精品解析：江苏省仪征中学、江都中学2026-2027学年第一学期9月检测高三数学试题

江苏省仪征中学、江苏省江都中学2026~2027学年第一学期9月检测 高三数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，若，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则函数的图象大致是 A. B. C. D. 6. 已知，函数，满足对任意实数，，，都有成立，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的奇函数的图象关于对称；且当时，．则方程所有的根之和为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 8. 设a，b为正数，且，则（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在正方体中,,,则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与直线异面 10. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数与曲线相切，则______． 13. 设正实数满足，则的最小值是_________. 14. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有_______种． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题：“，使等式成立”是真命题， （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围． 16. 某城市为鼓励人们乘坐地铁出行，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表： 乘坐站数 票价（元） 3 6 9 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站，甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为，． （Ⅰ）求甲、乙两人付费相同的概率； （Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望． 17. 如图，在直三棱柱中，，，点D、E、F分别为，，的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知是奇函数． （1）求实数的值； （2）求函数在上的值域； （3）令，求不等式的解集． 19. 已知函数，其中为自然对数的底数 （1）当时，求的单调区间； （2）若当时，关于的方程：有两个不同的根：且， （i）求的范围； （ii）当最小时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省仪征中学、江苏省江都中学2026~2027学年第一学期9月检测 高三数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 2. 设集合，，若，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合子集的性质进行求解即可. 【详解】，或. 因为， 所以，因此实数a取值范围是. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用指数函数与幂函数的图象与性质，求得的关系式，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，因为指数函数在上为单调递增函数，所以， 若，因为幂函数的定义域为，满足， 所以为偶函数，且在上递减，在上递增，可得， 当时，不一定成立；反之，当时，也不一定成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为 由于，则． 故选：B 5. 已知函数，则函数的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对的赋值，检验是否符合要求． 【详解】当且接近于0时，，排除A、D． 当且接近于0时，，排除B,故选C． 【点睛】本题考查了判断函数图像知识，可以从单调性，奇偶性，周期，对称性，过定点，定义域及函数值正负等方面入手，一一排除． 6. 已知，函数，满足对任意实数，，，都有成立，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得在单调递增，分类讨论，的单调性即可求解. 【详解】由题意得：在单调递增， 当时，单调递增，所以， 当时，，令，则在上单调递增， 要使得在单调递增，只需， 综上，要使得在单调递增，只需， 所以. 7. 定义在上的奇函数的图象关于对称；且当时，．则方程所有的根之和为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意 函数为周期为4的周期函数，再根据当时，，求导分析函数的单调性，从而画出简图，根据函数的图象及性质求解零点和即可. 【详解】∵为奇函数，∴，又∵关于直线对称，∴函数为偶函数，故，所以，又，所以，故为周期函数，周期为4， 当时，，所以在上单调递增， 作函数图象如下 方程可化为，方程的解即函数的图象与函数的图象的交点的横坐标，作函数的图象，∴方程的所有实根之和为. 故选：A． 8. 设a，b为正数，且，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干，将对数化简构造不等关系，引入函数，借助函数单调性和导数研究取值关系. 【详解】由a，b为正数，且可得， 因为函数单调递增，且， 所以，即，所以，，故；故C错误，D正确； 设，则，设， 则，单调递增，且，， 所以存在使得，所以存在使得成立，故AB错误. 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在正方体中,,,则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与直线异面 【答案】AB 【解析】 【分析】设正方体棱为一个具体的数,建立空间直角坐标系,根据各个点的位置,写出各个点的坐标,找到,计算两个向量的数量积,判断是否为0,即可得选项A的正误;求出平面的法向量,判断与法向量是否垂直,根据线面平行的判定定理,即可得选项B的正误;根据向量的数量积为0,判断是否与平面中两个不共线向量是否垂直即可判断选项C的正误;判断是否共线,即可得选项D的正误. 【详解】解:由题知,令正方体棱为3, 以为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系: 因为,, 所以 , , 所以,, 因为, 所以, 故选项A正确; 设平面的法向量为, 则, 因为, 所以, 取,可得, 因为, , 所以, 因为平面, 所以平面, 故选项B正确; 因为,, 所以, 故 与不垂直, 即不垂直于平面, 故选项C错误; 因为,, 所以共线， 即, 所以四点共面， 故直线与直线共面. 故选项D错误. 故选:AB 10. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由题意，作出函数的图象，结合图形和二次函数的性质，依次判断选项即可. 【详解】结合函数的图象可知，，故A错误； 由，当时，符合题意，故B错误； 因为，所以，所以，则， 又，所以， 由二次函数性质得在上单调递增， 故，故C正确； 因为，所以，故D正确． 故选：CD 11. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】构造函数，利用导数讨论单调性，进而求出三者的关系 【详解】设，则．当时，，则在上单调递增．当时，，则在上单调递减．故． 因为，，， 所以，，即，，则A，B正确． 因为，令，则，从而．， 令，则，， 从而在上单调递增，故，即， 即．因为，所以， 所以，所以．令，则．因为，所以， 所以，即，则C正确，D错误． 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：考查学生构造函数的能力，以及对数和指函数，导数，单调性等的使用，关键是构造函数，证明不等式. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数与曲线相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，求得，根据题意，得到，得到切点坐标，代入曲线方程，即可求解. 【详解】设切点坐标为，由函数，可得，所以 因为函数与曲线相切，可得，则， 可得，所以切点坐标为， 将点代入曲线，可得，解得. 13. 设正实数满足，则的最小值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为正实数满足，所以，所以解得， 所以，当且仅当，即时取等号， 故答案为： 14. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有_______种． 【答案】12 【解析】 【分析】确定1，9的位置，再确定2，3的位置，最后确定余下4个数的位置，列式计算即可. 【详解】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角，在右下角，如图， 排在位置，有种方法， 从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法， 最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法， 所以填写方格表的方法共有（种）. 故答案为：12 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题：“，使等式成立”是真命题， （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，由二次函数的性质计算在区间上的值域即可求解； （2）根据已知条件可得，讨论，，时集合，再根据包含关系列不等式，解不等式即可求解. 【小问1详解】 由可得， 因为，所以时，， 当时，， 所以， 【小问2详解】 若是的必要条件，则， 方程的两根分别为，， ①当即时，， 由可得，解得：， ②当即时，， 由可得，解得：， ③当即时，，此时不符合题意， 综上可得：或. 16. 某城市为鼓励人们乘坐地铁出行，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表： 乘坐站数 票价（元） 3 6 9 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站，甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为，． （Ⅰ）求甲、乙两人付费相同的概率； （Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 【解析】 【详解】试题分析：(1) 由题意知甲乘坐超过站且不超过站的概率为 ，乙乘坐超过站且不超过站的概率为 ，利用乘法概率公式及互斥原理得到甲、乙两人付费相同的概率； (2) 由题意可知的所有可能取值为：，，，，.求得相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望. 试题解析： （1）由题意知甲乘坐超过站且不超过站的概率为， 乙乘坐超过站且不超过站的概率为， 设“甲、乙两人付费相同”为事件， 则 ， 所以甲、乙两人付费相同的概率是. （2）由题意可知的所有可能取值为：，，，，. ， ， ， ， . 因此的分布列如下： 所以的数学期望 . 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确； 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得. 17. 如图，在直三棱柱中，，，点D、E、F分别为，，的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）在直三棱柱中， 因为，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值； （3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 ，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知是奇函数． （1）求实数的值； （2）求函数在上的值域； （3）令，求不等式的解集． 【答案】（1）以． （2）①当时，值域为； ②当时，值域为； （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数得，可解出；（2）先换元（），则，，再结合二次函数的图像讨论其值域；（3）先证到也为奇函数，用导数证得 在上单调增，将等价转化为，所以，解出答案即可. 【详解】（1）函数的定义域为，因为为奇函数，由可知，， 所以，即； 当时，，此时为奇函数 所以． （2）令（），所以 所以，对称轴， ①当时，，所求值域为； ②当时，，所求值域为； （3）因为为奇函数，所以 所以为奇函数， 所以等价于， 又当且仅当时，等号成立， 所以在上单调增， 所以， 即，又， 所以或．所以不等式的解集是． 【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性得综合应用，指数复合型函数的值域，综合性较强，属于中档题. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数 （1）当时，求的单调区间； （2）若当时，关于的方程：有两个不同的根：且， （i）求的范围； （ii）当最小时，求的值． 【答案】（1）单调递增区间为和，无单调递减区间. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先求，再通过研究的正负性来确定的正负性，即可求出的单调区间； （2）（i）将问题转化为在上有两个不同的零点，根据导函数研究其单调性，最后根据零点存在性定理即可得出； （ii）令，通过，先研究函数的单调性，再研究的最小值，利用两者最小值的一致性，可得的值，即可通过求的值. 【小问1详解】 定义域为， 当时，，则， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 因，则或时，，即， 则的单调递增区间为和，无单调递减区间. 【小问2详解】 （i）当时， 有两个不同的根， 则在上有两个不同的非零零点， 因，则在上有两个不同的零点， 因， 当时，，则在上单调递增， 则在上至多存在一个零点，不符合题意； 当时，得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 令，则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，则在上恒成立， 因，则， 则当时，； 当时，， 则由零点存在性定理可知在上有两个不同的零点， 综上可知，的范围为. （ii）因，结合的单调性可知， 由（i）可知是的两个根，即， 两式相减得， 令，则，则， 令由（1）可知，在上单调递增， 故欲求的最小值，只需求的最小值，即的最小值， 令，则， 令，则，则在上单调递增， 又，则使得，即， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则当时取最小值，取最小值，取最小值， 此时 综上所述，当最小时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $