精品解析：云南省昭通市威信县第二中学2025-2026学年九年级上学期综合素养阶段性练习数学试题

云南省昭通市威信县第二中学2025-2026学年九年级上学期综合素养阶段性练习数学试题 【命题范围：第21至23章】 （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案： 【详解】A、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、，是一元二次方程，故此选项符合题意； D、，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是( ) A. 3，2，1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；直接根据一元二次方程的一般形式 ，识别二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：一元二次方程 的二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ． 故选：B． 4. 将二次函数用配方法化成的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数解析式的形式．通过配方法即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 5. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质及勾股定理，关键是找到旋转角的度数，利用勾股定理求线段的长度； 由逆时针旋转可得，即可利用勾股定理求得． 【详解】解：∵绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴，   故选：D ． 6. 已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】由数轴可知：，，然后计算根的判别式的值即可得出答案． 【详解】由数轴可知：，； ∴； ∴有两个不相等的实数根 故选：A 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法、某点在数轴上的位置确定其正负是解题的关键，属于基础知识题． 7. 若是方程的解，则式子的值为（ ） A. 5 B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，得到，整体代入法进行计算求值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴； 故选C． 8. 下列各点中，在抛物线上的点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线上的点和点坐标的关系，掌握将点坐标代入检验的方法是解答本题的关键．通过将每个点的坐标代入抛物线方程 进行验证，满足方程的点即在抛物线上． 【详解】解：抛物线方程为 ， A、当 时，， 在抛物线上； B、当 时，， 不在抛物线上； C、当 时，， 不在抛物线上； D、当 时，， 不在抛物线上； 故选： A ． 9. 若是方程的两个根，则（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据韦达定理可得的值，然后将所求表达式因式分解为，代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴． 故选：C． 10. 已知二次函数的图象上有三点，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小，掌握由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小是解题的关键． 由二次函数，可得开口向上，对称轴为，易知、、三点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此可判断、、的大小． 【详解】解：二次函数， 二次函数开口向上，对称轴为， ，，三点在二次函数上，且， 、、的大小关系为， 故选：B． 11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查二次函数图象与性质（开口、对称轴、与轴交点、判别式）．关键是掌握系数a、b、c及判别式与图象的对应关系，易错点是判断b的符号时忽略a的影响． 由图象开口向下得；对称轴且，得；与y轴交于负半轴得；与x轴有两个交点得．故错误的是B． 【详解】解：选项A：二次函数图象开口向下，故，正确． 选项B：对称轴，且，可得，故该选项错误． 选项C：图象与y轴交点在负半轴，故，正确． 选项D：图象与x轴有两个交点，故，正确． 故选：B． 12. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，草坪的面积为，若设道路的宽为，根据题意所列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解题的关键．设道路的宽为x米，可借助平移性质得到长为米、宽为米的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：设道路的宽为x米， 根据题意得， 故选：C． 13. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可． 【详解】解：若将轴向上平移2个单位长度， 相当于将函数图像向下平移2个单位长度， 将轴向左平移3个单位长度， 相当于将函数图像向右平移3个单位长度， 则平移以后的函数解析式为： 化简得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键． 14. 如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，拱顶（即抛物线的顶点）离水面2m，水面宽为4m，水面下降1m后，水面宽为（ ） A. 5m B. 6m C. m D. 2m 【答案】D 【解析】 【分析】以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为y=ax2将A点代入抛物线方程求得a，得到抛物线解析式，再把y=-3代入抛物线解析式求得x0，进而得到答案． 【详解】以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系, 设抛物线方程为y=ax2， 将A(−2,−2)代入y=ax2， 解得：a=−， ∴y=−x2， 代入D(x0,−3)得x0=， ∴水面宽CD为2，故选D. 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，熟练掌握二次函数是解题的关键. 15. 正方形的面积与边长的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式可得：，这是一个二次函数，根据实际意义，图象应该在第一象限，即可得出答案． 【详解】解：由正方形的面积公式可得：， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若是关于x的二次函数．则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义：函数，、、为常数）叫二次函数． 利用二次函数定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 17. 若点与关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标求得m、n的值，然后再计算即可；掌握关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为． 18. 为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，我市开展“市长杯”篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划赛程天，每天安排场比赛，则应邀请______个球队参赛． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设应邀请个球队参赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），个球队比赛总场数为，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设应邀请个球队参赛， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 即应邀请个球队参赛， 故答案为：． 19. 抛物线如图所示，若，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元一次不等式的关系，关键是看图象找出抛物线与轴的交点坐标，进而得到不等式的解集； 由图象在轴下方的部分对应的的取值范围即可得出答案． 【详解】解：∵由图象可知抛物线与轴的一个交点为，抛物线与轴的另一个交点是， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，关键是熟练应用解法解方程； （1）用配方法解方程； （2）用因式分解法解方程. 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ∴ ； 【小问2详解】 解： ， ， ， . 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于原点对称的； （2）作出绕点顺时针旋转90°后的． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质即可画出关于原点对称的； （2）根据旋转的性质即可画出绕点顺时针旋转90°后的． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 22. 2023年某市一楼盘以每平方米6000元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2025年的均价为每平方米4860元．求平均每年下调的百分率． 【答案】平均每年下调的百分率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解决实际应用题．根据题意，设平均每年下调的百分率为，则得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设平均每年下调的百分率为，则， 解得（由于百分率不大于1，舍去）或， 答：平均每年下调的百分率为． 23. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，与交于点． （1）求的长度； （2）若，求的度数． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，外角的定义，充分利用旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质，等边三角形的判定定理即可解答； （2）根据旋转的性质，结合三角形的外角定理计算即可解答． 【小问1详解】 解：将绕点逆时针旋转得到， 是等边三角形． ； 【小问2详解】 解：将绕点逆时针旋转得到， 是的外角， ． 24. 有一条长的绳子，要把它围成一个矩形．回答以下问题： （1）怎样围成一个面积为的矩形？ （2）能围成一个面积为的矩形吗？如果能，说明围法，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）围成长为，宽为的矩形； （2）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练应用根的判别式是解题的关键． （1）首先由矩形的长为，则另一边为，再利用矩形面积公式列出方程，解方程，进而得出答案； （2）首先由矩形的长为，则另一边为，再利用矩形面积公式列出方程，得出根的判别式的符号，进而得出答案． 【小问1详解】 解：设矩形的长为，则该矩形的宽为， ， ， 解得：，， 围成长为，宽为的矩形； 【小问2详解】 设矩形的长为，则该矩形的宽为， ， 方程没有实数根， 不能围成面积为的矩形． 25. 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出100件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元其销售量就减少10件． （1）求该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式？ （2）每件售价定为多少元时，才能使利润最大？其最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）商品销售单价定为14元时，利润最大，最大为360元 【解析】 【分析】本题考查列函数关系式和二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）根据“每件的销售价每提高1元其销售量就减少10件”即可解答； （2）设每天总利润为元，求出w关于x的函数表达式，利用二次函数的性质即可求最大利润． 【小问1详解】 解：由题意，， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意，设每天总利润为元， ，此图象开口向下， 当时，有最大值为360元， 答：<>商品销售单价定为14元时，利润最大，最大为360元． 26. 已知：抛物线经过和． （1）求抛物线的解析式． （2）设是该抛物线与轴交点的横坐标，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象与轴的交点问题，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）由题意，为方程的一个根，根据根与系数之间的关系，推出另一个根为，进而求出，整体代入法求出分式的值即可． 【小问1详解】 解：将和代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 由（1）知：， 当时，， ∴抛物线与轴有2个交点， ∵是该抛物线与轴交点的一个横坐标，则为方程的一个根， 设另一个根为，则：，， ， 27. 已知，如图所示，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）抛物线的对称轴是____________． （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）直线 （2）存在，点的坐标为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】考查知识点：二次函数的对称轴、轴对称的最短路径问题、直角三角形的分类讨论（勾股定理）．利用抛物线与x轴交点求对称轴；通过轴对称转化线段和，结合一次函数求最短路径点；对直角三角形分三种情况，用勾股定理列方程求解．解题关键：熟练掌握抛物线对称轴公式，灵活运用轴对称性质解决最短路径问题，准确分类直角三角形的直角顶点并应用勾股定理．易错点：求对称轴时忽略公式应用；最短路径问题中找不到对称点的转化关系；直角三角形分类讨论时漏解． （1）根据抛物线与x轴交点、，利用对称轴公式，直接计算得对称轴为直线． （2）因为A、B关于对称轴对称，所以，则．连接，其与对称轴的交点P即为使最小的点．先求，再求直线的解析式，将代入得． （3）设，分别表示出、、的长度．分、、三种情况，根据勾股定理列方程求解，得到点M的坐标． 【小问1详解】 ，， ， ∴直线． 【小问2详解】 连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入中，得：， 解得， 直线的解析式为． 抛物线的对称轴为直线． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 则， 分三种情况考虑： ①当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为或； ②当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时， 点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省昭通市威信县第二中学2025-2026学年九年级上学期综合素养阶段性练习数学试题 【命题范围：第21至23章】 （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是( ) A. 3，2，1 B. C. D. 4. 将二次函数用配方法化成的形式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 7. 若是方程的解，则式子的值为（ ） A. 5 B. 2 C. 1 D. 8. 下列各点中，在抛物线上的点的是（ ） A. B. C. D. 9. 若是方程的两个根，则（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 10. 已知二次函数的图象上有三点，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，草坪的面积为，若设道路的宽为，根据题意所列方程为（    ） A. B. C. D. 13. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，拱顶（即抛物线的顶点）离水面2m，水面宽为4m，水面下降1m后，水面宽为（ ） A. 5m B. 6m C. m D. 2m 15. 正方形的面积与边长的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若是关于x的二次函数．则m的值为______． 17. 若点与关于原点对称，则________． 18. 为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，我市开展“市长杯”篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划赛程天，每天安排场比赛，则应邀请______个球队参赛． 19. 抛物线如图所示，若，则的取值范围是____________． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解下列方程： （1） （2） 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于原点对称的； （2）作出绕点顺时针旋转90°后的． 22. 2023年某市一楼盘以每平方米6000元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2025年的均价为每平方米4860元．求平均每年下调的百分率． 23. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，与交于点． （1）求的长度； （2）若，求的度数． 24. 有一条长的绳子，要把它围成一个矩形．回答以下问题： （1）怎样围成一个面积为的矩形？ （2）能围成一个面积为的矩形吗？如果能，说明围法，如果不能，请说明理由． 25. 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出100件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元其销售量就减少10件． （1）求该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式？ （2）每件售价定为多少元时，才能使利润最大？其最大利润是多少？ 26. 已知：抛物线经过和． （1）求抛物线的解析式． （2）设是该抛物线与轴交点的横坐标，求代数式的值． 27. 已知，如图所示，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）抛物线的对称轴是____________． （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $