3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时）（教学课件） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的范围、对称性、顶点、离心率及a,b,c,e关系，通过天文望远镜镜面、地铁隧道截面等现实情境导入，引导学生观察椭圆特性，再从方程推导几何性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过离心率与扁平程度的三角函数解释培养逻辑推理，分层题型训练（牛刀小试到真题感知）提升数学运算。小结系统梳理知识与易错点，助力学生深度理解，方便教师高效开展教学。

第三章 圆锥曲线的方程 3.1.2 椭圆的简单几何性质 (第1课时) ·选择性必修第一册· 学习目标 根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质.（重点） 了解离心率对椭圆扁平程度的影响，培养数学运算的核心素养． 根据几何条件求出椭圆的方程，培养数学运算的核心素养．（重点） 掌握椭圆标准方程中的a，b以及c，e的几何意义及解决相关问题，a，b，c，e之间的相互关系，离心率的求法.（难点） 目录 CATALOG 01.椭圆的简单几何性质 03.应用新知 02.离心率对椭圆扁平程度的影响 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 3.1.2 椭圆的简单几何性质 (第1课时) 01 椭圆的简单几何性质 导入新知1：天文望远镜——镜面设计的椭圆特性 某大型天文望远镜的主镜面设计成椭圆形，镜面边界所在椭圆的长轴长为 10 米，短轴长为 6 米。工程师需要在镜面边缘安装四个固定支架，分别位于镜面与对称轴的交点处。 问题1：这四个固定支架的位置（顶点）离镜面中心有多远？镜面上离中心最远的点和最近的点分别在哪里？ 问题2：如果镜面的“扁平程度”（离心率）发生变化，对聚焦效果有何影响？设计时如何控制镜面的扁平程度？ 导入新知2：城市地铁——椭圆形隧道截面与盾构机 某城市地铁隧道采用椭圆形截面设计，隧道截面在平面直角坐标系中的标准方程为 x216+y29=1（单位：米）。盾构机在挖掘隧道时，需要精确控制挖掘边界。 问题1：隧道截面在水平方向和竖直方向的最大宽度分别是多少？即 x 和 y 的取值范围是什么？ 问题2：隧道截面的四个最外侧点（顶点）坐标分别是什么？如果隧道“扁平程度”（离心率）增大，对盾构机的挖掘精度要求会有什么影响？ 问题探究，引入新知 观察以上五个椭圆，有何发现？ 观 察 扁平程度不同 思 考 直线倾斜程度不同，可以用斜率来定量刻画；那么椭圆的扁平程度不同能否有一个量来定量刻画呢？ 这就是我们本节课要探究学习的椭圆几何性质之：离心率 探究新知 观察右图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，因此横坐标和纵坐标的取值都在某个关于原点对称的闭区间内. 观察 复习回顾，引入新知 椭圆的标准方程 探究新知 追问 要求：利用以上相同的方法，求出纵坐标y的取值范围. 结论 探究新知 观察右图， 可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. 观察 探究新知 追问 要求：利用以上相同的方法，说明椭圆是关于y轴对称的. 探究新知 要求：利用以上相同的方法，说明椭圆是关于原点中心对称. 这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心， 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 结论 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求椭圆的焦点、焦距 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的顶点坐标 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求椭圆的顶点坐标、求椭圆的长轴、短轴 02 离心率对椭圆 扁平程度的影响 3.1.2 椭圆的简单几何性质 (第1课时) 探究新知 观察右图， 容易看出椭圆与坐标轴的四个交点比较特殊. 研究曲线上这些特殊点的位置，可以确定曲线的位置． 观察 探究新知 追问 要求：利用以上相同的方法，求得椭圆与x轴两个交点坐标. 探究新知 结论 探究新知 观察下图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状 的椭圆的扁平程度相同． 思考 探究新知 观察 观察动画演示，我们也发现，c与a比值的椭圆的扁平程度不． 结论 探究新知 离心率 辨析 探究新知 思考 探究新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求椭圆的长轴、短轴 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求椭圆的长轴、短轴、根据离心率求椭圆的标准方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求椭圆的顶点坐标、根据离心率求椭圆的标准方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 点和椭圆的位置关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 03 应用新知 3.1.2 椭圆的简单几何性质 (第1课时) 应用新知 解析 应用新知 方法总结 利用椭圆的方程求a,b,c,e，顶点坐标，长轴长、短轴长 将椭圆的方程改写成椭圆的标准形式 确定椭圆焦点位置 由标准方程，求出a,b,c,的值 根据离心率，顶点，长轴，短轴的定义求出对应值即可 第1步 第2步 第3步 第4步 04 题型强化训练 3.1.2 椭圆的简单几何性质 (第1课时) 重要题型专练 题型一 根据椭圆的方程求a,b,c值及相关量 例题 解析 重要题型专练 题型二 根据几何条件求出椭圆的方程 例题 总结：待定系数法求a,b,c的值：根据题意建立关于a,b,c的方程组，解方程即可求得椭圆的标准方程. 解析 重要题型专练 题型二 根据几何条件求出椭圆的方程 例题 总结：巧设椭圆方程为：根据题意建立关于m,n的方程组，解方程即可求得椭圆的方程，再将椭圆方程标准化处理. 解析 重要题型专练 题型三 根据椭圆的有界性求范围或最值 例题 解析 重要题型专练 题型三 根据椭圆的有界性求范围或最值 例题 解析 重要题型专练 题型三 根据椭圆的有界性求范围或最值 例题 解析 重要题型专练 题型三 根据椭圆的有界性求范围或最值 例题 总结：首先将所求式子进行消元处理，由多元变为一元，结合函数的性质，以及椭圆的有界性，即可求得所求式子的范围或最值. 重要题型专练 题型四 求椭圆的离心率或离心率的范围 例题 解析 重要题型专练 题型四 求椭圆的离心率或离心率的范围 例题 解析 重要题型专练 题型四 求椭圆的离心率或离心率的范围 例题 解析 重要题型专练 题型四 求椭圆的离心率或离心率的范围 例题 解析 重要题型专练 题型四 求椭圆的离心率或离心率的范围 总结 05 真题感知 3.1.2 椭圆的简单几何性质 (第1课时) 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 3.1.2 椭圆的简单几何性质 (第1课时) 课堂小结 椭圆的简单几何性质 4个主要性质 新的概念 ①范围 ②对称性 ③顶点 ④离心率 离心率 椭圆中心 长轴 短轴 长轴长 长半轴长 短轴长 短半轴长 作业 作业1：完成教材：第112页 练习1,2,3,4,5. 作业2：配套辅导资料对应的《椭圆的简单几何性质 第1课时》.  3.1.2 椭圆的简单几何性质 (第1课时) 课后作业答案 练习（第112页） 1.你能标出图中椭圆焦点的位置吗？依据是什么？ 课后作业答案 练习（第112页） 2.求下列椭圆的焦点坐标： 课后作业答案 练习（第112页） 课后作业答案 练习（第112页） 课后作业答案 练习（第112页） 课后作业答案 练习（第112页） 5.比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？ 课后作业答案 练习（第112页） 5.比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？ 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 (_______，0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝____________ 1.（25-26高二下·吉林长春·期中）已知椭圆 ，则其焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 【详解由可得椭圆焦点在轴上，且， 则，则其焦距为.故选：D. 2.（25-26高二上·河南商丘·期末）椭圆C： 的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题知，，所以， 所以C的焦点坐标为. 故选：B. 3.（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知A，B 分别为椭圆 的右、上顶点，若 的中点坐标为 ，则 C 的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为分别为椭圆的右顶点和上顶点，则，令，得，故，令，得，故，又的中点坐标为，所以，解得，所以椭圆方程为， 所以，则，所以椭圆的焦点坐标为. 故选：B. 4.（25-26高二上·北京通州·期中）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，上顶点 ，若 为等腰直角三角形，则椭圆 的长轴长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【详解】因为椭圆上顶点，所以， 因为为等腰直角三角形，所以， 因为，所以椭圆的长轴长. 故选：D 类比焦点在x轴上椭圆几何性质，得到焦点在y轴上的椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 范围 |x|≤a，|y|≤b 顶点 (±a，0)，(0，±b) ( ，0)，(0， ) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 短轴长＝ ，长轴长＝ 焦点 (±c，0) (0，±c) 焦距 2c 对称性 对称轴：x轴与y轴，对称中心：原点 对称轴： ,对称中心： 离心率 e＝eq \f(c,a) e＝ 5.（25-26高二下·陕西商洛·期末）椭圆 的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【详解】由椭圆方程知， 故短轴长为.故选：B. 6.（25-26高二下·河南新乡·期中）若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则长轴长为（    ） A． B．12 C． D．24 【详解】因椭圆的焦点在轴上，则且， 则，即，解得， 所以椭圆的长轴长为．故选：A. 7.（26-27高三上·湖南·阶段检测）椭圆 的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】由离心率公式得： . 故选：D. 8.（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，则 的一个顶点与两个焦点构成的三角形是（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰非直角三角形 D．直角非等腰三角形 【详解】由椭圆离心率为，则，， 所以，，所以的一个顶点与两个焦点构成的三角形是等腰直角三角形，故选：B． 9.（24-25高二上·陕西汉中·期中）若点 是椭圆 某条弦的中点，则实数 的值可以是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知，点在椭圆内， 所以，解得或. 故选：D 10.（25-26高二下·重庆·阶段检测）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 【详解】对A，其离心率为，对B，其离心率为， 对C，其离心率为，对D，其离心率为，根据离心率越小，其越接近于圆，则最小，其形状最接近于圆， 则A选项符合题意.故选：A. 1.（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 由条件知，所以，，则， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或.故选：C. 2.（2026·安徽·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（    ） A．4 B． C．2 D． 由题知椭圆焦点在轴上，所以， 因为，所以，即， 解得，所以.故选：C. 3.（2026·湖北·三模）已知椭圆（）的离心率为e，点在C上，则（    ） A．1 B． C． D．2 由点在C上，得，则， 所以，则，所以，则.故选：A. 4.（2026·重庆·一模）已知椭圆的离心率，则其焦距为（    ） A．1 B． C．2 D．2 由题意可得， 所以椭圆焦距为. 故选：C $