精品解析：福建厦门市同安实验中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

厦门市同安实验中学2024-2025学年上学期高二年第一次月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 2. 过原点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线垂直的斜率关系确定垂线斜率，从而得直线方程. 【详解】直线的斜率为，与直线垂直的直线斜率为， 又直线过原点，故其方程为. 故选：C. 3. 如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 4. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可. 【详解】由得，， 所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量. 故选：B. 5. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 6. 正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方体的棱长为2，建系标点，利用空间向量求线线夹角. 【详解】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 可得， 则， 所以直线，所成角的余弦值为. 故选：B. 7. 设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解. 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 8. 如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线平行转化线面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值，再求解出线面角的正切值. 【详解】 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因此，直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则 ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，解得，，所以法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， ， 因此，. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线： ，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 过与直线平行的直线方程是 C. 直线的两个截距相等 D. 若直线：，则 【答案】BD 【解析】 【详解】由，得，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角是，故A错误； 过与直线平行的直线方程是，即，故B正确； 直线，令，得；令，得， 即直线在轴上的截距为，在轴上的截距为1，故C错误； 由，得，所以直线的斜率为，直线的斜率为， ，所以，故D正确. 10. 已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先求出向量，结合直线方向向量，利用向量运算求出点到直线的最小距离，直线外一点到直线上任意点的距离不小于该最小距离，据此判断选项即可得. 【详解】因为，，所以，  ， ，， 设与的夹角为， ，则， 由同角三角函数关系式得， 因此点到直线的最小距离，即. 选项A：，存在对应的点满足条件，正确； 选项B：是最小距离，垂足处即可取到该值，正确； 选项C：，两点的距离不可能小于，错误； 选项D：，两点的距离不可能小于，错误. 11. 以下命题正确的是（ ） A. 若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B. 已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. ， ，则在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面位置关系的向量形式判断A；根据共面向量定理的推论判断B；根据基底的概念判断C；结合数量积的坐标运算，利用投影向量公式求解判断D. 【详解】对于A，因为 ，所以，则或，故 A错误； 对于B，因为，， 所以由空间向量共面定理可知：P、A、B、C四点共面，B正确； 对于C，假设存在实数使得， 因为是空间的一个基底，所以线性无关， 则有，故线性无关，即也是空间的一个基底，C正确； 对于D，，， 则在上的投影向量为，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间直角坐标系中的点M，N的坐标分别为，.则线段MN的中点到坐标原点的距离为______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据M,N的坐标求得中点坐标,结合空间中两点间距离公式即可求解. 【详解】空间直角坐标系中的点M,N的坐标分别为, 则中点坐标为 由空间中两点距离公式可知, MN的中点到坐标原点的距离为 故答案为:7 【点睛】本题考查了空间直角坐标系中点公式,两点间距离公式的用法,属于基础题. 13. 若，则与共线反向的单位向量=___________. 【答案】 【解析】 【详解】∵ ，∴ . ∵ 单位向量与共线且反向， ∴ . 14. 若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的夹角为钝角，首先满足，解出的取值范围，排除共线的情况. 【详解】根据题意与的夹角为钝角， 则，解得； 若两向量方向相反，则存在，使得， 即，解得， 故有且， 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. （1）求边所在直线的方程； （2）求对角线所在直线的方程. 【答案】（1）BC所在直线方程为，AD所在直线方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，由点斜式求出直线方程； （2）求出的中点坐标，再根据垂直关系得到，利用点斜式写出直线方程，得到答案. 【小问1详解】 由菱形的性质可知，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 线段的中点为， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 16. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，则得，由向量模的坐标运算求解即可； （2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，则得，由空间向量的夹角公式求解即可． 【小问1详解】 空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得，所以， 则． 【小问2详解】 因为，则，解得， 所以， 故． 17. 如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，. （1）证明：； （2）若，求点B到平面的距离. 【答案】（1） 因为，， 所以，所以， 因为为直四棱往， 所以，因为，，面， 所以面， 因为，所以面， 因为面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可证，进一步可证，又，可得，得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到面的距离公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）及题意知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，. 所以，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，解得，， ， 所以点B到平面的距离为. 18. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求： （1）的长； （2）直线与AC所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】选取基底向量 ，利用向量的数量积运算求解线段长度及异面直线夹角的余弦值. 【小问1详解】 设，由题意可得，， 所以 ， 所以，即的长为； 【小问2详解】 因为， 所以 ， 又， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：取的中点N，连接， 如图所示：为棱的中点，， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面． （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证四边形是平行四边形，可知，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先利用面面垂直的性质定理证明平面，再证，，两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，（ⅰ）利用向量法求平面与平面的夹角即可；（ⅱ）设，利用向量法表示出点到平面的距离，可得关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而，  ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点，                      （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为，           ， ∴平面PDM与平面BDM的余弦值为； （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，则，       由（2）知平面的一个法向量为，， ∴点Q到平面的距离是，  ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2024-2025学年上学期高二年第一次月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 过原点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 6. 正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线： ，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 过与直线平行的直线方程是 C. 直线的两个截距相等 D. 若直线：，则 10. 已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（ ） A. B. C. D. 11. 以下命题正确的是（ ） A. 若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B. 已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. ， ，则在上的投影向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间直角坐标系中的点M，N的坐标分别为，.则线段MN的中点到坐标原点的距离为______. 13. 若，则与共线反向的单位向量=___________. 14. 若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. （1）求边所在直线的方程； （2）求对角线所在直线的方程. 16. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 17. 如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，. （1）证明：； （2）若，求点B到平面的距离. 18. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求： （1）的长； （2）直线与AC所成角的余弦值. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $