总量与分量的关系（教案）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

总量与分量的关系 教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 四年级 学期 秋季 课题 总量与分量的关系 教学目标 1．结合具体情境，理解“总量”和“分量”的意义，能识别不同情境中的总量与分量，建立并掌握加法模型“总量＝分量＋分量”及其变式“分量＝总量－分量”，并能运用这些数量关系解决简单的实际问题。 2．经历“提出问题、分类研究、建立模型、解释应用”的加法模型构建全过程，在从“一题一图”到“多题一图”的比较、归纳、抽象与概括过程，用画图、语言、符号等多种方式表征数量关系，并能根据减法是加法的逆运算自主推导出模型的变式，初步发展模型意识、推理意识和几何直观。 3．在丰富的“合并”“移入”“比较”等现实情境中，体会加法模型的普适性，感受数学与生活的紧密联系，增强应用意识。 教学内容及重、难点 教学内容：教科书第58页例1加法模型（总量与分量的关系）及相关练习。 教学重点：引导学生分析多个情境问题（合并、移入、比较等）中的数量关系，理解“总量”与“分量”的含义，提炼并掌握加法模型“总量＝分量＋分量”。 教学难点：引导学生在不同现实情境（特别是相差关系问题）中准确辨析总量与分量，经历从“一题一图”到“多题一图”的抽象概括过程，感悟加法模型的普适性，初步发展模型意识。 教具学具准备 教学课件、学习任务单。 教学过程 教学环节 主要师生活动 谈话导入 学校图书馆是我们获取知识的重要场所。你们知道学校图书馆星期一借阅图书的情况吗？（出示教科书第58页复式统计表）今天，我们就从这张统计表中寻找数学奥秘，学习一种重要的数量关系模型。 新知探究 一、读取信息，提出数学问题并分类 1．观察表格，提出数学问题 提问：仔细观察这张统计表，你能提出哪些数学问题？ 预设1：我提出了两个数学问题，分别是：上午来了多少人？下午来了多少人？ 预设2：我想到了3个数学问题：教师一共多少人？学生一共多少人？上午和下午一共来了多少人？ 预设3：我提的问题与他们的不同，比如上午来的教师比学生少多少人？下午来的教师比学生少多少人？全天来的教师比学生少多少人？ 预设4：我也提出了三个问题，下午来的学生比上午来的学生多多少人？下午来的教师比上午来的教师多多少人？上午来的总人数比下午来的总人数少多少人？ 2．分类研究，聚焦“加法问题” 提问：同学们真善于思考，提出了这么多有价值的问题。如果老师想让你们对这些问题进行分类，你们能按不同的标准给这些问题分类吗？说说你是怎么分的，为什么这样分？ 预设1：我把只问上午的分一类，只问下午的分一类，问全天或比较上下午的分一类。这样分是因为涉及的时间不同，需要选择的数据范围就不一样，有的只看一行，有的要看两行甚至四行。 预设2：我是把用加法计算的问题放在一起，把用减法计算的问题放在一起。比如问题1到5就要用加法来计算。我这样分是因为加法问题和减法问题解决的方法不一样，加法是把两部分合起来，减法是从总数里去掉一部分，运算意义不同。 预设3：我想分成两类：一类是求总数的问题，一类是求相差数的问题。因为求总数是把几个量合并起来，求相差数是比较两个量的多少。 小结：同学们从不同的角度对问题进行了分类，非常有条理！有的按时间分，有的按运算方法分，有的按问题类型分。这些分类方法都很有道理。今天这节课，我们就重点来研究用加法解决的这组问题。 追问：这些加法问题有什么共同的特点？ 预设1：都是把几个数合起来。 预设2：都是求一共有多少。 预设3：都是求总数。 小结：同学们真善于发现！这些加法问题都是在求“总数”，也就是把各个部分合起来。接下来我们就来深入研究这一类问题。 二、分析关系，经历概括过程 1．一题一图，感知关系 提问：这些问题都可以用加法解决吗？请画一画、写一写、算一算。 学生独立思考解决，教师选择学生作品，同屏呈现，组织反馈交流。 预设1：问题1是要求上午一共来了多少人，就要把上午的教师人数和上午的学生人数加起来。用到的数量关系是：上午总人数＝上午教师人数＋上午学生人数。结合线段图，可以知道：15＋32＝47（人）。 板书：上午总人数＝上午教师人数＋上午学生人数。 15＋32＝47（人） 预设2：问题2是要求下午一共来了多少人，就要把下午的教师人数和下午的学生人数加起来。用到的数量关系是：下午总人数＝下午教师人数＋下午学生人数。结合线段图，可以知道：24＋50＝74（人）。 板书：下午总人数＝下午教师人数＋下午学生人数。 24＋50＝74（人） 预设3：问题3是要求教师一共有多少人，就是把上午的教师人数和下午的教师人数加起来。用到的数量关系是：教师总人数＝上午教师人数＋下午教师人数。结合线段图，可以知道：15＋24＝39（人）。 板书：教师总人数＝上午教师人数＋下午教师人数 15＋24＝39（人） 预设4：问题4是要求学生一共有多少人，就是把上午的学生人数和下午的学生人数加起来。用到的数量关系是：学生总人数＝上午学生人数＋下午学生人数。结合线段图，可以知道：32＋50＝82（人）。 板书：学生总人数＝上午学生人数＋下午学生人数 32＋50＝82（人） 预设5：问题5是要求上午和下午一共来了多少人，可以把上午总人数和下午总人数加起来。用到的数量关系是：总人数＝上午总人数＋下午总人数。结合线段图，可以知道：47＋74＝121（人）。 板书：总人数＝上午总人数＋下午总人数 47＋74＝121（人） 预设6：对于问题5我有不同的想法，还可以把教师总人数和学生总人数加起来。用到的数量关系是：总人数＝教师总人数＋学生总人数。结合线段图，可以知道：39＋82＝121（人）。 板书：总人数＝教师总人数＋学生总人数 39＋82＝121（人） 小结：同学们真了不起！从这张简单的统计表中，大家不仅提出了这么多加法问题，还能从不同的角度寻找“部分”与“整体”，虽然合并的角度不同，但都是用加法把两部分合起来求总数。 2．多题一图，初步概括 提问：比较这六幅作品，它们有什么相同的地方？你能用一个式子来表达它们的关系吗？ 预设1：它们都是把几个数加起来，都是在求总数。 预设2：虽然每个问题合并的对象不一样，但都是把两部分合在一起。 预设3：它们都是用“一部分＋另一部分＝总数”来表达的。 预设4：它们都能用一个图来表示，也就是“部分＋部分＝整体”。 评价：四位同学从不同的角度观察，却得出了相同的结论——尽管问题和数据各不相同，但背后隐藏的结构是完全一致的。 小结：正因为结构相同，所以我们可以用同一幅图来概括所有情况：这幅图就表示了“把部分合并成整体”这一类问题。 3．抽象建模，引出“总量”与“分量” 讲述：像这样，把两部分合并起来得到的总数，在数学上我们可以把它叫作“总量”，而合并前的每一部分叫作“分量”。（板书：总量 分量）可以用“总量＝分量＋分量”表示这一类问题的数量关系。 小结：这就是我们今天要学习的加法模型。 4．丰富情境，体会模型普适性 （1）从两个分量到多个分量的拓展 刚才有同学用了不同的方法来解决“一共来了多少人”这个问题，我们一起来看看。 总人数＝上午教师人数＋下午教师人数＋上午学生人数＋下午学生人数 15＋24＋32＋50＝121（人） 提问：这种方法能用刚才发现的“总量＝分量＋分量”来表示吗？ 预设1：可以，这里的15、24、32、50都是分量，加在一起就是总量。 预设2：虽然这里有四个分量，但也符合“总量＝分量＋分量”，在实际中分量可以不止两个，这里是“总量＝分量＋分量＋分量＋分量”。 小结：求总量的时候，不一定只有两个分量，也可以是多个分量相加。 （2）在变式中感悟总量与分量的相对性 伴随着学习的深入，有一位同学产生了一个困惑，我们一起来看看：“教师总人数”这个数量，它在求“教师一共多少人”时是总量，它在求“总人数”的问题中又是分量。这个数量到底是总量还是分量呢？ 提问：同学们，你们能帮他解决这个困惑吗？ 预设1：教师总人数本身就是一个总体的数量，在求教师一共多少人时，它作为合并的结果，所以是总量；但当它作为总人数的一部分时，它就变成了分量。 预设2：一个数量表示什么，要看它放在哪个问题里，和谁在比。 小结：看来情境中的某一个数量，在解决不同问题时，有时是分量，有时又成为几个分量的总量，需要深入思考和辨析。 （3）从单一情境到多元情境的迁移 提问：是不是只有“合并”的问题才能用这个模型？我们来看下面这两个问题。课件出示： ①池塘里原来有23只鸭子，又游来19只，现在一共有多少只？ ②一班有12面红旗，二班比一班多3面，二班有多少面红旗？ 组织讨论：这两个问题能用“总量＝分量＋分量”来解决吗？谁是总量？谁是分量？ 预设1：第1题中原来的23只鸭子是一个分量，又游来的19只鸭子是另一个分量，现在的总只数是总量，可以用“总量＝分量＋分量”来解决。 预设2：我觉得第（2）题不是合并的问题，因为题目是在比较一班和二班红旗的数量，不是把两部分合起来。 预设3：我认为可以用这个模型。通过画图我发现，可以把一班的12面看成一个分量，二班比一班多的3面看成另一个分量，二班的红旗数就是这两部分合起来的总量，所以12＋3＝15（面）。 预设4：这两道题目虽然情境不同，但都是在求总量，都需要把两个分量合起来。 小结：你们在交流中互相启发，从困惑到清晰，这就是数学思考的魅力！“移入”也好，“比较”也罢，虽然情境变了，但本质上都是把两部分合并起来求总量。所以，不管情境怎么变，只要是把部分合并成整体，都可以用“总量＝分量＋分量”来解决。 三、逆向思考，提炼加法模型的变式 1．变换问题，引发思考 提问：刚才我们求出了上午人数、下午人数、教师人数、学生人数和总人数。现在想知道“下午有多少教师？”“上午有多少学生？”可以怎样解决？ 2．解决问题，推导关系 学生独立解决，全班交流。 预设1：第1题要求下午教师人数，可以从下午总人数里减去下午学生人数，用总量减去一个分量来解决，算式是：74－50＝24（人）。还可以用教师总量减去上午教师人数这个分量，算式是：39－15＝24（人）。 预设2：第2题要求上午学生人数，上午学生人数＝上午总人数－上午教师人数，也是用总量减分量来思考，算式是47－15＝32（人）。 预设3：上午学生人数还可以用学生总人数减去下午的学生人数来求，就要先算出学生的总人数，算式121－39＝82（人），82－50＝32（人）。 追问：这两个问题和我们刚才解决的问题有什么不同？ 预设：刚才解决的是求总量，现在是知道总量和一个分量，求另一个分量。 追问：你们还有什么发现？ 预设1：根据“总量＝分量＋分量”，可以得到“分量＝总量－分量” 预设2：求刚才的问题，都可以用“分量＝总量－分量”来解决，从总量里面也可以减去多个分量。 小结：大家真善于思考！根据减法是加法的逆运算，我们可以推导出加法模型的变式：分量＝总量−分量。加法模型不仅告诉我们怎样求和，还告诉我们怎样求部分。 知识运用 在里填上合适的数。 总结反思 提问：通过今天的学习，你有哪些收获？ 预设1：我知道了什么是“总量”，什么是“分量”。 预设2：我学会了加法模型“总量＝分量＋分量”以及它的变式“分量＝总量－分量”。 预设3：我发现不管是“合并”“移入”还是“比较”的问题，都可以用这个模型来解决。 预设4：我学会了用一幅图来概括很多道题。 课后作业 1．完成教科书第61页练习十二第2题。 下面问题中有哪些总量和分量之间的关系？和同学交流一下。 （1）班级图书角借出15本图书后，还剩30本，图书角原有图书多少本？ （2）外婆家养了30只兔，鸡比兔多15只，鸡和兔一共有多少只？ （3）原有30辆共享单车，骑走20辆，放回5辆。现在有多少辆？ 2．实践作业：观察生活中的一个场景（如超市购物、家庭聚会等），找到其中具有“总量”和“分量”关系的事例，并根据“总量＝分量＋分量”或“分量＝总量－分量”编一道数学题。 2 学科网（北京）股份有限公司 $