云南省昆明市第一中学等校2027届高三上学期新高考自主命题冲刺金卷(二)数学试题

云南省新高考自主命题冲刺金卷（二） 数学参考答案 一、单项选择 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 A D C C A D A C 二、多项选择 题号 9 10 11 选项 BCD CD BC 三、填空题 12．400 13． 14．10 四、解答题 15．解析：（1）证明：平面，面，，又为菱形，，，平面． （6分） （2）是靠近点的的三等分点，设与的交点为，连接，由（1）知平面，所以为与面所成角，在直角三角形中， ， （13分） 16．解析：（1）记事件表示“甲一轮挑战过关”，则任务一成功且任务二成功，所以 3分 （2）可能的取值为0，1，2，3． ； ； ； ； 所以的分布列为： 0 1 2 3 9分 （3）方案一：任务一的正确率变为，任务二的正确率变为，则一轮过关的概率； 方案二：若任务一的正确率变为1，任务二的正确率不变，则一轮过关的概率；若任务一的正确率不变，任务二的正确率变为1，则一轮过关的概率； 则，，所以玩家乙的说法正确 15分 17．解析： （1）因为角，，是的内角，所以，，，由题知： ，可能有两种情况：①；② 对于情况①：；对于情况②：； 由余弦定理知，故，， 且③，故而情况②错误，只可能是情况①，所以，结合正弦定理由③知，解得，故，则，所以是锐角三角形． 8分 （2）由正弦定理知，解得，又因为， 所以． 15分 18．解析：（1）：易知当点为椭圆的上（下）顶点时，取到最大值，记点为坐标原点，则，此时，所以，，故椭圆的方程为． 5分 （2）（ⅰ）设直线：，，，设，易知当不存在时，点为椭圆的左焦点；当时，点为坐标原点；当存在且不为0时，点的坐标为，联立直线与椭圆的方程得到：，则， 于是，故，解得，代入点的坐标得，化简得：（）；对于不存在和的两种情况，点的坐标也满足上面方程，综上动点的轨迹方程为，易知，此方程为椭圆方程，所以点的轨迹方程是中心对称图形，其对称中心为． 10分 （ⅱ）据题意，曲线为，点为椭圆上第一象限的动点，则直线与曲线的两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限，不妨设点在第一象限，设点，，则点， 所以直线与直线斜率之和的取值范围是． 17分 19．解析：（1）由题意，，令得，又， 故直线与函数相切于点， 代入得， 从而直线与的图象相切， 联立，消去整理得， 判别式，解得或者， 又因为，所以． 4分 （2）（ⅰ）证明：，定义域， ， 令 则判别式，对称轴，， 所以在上有两个零点，， 不妨设，则或． 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，从而有两个极值点． 10分 （ⅱ）解：， ∴令， ，．． 又，，即，又由（ⅰ）知， 解得， ， 又， ， 又，． 令，，， ， 的最大值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 【考试时间：10月12日 14:30—16:30】 云南省新高考自主命题冲刺金卷（二） 数学 命题人：云南省新高考自主命题研究小组 审题人：云南省新高考自主命题研究小组 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知为虚数单位，复数，则 A． B． C． D． 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知，，则 A． B． C． D． 4．设、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线渐近线在第一象限的交点为，且满足，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D． 5．已知正四棱锥的底面边长为4，侧面等腰三角形的面积为．用一个平行于底面的平面截该棱锥，截面正方形的边长为2，则所得棱台的体积为 A． B． C． D． 6．现安排小李、小明、小玲、小王四位同学到、、三个社区参加志愿者活动，每位同学仅在一个社区参与活动，每个社区至少有一名同学，且要求小李和小王不能在同一个社区，则不同的排法种类数为 A．72 B．66 C．36 D．30 7．已知是定义在上的函数，，当时，则当时，的解析式为 A． B． C． D． 8．已知，若，使得，都有，则的值为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，圆：，则下列说法正确的是 A． B．当时，圆与轴相切 C．当，时，直线与圆相切 D．若，则直线被圆所截的弦长最短为4 10．已知数列满足，，，则 A． B．当是偶数时，是奇数 C． D．的前项和为 11．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知抛物线：（）过点，抛物线的焦点记为点，点（）是轴正半轴的一个动点，过点作直线与抛物线交于，两点，则 A． B．若，点的坐标为 C．当且仅当点与点重合时，以为直径的圆与抛物线的准线相切 D．视为常数，则面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在等差数列中，公差，已知，，构成等比数列，为数列的前项和，，则______． 13．函数，若方程恰有3个不等的实数根，则实数的取值范围是______． 14．已知球的体积与表面积相等，点，，，，均在球的表面上．四边形为正方形，且．若与平面所成角的正切值为，则正方形的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面． （1）证明：； （2）若是靠近点的的三等分点，求与平面所成角的正切值． 16．（15分） 某游戏包含3轮挑战，每轮挑战需依次完成两个独立的任务，玩家甲挑战任务一成功的概率为；挑战任务二成功的概率为．并且每轮必须两个任务全部挑战成功，该轮才算过关． （1）求甲一轮挑战过关的概率； （2）记为甲“首次过关”的轮次数（若3轮均未过关，则记），写出的分布列并计算其期望； （3）玩家乙说：“在一轮挑战中，玩家甲把每轮的两个任务都训练到正确率各提升，不如把其中一个任务训练到完美（正确率变为1）提升大．”请你通过计算，判断乙的说法是否正确，并说明理由． 17．（15分） 在中，角，，的对边分别是，，，已知，． （1）证明：是锐角三角形； （2）若，试求的面积． 18．（17分） 已知点是椭圆：（）上的一个动点，点，分别是椭圆的左右焦点，的最大值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于，两点，点是的中点， ①证明：点的轨迹方程是中心对称图形，并求出对称中心点的坐标； ②将点的轨迹方程沿着轴平移至点与坐标原点重合的位置，得到曲线，若点在第一象限，直线与曲线交于两点，求直线与直线斜率之和的取值范围． 19．（17分） 已知函数，，其中． （1）若直线与函数，的图象均相切，求实数，的值； （2）设函数， ①证明：函数有两个极值点； ②设，（）是①中的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $