精品解析：浙江省杭州市西湖区绿城育华2025-2026学年高二上期中考数学试题

杭州绿城育华学校2025学年第一学期高二期中考试 数学学科试题卷 出卷人：张旭强 审核人：何杭杰 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C D. 2. 已知复数为，则（ ） A. 4 B. C. D. 3. 已知点，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线经过第一、二、四象限，则圆的圆心位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 文化节跳蚤市场某班摊位举办抽奖活动，已知10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知点，，点在圆:上运动，则（ ） A. 直线与圆相离 B. 的最大值为 C. 的面积的最小值为 D. 圆半径为2 10. 已知椭圆，左、右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（ ） A. 不存在最大值 B. 椭圆的离心率为 C. 的最小值为 D. 被点平分的弦所在直线的斜率为 11. 已知平面四边形中，，和，将平面四边形沿对角线翻折，得到四面体.则下列说法正确的是（ ） A. 无论翻折到何处， B. 四面体的体积的最大值为 C. 当时，四面体的外接球的体积为 D. 当时，二面角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则____________ 13. 已知直线与椭圆相切，写出一条此直线l方程：_________． 14. 已知在矩形ABCD中，，如图，将沿着BE向上进行翻折，使得点A与点S重合，若点S在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内部（包含边界），则动点S的轨迹长度是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别是，，.已知. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的取值范围. 16. 如图，长方体中，点E，F分别在棱上，且． （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值． 17. 已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：＋＝(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称． （1）求圆C的方程； （2）设Q为圆C上的一个动点，求的最小值； （3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由． 18. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷（每份试卷包含文科、理科共30个题），收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图． （1）求图中a值； （2）求这组数据的中位数； （3）若将准确率不低于90%定义为“优秀表现”，且已知：①每份试卷中，文科题（语文、英语、历史）与理科题（数学、物理、化学）各占比50%，DeepSeek解答理科题的平均正确率比文科题高5%；②理科题每题6分，文科题每题4分，请计算： ①DeepSeek在“优秀表现”试卷中，理科题和文科题的平均正确率分别是多少？ ②一份“优秀表现”的试卷，DeepSeek的平均得分是多少？ 19. 已知为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点． （1）若， ①求出外接圆半径R和内切圆半径r（用含a，b，c的式子表示）； ②若，且外接圆面积是其内切圆面积的4倍，求该椭圆的方程； （2）在（1）求得的椭圆中，若P为一椭圆上动点，若延长交椭圆于点Q，椭圆的左右顶点分别为M，N（不与P，Q重合）记直线与的斜率分别为，证明为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州绿城育华学校2025学年第一学期高二期中考试 数学学科试题卷 出卷人：张旭强 审核人：何杭杰 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，则. 故选：C. 2. 已知复数为，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， ． 3. 已知点，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：A 4. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角. 【详解】由得：， 所以直线的斜率为， 直线的倾斜角为. 故选：D 5. 若直线经过第一、二、四象限，则圆的圆心位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由直线经过第一、二、四象限可得,,由于圆心为,即可判断圆心的位置. 【详解】由题,因为直线经过第一、二、四象限, 所以,, 因为圆的方程为, 所以圆心为,则,, 所以圆心位于第四象限, 故选:D 【点睛】本题考查直线的图象性质的应用,考查圆的图象性质的应用. 6. 文化节跳蚤市场某班摊位举办抽奖活动，已知10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意，由于10张奖券中只有3张有奖，那么5个人购买，每人1张，所有的情况为， 那么对于没有人中奖的情况为，那么可知没有人中奖的概率为， 所以至少有1人中奖的概率. 7. 已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将四面体嵌在长方体中，由题意可得长方体的长宽高的大小，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，再求出直线，的方向向量的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，最后求出两条直线所成的角的余弦值． 【详解】将四面体放在如图所示的长方体中， 因为，， 设长方体的长，宽，高分别为，，， 则，可得，， 以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以的中点， 所以，， 所以， ，， 所以． 设直线，所成的角为，,， 所以,． 故选：A． 8. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得是以为顶角的等腰三角形，列出关于的方程，再由离心率的计算公式，即可得到结果. 【详解】由题可知，，即，是以为顶角的等腰三角形， 则有：，，， 所以，又因为，即，， 可得：，解得，故离心率为． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知点，，点在圆:上运动，则（ ） A. 直线与圆相离 B. 的最大值为 C. 的面积的最小值为 D. 圆半径为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆方程求出圆心和半径，可判断D；由直线方程的截距式，表示出直线的方程，求出圆心到直线的距离大于半径，即可判断A；由两点间距离公式求出，，计算即可判断B；先求，再利用两点间距离公式求出，利用面积公式计算即可. 【详解】 对于A ，圆的方程为， 圆心的坐标为，半径为， ，， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 直线与圆相离，故A正确； 对于B，，， ，故B错误； 对于C，，， ， 圆心到直线的距离， 点到直线的距离的最小值为， 面积的最小值为，故C正确； 对于D，圆的方程为， 圆心的坐标为，半径为，故D正确. 10. 已知椭圆，左、右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（ ） A. 不存在最大值 B. 椭圆的离心率为 C. 的最小值为 D. 被点平分的弦所在直线的斜率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义判断线段和的最值，即可判断AC选项；利用直接法可得椭圆离心率，利用点差法可确定弦的斜率. 【详解】 如图所示，由已知椭圆， 即，，则， 所以椭圆离心率为，B选项正确； 且，，，， 则， 又， 即当点在延长线上时取得最大值为， ， 即当点在延长线上时取得最小值为， 即A选项错误；C选项正确； 设被点平分的弦与椭圆交于点，， 即，两式相减可得， 即， 又为中点，即， 所以， 所以，D选项正确. 11. 已知平面四边形中，，和，将平面四边形沿对角线翻折，得到四面体.则下列说法正确的是（ ） A. 无论翻折到何处， B. 四面体的体积的最大值为 C. 当时，四面体的外接球的体积为 D. 当时，二面角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取线段的中点，连接，即可证明平面，从而判断A；当平面平面时，四面体的体积最大，由锥体的体积公式判断B；依题意可得两两互相垂直，将四面体补成正方体，求出正方体外接球的半径，即可判断C；将四面体补成棱长为的正方体，再确定二面角的平面角，即可判断D. 【详解】对于：取线段的中点，连接， 是等边三角形，在中，， ， 又平面， 平面， 又平面，即无论翻折到何处，，故A正确； 对于B：当平面平面时，四面体的体积最大， 又，平面平面，平面，所以平面， 又，， 所以，故B错误； 对于C：当时，，， 所以，，又，即两两互相垂直，且， 将四面体补成棱长为的正方体，则正方体的外接球即为四面体的外接球， 所以外接球半径， 所以外接球体积为，故C正确； 对于D：当时，，， 所以，， 将四面体补成棱长为的正方体， 取中点，中点，则，，所以， 又,平面，平面， 所以，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 是二面角的平面角， 又平面，平面，所以， 所以，则当时，二面角的余弦值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则____________ 【答案】1 【解析】 【分析】利用指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质和换底公式进行求解即可. 【详解】解：，则， ，， . 故答案为：1. 13. 已知直线与椭圆相切，写出一条此直线l方程：_________． 【答案】（答案不唯一，可以为） 【解析】 【分析】求出直线所过定点，设出的方程并与椭圆方程联立，利用判别式为0求解. 详解】由题意得直线，即， 由，解得，即直线恒过定点， 由直线与椭圆相切，得直线不垂直于轴，设其方程为， 由，消去得， 因此，整理得，解得或， 所以直线的方程为或. 14. 已知在矩形ABCD中，，如图，将沿着BE向上进行翻折，使得点A与点S重合，若点S在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内部（包含边界），则动点S的轨迹长度是_________． 【答案】## 【解析】 【详解】过点作于点，交于点， 则点在平面上的射影落在线段上. 在中，，，则， 由等面积法得. 翻折的过程中，动点满足， 则动点的轨迹是以点为圆心，为半径的一段圆弧. 易得，，，所以， 则，如图（2），在圆中，，， 所以点的轨迹是，且，则，， 从而点的轨迹长度为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别是，，.已知. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用正弦定理化边为角结合两角和的正弦公式即可求解. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，将代入利用二倍角公式以及三角函数的性质即可求解. 【详解】（Ⅰ）在中，由正弦定理可得， 即， 因为， 所以， 因为，所以， 可得：， 因为，所以， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以， ， 因为，所以， 所以，， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用正弦定理化边为角求出角，利用三角形内角和为，可得之间的关系，将所求代数式用一个角表示，根据角的范围可求代数式的范围. 16. 如图，在长方体中，点E，F分别在棱上，且． （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设出长方体的棱长并写出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，依题意，， 则，即，，而点直线， 所以. 【小问2详解】 由及（1）得， 则， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设二面角大小为，则， 所以二面角的正弦值为. 17. 已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：＋＝(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称． （1）求圆C的方程； （2）设Q为圆C上的一个动点，求的最小值； （3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由． 【答案】（1）＋＝2；（2）－4；（3）平行，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求圆心M关于直线x＋y＋2＝0的对称点即可； （2）设出点Q的坐标，利用向量的坐标表示，然后利用三角代换即求； （3）由题知直线PA和直线PB的斜率存在，可设直线方程，联立圆的方程可求,，可得直线AB的斜率，从而可判断. 【详解】（1）设圆心C(a，b)，由于圆M的圆心M(-2,-2)， 则，解得 则圆C的方程为＋＝， 将点P的坐标代入，得＝2， 故圆C的方程为＋＝2. （2）设Q(x，y)，则＋＝2，可设， 则， ∴当时，取得最小值－4， 所以的最小值为－4． （3）由题意，知直线PA和直线PB斜率存在，且互为相反数，故可设 PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)． 由得＋2k(1－k)x＋－2＝0， 因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解， 故可得＝， 同理＝， 所以＝＝＝． 所以直线OP和AB一定平行． 18. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷（每份试卷包含文科、理科共30个题），收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）求这组数据的中位数； （3）若将准确率不低于90%定义为“优秀表现”，且已知：①每份试卷中，文科题（语文、英语、历史）与理科题（数学、物理、化学）各占比50%，DeepSeek解答理科题的平均正确率比文科题高5%；②理科题每题6分，文科题每题4分，请计算： ①DeepSeek在“优秀表现”试卷中，理科题和文科题的平均正确率分别是多少？ ②一份“优秀表现”的试卷，DeepSeek的平均得分是多少？ 【答案】（1） （2） （3）①理科题的平均正确率为，文科题的平均正确率为；②分 【解析】 【分析】（1）借助频率和为计算即可得； （2）利用中位数定义计算即可得； （3）①设“优秀表现”试卷中文科题平均正确率为，借助加权平均数计算即可得；②分别计算文科得分与理科得分即可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得； 【小问2详解】 设中位数为，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计准确率的中位数为； 【小问3详解】 ①设“优秀表现”试卷中文科题平均正确率为，则理科题平均正确率为， 优秀表现的准确率区间为， 其平均准确率为：， 则，解得， 则理科题平均正确率为； ②文科得分为，理科得分为， 则DeepSeek的平均得分为分. 19. 已知为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点． （1）若， ①求出外接圆半径R和内切圆半径r（用含a，b，c的式子表示）； ②若，且的外接圆面积是其内切圆面积的4倍，求该椭圆的方程； （2）在（1）求得的椭圆中，若P为一椭圆上动点，若延长交椭圆于点Q，椭圆的左右顶点分别为M，N（不与P，Q重合）记直线与的斜率分别为，证明为定值． 【答案】（1）①，；② （2）为定值，证明见解析 【解析】 【分析】（1）①在中，利用余弦定理求出的表达式，用正弦定理求出，再用等面积法求内切圆的半径；②由面积比得到，将代入关系式，化简得到方程求解； （2）设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到，写出的表达式，进行化简计算． 【小问1详解】 （1）①设，由椭圆定义得：， 在中，由余弦定理：， ， 解得：， 由正弦定理：， 即，解得：， ， 又， ， 解得：； ②由题意：，得， ，将代入其中得， ， 整理得到：， 解得：，则， 椭圆方程为：； 【小问2详解】 ， ， 设，直线的方程为：， 联立，消得： ， ， 由韦达定理：， 又，则 ， 将代入上式， ， 将代入上式化简得： ， 故为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $