正确； 对于选项C：因为直线，即为， 令 ，解得 ， 所以过定点，故C正确； 对于选项D：因为不经过第二象限， 若，直线，不经过第二象限，符合题意； 若，则直线， 可得 ，解得； 综上所述：，故D错误； 故选：BC. 19．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）已知直线的倾斜角满足条件sin＋cos＝，则的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将两边平方，并求出，进一步求出，然后求出得到. 【详解】 由题意， ，由， 则，所以. 于是， 联立 . 故选：C. 20．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么实数　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由倾斜角得斜率，由斜率公式可得参数值． 【详解】 过两点的直线的倾斜角为， 则，又. 故答案为：1. 21．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）直线与直线平行，则实数　　　　　　． 【答案】或 【分析】 利用两条直线平行列式计算得解. 【详解】 由直线与直线平行， 得，所以或. 故答案为：或 22．（25-26学年高二上·浙江丽水·期中）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据过两点的直线斜率公式求出直线的斜率，再结合直线倾斜角与斜率的关系求出倾斜角. 【详解】 由直线经过，两点，得直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以，解得． 故答案为： 23．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线方程为，则直线的倾斜角为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据直线方程求出斜率，由求出倾斜角. 【详解】 ，，设直线的倾斜角为， ，，，. 故答案为：. 24．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）直线的倾斜角　　　　　　． 【答案】（或 ） 【分析】 先把直线方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围确定最终角度. 【详解】 因为 ， 所以 所以直线的斜率 设直线的倾斜角为 （），则 所以（即 弧度）. 答案为：（或 ）. 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）经过两点的直线的一个方向向量为，则（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【分析】 根据直线方向向量的定义即可求解. 【详解】 由条件可得，解得. 故选：D. 2．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（       ） A. 直线过点 B. 直线的斜率为 C. 直线的纵截距为3 D. 直线不经过第一象限 【答案】BD 【分析】 利用代入法判断A；将直线的一般式化为斜截式方程判断BC；画出图象判断D. 【详解】 已知直线，即， 则直线的斜率为，纵截距为，B正确，C错误； 再令，得，所以直线不过点，A错误； 作出直线，可知直线不经过第一象限，D正确. 故选：BD 3．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）直线过定点（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 移项后联立方程组可得解. 【详解】 直线，即， 令 ，解得 ， 即直线过定点. 故选：C 4．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）已知直线的倾斜角为，则直线的一个方向向量为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由直线的方向向量求解即可. 【详解】 因为直线的倾斜角为，所以直线的一个方向向量为， 与其共线的有， 故选：B 5．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）（多选）已知直线l：与n：，下列选项正确的是（       ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 【答案】AC 【分析】 运用两直线平行性质可判断A项，运用两直线垂直的性质可判断B项，提取参数后计算可判断C项，由截距定义可求得a的值进而可判断D项. 【详解】 对于A项，若，则，解得或， 经检验，均符合，故A项正确； 对于B项，若，则，解得或，故B项不成立； 对于C项，因为， 则由 得 ，所以l恒过点，故C项正确； 对于D项，若直线n在x轴上的截距为6，即直线n过点， 则，得， 所以直线n的方程为，斜截式为，故D项不成立． 故选：AC. 6．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）过点且垂直于直线的直线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据两条互相垂直的直线的斜率相乘等于，先求出斜率，再根据点斜式写出直线方程即可. 【详解】 因为直线的斜率为，所以与其垂直的直线的斜率， 又因为直线过点，所以直线方程为，即. 故选：A 7．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的值为（       ） A.  B. 1 C.  D. 7 【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用截距求出，再利用倾斜角的关系，结合斜率与二倍角公式列式求出即可. 【详解】 由直线在轴上的截距为，得，解得， 由直线的倾斜角为，得，直线的倾斜角为， 因此，解得， 所以. 故选：A 8．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）在平面直角坐标系中直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由方向向量和斜率的关系直接计算即可得出结果. 【详解】 因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率. 故答案为：. 9．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线经过点. （1）若与直线平行，求的方程； （2）若与直线垂直，求的方程. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）根据直线平行的斜率关系，再由直线的点斜式方程直接求解即可； （2）由两直线垂直求得的斜率，再由点斜式方程求解即可； (1) 小问详解： 由题意知的斜率为1， 又由，则直线的斜率为1， 又由过，故直线的方程为，即 (2) 小问详解： 由（1）及，则直线的斜率为， 又由过，故直线的方程为，即. 10．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）已知动点与定点的距离和动点到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设曲线与轴的交点为、（点在点的左侧），直线交曲线于、两点（不过点）． ①若直线过点，且倾斜角为，直线被以线段为直径的圆截得的弦为，求的值． ②设直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 【答案】（1）     （2）① ； ② 设，，易知直线的斜率不为0，设其方程为， 联立 ，可得， 由，得． 由韦达定理，得，， ，， 可化为， 整理即得， ， 由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点． 【分析】 （1）设动点，用直接法求其轨迹即可； （2）① 根据条件写出直线，与椭圆方程联立，求出的横坐标，借助弦长公式求，在圆中利用圆的弦长公式求出，即可求解；② 设直线，联立韦达定理得，，根据，化简可求出，根据直线过定点的结论即可求解. (1) 小问详解： 设动点，令动点与定点的距离为，动点到定直线的距离为， 由题知， 化简得曲线的方程为； (2) 小问详解： ① 由已知，直线的方程为即，、， 代入曲线中得，解得或， 设，，则， 以线段为直径的圆的方程为， 圆心到直线的距离， 所以，. ② 略 11．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）已知直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距的和为0，求直线的方程． 【答案】（1）     （2），或      【分析】 （1）求出直线和直线的交点，根据与直线垂直，设出直线的方程，代入交点坐标，求出直线的方程； （2）根据直线在两坐标轴上的截距和为0，分类讨论截距为0和截距不为0两种情况，求出直线的方程. (1) 小问详解： 由 ，得 . 直线和的交点为. 因为直线与直线垂直，所以可设直线的方程为：. 因为直线过，所以，解得. 所以直线的方程为：. (2) 小问详解： 设直线在两坐标轴上的截距分别为，由题可知. 若，设直线的方程为. 因为直线过，所以，解得. 所以直线的方程为：，即. 若，则，且.设直线的方程为. 因为直线过，所以，解得. 所以直线的方程为：，即. 综上所述，直线的方程为：，或. 12．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程； （2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求解. (1) 小问详解： 由、可知中点为，且， 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； (2) 小问详解： 当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或. 13．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）已知的三个顶点是． （1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值. (1) 小问详解： 因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ① 当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ② 当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． (2) 小问详解： 由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当 即 时，取得最小值24， 所以面积， 所以当时，面积最小， 此时直线的方程为，即． 14．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）已知的三个顶点，，，求： （1）边所在直线的方程； （2）过点且与直线平行的直线方程； （3）过点且与直线垂直的直线方程. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）直接由两点式可得； （2）设与直线平行的直线方程为，代入点的坐标可得； （3）由两直线垂直得出其斜率，再由点斜式可得. (1) 小问详解： 边所在直线的方程为，即. (2) 小问详解： 设与直线平行的直线方程为， 因为直线过点，所以， 所以过点且与直线平行的直线方程为. (3) 小问详解： 与直线垂直的直线的斜率为， 因为直线过点，所以，即. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）直线和的交点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 解两直线构成的方程组即可. 【详解】 由 ，解得 ， 所以直线和的交点坐标为， 故选：B 2．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）（多选）一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（       ） A. 直线AB的斜率是 B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 选项A应用斜率公式计算即可；选项B，先求得点关于轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C，求得反射光线所在直线的方程，进而求得点的坐标；选项D应用两点间距离公式求解即可. 【详解】 对于A，由于、，由斜率公式得：，选项A正确； 对于B，点关于轴的对称点的坐标为，经x轴反射后直线的斜率为： ，且，所以，选项B正确； 对于C，直线即直线的方程为：，即， 将代入得：，所以点，，选项C不正确； 对于D，由两点间距离公式得：，选项D正确； 故选：ABD. 3．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）已知两条平行直线，则和间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由两平行线间距离公式求解即可； 【详解】 ， 所以由两平行线间的距离公式可得， 故选：D. 4．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）关于直线的对称点为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设关于直线的对称点为，根据题意列方程组即可求解. 【详解】 设关于直线的对称点为， 则 ，解得 . 故选：A. 5．（25-26学年高二上·浙江衢州五校联·期中）点关于直线的对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用对称点思想列方程组求解坐标. 【详解】 设点关于直线的对称点的坐标为， 则 ， 所以对称点的坐标为， 故选：A. 6．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点.若三角形为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 易知直线斜率存在，设直线方程，联立两直线可得点，分情况讨论当为钝角时，则，当为钝角时，则，分别解不等式即可. 【详解】 由已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限， 则直线斜率存在，设， 联立直线方程 ，解得 ，即， 由点在第一象限，所以，解得， 当为钝角时，由，， 则，解得； 当为钝角时，由，， 则，解得， 综上所述，， 故选：C. 7．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A. 2 B. 1 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】 因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 8．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离，联立直线方程求得点的坐标. 【详解】 设点关于直线的对称点为， 则 ，解得 ，所以，    所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，，所以直线的方程为， 联立 ，解得 ，所以点. 故选：D 9．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（     ） A. 方程有两个解 B. 方程无解 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】A 【分析】 将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的值域，即可判断A，B，C，D. 【详解】 因为， 所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的 距离之和，即. 作点关于轴的对称点，则， 当三点共线时，取到最小值 ， 所以有最小值； 当点向轴正、负方向无限移动时，距离之和无限增大， 所以. 因为，所以方程有互为相反数的两个解，故A正确，B错误； 因为有最小值，故C错误；因为无最大值，故D错误. 故选：A 10．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）下列说法中，错误的是（       ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线经过定点 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程只有 【答案】D 【分析】 对于A，求出直线与坐标轴的交点坐标，即可求出三角形面积；对于B，判断两个点的中点是否在直线上以及求出连线斜率判断是否和直线垂直即可；对于C，令 即可判断；对于D，举反例可得直线过原点的情况. 【详解】 对于A，直线与两坐标轴交于，， 所以围成的三角形面积为，故A正确； 对于B，点和的中点在直线上， 且连线的斜率为，可得与直线垂直， 所以点关于直线的对称点为，故B正确； 对于C，令 ，解得 ， 可得直线经过定点，故C正确； 对于D，若直线经过原点，满足题意，此时直线方程为，故D错误. 故选：D. 11．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）（多选）已知直线，则下列选项中正确的是（     ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线平行，则 C. 若直线不经过第二象限，则 D. 原点到直线的距离可能为2 【答案】ABD 【分析】 选项A，将直线整理成，则有 ， 解出这个方程组的解就是直线恒过的定点；选项B，求出直线的斜率为，直线的斜率为，由这两条直线平行得到，代入和计算得解；选项C，第一种情况：当直线存在斜率时，求出直线的斜率为和在轴上的截距，由不过第二象限，得到且在轴上的截距小于等于0，计算得到的范围；第二种情况：当直线不存在斜率时，，，不经过第二象限，符合题意，这两种情况求并集得到的范围；选项D，利用点到直线的距离求出原点到直线的距离，这个距离等于2，得到的一元二次方程，利用判别式与0的大小关系判断这个一元二次方程是否有解，得到判断. 【详解】 选项A，， ， ， ，直线恒过定点，故选项A正确； 选项B，的斜率为， 直线的斜率为，这两条直线平行， ，，，故选项B正确； 选项C，第一种情况：当直线存在斜率时， ，当时，， 在轴上的截距为， 不过第二象限， ， ，， 第二种情况：当直线不存在斜率时， ， ，，不经过第二象限，符合题意， 综上，若直线不经过第二象限，则，故选项C错误； 选项D，， 原点到直线的距离为 ，，， 有根，原点到直线的距离可能为2，故选项D正确. 故选：ABD. 12．（25-26学年高二上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点，，动点满足，则的纵坐标的最大值为（     ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】C 【分析】 设动点，根据两点之间距离列得等式，结合方程有根解得范围. 【详解】 设动点，因为，所以， 两边平方得，化简得， 即，将该式看作关于的一元二次方程： ， 因为点存在，所以该关于的方程必有非负实数解， 其判别式， 解得，所以，故的纵坐标的最大值为. 故选：C. 13．（25-26学年高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点到点的距离和它到直线的距离的比为，记点的轨迹为，则下列选项中错误的是（       ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 最大值为4 D. 最小值为 【答案】C 【分析】 先求出点P满足的曲线方程，对于A，将轨迹方程中的与互换，分析曲线方程是否发生改变即可判断选项是否正确；对于B，将轨迹方程中的换为，换为，分析曲线方程是否发生改变即可判断选项是否正确；对于C，结合放缩即可求解；对于D，结合放缩即可求解． 【详解】 设，点到直线的距离为， 点到点的距离为， 依题意有，， 两边同时平方并化简得，也即， 对于A，若将轨迹方程中的与互换，方程变为， 与原方程一致，故关于直线对称，故A正确； 对于B，若将轨迹方程中的换为，换为，方程变为， 化简可知与原方程一致，故关于直线对称，故B正确； 对于C，设，则，即求的最值， 由，可得， 即，当且仅当时等号成立，所以，故C错误； 对于D，由C选项可知，满足， 对其进行变换可得， 即，等号当且仅当时成立， 也即时成立，又P点在曲线上，联立可得此时，所以，故D正确． 故选：C． 14．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）直线的斜率为3且它在轴上的截距为． （1）求直线的方程； （2）求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）直接由斜截式得到直线方程； （2）令求出直线与轴上的截距，再由面积公式计算可得. (1) 小问详解： 因为直线的斜率为3且它在轴上的截距为， 由斜截式得直线的方程为，即． (2) 小问详解： 在中，令，即，解得，即直线与轴上的截距为1， 则直线与坐标轴所围成的三角形面积． 15．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）两条平行线和的距离为　　　　　. 【答案】 【分析】 利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】 两条平行线和间的距离为. 故答案为：. 16．（25-26学年高二上·浙江台金七校·期中）过点且与直线平行的直线记为，则两平行线，之间的距离为　　　　　　　　　． 【答案】2.4 【分析】 利用两直线的平行关系先求，再由平行线的距离公式计算即可. 【详解】 由题意不妨设，则， 所以两平行线，之间的距离. 故答案为： 17．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）已知的顶点为，直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）若为，求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由已知得出，可求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出点到直线的距离，并求出，利用平行四边形的面积公式可求得结果. (1) 小问详解： 因为四边形为平行四边形，所以，所以， 又因为点，所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 点到直线的距离为，且， 故平行四边形的面积为． 18．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）已知点， （1）求的面积； （2）是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）存在，或      【分析】 （1）先求直线方程，在根据点到直线的距离公式求高，最后利用面积公式计算即可； （2）分和两种情况，利用平行，垂直列方程组求解坐标即可 (1) 小问详解： ，则， 即，， 点到直线的距离， 则； (2) 小问详解： 设点． ，， 与不垂直， 若，则， ，解得 ， 点． 若，则， ， 解得 ，点， 综上，存在点，使四边形为直角梯形，或. 19．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）已知三角形顶点，，． （1）求边的直线方程； （2）求边上的中线方程； （3）求三角形的面积． 【答案】（1）；     （2）；     （3）11      【分析】 （1）由点斜式即可求； （2）先求中点，再由点斜式即可求； （3）由点线距离公式求得点C到直线AB的距离，由两点距离公式求得，即可由三角形面积公式求值. (1) 小问详解： 由两点式得边的直线方程为； (2) 小问详解： 中点为，故边上的中线方程为； (3) 小问详解： 点C到直线AB的距离，， 故三角形的面积为. 20．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）已知两直线. （1）求过两直线的交点且与直线平行的直线方程. （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）联立直线方程求得交点坐标，根据平行关系，可得答案； （2）由题意求点关于直线的对称点，由图可得答案. (1) 小问详解： 联立 ，所以两直线的交点为 设与直线平行的直线方程为， 将代入得， 所以所求的直线方程为 (2) 小问详解： 设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 21．（25-26学年高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中）已知直线，直线相交于点. （1）若直线经过点，且在轴上的截距为2，求直线的方程； （2）若直线，关于直线对称，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）联立两直线，求得交点，根据在轴上的截距为2，分析即可得答案. （2）方法1：直线上任取一点，由题意可得，该点到两直线距离相等，代入距离公式，即可得答案；方法2：设出直线方程，在直线上取一点，则其关于直线的对称点必在直线上，求出B点坐标，代入方程，即可得答案. (1) 小问详解： 联立 ，可得交点， 因为直线过点，且在轴上的截距为2， 所以直线的方程为； (2) 小问详解： 方法1：在直线上任取一点，因为直线，关于直线对称， 所以，即， 所以直线的方程为：或. 方法2：因为直线，关于直线对称，所以直线必过点，易知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 在直线上取一点，则其关于直线的对称点必在直线上， 所以 ，解得 ， 代入直线，得，解得或， 所以直线的方程为：或. 22．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）设点，直线关于直线的对称直线为，已知与圆有公共点，则的取值范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先利用对称求出直线的方程，再利用直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】 根据题意可知，直线与直线相交， 则关于直线的对称点为， 直线过，， 直线的方程为，即， 圆，圆的圆心为，半径为， 与圆有公共点， ，解得，则的取值范围为. 故答案为：. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）下列方程一定表示圆的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断. 【详解】 对于A，方程表示点，A不是； 对于B，方程化为，此方程表示圆，B是； 对于C，当时，方程表示点，C不是； 对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是. 故选：B 2．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）方程所表示圆的圆心与半径分别为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 直接化成圆的标准方程，求圆心和半径即可. 【详解】 由得，故圆心，半径. 故选：D. 3．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）若圆的一条直径的两个端点坐标是，则圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，求得的中点坐标和，得出所求圆的圆心坐标和半径，即可求解. 【详解】 由圆的一条直径的两个端点坐标是， 可得的中点坐标为，即圆心坐标为， 又由，所以圆的半径为， 所以以为直径的圆的方程为. 故选：A. 4．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）已知圆C的方程为，则圆C的半径为（       ） A.  B. 2 C.  D. 8 【答案】C 【分析】 化圆的一般式为标准式得圆C的半径. 【详解】 由圆C的半径得，所以圆C的半径为， 故选：C 5．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）已知球是棱长为的正方体的内切球，点为球表面上一动点，且满足面，则的最大值为（     ） A.  B. 2 C. 6 D.  【答案】A 【分析】 根据题意，证得平面平面，得到点在平面与球的截面圆上，求得正的边长为，得到，圆的方程为，结合圆的性质，即可求解. 【详解】 如图所示，在正方体中，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 要使得平面，且点为球表面上一动点， 所以点在平面与球的截面圆上，且截面圆恰为的内切圆， 因为正方体的棱长为，可得正的边长为，其内切圆的半径为， 以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 可得，内切圆的方程为， 设，则， ， 因为表示内切圆上点到原点的距离， 可得内切圆与轴的交点为时，距离最大，最大距离为， 所以. 故选：A.         6．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）已知圆方程为，为圆上的动点，则（　　） A. 最大值为 B. 最大值为 C. 最大值为3 D. 最小值为 【答案】B 【分析】 对选项A，画出图形，根据表示圆上点与原点连线的斜率，即可判断A错误；对选项B，首先设 （为参数），得到，即可判断B正确；对选项C，根据表示圆上点到原点距离的平方，即可判断C错误；对选项D，设 （为参数），得到，即可判断D错误. 【详解】 ， 对选项A，表示圆上点与原点连线的斜率， 如图所示， 当与圆相切的如图情形时，取得最大值， 此时，，故A错误. 对选项B，设 （为参数）， 则， 当时，取得最大值，故B正确. 对选项C， 表示圆上点到原点距离的平方， 如图所示情形下： 最大值为，故C错误. 对选项D，设 （为参数）， 则， 当时，取得最小值，故D错误. 故选：B 7．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据直线所过定点和知，由此得轨迹是以为圆心，为半径的圆（不含点），由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法求得，结合向量数量积的运算律求得最小值. 【详解】 由知：圆心，半径； 由得，所以恒过定点； 由得，所以恒过定点； 由直线方程可知：，所以，所以，即， 设，则，， 所以，整理得， 即点轨迹是以为圆心，为半径的圆，又直线斜率存在，则无法表示直线， 而无法表示直线，所以点轨迹不包含； 记点为弦的中点，则，位置关系如图：    连接，由知：， 则， 所以（当在处取等号）， 即的最小值为. 故选：A. 8．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中），过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与不重合，为坐标原点），则以下结论：（1）为定值；（2）的面积的最大值为；（3）的最大值为5；（4）的最大值为.其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 先求出定点的坐标，根据直线方程可得两条直线垂直即，进而判断（1），结合基本不等式可判断（2），进而可得点P的轨迹方程，然后根据圆的性质及柯西不等式判断（3）（4）. 【详解】 对于直线，变形为， 令 ，解得 ，定点， 对于直线，变形为， 令 ，解得 ，定点， 对直线和直线， ，故两条直线垂直，, ,，为定值，故（1）正确， 设，由以上可知，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 的面积， 的面积的最大值为，故（2）正确； 设，，，则，， ，即，在以为圆心，为半径的圆上， 故的最大值为，故（3）正确； 设，由上可知，根据柯西不等式可得，即， ，当且仅当时取等号，的最大值为，故（4）正确. 故选：. 9．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）若圆的弦被点平分，则直线的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据条件可知，结合垂直关系可得斜率，即可求直线方程. 【详解】 因为圆的圆心为，则， 由题意可知：，则的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 10．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是　　　　　. 【答案】外切 【分析】 根据圆的方程可得圆心和半径；由直线平分圆面积可知直线过圆心，由此可求得的值；根据圆心距和两圆半径之间关系可确定两圆位置关系. 【详解】 由圆方程知：圆心，半径， 由圆方程知：圆心，半径； 圆的面积被直线平分，直线过圆心， ，解得：，； 圆心距， 圆与圆的位置关系是外切. 故答案为：外切. 11．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）圆心在直线上且与直线相切于点的圆的方程是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据给定条件，求出过切点的圆半径所在直线方程，进而求出圆心坐标即可作答. 【详解】 依题意，过切点的圆的半径所在直线方程为，即， 由 解得 ，因此所求圆的圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 故答案为： 12．（25-26学年高二上·浙江台金七校·期中）若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 通过换元法对条件表达式进行变形，得出其几何意义，再利用表达式与无关的条件得出解集的包含关系，进而得出实数的取值范围． 【详解】    令，表达式化为，表示数轴上点到点和点的距离之和， 当位于和之间，即或时，该距离之和为常数，否则会随着变化， 圆的圆心为，半径为1， 对于直线，圆心到直线的距离需满足，即，解得， 当，即时，要使完全包含于，需满足，即； 当，即时，与无包含关系，不合题意，舍去； 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 13．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）已知正四面体边长为6，若是正四面体外接球球面上的一点，是内切圆上一点，则的最大值为　　　　　. 【答案】 【分析】 先将正四面体补形为正方体，可得正四面体的外接球半径，则可得点到正四面体外接球球心距离，再计算出外接球球心到内切圆圆心距离与内切圆半径可得点到正四面体外接球球心距离，即当三点共线时可得其最大值. 【详解】 如图，正四面体可补形为正方体，设该正方体棱长为， 则，即，则其体对角线长， 则正四面体的外接球半径为， 设球心为，则为中点， 由是正四面体外接球球面上的一点，则， 设内切圆圆心为，则为的高，且、、三点共线， 则， 设内切圆半径为，则有，解得， 由是内切圆上一点，则， 则， 故， 当且仅当、、三点共线且在、之间时，等号成立， 故的最大值为.    故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线过点，，则直线的斜率为（     ） A. -1 B. 1 C.  D.  3．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）已知点，，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C. 3 D. 2 4．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）已知直线与垂直，则实数的值为（     ） A. 2 B. -2 C.  D.  5．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·浙江台金七校·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·浙江台金七校·期中）直线和直线，则“”是“”的（       ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8．（25-26学年高二上·浙江衢州五校联·期中）已知直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）若直线的倾斜角为，则（       ） A. 0 B.  C.  D. 不存在 10．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）已知两条直线和，若，则实数的值为（       ） A. 或1 B.  C. 1 D.  11．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）直线的倾斜角是（     ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 12．（25-26学年高二上·浙江温州·期中）直线的倾斜角是（     ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 13．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）“”是“直线与直线平行”的（       ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14．（25-26学年高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中）已知两条直线，，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15．（25-26学年高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中）若直线的倾斜角为，则实数的值为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）已知直线过点，则直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）直线：，：，若，则实数的值为（       ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 18．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）（多选）已知直线，直线，则（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 过定点 D. 当不经过第二象限时，则 19．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）已知直线的倾斜角满足条件sin＋cos＝，则的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么实数　　　　　　　　　　. 21．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）直线与直线平行，则实数　　　　　　． 22．（25-26学年高二上·浙江丽水·期中）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为　　　　　　． 23．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线方程为，则直线的倾斜角为　　　　　. 24．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）直线的倾斜角　　　　　　． 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）经过两点的直线的一个方向向量为，则（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（       ） A. 直线过点 B. 直线的斜率为 C. 直线的纵截距为3 D. 直线不经过第一象限 3．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）直线过定点（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）已知直线的倾斜角为，则直线的一个方向向量为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）（多选）已知直线l：与n：，下列选项正确的是（       ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 6．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）过点且垂直于直线的直线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的值为（       ） A.  B. 1 C.  D. 7 8．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）在平面直角坐标系中直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为　　　　　　． 9．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线经过点. （1）若与直线平行，求的方程； （2）若与直线垂直，求的方程. 10．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）已知动点与定点的距离和动点到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设曲线与轴的交点为、（点在点的左侧），直线交曲线于、两点（不过点）． ①若直线过点，且倾斜角为，直线被以线段为直径的圆截得的弦为，求的值． ②设直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 11．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）已知直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距的和为0，求直线的方程． 12．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 13．（25-26学年高二上·浙江嘉兴八校联·期中）已知的三个顶点是． （1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 14．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）已知的三个顶点，，，求： （1）边所在直线的方程； （2）过点且与直线平行的直线方程； （3）过点且与直线垂直的直线方程. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）直线和的交点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）（多选）一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（       ） A. 直线AB的斜率是 B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）已知两条平行直线，则和间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）关于直线的对称点为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·浙江衢州五校联·期中）点关于直线的对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点.若三角形为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A. 2 B. 1 C.  D.  8．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（     ） A. 方程有两个解 B. 方程无解 C. 的最小值为 D. 的最大值为 10．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）下列说法中，错误的是（       ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线经过定点 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程只有 11．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）（多选）已知直线，则下列选项中正确的是（     ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线平行，则 C. 若直线不经过第二象限，则 D. 原点到直线的距离可能为2 12．（25-26学年高二上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点，，动点满足，则的纵坐标的最大值为（     ） A.  B.  C.  D. 1 13．（25-26学年高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点到点的距离和它到直线的距离的比为，记点的轨迹为，则下列选项中错误的是（       ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 最大值为4 D. 最小值为 14．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）直线的斜率为3且它在轴上的截距为． （1）求直线的方程； （2）求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 15．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）两条平行线和的距离为　　　　　. 16．（25-26学年高二上·浙江台金七校·期中）过点且与直线平行的直线记为，则两平行线，之间的距离为　　　　　　　　　． 17．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）已知的顶点为，直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）若为，求的面积． 18．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）已知点， （1）求的面积； （2）是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）已知三角形顶点，，． （1）求边的直线方程； （2）求边上的中线方程； （3）求三角形的面积． 20．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）已知两直线. （1）求过两直线的交点且与直线平行的直线方程. （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 21．（25-26学年高二上·浙江杭州及周边重点中学·期中）已知直线，直线相交于点. （1）若直线经过点，且在轴上的截距为2，求直线的方程； （2）若直线，关于直线对称，求直线的方程. 22．（25-26学年高二上·浙江宁波六校联·期中）设点，直线关于直线的对称直线为，已知与圆有公共点，则的取值范围为　　　　　　　　　　　． 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·浙江四校·期中）下列方程一定表示圆的是（       ）． A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）方程所表示圆的圆心与半径分别为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·浙江浙里特色联·期中）若圆的一条直径的两个端点坐标是，则圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·浙江台州十校联·期中）已知圆C的方程为，则圆C的半径为（       ） A.  B. 2 C.  D. 8 5．（25-26学年高二上·浙江温州十校联·期中）已知球是棱长为的正方体的内切球，点为球表面上一动点，且满足面，则的最大值为（     ） A.  B. 2 C. 6 D.  6．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）已知圆方程为，为圆上的动点，则（　　） A. 最大值为 B. 最大值为 C. 最大值为3 D. 最小值为 7．（25-26学年高二上·浙江宁波·期中）已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中），过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与不重合，为坐标原点），则以下结论：（1）为定值；（2）的面积的最大值为；（3）的最大值为5；（4）的最大值为.其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9．（25-26学年高二上·浙江台州·期中）若圆的弦被点平分，则直线的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年高二上·浙江温州新力量·期中）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是　　　　　. 11．（25-26学年高二上·浙江杭州·期中）圆心在直线上且与直线相切于点的圆的方程是　　　　　　　　． 12．（25-26学年高二上·浙江台金七校·期中）若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年高二上·浙江嘉兴·期中）已知正四面体边长为6，若是正四面体外接球球面上的一点，是内切圆上一点，则的最大值为　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线和圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．C 2．B 3．C 4．A 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．D 11．A 12．D 13．A 14．A 15．B 16．D 17．C 18．BC 19．C 20．【答案】 【分析】 由倾斜角得斜率，由斜率公式可得参数值． 【详解】 过两点的直线的倾斜角为， 则，又. 故答案为：1. 21．【答案】或 【分析】 利用两条直线平行列式计算得解. 【详解】 由直线与直线平行， 得，所以或. 故答案为：或 22．【答案】 【分析】 先根据过两点的直线斜率公式求出直线的斜率，再结合直线倾斜角与斜率的关系求出倾斜角. 【详解】 由直线经过，两点，得直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以，解得． 故答案为： 23．【答案】 【分析】 根据直线方程求出斜率，由求出倾斜角. 【详解】 ，，设直线的倾斜角为， ，，，. 故答案为：. 24．【答案】（或 ） 【分析】 先把直线方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围确定最终角度. 【详解】 因为 ， 所以 所以直线的斜率 设直线的倾斜角为 （），则 所以（即 弧度）. 答案为：（或 ）. 考点02 直线的方程 1．D 2．BD 3．C 4．B 5．AC 6．A 7．A 8．【答案】 【分析】 由方向向量和斜率的关系直接计算即可得出结果. 【详解】 因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率. 故答案为：. 9．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）根据直线平行的斜率关系，再由直线的点斜式方程直接求解即可； （2）由两直线垂直求得的斜率，再由点斜式方程求解即可； (1) 小问详解： 由题意知的斜率为1， 又由，则直线的斜率为1， 又由过，故直线的方程为，即 (2) 小问详解： 由（1）及，则直线的斜率为， 又由过，故直线的方程为，即. 10．【答案】（1）     （2）① ； ② 设，，易知直线的斜率不为0，设其方程为， 联立 ，可得， 由，得． 由韦达定理，得，， ，， 可化为， 整理即得， ， 由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点． 【分析】 （1）设动点，用直接法求其轨迹即可； （2）① 根据条件写出直线，与椭圆方程联立，求出的横坐标，借助弦长公式求，在圆中利用圆的弦长公式求出，即可求解；② 设直线，联立韦达定理得，，根据，化简可求出，根据直线过定点的结论即可求解. (1) 小问详解： 设动点，令动点与定点的距离为，动点到定直线的距离为， 由题知， 化简得曲线的方程为； (2) 小问详解： ① 由已知，直线的方程为即，、， 代入曲线中得，解得或， 设，，则， 以线段为直径的圆的方程为， 圆心到直线的距离， 所以，. ② 略 11．【答案】（1）     （2），或      【分析】 （1）求出直线和直线的交点，根据与直线垂直，设出直线的方程，代入交点坐标，求出直线的方程； （2）根据直线在两坐标轴上的截距和为0，分类讨论截距为0和截距不为0两种情况，求出直线的方程. (1) 小问详解： 由 ，得 . 直线和的交点为. 因为直线与直线垂直，所以可设直线的方程为：. 因为直线过，所以，解得. 所以直线的方程为：. (2) 小问详解： 设直线在两坐标轴上的截距分别为，由题可知. 若，设直线的方程为. 因为直线过，所以，解得. 所以直线的方程为：，即. 若，则，且.设直线的方程为. 因为直线过，所以，解得. 所以直线的方程为：，即. 综上所述，直线的方程为：，或. 12．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程； （2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求解. (1) 小问详解： 由、可知中点为，且， 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； (2) 小问详解： 当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或. 13．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值. (1) 小问详解： 因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ① 当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ② 当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． (2) 小问详解： 由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当 即 时，取得最小值24， 所以面积， 所以当时，面积最小， 此时直线的方程为，即． 14．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）直接由两点式可得； （2）设与直线平行的直线方程为，代入点的坐标可得； （3）由两直线垂直得出其斜率，再由点斜式可得. (1) 小问详解： 边所在直线的方程为，即. (2) 小问详解： 设与直线平行的直线方程为， 因为直线过点，所以， 所以过点且与直线平行的直线方程为. (3) 小问详解： 与直线垂直的直线的斜率为， 因为直线过点，所以，即. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．B 2．ABD 3．D 4．A 5．A 6．C 7．C 8．D 9．A 10．D 11．ABD 12．C 13．C 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）直接由斜截式得到直线方程； （2）令求出直线与轴上的截距，再由面积公式计算可得. (1) 小问详解： 因为直线的斜率为3且它在轴上的截距为， 由斜截式得直线的方程为，即． (2) 小问详解： 在中，令，即，解得，即直线与轴上的截距为1， 则直线与坐标轴所围成的三角形面积． 15．【答案】 【分析】 利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】 两条平行线和间的距离为. 故答案为：. 16．【答案】2.4 【分析】 利用两直线的平行关系先求，再由平行线的距离公式计算即可. 【详解】 由题意不妨设，则， 所以两平行线，之间的距离. 故答案为： 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由已知得出，可求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出点到直线的距离，并求出，利用平行四边形的面积公式可求得结果. (1) 小问详解： 因为四边形为平行四边形，所以，所以， 又因为点，所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 点到直线的距离为，且， 故平行四边形的面积为． 18．【答案】（1）     （2）存在，或      【分析】 （1）先求直线方程，在根据点到直线的距离公式求高，最后利用面积公式计算即可； （2）分和两种情况，利用平行，垂直列方程组求解坐标即可 (1) 小问详解： ，则， 即，， 点到直线的距离， 则； (2) 小问详解： 设点． ，， 与不垂直， 若，则， ，解得 ， 点． 若，则， ， 解得 ，点， 综上，存在点，使四边形为直角梯形，或. 19．【答案】（1）；     （2）；     （3）11      【分析】 （1）由点斜式即可求； （2）先求中点，再由点斜式即可求； （3）由点线距离公式求得点C到直线AB的距离，由两点距离公式求得，即可由三角形面积公式求值. (1) 小问详解： 由两点式得边的直线方程为； (2) 小问详解： 中点为，故边上的中线方程为； (3) 小问详解： 点C到直线AB的距离，， 故三角形的面积为. 20．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）联立直线方程求得交点坐标，根据平行关系，可得答案； （2）由题意求点关于直线的对称点，由图可得答案. (1) 小问详解： 联立 ，所以两直线的交点为 设与直线平行的直线方程为， 将代入得， 所以所求的直线方程为 (2) 小问详解： 设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 21．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）联立两直线，求得交点，根据在轴上的截距为2，分析即可得答案. （2）方法1：直线上任取一点，由题意可得，该点到两直线距离相等，代入距离公式，即可得答案；方法2：设出直线方程，在直线上取一点，则其关于直线的对称点必在直线上，求出B点坐标，代入方程，即可得答案. (1) 小问详解： 联立 ，可得交点， 因为直线过点，且在轴上的截距为2， 所以直线的方程为； (2) 小问详解： 方法1：在直线上任取一点，因为直线，关于直线对称， 所以，即， 所以直线的方程为：或. 方法2：因为直线，关于直线对称，所以直线必过点，易知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 在直线上取一点，则其关于直线的对称点必在直线上， 所以 ，解得 ， 代入直线，得，解得或， 所以直线的方程为：或. 22．【答案】 【分析】 首先利用对称求出直线的方程，再利用直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】 根据题意可知，直线与直线相交， 则关于直线的对称点为， 直线过，， 直线的方程为，即， 圆，圆的圆心为，半径为， 与圆有公共点， ，解得，则的取值范围为. 故答案为：. 考点04 圆的方程 1．B 2．D 3．A 4．C 5．A 6．B 7．A 8．D 9．【答案】 【分析】 根据条件可知，结合垂直关系可得斜率，即可求直线方程. 【详解】 因为圆的圆心为，则， 由题意可知：，则的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 10．【答案】外切 【分析】 根据圆的方程可得圆心和半径；由直线平分圆面积可知直线过圆心，由此可求得的值；根据圆心距和两圆半径之间关系可确定两圆位置关系. 【详解】 由圆方程知：圆心，半径， 由圆方程知：圆心，半径； 圆的面积被直线平分，直线过圆心， ，解得：，； 圆心距， 圆与圆的位置关系是外切. 故答案为：外切. 11．【答案】 【分析】 根据给定条件，求出过切点的圆半径所在直线方程，进而求出圆心坐标即可作答. 【详解】 依题意，过切点的圆的半径所在直线方程为，即， 由 解得 ，因此所求圆的圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 故答案为： 12．【答案】 【分析】 通过换元法对条件表达式进行变形，得出其几何意义，再利用表达式与无关的条件得出解集的包含关系，进而得出实数的取值范围． 【详解】    令，表达式化为，表示数轴上点到点和点的距离之和， 当位于和之间，即或时，该距离之和为常数，否则会随着变化， 圆的圆心为，半径为1， 对于直线，圆心到直线的距离需满足，即，解得， 当，即时，要使完全包含于，需满足，即； 当，即时，与无包含关系，不合题意，舍去； 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 先将正四面体补形为正方体，可得正四面体的外接球半径，则可得点到正四面体外接球球心距离，再计算出外接球球心到内切圆圆心距离与内切圆半径可得点到正四面体外接球球心距离，即当三点共线时可得其最大值. 【详解】 如图，正四面体可补形为正方体，设该正方体棱长为， 则，即，则其体对角线长， 则正四面体的外接球半径为， 设球心为，则为中点， 由是正四面体外接球球面上的一点，则， 设内切圆圆心为，则为的高，且、、三点共线， 则， 设内切圆半径为，则有，解得， 由是内切圆上一点，则， 则， 故， 当且仅当、、三点共线且在、之间时，等号成立， 故的最大值为.    故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $