3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的简单几何性质，涵盖标准方程、轴长、焦点、范围等核心知识点。通过自主学习的表格梳理与基础练习，衔接椭圆定义，构建从定义到性质的学习支架，帮助学生系统掌握知识脉络。 其特色在于模块式设计，互动探究通过分类讨论和方程法培养数学思维，表格对比焦点位置差异助于数学语言表达，拓展通径等内容引导用数学眼光观察几何特征。分层作业提升应用意识，学生能巩固知识，教师可高效实施教学。

第三章　圆锥曲线的方程 3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 自主学习通道 2b 2a F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 自主学习通道 自主学习通道 自主学习通道 × × × √ 自主学习通道 ABC 自主学习通道 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 C 互动探究通道 ACD 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 C 互动探究通道 互动探究通道 A 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 D 自主学习通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 D 巩固提升通道 D 巩固提升通道 D 巩固提升通道 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AC 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AD 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [1，2] 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BC 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 12 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.掌握椭圆的简单几何性质.2.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形． 填一填 1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0) 图形 轴长 短轴长|B1B2|＝ eq \o(□,\s\up4(1)) ， 长轴长|A1A2|＝ eq \o(□,\s\up4(2))____ 焦点 eq \o(□,\s\up4(3)) eq \o(□,\s\up4(4)) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为 eq \o(□,\s\up4(5)) ，对称中心为 eq \o(□,\s\up4(6))_____ 顶点 eq \o(□,\s\up4(7)) eq \o(□,\s\up4(8)) 离心率 e＝ eq \f(c,a)(0＜e＜1) 【提醒】　对椭圆几何性质的挖掘 (1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最小值为短半轴长b)，到中心距离最大的点是长轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值为长半轴长a). (2)椭圆上到焦点距离最大的点和最小的点是长轴的两个端点，最大距离为a＋c，最小距离为a－c. (3)椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，通径长等于 eq \f(2b2,a). 2．离心率的性质 练一练 1．判断正误 (1)椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长是a.(　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1.(　　) (4)设F为椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距).(　　) 2．(多选)关于椭圆C： eq \f(x2,4)＋y2＝1，下列结论正确的是(　 　) A．对称中心为原点 B．长轴长为4 C．焦距为2 eq \r(3) D．短轴长为1 解析　易知A中结论正确；因为椭圆C： eq \f(x2,4)＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝ eq \r(3).长轴长为2a＝4，故B中结论正确；焦距为2c＝2 eq \r(3)，故C中结论正确；短轴长为2b＝2，故D中结论错误． eq \f(3,2) 解析　由题意知a＝ eq \r(2)，c＝ eq \r(2－m)， ∴ eq \f(\r(2－m),\r(2))＝ eq \f(1,2)，解得m＝ eq \f(3,2). 3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是 . eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1 解析　由已知得a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1. 4．若焦点在y轴上的椭圆 eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,2)＝1的离心率为 eq \f(1,2)，则m＝ ． 类型一　椭圆的简单几何性质　　　　　　自主探究 1．下面是关于曲线4x2＝12－3y2对称性的一些叙述：①关于x轴对称；②关于y轴对称；③关于原点中心对称；④关于直线y＝x对称．其中正确叙述的个数为(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 解析　曲线方程4x2＝12－3y2可化为 eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,4)＝1，故该曲线为焦点在y轴上的椭圆，由椭圆的性质，知该曲线关于x轴对称、y轴对称、原点中心对称．将曲线方程中的x换成y，y换成x，得 eq \f(y2,3)＋ eq \f(x2,4)＝1，与原曲线方程不同，故该曲线不关于直线y＝x对称，即正确的为①②③.故选C. 2．(多选)若椭圆C： eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,m2－1)＝1的一个焦点坐标为(0，1)，则下列结论中正确的是(　 　) A．m＝2 B．椭圆C的长轴长为 eq \r(3) C．椭圆C的短轴长为2 eq \r(2) D．椭圆C的离心率为 eq \f(\r(3),3) 解析　由已知可得 eq \r(m2－m－1)＝1，解得m＝2或m＝－1(舍去)，∴椭圆C的方程为 eq \f(y2,3)＋ eq \f(x2,2)＝1，∴a2＝3，b2＝2，即a＝ eq \r(3)，b＝ eq \r(2)，则c＝1.∴长轴长为2a＝2 eq \r(3)，短轴长为2b＝2 eq \r(2)，离心率为e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(1,\r(3))＝ eq \f(\r(3),3).故选ACD. 1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型． 2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标，同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a，2b，2c. 类型二　由椭圆的几何性质求标准方程 【例1】　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)过点(3，0)，离心率e＝ eq \f(\r(6),3). 解　(1)依题意可设椭圆方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0). 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 所以c＝b＝3， 所以a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,18)＋ eq \f(y2,9)＝1. (2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 由题意，得a＝3， 因为e＝ eq \f(\r(6),3)，所以c＝ eq \r(6)，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,3)＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)， 由题意，得b＝3， 因为e＝ eq \f(\r(6),3)，所以 eq \f(\r(a2－b2),a)＝ eq \f(\r(6),3)， 把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为 eq \f(y2,27)＋ eq \f(x2,9)＝1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,3)＝1或 eq \f(y2,27)＋ eq \f(x2,9)＝1. 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数； (4)写出椭圆的标准方程． [跟踪训练1]　(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为(　　) A． eq \f(y2,16)＋ eq \f(x2,9)＝1 B． eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1 C． eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1或 eq \f(y2,25)＋ eq \f(x2,16)＝1 D．以上都不正确 (2)椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，AB过点F2，且AB⊥F1F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2 eq \r(3)，则椭圆的标准方程为 ． eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,6)＝1 解析　(1)由题意可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋2b＝18，,2c＝6，,a2＝b2＋c2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝25，,b2＝16，,c2＝9.))当椭圆的焦点在x轴上时，其标准方程为 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，其标准方程为 eq \f(y2,25)＋ eq \f(x2,16)＝1.故选C. (2)根据题意，可得2c＝2 eq \r(3)， eq \f(2b2,a)＝4，又c2＝a2－b2，可得a＝3，b＝ eq \r(6)，所以所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,6)＝1. 类型三　椭圆的离心率 【例2】　(1)(2023·邢台期末)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为(　　) A． eq \f(\r(5)－1,2) B． eq \f(\r(3)－1,2) C． eq \f(1＋\r(5),4) D． eq \f(\r(3)＋1,4) (2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为 ． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) 解析　(1)由题意知，A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)，∵∠ABF＝90°，∴kAB·kBF＝－1， ∴ eq \f(b2,ac)＝1，即b2＝ac. ∴c2－a2＋ac＝0，即e2＋e－1＝0， ∴e＝－ eq \f(\r(5)＋1,2)(舍)或e＝ eq \f(\r(5)－1,2). (2)依题意可得2c≥2b，即c≥b， ∴c2≥b2，从而c2≥a2－c2， 即2c2≥a2，e2＝ eq \f(c2,a2)≥ eq \f(1,2)，∴e≥ eq \f(\r(2),2)或e≤－ eq \f(\r(2),2). 又∵0＜e＜1， ∴椭圆的离心率的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). 求椭圆离心率的值或范围的两种方法 直接法 若已知a，c，可直接利用e＝ eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c，可借助a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ eq \f(c,a)求解 方程法 若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 [跟踪训练2]　(1)点A，B为椭圆E： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)长轴的端点，点C，D为椭圆E短轴的端点，动点M满足 eq \f(|MA|,|MB|)＝2，若△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆E的离心率为(　　) A． eq \f(\r(2),3) B． eq \f(\r(3),3) C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(\r(3),2) (2)已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为 . eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) 解析　(1)设A(－a，0)，B(a，0)，M(x，y).∵动点M满足 eq \f(|MA|,|MB|)＝2，∴ eq \r((x＋a)2＋y2)＝2 eq \r((x－a)2＋y2)，化简得动点M的轨迹方程为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5a,3))) eq \s\up42(2)＋y2＝ eq \f(16a2,9).∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，∴ eq \f(1,2)×2a× eq \f(4,3)a＝8， eq \f(1,2)×2b× eq \f(1,3)a＝1，解得a＝ eq \r(6)(负值舍去)，b＝ eq \f(\r(6),2)，∴椭圆E的离心率为 eq \r(1－\f(b2,a2))＝ eq \f(\r(3),2). (2)由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形，若椭圆上存在点P，使PF1⊥PF2，则c≥b，即c2≥a2－c2，所以a≤ eq \r(2)c，因为e＝ eq \f(c,a)，0＜e＜1，所以 eq \f(\r(2),2)≤e＜1. 1．知识清单 (1)椭圆的简单几何性质． (2)由椭圆的几何性质求标准方程． (3)椭圆的离心率． 2．方法归纳：分类讨论、方程法． 3．常见误区：(1)忽略椭圆离心率的范围及长轴长与a的关系；(2)忽视椭圆方程中参数的约束条件和范围． 1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(　　) A．(±10，0) B．(± eq \r(69)，0) C．(0，±13) D．(0，± eq \r(69)) 解析　由题意知，椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(69)，故焦点坐标为(0，± eq \r(69)). 2．(2024·保定期末)已知椭圆C1： eq \f(x2,12)＋ eq \f(y2,4)＝1，C2： eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,8)＝1，则(　　) A．C1与C2顶点相同 B．C1与C2长轴长相等 C．C1与C2短轴长相等 D．C1与C2焦距相等 解析　由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(±2 eq \r(3)，0)，(0，±2)，长轴长为4 eq \r(3)，短轴长为4，焦距为4 eq \r(2)；C2的顶点坐标为(±4，0)，(0，±2 eq \r(2))，长轴长为8，短轴长为4 eq \r(2)，焦距为4 eq \r(2).所以C1与C2焦距相等． 3．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m＝(　　) A． eq \r(2) B．2 C． eq \f(1,4) D．4 解析　椭圆x2＋my2＝1化为标准方程为x2＋ eq \f(y2,\f(1,m))＝1.因为焦点在x轴上，所以长轴长2a＝2，短轴长2b＝2 eq \r(\f(1,m))，所以2 eq \r(\f(1,m))＝1，解得m＝4.故选D. 4．设椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为 ． eq \f(\r(3),3) 解析　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ eq \r(3)m，故离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(2c,2a)＝ eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝ eq \f(\r(3)m,2m＋m)＝ eq \f(\r(3),3). 基础巩固 1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　) A． eq \f(y2,4)＋ eq \f(x2,2)＝1 B． eq \f(y2,6)＋x2＝1 C． eq \f(x2,6)＋y2＝1 D． eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,5)＝1 解析　椭圆9x2＋4y2＝36可化为 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,9)＝1，其焦点为(0， eq \r(5))，(0，－ eq \r(5))，故可设所求椭圆方程为 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝ eq \r(5)，又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，故所求椭圆的标准方程为 eq \f(y2,6)＋x2＝1. 2．已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为 eq \f(1,2)，则(　　) A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b 解析　因为椭圆的离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(1,2)，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.故选B. 3．(2023·合肥期中)椭圆 eq \f(x2,m2＋1)＋ eq \f(y2,m2)＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝ eq \f(π,3)，则m＝(　　) A．1 B． eq \r(2) C． eq \r(3) D．2 解析　由题意知c＝ eq \r(m2＋1－m2)＝1，b＝m，又∠F1AF2＝ eq \f(π,3)，所以∠F1AO＝ eq \f(π,6)(O为坐标原点)，则tan ∠F1AO＝ eq \f(c,b)＝ eq \f(1,m)＝ eq \f(\r(3),3)，解得m＝ eq \r(3). 4．椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝1与椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝m(m>0)一定有(　　) A．相等的焦距 B．相等的离心率 C．相等的长轴长 D．相等的短轴长 解析　椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝m(m>0)化为标准方程为 eq \f(x2,25m)＋ eq \f(y2,9m)＝1，故与 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝1有相等的离心率．故选B. 5．(多选)(2024·广州期末)已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为 eq \f(\r(3),2)，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程可以为(　 　) A． eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,9)＝1 B． eq \f(x2,63)＋ eq \f(y2,36)＝1 C． eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,36)＝1 D． eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,63)＝1 解析　由椭圆的定义可得2a＝12，即a＝6.因为椭圆G的离心率为 eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(3),2)，则c＝3 eq \r(3)，b＝ eq \r(a2－c2)＝3. 若椭圆G的焦点在x轴上，则椭圆G的方程为 eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,9)＝1； 若椭圆G的焦点在y轴上，则椭圆G的方程为 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,36)＝1.故选AC. 6．(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6 eq \r(2)π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为(　　) A． eq \f(y2,9)＋ eq \f(x2,8)＝1 B． eq \f(y2,12)＋ eq \f(x2,6)＝1 C． eq \f(x2,12)＋ eq \f(y2,6)＝1 D． eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,8)＝1 解析　由题意可知， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(πab＝6\r(2)π，,2c＝\f(1,3)×2a，)) 又a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝2 eq \r(2)，c＝1，所以椭圆的标准方程为 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,8)＝1或 eq \f(y2,9)＋ eq \f(x2,8)＝1. 7．已知椭圆C的焦点为F1，F2，短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三角形，则椭圆C的离心率为 ． eq \f(1,2) 解析　因为|BF1|＝|BF2|＝a，|F1F2|＝2c，所以依据题意可知a＝2c，从而有e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(1,2). 8．知P(m，n)是椭圆x2＋ eq \f(y2,2)＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是 ． 解析　因为P(m，n)是椭圆x2＋ eq \f(y2,2)＝1上的一个动点，所以m2＋ eq \f(n2,2)＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2.又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2. 9．求椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝1的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解　由椭圆的方程得a＝5，b＝3，c＝ eq \r(25－9)＝4. 因此，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(4,5).焦点为F1(－4，0)和F2(4，0)，顶点为A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－3)，B2(0，3). 10．求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为 eq \f(1,2)，焦距为8； (2)已知椭圆的离心率为e＝ eq \f(2,3)，短轴长为8 eq \r(5). 解　(1)由题意知，2c＝8，c＝4， ∴e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(4,a)＝ eq \f(1,2)， ∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48， ∴椭圆的标准方程是 eq \f(y2,64)＋ eq \f(x2,48)＝1. (2)由e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(2,3)得c＝ eq \f(2,3)a，又2b＝8 eq \r(5)，a2＝b2＋c2，∴a2＝144，b2＝80，∴椭圆的标准方程为 eq \f(x2,144)＋ eq \f(y2,80)＝1或 eq \f(y2,144)＋ eq \f(x2,80)＝1. 能力提升 11．已知F1，F2为椭圆C： eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析　设坐标原点为O， ∵|OP|＝|OQ|，|OF1|＝|OF2|， ∴四边形PF1QF2为平行四边形， 又∵|PQ|＝|F1F2|， ∴平行四边形PF1QF2为矩形， 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝64， 又∵|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝48， ∴|PF1||PF2|＝8，∴S△PF1F2＝4，则四边形PF1QF2的面积为2S△PF1F2＝4×2＝8. 12．(多选)(2024·沧州一中月考)已知点P是椭圆C： eq \f(x2,6)＋y2＝1上的动点，点Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝ eq \f(1,5)上的动点，则(　 　) A．椭圆C的焦距为 eq \r(5) B．椭圆C的离心率为 eq \f(\r(30),6) C．圆D在椭圆C的内部 D．|PQ|的最小值为 eq \f(2\r(5),5) 解析　由 eq \f(x2,6)＋y2＝1，可知a＝ eq \r(6)，b＝1，c＝ eq \r(5)，则焦距2c＝2 eq \r(5)，离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(5),\r(6))＝ eq \f(\r(30),6)，设P(x0，y0).易知圆心D(－1，0)，半径r＝ eq \f(\r(5),5)，则|PD|＝2,0) eq \r((x0＋1)2＋y) ＝2,0) eq \r((x0＋1)2＋1－\f(x,6)) ＝ eq \r(\f(5,6)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(6,5)))\s\up42(2)＋\f(4,5))≥ eq \f(2\r(5),5)> eq \f(\r(5),5)，故圆D在椭圆C的内部．当|PD|取最小值 eq \f(2\r(5),5)时，|PQ|的最小值为 eq \f(2\r(5),5)－ eq \f(\r(5),5)＝ eq \f(\r(5),5).故选BC. 13．已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,8)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝ eq \f(1,3).若P是椭圆上任意一点，A是椭圆的右顶点，则△PF1F2的周长为 ， eq \o(PF1,\s\up15(→))· eq \o(PA,\s\up15(→))的最大值为 ． 解析　因为椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,8)＝1的离心率e＝ eq \f(1,3)，所以 eq \f(c,a)＝ eq \f(1,3)，又b2＝8，即b＝2 eq \r(2)，a2＝8＋c2，所以a＝3，c＝1. 所以椭圆方程为 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,8)＝1，F1(－1，0)，A(3，0)，△PF1F2的周长C△PF1F2＝2a＋2c＝8. 设P(x，y)，则 eq \o(PF1,\s\up15(→))· eq \o(PA,\s\up15(→))＝(－1－x，－y)·(3－x，－y)＝ eq \f(1,9)(x－9)2－4， 所以当x＝－3时， eq \o(PF1,\s\up15(→))· eq \o(PA,\s\up15(→))取得最大值12. 多元数学 14．(逻辑推理)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关． 解　(1)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a. 在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2))) eq \s\up42(2)＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)， 所以 eq \f(c2,a2)≥ eq \f(1,4)，即e≥ eq \f(1,2). 又0<e<1，所以e的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). (2)证明：由(1)知mn＝ eq \f(4,3)b2， 所以S△PF1F2＝ eq \f(1,2)mnsin 60°＝ eq \f(\r(3),3)b2，即△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关． $