云南省昆明市东川区高级中学2027届高三上学期9月月考数学试卷

东川区高级中学2027届高三9月月考数学答题 卡 考号填涂区(7位 考号 0 0 0 姓名 1 234 2 班级 3 4 4 5 考场号 5 5 6 6 d 6 6 7 7 7 座位号 8 8 9 9 9 9 缺考☐ 作弊☐ 一.选择题（共11题，共58分) 1 A B D A B D 2 A B c D 7 A C A B 4 A B c D A B D 5 AB D 10 B 二.填空题（共3题，共15分） 12 13 A 三.解答题（共5题，共77分） 16.(15分) E B 、TC B C -1- 17.(15分) ■ 15.(13分) 2- ■ 18.(17分) -3- ■ ■ 19.(17分) 2027届高三9月月考数学试卷 一、单选题 1．已知复数，则的虚部为（    ） A．1 B．3 C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 4．已知向量，的夹角为，，，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 5.从4名男生和3名女生中选派3人，分别前往甲、乙、丙3个地方参加社会实践，每个地方仅安排一人．若所选派的3人中男、女生都要有，则不同的选派方案共有（    ）种． A．150 B．180 C．300 D．360 6.《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”．现有9人分粟米，每人所得粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9人所得粟米质量和的铢数为（    ） A．284 B．381 C．384 D．484 7.若，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．若，则 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 10.如图所示，已知点A为圆台下底面圆周上一点，S为上底面圆周上一点，且，则（    ） A．该圆台的体积为 B．直线SA与直线所成角最大值为 C．该圆台有内切球，且半径为 D．直线与平面所成角正切值的最大值为 11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，平面内一直线过点F且与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线的最小值 为4，以下说法正确的是（    ） A．抛物线C的方程为 B． C．若∆AMF为等边三角形，则直线AB的斜率为 D．若则△BFN的面积与∆MFN的面积的比值为 三、填空题 12．已知函数，则_____． 13．已知递增等比数列满足，，则__________． 14．已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则球的表面积为________． 四、解答题 15. 为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 16．如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为棱，的中点． (1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角正切值． 17．在∆ABC中，角，，所对的边分别为，，，满足， 且． (1)求∆ABC的面积； (2)若为∆ABC的中线，且，判断∆ABM的形状． 18．已知椭圆：的离心率为，且与直线有且只有一个公共点． (1)求的标准方程； (2)设一动直线不经过坐标原点，与交于，两点，且 ． （ⅰ）证明：点到直线的距离为定值；（ⅱ）求面积的最大值． 19．已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三9月月考数学试卷 一、单选题 1．已知复数，则的虚部为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以的虚部为3. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，解得，，又， 所以. 3．双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为，所以，即. 所以双曲线的离心率. 4．已知向量，的夹角为，，，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得向量，的夹角为，，， 则. 5.从4名男生和3名女生中选派3人，分别前往甲、乙、丙3个地方参加社会实践，每个地方仅安排一人．若所选派的3人中男、女生都要有，则不同的选派方案共有（    ）种． A．150 B．180 C．300 D．360 【答案】B 【详解】方法一：间接法 从7人中选3人派到3个地方，总方案数为， 全是男生的方案数（从4男选3人排列）为， 全是女生的方案数（从3女选3人排列）为， 所以不同的选派方案共有． 方法二：直接分类法（1男2女或2男1女） 情况1：1男2女方案数为， 情况2：2男1女方案数为， 所以不同的选派方案共有． 6.《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”．现有9人分粟米，每人所得粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9人所得粟米质量和的铢数为（    ） A．284 B．381 C．384 D．484 【答案】C 【详解】已知 ， 成等差数列，则 ， 所以又 ，所以得，， 后7项成等比数列，设公比为，则， 由 ，得，得解得 或 ， 因为粟米质量从小到大，数列递增，舍去负根，得， 所以， 所以， 则这9人所得粟米质量和的铢数为. 7.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 8．已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， 则，故是定义在上的奇函数， 由，得， 由为增函数，知是增函数， 所以，即，所以， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值是. 二、多选题 9．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．若，则 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 【答案】AC 【详解】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即，因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增，因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 10.如图所示，已知点A为圆台下底面圆周上一点，S为上底面圆周上一点，且，则（    ） A．该圆台的体积为 B．直线SA与直线所成角最大值为 C．该圆台有内切球，且半径为 D．直线与平面所成角正切值的最大值为 【详解】对于A选项，，则A选项正确. 对于B选项，如图（1）， 过作垂直于下底面于点，则， 所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角， 即为所求，而，由圆的性质得，， 所以，因为，则B选项错误. 对于C选项，设上底面半径为，下底面半径为， 若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示， 梯形的上底和下底分别为2，4，高为，易得等腰梯形的腰为， 假设等腰梯形有内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为， 所以圆台存在内切球，且内切球的半径为，则C选项正确； 对于D选项，如图（3）， 平面即平面，过点做交于点，因为垂直于下底面， 而含于下底面，所以，又，且平面，所以平面， 所以直线与平面所成角即为，且. 设，则， 所以， 其中，所以，当时，， 当时，. 根据复合函数的单调性，可知函数，在上单调递增， 所以当时，有最大值，最大值为，所以D选项正确.故选：ACD. 11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，平面内一直线过点F且与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线的最小值为4，以下说法正确的是（    ） A．抛物线C的方程为 B． C．若为等边三角形，则直线AB的斜率为 D．若则△BFN的面积与的面积的比值为 【答案】ABD 【详解】选项A，因为，故，得，抛物线方程为， A正确. 选项B， 因为，所以， 同理，所以 ， 故，即，故B正确； 选项C，为等边三角形，由抛物线定义，故只需. 设，则，，由： 又，代入得，解得，. 直线过和，斜率为：， 题目只给出了，忽略了，故C错误. 选项D，设，，由， 得： 设直线，与联立得，故. 代入，得，，. 所以，又，故， ，所以，D正确. 三、填空题 12．已知函数，则_____． 【详解】因为，所以 13．已知递增等比数列满足，，则__________． 【详解】设递增等比数列的公比为q，已知，， 令，则，两式相除，得， 因为，递增等比数列各项为正，所以，两式相乘，得，所以， 即，即，解得， 因为数列递增，则，所以. 14．已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为________． 【详解】由，点均在球的表面上， 得四边形内接于圆，则，即， 由平面，平面，得， 又平面，则平面， 而平面，则，又， 因此二面角的平面角为，即， 在中，由，得， 四边形外接圆的直径，即外接圆的直径， 由平面，得四棱锥外接球的半径 所以四棱锥外接球的表面积为. 四、解答题 15. 为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 【详解】（1）设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为； （2）由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 16．如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为棱，的中点． (1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角正切值． 【详解】（1）证明：取棱的中点为G，连接，，如图所示． 因为点E为的中点，所以，且． 又F为的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）如图，由题意，以B为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 不妨设，则，，，， 所以，． 设平面的一个法向量为，则， 则，取，则． 又平面，则是平面的一个法向量， 所以． 设平面与平面的夹角为，则，， 所以，所以平面与平面的夹角正切值为． 17．在中，角，，所对的边分别为，，，满足， 且． (1)求的面积； (2)若为的中线，且，判断的形状． 【详解】（1）， 其中，所以，，解得， ，由正弦定理得， 又，所以，所以； （2）为的中线，，故，，故， ，故，所以， 在中，由余弦定理得， 即，化简得， 联立与得或， 若，此时，为等腰直角三角形； 若，此时，为等腰直角三角形； 综上，为等腰直角三角形 18．已知椭圆：的离心率为，且与直线 有且只有一个公共点． (1)求的标准方程； (2)设一动直线不经过坐标原点，与交于，两点，且 ． （ⅰ）证明：点到直线的距离为定值；（ⅱ）求面积的最大值． 【详解】（1）由，得，即， 因此椭圆方程可写为 ，即， 将直线 代入椭圆方程得， 即 ， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以 ， 即 ，解得 ，则 ， 所以椭圆的标准方程为 . （2）（ⅰ）设直线的斜率存在，其方程为，. 联立，消去得 ， 则， 化简得，， 因为 ，所以 ，即 ， 而， 代入得 ，所以 ， 整理得 ，所以，满足. 所以点到直线的距离，由，得. 当直线的斜率不存在时，设：，代入椭圆方程得， 则，由 ，得 ， 即，解得，所以，仍然成立. 综上，点到直线的距离为定值. （ⅱ）当直线的斜率存在时， 由（ⅰ）知 . 的面积， 由，令，则，， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以当，即时，满足，取最大，最大值为. 所以面积的最大值为. 当直线的斜率不存在时，由（ⅰ）知，，，， 所以，，所以， 因为，所以面积的最大值为. 19．已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 【详解】（1）当时，，则， 所以，，.故切线方程为，即， （2）因为在上恒成立，进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故，因此，实数的取值范围是. （3）证明：因为函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证，， 令， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $