专题09 相似（期中真题汇编，重庆专用）九年级数学上学期

专题09 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·重庆万州·期末）下列各组中的四条线段是成比例线段的是（       ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【分析】 本题考查成比例线段的概念，解决本题的关键是熟练掌握成比例线段的概念． 若判断四条线段是否成比例，可以看其中两条线段的比是否等于另外两条线段的比；即将四条线段按从小到大排序，看最小线段与最大线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，由此计算并判断选项即可． 【详解】 解：选项A中，，，，四条线段不成比例． 选项B中，，，，四条线段成比例． 选项C中，，，，四条线段不成比例． 选项D中，，，，四条线段不成比例． 故选：B． 2．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）已知点是线段的黄金分割点，，那么的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了黄金分割的定义．根据黄金分割的定义，当时，与的比值为，由此直接计算． 【详解】 解：点是的黄金分割点，且， ， ， ． 故选：A． 3．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）下列四组线段中，不是成比例线段的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的定义逐项分析即可. 【详解】 解：A.∵，故选项A中的线段成比例； B.∵，故选项B中的线段成比例； C.∵，故选项C中的线段不成比例； D.∵，故选项D中的线段成比例； 故选：C． 4．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）下列图形中，不是相似图形的一组是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据相似图形的定义，对各选项进行一一分析，即可得出结论． 【详解】 解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查了相似图形的定义，掌握相似图形的定义并能结合具体图形进行准确判断是解题的关键． 5．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）已知，则的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，由，可设，，再代入所求式子中计算即可． 【详解】 解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，结合图形得到相应比例求解，是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴ ∴， 故选：D． 2．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）如图，直线，，若，则的长为（     ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 18 【答案】B 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，准确得出对应线段的比例关系是解题关键． 利用三条直线的平行关系，结合平行线分线段成比例定理，得出对应线段的比例关系，再代入已知的、，计算出的长度． 【详解】 解：，， ， ， ． 故选：． 3．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）在学习图形的相似过程中，有这样一个问题：如图，，． （1）用直尺和圆规，作的平分线交于点．（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，试说明．请根据以下思路完成填空： 证明：， ①_____ 平分， ②_____ ③_____ ④_____ 【答案】（1） 如图所示，即为所作的角平分线，      （2）①；②；③；④      【分析】 本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质，三角形的外角，角平分线的定义，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）根据尺规作图——角平分线的作法解答即可； （2）根据等腰三角形的性质，三角形的外角，角平分线的定义，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，进行解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 4．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知，，，则的长是　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】 解：∵， ∴， 又，，， ∴， 解得， 经检验，符合题意， 故答案为：6． 5．（25-26学年九上·重庆十一中教育）如图， 中，点D 为边的中点，连接，将 沿直线 翻折至 所在平面内，得，连接，分别与边交于点E ，与 交于点O ．若，则的长为 　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了翻折的性质，三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质，掌握三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 利用翻折的性质可得推出是的中位线，得出，再利用得出的长度，即可求出的长度． 【详解】 由翻折可知 ∴O是的中点， ∵点D为边的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C.  D.  【答案】D 【详解】 解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 2．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）如图，点D在的边上，添加下列条件，不能判断的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由相似三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】 解：，，∽，故选项A不符合题意； ，，∽，故选项B不符合题意； ，但无法确定与是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C符合题意； ，，∽，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 3．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（       ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】C 【分析】 该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】 解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 4．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．① 两角分别相等的两个三角形相似；② 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③ 三边成比例的两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【详解】 解：A．能判定，符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； B．不能判定，不符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； C．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似； D．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似． 故选B． 5．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】 解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 6．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，在正方形中，为对角线上的点，为边上的点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点恰好与点重合，连接交于点．若正方形的边长为，则的长为（     ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．连接，先证出，根据相似三角形的性质可得，则，再证出，根据相似三角形的性质可得，则，然后根据求解即可得． 【详解】 解：如图，连接， ∵正方形的边长， ∴，，，，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7．（25-26学年九上·重庆川外基础教）如图，正方形中，，E为上一点，将沿翻折得到，连接，，若，则的长度为（       ） A. 6 B.  C. 7 D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据题意得到是解题的关键． 过点E作于点F，过点作于点G，交于点H，则，根据折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，进而得到，，，再证明，可得，，然后根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】 解：过点E作于点F，过点作于点G，交于点H，则， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 8．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）如图，在正方形中，，点是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，连接交于点，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了正方形与折叠问题，涉及勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形和折叠的性质是解题的关键． 先对由勾股定理求解，然后求出，再由折叠的性质得到为等腰直角三角形，即可求解，最后由求解即可． 【详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴同理可得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．（25-26学年九上·重庆万州·期末）如图，在正方形中，对角线相交于点，点为上一点，于点，连接，若，，则的值为（       ） A.  B.  C. 7 D.  【答案】A 【分析】 由正方形的性质可得，，，，令与交于点，作，交于点，证明，得出，，从而可得为等腰直角三角形，求出，则，结合勾股定理可得，证明，得出，代入计算即可得出结果． 【详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，，，， 如图，令与交于点，作，交于点， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 10．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）如图，在正方形中，点，点分别是，上一点，连接，分别交对角线于点，连接，点为的中点，连接，若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 延长到点Q，使，连接，，证明，得出，证明，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，，证明，得出，证明，得出，根据直角三角形的性质得出，即可得出，最后求出结果即可． 【详解】 解：延长到点Q，使，连接，，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点M为的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 11．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）如图，正方形的边长为6，点在边上，连接，作交的角平分线于点，交于点，连接交于点．若，则的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，延长交的延长线于点，证明得出，，进而勾股定理求得，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，再证明进而得出，即可求解． 【详解】 解：如图，延长交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， 在中， ∵是的角平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 故选：C． 12．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交于点G，连接，则（     ） A.  B.  C.  D. 4 【答案】B 【分析】 此题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理的运用，三角形全等的证明等知识，解题的关键是根据折叠的性质得到然后继续求解． 连接，作于点H，可证，得到，设，在中，利用勾股定理求出，再根据求出的长度，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】 如图所示，连接，作于点H， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∵沿对折至， ∴，, ∴在和中， ∴， ∴， ∴设，则， ∴在中，， 代入可得：， 解得：， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴可得， ∴， 代入得：， 解得：， ∴． 故选：B． 13．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）如图，四边形是正方形，以为斜边在右侧作，使得且，在的延长线上取一点，使得，连接、，交于点，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 过点作于点，交于，则，则四边形为矩形，设，则，证明，则可设，则，那么得到 ，解得 ，则，，，由勾股定理求解，再由勾股定理求解，可得，即可求解． 【详解】 解：过点作于点，交于，则 ∵四边形是正方形， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∵且， ∴设， 则由勾股定理得， ∵ ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴由得到 ， 解得 ， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线，构造相似三角形． 14．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）如图，矩形对角线与反比例函数相交于点，且，已知点坐标为，则的值为（     ） A. 18 B. 20 C. 25 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形性质与判定，矩形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 过点作轴于点，结合矩形性质证明，得到，进而算出，再结合反比例函数性质求解，即可解题． 【详解】 解：过点作轴于点， 四边形为矩形， ， ， ， ， 点坐标为， ， ， ， ， 矩形对角线与反比例函数相交于点， ， 反比例函数图象在第一象限， ； 故选：A． 15．（25-26学年九上·重庆南开中学校）如图，正方形中，点为线段上一点，满足，连接，点为线段上一点，过点作交于点，交延长线于点，若，则的值为（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合垂线定义、正方形性质得出，，，设，，则，，，，设与相交于点，利用两角相等证明，由相似三角形性质得，从而推得，利用勾股定理求出，，再证，由相似三角形性质得，从而得到，由即可得解． 【详解】 解：依题得：，即， 正方形中， ，， 设，， 则，，，， 设与相交于点， 此时， 又，， ， ， ， ， 即， 解得， 即， ，，， 中，， 中，， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】 本题考查的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理、三角形内角和定理，解题关键是利用相似三角形的判定与性质推得． 16．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）如图，在△ABC中， ∠B=∠AED，AB=5，AD=3，CE=6，则AE=　　　　　　. 【答案】2-3. 【分析】易知△ABC∽△AEF，则对应边成比例即=,再根据AC=AE+EC，代入已知条件即可求得AE的长. 【详解】∵∠B=∠AED，∠A为公共角， ∴△ABC∽△AED， ∴=，又AC=AE+EC， ∴=， 解得AE=2-3.（负值已舍） 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到对应边成比例. 17．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，在中，，，， （1）尺规作图：作线段垂直平分线，交于点E，交直线于点F； 保留作图痕迹，不要求写作法 （2）在（1）的条件下，求的长度． 解：，， 垂直平分线段， ，， ①______． ， ②______， ③______， ， ④______． 【答案】（1） 如图，即为所求作的线段垂直平分线；      （2）①；②；③；④      【分析】 本题主要考查了作图—基本作图，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）根据线段垂直平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）证明，再利用相似三角形的性质求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，、分别在边、上，若，，，则的长为 　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握由平行线判定三角形相似以及相似三角形对应边成比例是解题的关键． 通过平行线判定三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例关系来求解BC的长度． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，，则， ∴， ∴ ， 解得， 故答案为：． 19．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点， （1）求证：； （2）已知，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）由平行四边形得到，即可证明； （2）由得到，再代入求值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，已知等腰直角三角形，点为边上一点，连接，将沿折叠得，连接交于点．若，且，则： （1）的长为　　　　　　； （2）的值为　　　　　　． 【答案】① 2    ② 【分析】 题目主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点A作，根据等腰三角形的性质得出，，，再由折叠的性质确定，利用相似三角形的判定和性质得出，，代入求解即可； （2）由（1）得，，利用相似三角形的判定和性质得出，，结合图形代入求解即可． 【详解】 解：过点A作，如图所示： ∵等腰直角三角形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：2； （2）由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 21．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）在中，是边上的中线． （1）如图，是边上的中线，点是的中点，交于点，若，求的长； （2）如图，若，过点作于点，求证：． 【答案】（1）1     （2） 证明：取的中点为E，连接 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵、分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴      【分析】 此题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质， （1）延长，分别交于点M，N，根据三角形中位线的性质求出，由，证得，求出，，再证，求出，即可得到； （2）取的中点为E，连接，根据直角三角形的性质得到，由此得到，进而推出，根据三角形中位线的性质证得，由此，继而，即可证得，由此得到，进而证得 (1) 小问详解： 解：如图，延长，分别交于点M，N， ∵是边上的中线，是边上的中线， ∴是的中点， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ (2) 小问详解： 略． 22．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）（多选）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．    (1)求证：△ABE∽△ECD； (2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长． 【答案】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB＋∠DEC＝90°， ∴∠BAE＝∠DEC， ∴△ABE∽△ECD. （2）CD＝． 【分析】 （1）先根据同角的余角相等可得：∠DEC＝∠BAE，再利用两角相等证明三角形相似； （2）先根据勾股定理得：BE＝3，根据△ABE∽△ECD，列比例式可得结论． 【详解】 (1) 略 (2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5， ∴BE＝3， ∴EC＝BC－BE＝5－3＝2， ∵△ABE∽△ECD， ∴， ∴， ∴CD＝. 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 23．（2026·重庆育才中学校·三模）如图，在中，以为直径的分别交、于点、．与交于点，为射线上的一点，连接，且，．若，，则　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　． 【答案】① 5    ② .75 【分析】 连接，，证明得出，，，进而证明，根据相似三角形的性质得出，代入数据求得和的长，通过证明得到，求出的长，利用勾股定理求出的长，再证明即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接，，     ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：5；． 【点睛】 本题考查了直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）如图，已知矩形中，，，连接，点、分别在边，上，将四边形沿线段翻折，点，的对称点分别为，．若点恰好落在线段上，且．则　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 过点作于点H，证明，可得，，设，则，在中，利用勾股定理可得，，延长交于点K，连接，则四边形是矩形，设，则，在和中，利用勾股定理可得，再由，可得，即可求解． 【详解】 解：如图，过点作于点H， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴， 如图，延长交于点K，连接，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， 设，则， 在和中，， ∴， ∴， 解得：， 即， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 故答案为：； 25．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结．延长交于点E，若，，则的半径为　　　　　　，　　　　　　　． 【答案】①     ② 6 【分析】 延长交于F，根据直径所对的圆周角为直角得，再根据垂径定理得，设的半径为R，则，证明，得到，进而得，在和中利用勾股定理构造方程由此解出R即可，再由求解． 【详解】 解：延长交于F， 如图所示 ∵是的直径， ，即， ∵点C为 的中点， 根据垂径定理得， ， 设的半径为R，则 ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得 (不合题意，舍去)， ∴的半径为． ∴， ∴， 故答案为：；6． 【点睛】 此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，理解圆周角定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 26．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）在中，，点为边上中点，为直线上一点，连接． （1）如图，若，，求线段的长度； （2）如图，若，点为边上一点，且，连接并延长至点，使，连接．请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若，，点为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为的中点，连接，请直接写出当取得最小值时的面积． 【答案】（1）；     （2）解：， 理由如下：如图，延长至，使得，连接， ∵点为边上中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，， ∵，点为边上中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴；     （3）当取得最小值时的面积为．      【分析】 （）由等腰三角形的性质可得，，，，则，根据性质可得，设，则，则，然后求出的值即可； （）延长至，使得，连接，证明，则，，设，，再证明，故有，，从而求出，所以，过作于点，可得，然后由线段和差即可求解； （）通过勾股定理得，由折叠性质可知，，，则点在以为圆心，为长度的圆上，即点在上运动，取中点，连接，所以点在以为圆心，为长度的圆上运动，当点三点共线时，当取得最小值，过作，交于点，过作，交延长线于点，由平行线分线段成比例可得，求出，所以，证明，则，故，求出，所以，然后用面积公式即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，点为边上中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，整理得， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为边上中点， ∴， ∴， 由折叠性质可知，， 如图，点在以为圆心，为长度的圆上，即点在上运动，取中点，连接， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，为长度的圆上运动， ∴如图，当点三点共线时，当取得最小值，过作，交于点，过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴为中点， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴当取得最小值时的面积为． 【点睛】 本题考查了圆有关概念，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 27．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为上一点，以为斜边向下作等腰． （1）如图，连接，交于，若垂直平分，设，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图，连接，以为顶点，在右侧作，交于点，求证：； （3）如图，连接，设与交于点，若，，点从点运动到点的过程中，当的长度取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）；     （2） 如图，过作交延长线于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 （）由垂直平分，则，，根据等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质即可求解； （）过作交延长线于点，连接，证明，，然后根据性质即可求证； （）取中点，连接，连接，过作，，分别交于点，通过全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质即可求解． (1) 小问详解： ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图，取中点，连接，连接，过作，，分别交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积为． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角度和差，勾股定理，三角形的外角性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 28．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）如图，菱形的对角线，交于点． （1）如图1，过菱形的顶点作于点，交于点，若，求的面积； （2）如图2，过菱形的顶点作，且．线段交于点．交于点．当，，三点在同一直线上时，请用等式表示线段、之间的数量关系，并证明； （3）如图3，菱形中，．点为直线上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，当线段的长度最小时，将沿直线翻折得到，若延长与、所在的直线分别交于点M，N，直接写出的值． 【答案】（1）     （2） ，理由如下： 如图，连接，在上取一点，使得，连接， ，， ， 四边形是菱形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． （1）证明是等边三角形，即可解决问题； （2）连接，在上取一点，使得，连接．证明，推出，，即可解答； （3）如图，以为边向下作等边，连接，过点作于点，在上取一点，使得．证明，推出，当与重合时，的值最小，此时的值最小，求得的度数，再利用折叠的性质和相似三角形的判定和性质即可解答． (1) 小问详解： 解：四边形是菱形， ，，， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，以为边向下作等边，连接，过点作于点，在上取一点，使得． ， ， ，， ， ， 当与重合时，的值最小，此时的值最小． 四边形是菱形， ， ， ，， ，， ， ， ． 如图，过点作交于点， 根据折叠可得， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ． 29．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）如图，点是边长为8的正方形的边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，，交边于点，连接，当取最小值时，线段的长为　　　　　　　；线段的长为　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，作出正确的辅助线是解题的关键． 过点作交的延长线于点，作直线，首先证明，得，，再证明点在的平分线上，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时，最小，设，由图1知，，则，由，得到对应边成比例即可求出的值，即可解决问题． 【详解】 解：如图，过点作交的延长线于点，作直线， 四边形是正方形， ，，， ， ， 由旋转知，，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点在的平分线上， 如图2，延长使得， 在与中， ， ， ， ， 当三点共线时，取最小值， ，， 四边形为平行四边形， ， 设，由图1知，， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 故答案为：；． 30．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）中，，将绕点A逆时针旋转到，直线与直线交于点E，过点D作交延长线于点F． （1）如图1，当时，连接，若，求的长度； （2）如图2，若点G为的中点，连接，请用等式表示线段之间的数量关系并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，，，连接，点P为边上一动点，连接，以为直角边在其右侧作等腰直角，，并将绕点Q旋转至，连接，请直接写出当和均取得最小值时的面积． 【答案】（1）     （2） 解：，证明如下： 如图所示，延长到T，使得，连接， 由旋转的性质可得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点G为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴；      （3）      【分析】 （1）如图所示，过点D作于H，先证明是等边三角形，得到，再由旋转的性质得到，据此可得，进而得到，进一步证明，据此求出的长，再求出的长，即可得到答案； （2）延长到T，使得，连接，由旋转的性质可得，证明，得到，导角证明，得到，再由直角三角形的性质得到，则可证明； （3）如图所示，以B为直角顶点，为直角边作等腰直角，连接，可证明，得到，由旋转的性质可得，则可证明；再证明四边形是正方形，得到， ，进而得到点Q在直线上运动，且K、D、F三点共线，则当时，有最小值，设此时点Q与重合，再证明点M在以点Q为圆心，的长为半径的圆上运动，则当M、E、Q三点共线，且点E在上时，有最小值，设此时M与重合；由勾股定理得，，由（2）的结论可知，则，；求出，，则；如图所示，过点作于N，则，证明，利用相似三角形的性质得到，则． (1) 小问详解： 解：如图所示，过点D作于H， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，以B为直角顶点，为直角边作等腰直角，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是正方形， ∴， ∴点Q在直线上运动，且，则K、D、F三点共线， ∴当时，有最小值，设此时点Q与重合， ∵将绕点Q旋转至， ∴， ∴点M在以点Q为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴当M、E、Q三点共线，且点E在上时，有最小值，设此时M与重合； 在中，由勾股定理得， ∵，G为的中点， ∴， 由（2）的结论可知， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，过点作于N，则， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了圆与三角形综合，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质等等，解（2）的关键在于作出辅助线构造全等三角形，解（3）的关键在于构造相似三角形证明点Q的轨迹为直线，进而证明点M的轨迹为圆． 31．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为　　　　　　　　，的面积为　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据矩形的性质，折叠的性质，得到，再结合等腰三角形性质，即可求出的长，利用勾股定理求出，进而得到，过点作于点，证明，利用相似三角形性质求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】 解：四边形为矩形， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ； 由勾股定理可得，， ，， ， 解得， ，， 过点作于点， ， ， ， 即， 解得， 的面积为． 故答案为：，． 32．（25-26学年九上·重庆第十八中学）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，当时，求的面积． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，连接，写出与的关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试画出C，D，E三点构成直角三角形的图形，并直接写出直角三角形的面积（至少2种情况）． 【答案】（1）； （2），证明如下： 根据题意，得， ∴是等腰三角形， 分别过点作，垂足分别为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）直角三角形的面积为4或16或12或． 【分析】 （1）利用勾股定理求出，由三角形全等的性质可得，，过点作，易证是等腰直角三角形，求出，再根据三角形面积公式即可求解； （2）先根据直角三角形的性质可得，易证是等腰三角形，分别过点作，垂足分别为，根据等腰三角形三线合一的性质求出，利用勾股定理求出，再利用三角形等面积法求出，由勾股定理求出，由，根据等腰三角形三线合一的性质求出，即，再证明，得到，求出，即可得出结论； （3）运用分类思想解答即可． 【详解】 解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴即， 过点作， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的面积为； （2）略 （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 33．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，在矩形中，，，点E为上一定点，满足，连接，，动点M从A点出发，沿着折线运动，运动速度为每秒1个单位长度，动点N从C点出发，沿着向E运动，速度为每秒个单位长度，当点M停止运动时，点N也同时停止．过点N作于点F．设运动时间为x秒，记的面积为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出，的图象，并写出的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出函数的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1） ，     （2） 平面直角坐标系中，函数 ，的图象如图： 函数的性质：当时，函数有最大值为6；     （3）      【分析】 （1）求出，， 当时，即可求出，当时，，即可得到 ；证明，得到，从而求出； （2）根据函数解析式，列表，描点，连线即可求解，根据函数图象即可得到的一条性质当时，函数有最大值为6； （3）求出与交点横坐标约为，结合图象可得当时，﹒ (1) 小问详解： 解：∵四边形为矩形，，，， ∴， ∴， 如图1，当时，， ∴， 即， 如图2，当时，， ， 即﹒ 综上所述： ； ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由函数图象得与交点横坐标约为， ∴当时，﹒ 【点睛】 本题为函数与几何综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，画函数图象，函数与不等式关系等知识，综合性强，难度较大﹒ 34．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图1，在中，为边上的高，，，，动点P从点B出发，沿以1个单位每秒的速度运动，到达点C时停止运动，设点P运动的时间为，过点P作交的边于点Q，点P，Q的距离为，的面积与点P运动的路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）关于x的表达式为和，关于x的表达式为     （2） 如图所示为所求： 当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小（答案不唯一，言之有理即可）     （3）x的取值范围是或      【分析】 本题考查了函数与几何动点综合问题，包括一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质及相似三角形的判定与性质． （1）根据题意得到，的值，再分情况讨论点P的位置，由题意得，，证明，，得到的表达式，求出的面积进而求得的表达式； （2）根据（1）的解析式将图象画在网格中即可，需注意x的取值，由图象可知函数的性质，任写一条即可； （3）将分别代入的两个解析式，解得x的值，再利用图象可求得x的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， 当点P在段时， 由题意知，，则， ∵，， ∴， ∴， 即，则， ∴， 当点P在段时， 同理：， ∴，则， ∴， ∵， ∴的面积与点P运动路程之比， 综上所述，关于x的表达式为和，关于x的表达式为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图象可知，将分别代入的两个解析式可得： ，解得（舍去），；，解得，（舍去）， ∴当时，x的取值范围是或． 35．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）正方形中，E为对角线上的动点，连接交边于点F． （1）如图1，若正方形边长为6，，求的面积． （2）如图2，G为边上一动点，以为斜边构造等腰直角，连接，当时，请用等式表示线段和之间的数量关系，并证明． （3）如图3，将沿着直线翻折得到，点A的对应点为点P，连接线段并绕着点B顺时针旋转90°得到线段，记四边形的面积为，的面积为，当线段取最小时，请直接写出的值． 【答案】（1）     （2） ， 证明：如图，连接，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， 由三角形外角的定义可知，， 又∵， ∴， ∵， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即．     （3）      【分析】 （1）过点E作交于点G，利用正方形的性质及勾股定理得出的长度，进而证得是等腰直角三角形，求出的长后并最终求得结果； （2）连接，，根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定证得，通过三角形的外角定义及角度的和差关系得出，进而推出，则，利用“”证明，得出，进而推导出与的关系； （3）要使最小，即为最小，当点B，P，D三点共线时，则最小，此时为正方形的对角线，设正方形的对角线与交点O，过点E作交于点F，证明出，得出和为等腰直角三角形，设，则，进而得出相关线段的表达式，再证明出，最后根据题意得出． (1) 小问详解： 解：如图，过点E作交于点G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在中，由勾股定理得，， 又∵， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即，解得， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵沿着直线翻折得到， ∴，，，， 又∵线段绕着点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴要使最小，即为最小， 如图，当点B，P，D三点共线时，则最小，此时为正方形的对角线， 设正方形的对角线与交点O，过点E作交于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， 设，则， ∴，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在等腰中，，即正方形的边长为， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， 由题意知，，， ∴． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质及动点最值问题等知识点． 36．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）在中，，D为平面内一点，连接，以为边作 ，使得，． （1）如图1，点D在内，当点E与点C重合时，，，求的值； （2）如图2，，点D在左上方，且B在的延长线上，连接 交于点P，Q为上一点，连接，若，求证： ； （3）如图3，绕点D顺时针旋转恰好与重合，，，连接，点M为线段上靠近E的三等分点，连接，，直线交直线于点N，当面积取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）     （2） 证明：如图，过点B作交于点M，过点C作交的延长线于点H， ∵，， ∴， 又∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∵， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，即点P为中点， ∴， ∴， 即．     （3）      【分析】 （1）过点D作交于点H，先根据题意得出，再根据设，则，此时，进一步得出点A，D，H三点共线，则是的垂直平分线，利用勾股定理求得，进而求出最终结果； （2）过点B作交于点M，过点C作交的延长线于点H，利用“”证明和，得出相关的线段，利用等腰直角三角形的性质得出相应的线段之间的关系，进而推导出结果； （3）由题意知，始终绕点A旋转，其运动轨迹为圆，此时点M的运动轨迹同样跟随的运动轨迹在变化，要使的面积取最大值，则当与重合时，此时的面积取最大值，过点A作交的延长线于点K，过点M作交于点H，利用相似三角形的判定与性质，勾股定理及等腰三角形的性质得出相关线段的长度，并最终求得的面积． (1) 小问详解： 解：如图，过点D作交于点H， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴设，则， ∴， ∴，即平分， 又∵，， ∴点A，D，H三点共线，则是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴在中，． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题意知，绕点D顺时针旋转恰好与重合，且始终是顶角为的等腰三角形， ∴如图，始终绕点A旋转，其运动轨迹为圆，此时点M的运动轨迹同样跟随的运动轨迹在变化， 要使的面积取最大值， ∴当与重合时，此时的面积取最大值， 如图，过点A作交的延长线于点K，过点M作交于点H， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，， 又∵是顶角为的等腰三角形， ∴，， ∴， 在中，，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴，即，， ∴，， ∵点M为线段上靠近E的三等分点， ∴， 在中，，由勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质等知识点． 37．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，在中，，，垂足为 （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，使，连接．求证：； （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点D，满足，连接并延长至点E，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1）     （2） 证明：， ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质． （1）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （2）证明，由（1）得则，得到，进而得解； （3）由，得到，根据相似三角形的性质得到，以点A为圆心，2为半径作，延长到，使，交于D，根据相似三角形的性质得到，推出点E在过点且与垂直的直线上运动，过点B作，即为最短的，连接，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据勾股定理即可得到结论． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：、， ， ， ， 如图，以点A为圆心，2为半径作，则C、D都在上， 延长到，使，交于，， ， 则， ， ， ， 点E在过点且与垂直的直线上运动，过点B作，垂足为即为最短的； 连接， ， 四边形是矩形， ∴， 在中，， ． 38．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接 （1）如图1，，，若，求的度数； （2）如图2，，，过点D作交于点F，，请探究线段之间的等量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，延长线上有一点D，且，连接，在线段上取一点E，使得，连接交于点F，点P是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）     （2）， 证明：在上截取，连接交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，        ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ； ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；     （3）      【分析】 （1）证明是等边三角形，再证明，进一步证明，得到，利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）在上截取，连接交于点N，证明，得到，再证明，得到，进而证明，得到由，即可证明； （3）连接，根据三角形的中位线定理可得出，连接，则，故当M在上时，最小，过C作于G，过作于H，可证明是等边三角形，求出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，进而求出，根据勾股定理求出，结合已知可求出，根据三线合一求出，则，，，，证明，可求出，进而即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴是等边三角形． ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中， ，        ∴． ∴， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接， ∵翻折， ∴， ∴， ∵，M是中点， ∴， 连接，则，即， 故当M在上时，最小， 过C作于G，过作于H， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即线段取得最小值时， 的面积． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 39．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）如图1，在中，，，分别为直角边、上两点，连接，交于． （1）如图1，如果满足，，求的度数； （2）如图2，如果满足且．试着探究，，三线段的数量关系，并请详细证明你探究出的结论； （3）如图3，在（1）的条件下，我们进一步假定，；连接并延长得到射线，我们不断调整和的数量，也就是在不断改变三角形的形状，请问经过调整能否使得射线经过斜边的中点，如能请直接给出的值，如果不能请简要说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）能，      【分析】 （1）在下方构造一个与全等的三角形，通过延长，得到一个含的新三角形，再利用角度代换、全等三角形的性质求出这个新三角形属于什么特殊三角形，即可求出的度数． （2）在下方构造一个与全等的三角形，将转换为另一条与，有关的线段上，利用全等三角形的性质，即可得到，，之间的数量关系． （3）根据题意需要先确定此时图形的形状，观察图象，在时，射线经过斜边的中点，可以从两个方向，“利用中点证垂直”或“利用垂直证中点”确定此时图形的形状，再利用，可以得到多对相似三角形，通过相似三角形的性质得到此时x与y的关系，即可求出此时的值． (1) 小问详解： 解：如图，在下方取点，使得，，延长交于点，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， （另：不通过平行四边形，也可以连接，通过证明得到该结论）， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴． (2) 小问详解： 解：，理由如下： 如图，在的延长线上取点，使得，设，， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即． (3) 小问详解： 解：能，，理由如下， 如图，当时，延长交于点，同（1）理，构造（1）中的对应点， 由（1），得，，是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴，即点是的中点， 又， ∴，即， ∴， ∴， ∴点为的中点， 由（1）可知，， ∴，， ∴是的平分线， 记点到，的距离分别为，，则，记点到的距离为， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即． ∴， ∵，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴． 【点睛】 本题综合考查全等三角形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，角平分线的性质定理，通过题干条件，构造全等三角形，再利用全等三角形的性质来进行角度代换，证明三角形相似是解题关键． 40．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）在中，，是延长线上一点，，是线段上一动点，连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，过点作于点，交于点，证明：； （2）在（1）的条件下，如图2，在线段上截取，连接，若，，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明； （3）如图3，连接，将关于对称得到，连接，以为斜边在左侧作等腰，连接，若，，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ；     （2） 解：，理由如下， 如图，连接，延长至点N使得，连接， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）根据与，结合四边形对角互补即可证明全等； （2）结合第一问全等性质能够证明，再利用题干角度关系，得出，从而确定等腰，根据，得出，倍长构造，从而将转换到，得出等腰，再尝试将推导至，通过证明可得出，从而在等腰中，可以得出； （3）根据轴对称与定长得出点P轨迹，再根据等腰直角的形状，同方向构造等腰，从而得出，因此可确定点Q轨迹，再考虑最小时的位置，通过，分别求出与两三角面积进而可求解出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，以为斜边在左侧作等腰，连接， 由题意得， 当点E在线段上运动时，点P在以点C为圆心，长为半径的半圆上运动， 与为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 点Q在以G为圆心，长为半径的半圆上运动， 如图，当点G、Q、F三点共线时，最小， 如图，连接，过点G作于点J，过点C作于点L，在上取点O，使得，在上取点R，使得，过点O作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则，，， ， 解得， 在中， ， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当最小时，面积为． 【点睛】 本题主要考查了圆与三角形的综合，直角三角形两个锐角互余，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形与含直角三角形的性质，锐角三角函数与勾股定理等知识点，难度较大，综合度强，找到各个量之间的关系并且正确构造辅助线是解决本题的关键． 41．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如图，在中，是直径，点是上一点，连接，以为边在的右侧作矩形，与相切于点，与交于点，连接交于点，连接和交于点，若，，则的半径为　　　　　　，的长为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 如图，设交于点，连接、交于点、交于点、交于点，连接、，设的半径为，根据切线的性质及矩形的性质推出，继而得到，进一步得到点、点、点重合，继而得到，可得半径；然后利用勾股定理得，，证明得，求出，证明得，求出，证明，得，可得答案． 【详解】 解：如图，设交于点，连接、交于点、交于点、交于点，连接、，设的半径为， ∵在中，是直径，点是上一点，交于点，与相切于点， ∴，，，， ∵四边形是矩形，，对角线、交于点， ∴，，，， ∴点是和的中点，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴点是的中点，点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴点、点、点重合， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即的半径为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵，即， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 即的长为， 故答案为：；． 【点睛】 本题考查切线的性质，直径所对的圆周角是直角，矩形的性质，平行线分线段成比例定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，掌握切线的性质、直径所对的圆周角是直角及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 42．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）已知：在中，． （1）如图1，若，点D为的中点，过点D作的平行线交于点G，点E，F分别在，的延长线上，且，求证：； （2）如图2，若，过点A作于点M，点D在的延长线上，连接，点H为上一点，以为斜边在右侧作等腰，连接，，在上取一点N，连接，使，连接，用等式表示与的数量关系并证明； （3）如图3，点P是平面内右侧一点，连接，，满足，射线上有一点Q且满足，过点Q作于T，若，，请直接写出的最小值． 【答案】（1） 证明：，， 是等边三角形． ，． 点D为的中点， ． ， ，，． ， ． ． ，， ． ，，， ， ． ， ． ，，， ． 在和中 ． ．     （2） 解：，理由如下： 过G作，交延长线于E， ． 在右侧作等腰， ，． ． 即． ，， ． ． 在和中 ． ，． ， ． ，， ． ，，， ． ，， ． 在和中 ． ． ，，， ． ． ， ． ． ． ，． ． ． ．     （3）      【分析】 （1）先证，再证，可得出； （2）过G作，交延长线于E，先证，再证，再由，则，由等腰，得出，即可得； （3）在上方作等边，连接、，证明A、C、P、D四点共图，可得，进而可证明，得，，即可证明是等边三角形，得，作外接圆，进而可求其半径，得O、Q、T共线时，最小，而QT最小，依次求得相关线段长，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：在上方作等边，连接、， ，． ， ． ． 、C、P、D四点共圆． ． ， 在和中 ． ，． ． 是等边三角形． ． ． 作的外接圆O，连接、， 所对的圆心角为． ． ， ． ， ． 点B、A、O三点共线． ，， ． ， ． ． 作于M， ． ． ． 连接、， 中，， 当O、Q、T三点共线，即时，最小． 当时， ，， ． ． ． ． 【点睛】 本题主要考查了圆与三角形的综合，涉及四点共圆，圆周角的性质定理，圆心角定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等，综合性强，难度较大，根据题意结合图形正确添加辅助线，找到各个线段，角之间的关系是正确解答此题的关键． 43．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接． （1）如图1，，，若，求的度数； （2）如图2，，，过点D作交于点F，若，求证：； （3）如图3，，延长交的延长线于点F，交于点G，点D是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，连接，若，当线段取得最大值时，请直接写出的值． 【答案】（1）     （2） 证明：在上截取，连接交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，        ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ； ∴， ∴， 又∵∠， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；      （3）      【分析】 （1）先求出，进而证明是等边三角形，再证明，进一步证明，得到，利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）在上截取，连接交于点N，证明，得到，再证明，得到，进而证明，得到由，即可证明； （3）如图所示，在上取一点T，使得，连接，先证明是等边三角形，得到，进而证明，得到，设，则，；证明，得到；设，则，，，，；如图所示，过点F作分别交延长线于S、K，证明，是等边三角形，得到，，则，，证明，得到，推出，则，；如图所示，取中点R，连接，由折叠的性质可得，证明是的中位线，得到，则点M在以R为圆心，为半径的圆上运动，故当A、M、R三点共线，且R在上时，有最大值，如图所示，过点A作于V，则，进而得到，，由勾股定理得，则，则． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中，        ∴． ∴， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，在上取一点T，使得，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点F作分别交延长线于S、K， ∴， 又∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 如图所示，取中点R，连接， 由折叠的性质可得， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点M在以R为圆心，为半径的圆上运动， ∴当A、M、R三点共线，且R在上时，有最大值， 如图所示，过点A作于V， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题综合性强，主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，一点到圆上一点距离的最值问题，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，推出是解题的关键． 44．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，已知正方形的边长为6，P是中点，点F在上且满足，延长分别交于点M，交的延长线于点E，则的长为　　　　　　　；的长为　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 过点F作，垂足为G，于点H，根据正方形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质解答即可． 本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】 解：过点F作，垂足为G，于点H， ∵正方形的边长为6， ∴，，， 又∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵ ， ∴； ∴， 设， ∵P是中点， ∴． ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 延长交于点Q， 则，四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 45．（25-26学年九上·重庆十一中教育）在等腰中， 为边上一点（不与端点重合）， E 为外一点，连接，使． （1）如图 1，点 E 在右侧，交于点G ，若 ，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图 2，点 E 在右侧，若为边上一点，连接交 于点O ，若，求证： O 为中点； （3）如图 3，点 E 在左侧，若，点 G，P，K 分别为， 的中点，连接，将绕点B 顺时针旋转得到，连接 ，使，当 最小时，直接写出的值． 【答案】（1）     （2） 证明：延长至M，使，连接，作，交于N，      在和中， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 为中点；     （3）      【分析】 本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由得，利用三角形内角和定理得，即可得结论； （2）延长至M，使，连接，作，交于N，证明，得，，，进而证明即可得结论． （3）作，在左侧截取，连接，，证明， 作点B关于直线的对称点，连接，，则，当三点共线时，取值最小，连接、、，作于点Q，作于点N，证明四边形为正方形，，，， ，利用三角形中位线及勾股定理分别求出再求出比值即可． (1) 小问详解：       解：， ， ，， ， ， ， ， ， ; (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：作，在左侧截取，连接，， ， ，， ， ，即， ， ， ，，，， ， ， 点A、E、F三点在同一直线上， ，即点E在直线上，且恒为直角三角形， 作点B关于直线的对称点，连接，，     则，当三点共线时，取值最小， 连接、、，作于点Q，作于点N， ，， 四边形为正方形， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ，即点P为的中点， 点K为的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，P为中点， ， 将绕点B顺时针旋转得到， ， ，，， ，， ， ，，， ， ， 作于M，设 ，，， ， 作于S ， ，，， ． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】 解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形面积的比是， 故选：D． 2．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）已知 ，且 ，则 与 的周长比是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握“相似三角形的周长比等于其对应边的比”这一性质． 根据相似三角形的性质，直接利用已知的对应边比例，得出两个三角形的周长比． 【详解】 解：∵， ∴与的周长比等于对应边的比． 又∵， ∴周长比为． 故选：B． 3．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（       ） A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9 【答案】A 【分析】 根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】 解：∵与位似 ∴ ∵与的位似比是1:2 ∴与的相似比是1:2 ∴与的周长比是1:2 故选：A． 【点睛】 本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质． 4．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）已知，且 ，若的面积为4，则的面积是（     ） A.  B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【分析】 本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】 解：∵，且＝． ∴ ∵的面积为4， ∴的面积为9， 故选：C． 5．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）如图，已知且．若，则值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据得到，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为4，则的面积为（     ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 25 【答案】C 【分析】 此题是位似变换，考查了位似比等于相似比，位似三角形的面积比等于位似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质． 先求出，然后根据位似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：， ， ∵， ∴ ， 和是以点为位似中心的位似图形， ， ． 的面积为4， 的面积为9． 故选C． 7．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD上的点，AE交BD于点F，交BC延长线于点G，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据平行四边形的性质得到，得到与，利用相似比及即可得出结论． 【详解】 解：在平行四边形ABCD中，， ， ， ， ，可设， 在平行四边形ABCD中，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及“8”型的相似三角形是解决问题的关键． 8．（25-26学年九上·重庆川外基础教）如图，在等边中，，分别为，边的中点．为所在平面内一动点（点不在的三边上），且满足，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．    （1）点在直线的右侧时，求的度数； （2）点在直线的右侧时，用等式表示，，的数量关系并证明； （3）将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据等边与，得出，再由定点定长得出隐圆，通过圆周角定理与圆心角性质即可求解； （2）通过在上取点M，构造，结合得出，在中解三角形，即可得出； （3）此问涉及比值最值，难度较大，通过将转换为，通过在平面内取点I，构造出，从而找出点I轨迹为直线，则只需求最小值即可得出答案． (1) 小问详解： 解：，证明如下， 法一：如图，连接，，    点E为中点，为等边三角形， ，， ， ， 线段绕点E顺时针旋转得到线段， 为等边三角形，， 在与中， ， ， ， ， ； 法二：如图，取中点H，连接，    为等边三角形，为中点， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，点D为中点， ， 点在以点H为圆心，长为半径的圆上， ． (2) 小问详解： 解：，理由如下， 如图，在上取点M，连接，使得，设交于点K，    为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点， ，， ，为等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为线段中点， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， 在与中， ， ， ． (3) 小问详解： 解：最小值为，证明如下， 法一：如图，在平面内取点I，连接、使得且，连接、、，延长交于点P，    由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ， D、E、H为中点， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 点I在线段垂直平分线上， 为中点， ， 为线段的垂直平分线， ，， ， ，， ， 故的最小值为． 法二：如图，以长为半径作，延长交于点J，延长交于点K，连接、，    D、E、H为中点， ，， ， ， 由题意得， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故最小值为． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理等知识点，掌握旋转相似的构造与隐圆的转换找出轨迹是解题的关键． 考点05 相似三角形的应用 1．（2026·重庆广益中学·模拟）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． 先过点作于点，延长交于点，依题意得，证明，再根据相似三角形的性质求解即可 【详解】 解：过点作于点，延长交于点，如图， ， 依题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴厘米， 故选：B． 2．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】 由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 3．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，窗户的高在教室地面上的影长米，点M到墙角的距离米，窗户的下沿到教室地面的距离米（点M，N，C在同一直线上），则窗户的高为　　　　　　　． 【答案】2米 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】 解：由题意得：， ， ， ， ， ， 解得：， （米）， 窗户的高为2米， 故答案为：2米． 4．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）学科实践--测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度．活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具． 方案设计及问题解决（图中各点均在同一竖直平面内）： （1）笃行组进行路灯测量（如图1），在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过．测量数据：米，米．计算图1中路灯的高度． （2）缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量，操作中发现：由于国旗杆底部台阶影响，无法测得线段的长，因此不能求得国旗杆高度．于是对笃行组的方案作出补充：在如图2中仍先直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A，测得线段米；再直立一根同样高度的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A．并测得米，计算国旗杆的高度． 【答案】（1）路灯的高度为5.8米     （2）米      【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质和应用．解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． （1）根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； （2）首先根据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据又米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． (1) 小问详解： 解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； (2) 小问详解： 解： ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 即国旗杆的高度为米． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了位似图形的性质，位似图形的面积之比等于位似比的平方，据此可得答案． 【详解】 解：∵有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是， ∴与的面积之比是， 故选：B． 2．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴ 与是位似图形， 与的位似比是． 与的相似比为， 与的面积比为， 故选：B． 3．（2026·重庆育才中学校·三模）如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（     ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 45 【答案】C 【分析】 本题主要考查位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵与位似，位似中心是点， ∴，， ∴， ∵的面积为5， ∴的面积为20； 故选C． 4．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点的对应点分别为点），已知的顶点，若点的坐标为，的面积为，则的面积为（     ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 16 【答案】A 【分析】 本题主要考查位数图形的性质，掌握位数图形的性质，求出相似比是解题的关键． 先由得，，进而得，再利用位似的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC与△DEF的面积之比为4∶9，则AO：OD的比值为（       ） A. 2∶3 B. 2∶5 C. 4∶9 D. 4∶13 【答案】A 【分析】 根据位似图形的性质得到，，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】 解：与位似，与的面积之比为， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似三角形的面积比等于位似比的平方是解题的关键． 6．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，已知与位似，位似中心位点O，且，的周长为15，则的周长为（     ） A. 5 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】C 【分析】 本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的性质可得，，可得到，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】 解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∵的周长为15， ∴的周长为． 故选：C． 7．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如图，与是位似图形，位似中心是点O，且与的面积比为，已知的周长是4，则的周长是（       ） A. 2 B. 8 C. 16 D. 20 【答案】B 【分析】 本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得到周长比为，从而求得的周长． 【详解】 解：∵与的面积比为， ∴与的相似比为， ∵的周长是4， ∴的周长是8， 故选：B． 8．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）如图和以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（     ） A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:4 【答案】D 【分析】 本题考查相似三角形与位似图形的关系、相似三角形性质等知识，先由和以点为位似中心的位似图形，得到，结合，进而由和的相似比为，再由相似三角形性质即可得到与的面积之比，熟记相似三角形与位似图形的关系、相似三角形性质等知识是解决问题的关键． 【详解】 解：和以点为位似中心的位似图形， ， ， 和的相似比为， 与的面积之比是， 故选：D． 9．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长为4，则的周长为（     ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【分析】 本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质求解即可．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】 解：与位似，点为位似中心，相似比为， 的周长的周长， 的周长为4， 的周长， 故选：B． 10．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（     ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【分析】 本题考查了相似图形的性质，根据位似图形的性质，得到，，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】 解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ， ∵， ， ∴， ∵， ． 故选：C． 11．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）如图，与位似，点为位似中心，与的面积比为，则与的周长比为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查位似图形，相似图形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为与是以点为位似中心的位似图形，所以，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比解答即可． 【详解】 解：∵与位似，且以点为位似中心， ∴， ∵与的面积比为， ∴与的周长比为． 故选：A． 12．（25-26学年九上·重庆南开中学校）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的知识点是位似图形的性质，解题关键是熟练掌握位似图形的性质． 根据题意得出，进而利用两个相似三角形的周长比等于相似比，求解即可得出答案． 【详解】 解：与是以点为位似中心的位似图形， ， 位似比为， ， 又的周长为， ． 故选：． 13．（25-26学年九上·重庆万州·期末）如图，与是位似图形，点为位似中心，且．若的面积为，则的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质位似的性质．根据可以求出与的位似比，根据位似图形的面积比等于位似比的平方求出的面积． 【详解】 解：， ， ， 与是位似图形， ， ， ， ． 故选：D． 14．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别是，，． （1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出，使它与原三角形相似比为； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了画位似图形，坐标与图形，熟练掌握位似的性质是解题的关键． （1）把点A、B、C的横纵坐标都乘以可得点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 15．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在第四象限画出关于原点O的位似要求新图形与原图形的位似比为． （2）直接写出对应点的坐标是                 ；和的面积比是                 ． （3）若连接，，则四边形的面积为                 ． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）；     （3）      【分析】 本题考查了作图位似变换，相似三角形的判定和性质，正确画出位似图形是解题的关键． （1）把点、、点的横纵坐标分别乘以得到、、的坐标，然后描点即可； （2）根据平面直角坐标系可得点的坐标，再利用相似三角形的性质得到和的面积比； （3）根据割补法即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由平面直角坐标系可得， 由题意可得， ， 的位似图形为， ， ， 故答案为：；； (3) 小问详解： 解：根据割补法可得四边形的面积为 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．B 2．A 3．C 4．D 5．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，由，可设，，再代入所求式子中计算即可． 【详解】 解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 考点02 平行线分线段成比例 1．D 2．B 3．【答案】（1） 如图所示，即为所作的角平分线，      （2）①；②；③；④      【分析】 本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质，三角形的外角，角平分线的定义，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）根据尺规作图——角平分线的作法解答即可； （2）根据等腰三角形的性质，三角形的外角，角平分线的定义，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，进行解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 4．【答案】6 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】 解：∵， ∴， 又，，， ∴， 解得， 经检验，符合题意， 故答案为：6． 5．【答案】 【分析】 本题考查了翻折的性质，三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质，掌握三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 利用翻折的性质可得推出是的中位线，得出，再利用得出的长度，即可求出的长度． 【详解】 由翻折可知 ∴O是的中点， ∵点D为边的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．D 2．C 3．C 4．B 5．C 6．A 7．D 8．C 9．A 10．B 11．C 12．B 13．D 14．A 15．D 16．【答案】2-3. 【分析】易知△ABC∽△AEF，则对应边成比例即=,再根据AC=AE+EC，代入已知条件即可求得AE的长. 【详解】∵∠B=∠AED，∠A为公共角， ∴△ABC∽△AED， ∴=，又AC=AE+EC， ∴=， 解得AE=2-3.（负值已舍） 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到对应边成比例. 17．【答案】（1） 如图，即为所求作的线段垂直平分线；      （2）①；②；③；④      【分析】 本题主要考查了作图—基本作图，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）根据线段垂直平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）证明，再利用相似三角形的性质求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 18．【答案】6 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握由平行线判定三角形相似以及相似三角形对应边成比例是解题的关键． 通过平行线判定三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例关系来求解BC的长度． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，，则， ∴， ∴ ， 解得， 故答案为：． 19．【答案】（1） 证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）由平行四边形得到，即可证明； （2）由得到，再代入求值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．【答案】① 2    ② 【分析】 题目主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点A作，根据等腰三角形的性质得出，，，再由折叠的性质确定，利用相似三角形的判定和性质得出，，代入求解即可； （2）由（1）得，，利用相似三角形的判定和性质得出，，结合图形代入求解即可． 【详解】 解：过点A作，如图所示： ∵等腰直角三角形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：2； （2）由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 21．【答案】（1）1     （2） 证明：取的中点为E，连接 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵、分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴      【分析】 此题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质， （1）延长，分别交于点M，N，根据三角形中位线的性质求出，由，证得，求出，，再证，求出，即可得到； （2）取的中点为E，连接，根据直角三角形的性质得到，由此得到，进而推出，根据三角形中位线的性质证得，由此，继而，即可证得，由此得到，进而证得 (1) 小问详解： 解：如图，延长，分别交于点M，N， ∵是边上的中线，是边上的中线， ∴是的中点， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ (2) 小问详解： 略． 22．【答案】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB＋∠DEC＝90°， ∴∠BAE＝∠DEC， ∴△ABE∽△ECD. （2）CD＝． 【分析】 （1）先根据同角的余角相等可得：∠DEC＝∠BAE，再利用两角相等证明三角形相似； （2）先根据勾股定理得：BE＝3，根据△ABE∽△ECD，列比例式可得结论． 【详解】 (1) 略 (2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5， ∴BE＝3， ∴EC＝BC－BE＝5－3＝2， ∵△ABE∽△ECD， ∴， ∴， ∴CD＝. 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 23．【答案】① 5    ② .75 【分析】 连接，，证明得出，，，进而证明，根据相似三角形的性质得出，代入数据求得和的长，通过证明得到，求出的长，利用勾股定理求出的长，再证明即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接，，     ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：5；． 【点睛】 本题考查了直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 过点作于点H，证明，可得，，设，则，在中，利用勾股定理可得，，延长交于点K，连接，则四边形是矩形，设，则，在和中，利用勾股定理可得，再由，可得，即可求解． 【详解】 解：如图，过点作于点H， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴， 如图，延长交于点K，连接，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， 设，则， 在和中，， ∴， ∴， 解得：， 即， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 故答案为：； 25．【答案】①     ② 6 【分析】 延长交于F，根据直径所对的圆周角为直角得，再根据垂径定理得，设的半径为R，则，证明，得到，进而得，在和中利用勾股定理构造方程由此解出R即可，再由求解． 【详解】 解：延长交于F， 如图所示 ∵是的直径， ，即， ∵点C为 的中点， 根据垂径定理得， ， 设的半径为R，则 ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得 (不合题意，舍去)， ∴的半径为． ∴， ∴， 故答案为：；6． 【点睛】 此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，理解圆周角定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 26．【答案】（1）；     （2）解：， 理由如下：如图，延长至，使得，连接， ∵点为边上中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，， ∵，点为边上中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴；     （3）当取得最小值时的面积为．      【分析】 （）由等腰三角形的性质可得，，，，则，根据性质可得，设，则，则，然后求出的值即可； （）延长至，使得，连接，证明，则，，设，，再证明，故有，，从而求出，所以，过作于点，可得，然后由线段和差即可求解； （）通过勾股定理得，由折叠性质可知，，，则点在以为圆心，为长度的圆上，即点在上运动，取中点，连接，所以点在以为圆心，为长度的圆上运动，当点三点共线时，当取得最小值，过作，交于点，过作，交延长线于点，由平行线分线段成比例可得，求出，所以，证明，则，故，求出，所以，然后用面积公式即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，点为边上中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，整理得， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为边上中点， ∴， ∴， 由折叠性质可知，， 如图，点在以为圆心，为长度的圆上，即点在上运动，取中点，连接， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，为长度的圆上运动， ∴如图，当点三点共线时，当取得最小值，过作，交于点，过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴为中点， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴当取得最小值时的面积为． 【点睛】 本题考查了圆有关概念，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 27．【答案】（1）；     （2） 如图，过作交延长线于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 （）由垂直平分，则，，根据等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质即可求解； （）过作交延长线于点，连接，证明，，然后根据性质即可求证； （）取中点，连接，连接，过作，，分别交于点，通过全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质即可求解． (1) 小问详解： ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图，取中点，连接，连接，过作，，分别交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积为． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角度和差，勾股定理，三角形的外角性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 28．【答案】（1）     （2） ，理由如下： 如图，连接，在上取一点，使得，连接， ，， ， 四边形是菱形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． （1）证明是等边三角形，即可解决问题； （2）连接，在上取一点，使得，连接．证明，推出，，即可解答； （3）如图，以为边向下作等边，连接，过点作于点，在上取一点，使得．证明，推出，当与重合时，的值最小，此时的值最小，求得的度数，再利用折叠的性质和相似三角形的判定和性质即可解答． (1) 小问详解： 解：四边形是菱形， ，，， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，以为边向下作等边，连接，过点作于点，在上取一点，使得． ， ， ，， ， ， 当与重合时，的值最小，此时的值最小． 四边形是菱形， ， ， ，， ，， ， ， ． 如图，过点作交于点， 根据折叠可得， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ． 29．【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，作出正确的辅助线是解题的关键． 过点作交的延长线于点，作直线，首先证明，得，，再证明点在的平分线上，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时，最小，设，由图1知，，则，由，得到对应边成比例即可求出的值，即可解决问题． 【详解】 解：如图，过点作交的延长线于点，作直线， 四边形是正方形， ，，， ， ， 由旋转知，，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点在的平分线上， 如图2，延长使得， 在与中， ， ， ， ， 当三点共线时，取最小值， ，， 四边形为平行四边形， ， 设，由图1知，， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 故答案为：；． 30．【答案】（1）     （2） 解：，证明如下： 如图所示，延长到T，使得，连接， 由旋转的性质可得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点G为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴；      （3）      【分析】 （1）如图所示，过点D作于H，先证明是等边三角形，得到，再由旋转的性质得到，据此可得，进而得到，进一步证明，据此求出的长，再求出的长，即可得到答案； （2）延长到T，使得，连接，由旋转的性质可得，证明，得到，导角证明，得到，再由直角三角形的性质得到，则可证明； （3）如图所示，以B为直角顶点，为直角边作等腰直角，连接，可证明，得到，由旋转的性质可得，则可证明；再证明四边形是正方形，得到， ，进而得到点Q在直线上运动，且K、D、F三点共线，则当时，有最小值，设此时点Q与重合，再证明点M在以点Q为圆心，的长为半径的圆上运动，则当M、E、Q三点共线，且点E在上时，有最小值，设此时M与重合；由勾股定理得，，由（2）的结论可知，则，；求出，，则；如图所示，过点作于N，则，证明，利用相似三角形的性质得到，则． (1) 小问详解： 解：如图所示，过点D作于H， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，以B为直角顶点，为直角边作等腰直角，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是正方形， ∴， ∴点Q在直线上运动，且，则K、D、F三点共线， ∴当时，有最小值，设此时点Q与重合， ∵将绕点Q旋转至， ∴， ∴点M在以点Q为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴当M、E、Q三点共线，且点E在上时，有最小值，设此时M与重合； 在中，由勾股定理得， ∵，G为的中点， ∴， 由（2）的结论可知， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，过点作于N，则， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了圆与三角形综合，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质等等，解（2）的关键在于作出辅助线构造全等三角形，解（3）的关键在于构造相似三角形证明点Q的轨迹为直线，进而证明点M的轨迹为圆． 31．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据矩形的性质，折叠的性质，得到，再结合等腰三角形性质，即可求出的长，利用勾股定理求出，进而得到，过点作于点，证明，利用相似三角形性质求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】 解：四边形为矩形， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ； 由勾股定理可得，， ，， ， 解得， ，， 过点作于点， ， ， ， 即， 解得， 的面积为． 故答案为：，． 32．【答案】（1）； （2），证明如下： 根据题意，得， ∴是等腰三角形， 分别过点作，垂足分别为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）直角三角形的面积为4或16或12或． 【分析】 （1）利用勾股定理求出，由三角形全等的性质可得，，过点作，易证是等腰直角三角形，求出，再根据三角形面积公式即可求解； （2）先根据直角三角形的性质可得，易证是等腰三角形，分别过点作，垂足分别为，根据等腰三角形三线合一的性质求出，利用勾股定理求出，再利用三角形等面积法求出，由勾股定理求出，由，根据等腰三角形三线合一的性质求出，即，再证明，得到，求出，即可得出结论； （3）运用分类思想解答即可． 【详解】 解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴即， 过点作， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的面积为； （2）略 （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 33．【答案】（1） ，     （2） 平面直角坐标系中，函数 ，的图象如图： 函数的性质：当时，函数有最大值为6；     （3）      【分析】 （1）求出，， 当时，即可求出，当时，，即可得到 ；证明，得到，从而求出； （2）根据函数解析式，列表，描点，连线即可求解，根据函数图象即可得到的一条性质当时，函数有最大值为6； （3）求出与交点横坐标约为，结合图象可得当时，﹒ (1) 小问详解： 解：∵四边形为矩形，，，， ∴， ∴， 如图1，当时，， ∴， 即， 如图2，当时，， ， 即﹒ 综上所述： ； ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由函数图象得与交点横坐标约为， ∴当时，﹒ 【点睛】 本题为函数与几何综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，画函数图象，函数与不等式关系等知识，综合性强，难度较大﹒ 34．【答案】（1）关于x的表达式为和，关于x的表达式为     （2） 如图所示为所求： 当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小（答案不唯一，言之有理即可）     （3）x的取值范围是或      【分析】 本题考查了函数与几何动点综合问题，包括一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质及相似三角形的判定与性质． （1）根据题意得到，的值，再分情况讨论点P的位置，由题意得，，证明，，得到的表达式，求出的面积进而求得的表达式； （2）根据（1）的解析式将图象画在网格中即可，需注意x的取值，由图象可知函数的性质，任写一条即可； （3）将分别代入的两个解析式，解得x的值，再利用图象可求得x的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， 当点P在段时， 由题意知，，则， ∵，， ∴， ∴， 即，则， ∴， 当点P在段时， 同理：， ∴，则， ∴， ∵， ∴的面积与点P运动路程之比， 综上所述，关于x的表达式为和，关于x的表达式为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图象可知，将分别代入的两个解析式可得： ，解得（舍去），；，解得，（舍去）， ∴当时，x的取值范围是或． 35．【答案】（1）     （2） ， 证明：如图，连接，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， 由三角形外角的定义可知，， 又∵， ∴， ∵， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即．     （3）      【分析】 （1）过点E作交于点G，利用正方形的性质及勾股定理得出的长度，进而证得是等腰直角三角形，求出的长后并最终求得结果； （2）连接，，根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定证得，通过三角形的外角定义及角度的和差关系得出，进而推出，则，利用“”证明，得出，进而推导出与的关系； （3）要使最小，即为最小，当点B，P，D三点共线时，则最小，此时为正方形的对角线，设正方形的对角线与交点O，过点E作交于点F，证明出，得出和为等腰直角三角形，设，则，进而得出相关线段的表达式，再证明出，最后根据题意得出． (1) 小问详解： 解：如图，过点E作交于点G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在中，由勾股定理得，， 又∵， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即，解得， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵沿着直线翻折得到， ∴，，，， 又∵线段绕着点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴要使最小，即为最小， 如图，当点B，P，D三点共线时，则最小，此时为正方形的对角线， 设正方形的对角线与交点O，过点E作交于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， 设，则， ∴，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在等腰中，，即正方形的边长为， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， 由题意知，，， ∴． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质及动点最值问题等知识点． 36．【答案】（1）     （2） 证明：如图，过点B作交于点M，过点C作交的延长线于点H， ∵，， ∴， 又∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∵， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，即点P为中点， ∴， ∴， 即．     （3）      【分析】 （1）过点D作交于点H，先根据题意得出，再根据设，则，此时，进一步得出点A，D，H三点共线，则是的垂直平分线，利用勾股定理求得，进而求出最终结果； （2）过点B作交于点M，过点C作交的延长线于点H，利用“”证明和，得出相关的线段，利用等腰直角三角形的性质得出相应的线段之间的关系，进而推导出结果； （3）由题意知，始终绕点A旋转，其运动轨迹为圆，此时点M的运动轨迹同样跟随的运动轨迹在变化，要使的面积取最大值，则当与重合时，此时的面积取最大值，过点A作交的延长线于点K，过点M作交于点H，利用相似三角形的判定与性质，勾股定理及等腰三角形的性质得出相关线段的长度，并最终求得的面积． (1) 小问详解： 解：如图，过点D作交于点H， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴设，则， ∴， ∴，即平分， 又∵，， ∴点A，D，H三点共线，则是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴在中，． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题意知，绕点D顺时针旋转恰好与重合，且始终是顶角为的等腰三角形， ∴如图，始终绕点A旋转，其运动轨迹为圆，此时点M的运动轨迹同样跟随的运动轨迹在变化， 要使的面积取最大值， ∴当与重合时，此时的面积取最大值， 如图，过点A作交的延长线于点K，过点M作交于点H， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，， 又∵是顶角为的等腰三角形， ∴，， ∴， 在中，，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴，即，， ∴，， ∵点M为线段上靠近E的三等分点， ∴， 在中，，由勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质等知识点． 37．【答案】（1）     （2） 证明：， ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质． （1）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （2）证明，由（1）得则，得到，进而得解； （3）由，得到，根据相似三角形的性质得到，以点A为圆心，2为半径作，延长到，使，交于D，根据相似三角形的性质得到，推出点E在过点且与垂直的直线上运动，过点B作，即为最短的，连接，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据勾股定理即可得到结论． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：、， ， ， ， 如图，以点A为圆心，2为半径作，则C、D都在上， 延长到，使，交于，， ， 则， ， ， ， 点E在过点且与垂直的直线上运动，过点B作，垂足为即为最短的； 连接， ， 四边形是矩形， ∴， 在中，， ． 38．【答案】（1）     （2）， 证明：在上截取，连接交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，        ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ； ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；     （3）      【分析】 （1）证明是等边三角形，再证明，进一步证明，得到，利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）在上截取，连接交于点N，证明，得到，再证明，得到，进而证明，得到由，即可证明； （3）连接，根据三角形的中位线定理可得出，连接，则，故当M在上时，最小，过C作于G，过作于H，可证明是等边三角形，求出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，进而求出，根据勾股定理求出，结合已知可求出，根据三线合一求出，则，，，，证明，可求出，进而即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴是等边三角形． ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中， ，        ∴． ∴， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接， ∵翻折， ∴， ∴， ∵，M是中点， ∴， 连接，则，即， 故当M在上时，最小， 过C作于G，过作于H， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即线段取得最小值时， 的面积． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 39．【答案】（1）     （2）     （3）能，      【分析】 （1）在下方构造一个与全等的三角形，通过延长，得到一个含的新三角形，再利用角度代换、全等三角形的性质求出这个新三角形属于什么特殊三角形，即可求出的度数． （2）在下方构造一个与全等的三角形，将转换为另一条与，有关的线段上，利用全等三角形的性质，即可得到，，之间的数量关系． （3）根据题意需要先确定此时图形的形状，观察图象，在时，射线经过斜边的中点，可以从两个方向，“利用中点证垂直”或“利用垂直证中点”确定此时图形的形状，再利用，可以得到多对相似三角形，通过相似三角形的性质得到此时x与y的关系，即可求出此时的值． (1) 小问详解： 解：如图，在下方取点，使得，，延长交于点，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， （另：不通过平行四边形，也可以连接，通过证明得到该结论）， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴． (2) 小问详解： 解：，理由如下： 如图，在的延长线上取点，使得，设，， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即． (3) 小问详解： 解：能，，理由如下， 如图，当时，延长交于点，同（1）理，构造（1）中的对应点， 由（1），得，，是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴，即点是的中点， 又， ∴，即， ∴， ∴， ∴点为的中点， 由（1）可知，， ∴，， ∴是的平分线， 记点到，的距离分别为，，则，记点到的距离为， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即． ∴， ∵，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴． 【点睛】 本题综合考查全等三角形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，角平分线的性质定理，通过题干条件，构造全等三角形，再利用全等三角形的性质来进行角度代换，证明三角形相似是解题关键． 40．【答案】（1） 证明：，， ， ， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ；     （2） 解：，理由如下， 如图，连接，延长至点N使得，连接， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）根据与，结合四边形对角互补即可证明全等； （2）结合第一问全等性质能够证明，再利用题干角度关系，得出，从而确定等腰，根据，得出，倍长构造，从而将转换到，得出等腰，再尝试将推导至，通过证明可得出，从而在等腰中，可以得出； （3）根据轴对称与定长得出点P轨迹，再根据等腰直角的形状，同方向构造等腰，从而得出，因此可确定点Q轨迹，再考虑最小时的位置，通过，分别求出与两三角面积进而可求解出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，以为斜边在左侧作等腰，连接， 由题意得， 当点E在线段上运动时，点P在以点C为圆心，长为半径的半圆上运动， 与为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 点Q在以G为圆心，长为半径的半圆上运动， 如图，当点G、Q、F三点共线时，最小， 如图，连接，过点G作于点J，过点C作于点L，在上取点O，使得，在上取点R，使得，过点O作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则，，， ， 解得， 在中， ， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当最小时，面积为． 【点睛】 本题主要考查了圆与三角形的综合，直角三角形两个锐角互余，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形与含直角三角形的性质，锐角三角函数与勾股定理等知识点，难度较大，综合度强，找到各个量之间的关系并且正确构造辅助线是解决本题的关键． 41．【答案】①     ② 【分析】 如图，设交于点，连接、交于点、交于点、交于点，连接、，设的半径为，根据切线的性质及矩形的性质推出，继而得到，进一步得到点、点、点重合，继而得到，可得半径；然后利用勾股定理得，，证明得，求出，证明得，求出，证明，得，可得答案． 【详解】 解：如图，设交于点，连接、交于点、交于点、交于点，连接、，设的半径为， ∵在中，是直径，点是上一点，交于点，与相切于点， ∴，，，， ∵四边形是矩形，，对角线、交于点， ∴，，，， ∴点是和的中点，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴点是的中点，点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴点、点、点重合， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即的半径为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵，即， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 即的长为， 故答案为：；． 【点睛】 本题考查切线的性质，直径所对的圆周角是直角，矩形的性质，平行线分线段成比例定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，掌握切线的性质、直径所对的圆周角是直角及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 42．【答案】（1） 证明：，， 是等边三角形． ，． 点D为的中点， ． ， ，，． ， ． ． ，， ． ，，， ， ． ， ． ，，， ． 在和中 ． ．     （2） 解：，理由如下： 过G作，交延长线于E， ． 在右侧作等腰， ，． ． 即． ，， ． ． 在和中 ． ，． ， ． ，， ． ，，， ． ，， ． 在和中 ． ． ，，， ． ． ， ． ． ． ，． ． ． ．     （3）      【分析】 （1）先证，再证，可得出； （2）过G作，交延长线于E，先证，再证，再由，则，由等腰，得出，即可得； （3）在上方作等边，连接、，证明A、C、P、D四点共图，可得，进而可证明，得，，即可证明是等边三角形，得，作外接圆，进而可求其半径，得O、Q、T共线时，最小，而QT最小，依次求得相关线段长，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：在上方作等边，连接、， ，． ， ． ． 、C、P、D四点共圆． ． ， 在和中 ． ，． ． 是等边三角形． ． ． 作的外接圆O，连接、， 所对的圆心角为． ． ， ． ， ． 点B、A、O三点共线． ，， ． ， ． ． 作于M， ． ． ． 连接、， 中，， 当O、Q、T三点共线，即时，最小． 当时， ，， ． ． ． ． 【点睛】 本题主要考查了圆与三角形的综合，涉及四点共圆，圆周角的性质定理，圆心角定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等，综合性强，难度较大，根据题意结合图形正确添加辅助线，找到各个线段，角之间的关系是正确解答此题的关键． 43．【答案】（1）     （2） 证明：在上截取，连接交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，        ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ； ∴， ∴， 又∵∠， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；      （3）      【分析】 （1）先求出，进而证明是等边三角形，再证明，进一步证明，得到，利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）在上截取，连接交于点N，证明，得到，再证明，得到，进而证明，得到由，即可证明； （3）如图所示，在上取一点T，使得，连接，先证明是等边三角形，得到，进而证明，得到，设，则，；证明，得到；设，则，，，，；如图所示，过点F作分别交延长线于S、K，证明，是等边三角形，得到，，则，，证明，得到，推出，则，；如图所示，取中点R，连接，由折叠的性质可得，证明是的中位线，得到，则点M在以R为圆心，为半径的圆上运动，故当A、M、R三点共线，且R在上时，有最大值，如图所示，过点A作于V，则，进而得到，，由勾股定理得，则，则． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中，        ∴． ∴， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，在上取一点T，使得，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点F作分别交延长线于S、K， ∴， 又∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 如图所示，取中点R，连接， 由折叠的性质可得， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点M在以R为圆心，为半径的圆上运动， ∴当A、M、R三点共线，且R在上时，有最大值， 如图所示，过点A作于V， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题综合性强，主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，一点到圆上一点距离的最值问题，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，推出是解题的关键． 44．【答案】①     ② 【分析】 过点F作，垂足为G，于点H，根据正方形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质解答即可． 本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】 解：过点F作，垂足为G，于点H， ∵正方形的边长为6， ∴，，， 又∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵ ， ∴； ∴， 设， ∵P是中点， ∴． ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 延长交于点Q， 则，四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 45．【答案】（1）     （2） 证明：延长至M，使，连接，作，交于N，      在和中， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 为中点；     （3）      【分析】 本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由得，利用三角形内角和定理得，即可得结论； （2）延长至M，使，连接，作，交于N，证明，得，，，进而证明即可得结论． （3）作，在左侧截取，连接，，证明， 作点B关于直线的对称点，连接，，则，当三点共线时，取值最小，连接、、，作于点Q，作于点N，证明四边形为正方形，，，， ，利用三角形中位线及勾股定理分别求出再求出比值即可． (1) 小问详解：       解：， ， ，， ， ， ， ， ， ; (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：作，在左侧截取，连接，， ， ，， ， ，即， ， ， ，，，， ， ， 点A、E、F三点在同一直线上， ，即点E在直线上，且恒为直角三角形， 作点B关于直线的对称点，连接，，     则，当三点共线时，取值最小， 连接、、，作于点Q，作于点N， ，， 四边形为正方形， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ，即点P为的中点， 点K为的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，P为中点， ， 将绕点B顺时针旋转得到， ， ，，， ，， ， ，，， ， ， 作于M，设 ，，， ， 作于S ， ，，， ． 考点04 相似三角形的性质 1．D 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．A 8．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据等边与，得出，再由定点定长得出隐圆，通过圆周角定理与圆心角性质即可求解； （2）通过在上取点M，构造，结合得出，在中解三角形，即可得出； （3）此问涉及比值最值，难度较大，通过将转换为，通过在平面内取点I，构造出，从而找出点I轨迹为直线，则只需求最小值即可得出答案． (1) 小问详解： 解：，证明如下， 法一：如图，连接，，    点E为中点，为等边三角形， ，， ， ， 线段绕点E顺时针旋转得到线段， 为等边三角形，， 在与中， ， ， ， ， ； 法二：如图，取中点H，连接，    为等边三角形，为中点， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，点D为中点， ， 点在以点H为圆心，长为半径的圆上， ． (2) 小问详解： 解：，理由如下， 如图，在上取点M，连接，使得，设交于点K，    为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点， ，， ，为等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为线段中点， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， 在与中， ， ， ． (3) 小问详解： 解：最小值为，证明如下， 法一：如图，在平面内取点I，连接、使得且，连接、、，延长交于点P，    由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ， D、E、H为中点， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 点I在线段垂直平分线上， 为中点， ， 为线段的垂直平分线， ，， ， ，， ， 故的最小值为． 法二：如图，以长为半径作，延长交于点J，延长交于点K，连接、，    D、E、H为中点， ，， ， ， 由题意得， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故最小值为． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理等知识点，掌握旋转相似的构造与隐圆的转换找出轨迹是解题的关键． 考点05 相似三角形的应用 1．B 2．【答案】 【分析】 此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】 由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 3．【答案】2米 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】 解：由题意得：， ， ， ， ， ， 解得：， （米）， 窗户的高为2米， 故答案为：2米． 4．【答案】（1）路灯的高度为5.8米     （2）米      【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质和应用．解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． （1）根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； （2）首先根据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据又米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． (1) 小问详解： 解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； (2) 小问详解： 解： ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 即国旗杆的高度为米． 考点06 位似 1．B 2．B 3．C 4．A 5．A 6．C 7．B 8．D 9．B 10．C 11．A 12．C 13．D 14．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了画位似图形，坐标与图形，熟练掌握位似的性质是解题的关键． （1）把点A、B、C的横纵坐标都乘以可得点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 15．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）；     （3）      【分析】 本题考查了作图位似变换，相似三角形的判定和性质，正确画出位似图形是解题的关键． （1）把点、、点的横纵坐标分别乘以得到、、的坐标，然后描点即可； （2）根据平面直角坐标系可得点的坐标，再利用相似三角形的性质得到和的面积比； （3）根据割补法即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由平面直角坐标系可得， 由题意可得， ， 的位似图形为， ， ， 故答案为：；； (3) 小问详解： 解：根据割补法可得四边形的面积为 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·重庆万州·期末）下列各组中的四条线段是成比例线段的是（       ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）已知点是线段的黄金分割点，，那么的长为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）下列四组线段中，不是成比例线段的是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）下列图形中，不是相似图形的一组是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）已知，则的值为　　　　　　　． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）如图，直线，，若，则的长为（     ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 18 3．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）在学习图形的相似过程中，有这样一个问题：如图，，． （1）用直尺和圆规，作的平分线交于点．（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，试说明．请根据以下思路完成填空： 证明：， ①_____ 平分， ②_____ ③_____ ④_____ 4．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知，，，则的长是　　　　　． 5．（25-26学年九上·重庆十一中教育）如图， 中，点D 为边的中点，连接，将 沿直线 翻折至 所在平面内，得，连接，分别与边交于点E ，与 交于点O ．若，则的长为 　　　　　　　　　　　． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）如图，点D在的边上，添加下列条件，不能判断的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（       ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 4．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，在正方形中，为对角线上的点，为边上的点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点恰好与点重合，连接交于点．若正方形的边长为，则的长为（     ） A.  B.  C. 1 D.  7．（25-26学年九上·重庆川外基础教）如图，正方形中，，E为上一点，将沿翻折得到，连接，，若，则的长度为（       ） A. 6 B.  C. 7 D.  8．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）如图，在正方形中，，点是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，连接交于点，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·重庆万州·期末）如图，在正方形中，对角线相交于点，点为上一点，于点，连接，若，，则的值为（       ） A.  B.  C. 7 D.  10．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）如图，在正方形中，点，点分别是，上一点，连接，分别交对角线于点，连接，点为的中点，连接，若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）如图，正方形的边长为6，点在边上，连接，作交的角平分线于点，交于点，连接交于点．若，则的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交于点G，连接，则（     ） A.  B.  C.  D. 4 13．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）如图，四边形是正方形，以为斜边在右侧作，使得且，在的延长线上取一点，使得，连接、，交于点，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）如图，矩形对角线与反比例函数相交于点，且，已知点坐标为，则的值为（     ） A. 18 B. 20 C. 25 D.  15．（25-26学年九上·重庆南开中学校）如图，正方形中，点为线段上一点，满足，连接，点为线段上一点，过点作交于点，交延长线于点，若，则的值为（     ）． A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）如图，在△ABC中， ∠B=∠AED，AB=5，AD=3，CE=6，则AE=　　　　　　. 17．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，在中，，，， （1）尺规作图：作线段垂直平分线，交于点E，交直线于点F； 保留作图痕迹，不要求写作法 （2）在（1）的条件下，求的长度． 解：，， 垂直平分线段， ，， ①______． ， ②______， ③______， ， ④______． 18．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，、分别在边、上，若，，，则的长为 　　　　　　． 19．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点， （1）求证：； （2）已知，，，求的长． 20．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，已知等腰直角三角形，点为边上一点，连接，将沿折叠得，连接交于点．若，且，则： （1）的长为　　　　　　； （2）的值为　　　　　　． 21．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）在中，是边上的中线． （1）如图，是边上的中线，点是的中点，交于点，若，求的长； （2）如图，若，过点作于点，求证：． 22．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）（多选）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．    (1)求证：△ABE∽△ECD； (2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长． 23．（2026·重庆育才中学校·三模）如图，在中，以为直径的分别交、于点、．与交于点，为射线上的一点，连接，且，．若，，则　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）如图，已知矩形中，，，连接，点、分别在边，上，将四边形沿线段翻折，点，的对称点分别为，．若点恰好落在线段上，且．则　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结．延长交于点E，若，，则的半径为　　　　　　，　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）在中，，点为边上中点，为直线上一点，连接． （1）如图，若，，求线段的长度； （2）如图，若，点为边上一点，且，连接并延长至点，使，连接．请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若，，点为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为的中点，连接，请直接写出当取得最小值时的面积． 27．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为上一点，以为斜边向下作等腰． （1）如图，连接，交于，若垂直平分，设，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图，连接，以为顶点，在右侧作，交于点，求证：； （3）如图，连接，设与交于点，若，，点从点运动到点的过程中，当的长度取得最小值时，请直接写出的面积． 28．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）如图，菱形的对角线，交于点． （1）如图1，过菱形的顶点作于点，交于点，若，求的面积； （2）如图2，过菱形的顶点作，且．线段交于点．交于点．当，，三点在同一直线上时，请用等式表示线段、之间的数量关系，并证明； （3）如图3，菱形中，．点为直线上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，当线段的长度最小时，将沿直线翻折得到，若延长与、所在的直线分别交于点M，N，直接写出的值． 29．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）如图，点是边长为8的正方形的边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，，交边于点，连接，当取最小值时，线段的长为　　　　　　　；线段的长为　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）中，，将绕点A逆时针旋转到，直线与直线交于点E，过点D作交延长线于点F． （1）如图1，当时，连接，若，求的长度； （2）如图2，若点G为的中点，连接，请用等式表示线段之间的数量关系并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，，，连接，点P为边上一动点，连接，以为直角边在其右侧作等腰直角，，并将绕点Q旋转至，连接，请直接写出当和均取得最小值时的面积． 31．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为　　　　　　　　，的面积为　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·重庆第十八中学）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，当时，求的面积． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，连接，写出与的关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试画出C，D，E三点构成直角三角形的图形，并直接写出直角三角形的面积（至少2种情况）． 33．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，在矩形中，，，点E为上一定点，满足，连接，，动点M从A点出发，沿着折线运动，运动速度为每秒1个单位长度，动点N从C点出发，沿着向E运动，速度为每秒个单位长度，当点M停止运动时，点N也同时停止．过点N作于点F．设运动时间为x秒，记的面积为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出，的图象，并写出的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出函数的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 34．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图1，在中，为边上的高，，，，动点P从点B出发，沿以1个单位每秒的速度运动，到达点C时停止运动，设点P运动的时间为，过点P作交的边于点Q，点P，Q的距离为，的面积与点P运动的路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 35．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）正方形中，E为对角线上的动点，连接交边于点F． （1）如图1，若正方形边长为6，，求的面积． （2）如图2，G为边上一动点，以为斜边构造等腰直角，连接，当时，请用等式表示线段和之间的数量关系，并证明． （3）如图3，将沿着直线翻折得到，点A的对应点为点P，连接线段并绕着点B顺时针旋转90°得到线段，记四边形的面积为，的面积为，当线段取最小时，请直接写出的值． 36．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）在中，，D为平面内一点，连接，以为边作 ，使得，． （1）如图1，点D在内，当点E与点C重合时，，，求的值； （2）如图2，，点D在左上方，且B在的延长线上，连接 交于点P，Q为上一点，连接，若，求证： ； （3）如图3，绕点D顺时针旋转恰好与重合，，，连接，点M为线段上靠近E的三等分点，连接，，直线交直线于点N，当面积取最大值时，请直接写出的面积． 37．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，在中，，，垂足为 （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，使，连接．求证：； （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点D，满足，连接并延长至点E，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 38．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接 （1）如图1，，，若，求的度数； （2）如图2，，，过点D作交于点F，，请探究线段之间的等量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，延长线上有一点D，且，连接，在线段上取一点E，使得，连接交于点F，点P是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 39．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）如图1，在中，，，分别为直角边、上两点，连接，交于． （1）如图1，如果满足，，求的度数； （2）如图2，如果满足且．试着探究，，三线段的数量关系，并请详细证明你探究出的结论； （3）如图3，在（1）的条件下，我们进一步假定，；连接并延长得到射线，我们不断调整和的数量，也就是在不断改变三角形的形状，请问经过调整能否使得射线经过斜边的中点，如能请直接给出的值，如果不能请简要说明理由． 40．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）在中，，是延长线上一点，，是线段上一动点，连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，过点作于点，交于点，证明：； （2）在（1）的条件下，如图2，在线段上截取，连接，若，，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明； （3）如图3，连接，将关于对称得到，连接，以为斜边在左侧作等腰，连接，若，，当最小时，直接写出的面积． 41．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如图，在中，是直径，点是上一点，连接，以为边在的右侧作矩形，与相切于点，与交于点，连接交于点，连接和交于点，若，，则的半径为　　　　　　，的长为　　　　　　． 42．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）已知：在中，． （1）如图1，若，点D为的中点，过点D作的平行线交于点G，点E，F分别在，的延长线上，且，求证：； （2）如图2，若，过点A作于点M，点D在的延长线上，连接，点H为上一点，以为斜边在右侧作等腰，连接，，在上取一点N，连接，使，连接，用等式表示与的数量关系并证明； （3）如图3，点P是平面内右侧一点，连接，，满足，射线上有一点Q且满足，过点Q作于T，若，，请直接写出的最小值． 43．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接． （1）如图1，，，若，求的度数； （2）如图2，，，过点D作交于点F，若，求证：； （3）如图3，，延长交的延长线于点F，交于点G，点D是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，连接，若，当线段取得最大值时，请直接写出的值． 44．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，已知正方形的边长为6，P是中点，点F在上且满足，延长分别交于点M，交的延长线于点E，则的长为　　　　　　　；的长为　　　　　　　． 45．（25-26学年九上·重庆十一中教育）在等腰中， 为边上一点（不与端点重合）， E 为外一点，连接，使． （1）如图 1，点 E 在右侧，交于点G ，若 ，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图 2，点 E 在右侧，若为边上一点，连接交 于点O ，若，求证： O 为中点； （3）如图 3，点 E 在左侧，若，点 G，P，K 分别为， 的中点，连接，将绕点B 顺时针旋转得到，连接 ，使，当 最小时，直接写出的值． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）已知 ，且 ，则 与 的周长比是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（       ） A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9 4．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）已知，且 ，若的面积为4，则的面积是（     ） A.  B. 6 C. 9 D. 18 5．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）如图，已知且．若，则值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为4，则的面积为（     ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 25 7．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD上的点，AE交BD于点F，交BC延长线于点G，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·重庆川外基础教）如图，在等边中，，分别为，边的中点．为所在平面内一动点（点不在的三边上），且满足，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．    （1）点在直线的右侧时，求的度数； （2）点在直线的右侧时，用等式表示，，的数量关系并证明； （3）将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出的最小值． 考点05 相似三角形的应用 1．（2026·重庆广益中学·模拟）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为　　　　　． 3．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，窗户的高在教室地面上的影长米，点M到墙角的距离米，窗户的下沿到教室地面的距离米（点M，N，C在同一直线上），则窗户的高为　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）学科实践--测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度．活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具． 方案设计及问题解决（图中各点均在同一竖直平面内）： （1）笃行组进行路灯测量（如图1），在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过．测量数据：米，米．计算图1中路灯的高度． （2）缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量，操作中发现：由于国旗杆底部台阶影响，无法测得线段的长，因此不能求得国旗杆高度．于是对笃行组的方案作出补充：在如图2中仍先直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A，测得线段米；再直立一根同样高度的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A．并测得米，计算国旗杆的高度． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·重庆育才中学校·三模）如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（     ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 45 4．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点的对应点分别为点），已知的顶点，若点的坐标为，的面积为，则的面积为（     ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 16 5．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC与△DEF的面积之比为4∶9，则AO：OD的比值为（       ） A. 2∶3 B. 2∶5 C. 4∶9 D. 4∶13 6．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，已知与位似，位似中心位点O，且，的周长为15，则的周长为（     ） A. 5 B. 9 C. 10 D. 12 7．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如图，与是位似图形，位似中心是点O，且与的面积比为，已知的周长是4，则的周长是（       ） A. 2 B. 8 C. 16 D. 20 8．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）如图和以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（     ） A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:4 9．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长为4，则的周长为（     ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 10．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（     ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 11．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）如图，与位似，点为位似中心，与的面积比为，则与的周长比为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·重庆南开中学校）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·重庆万州·期末）如图，与是位似图形，点为位似中心，且．若的面积为，则的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别是，，． （1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出，使它与原三角形相似比为； （2）求的面积． 15．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在第四象限画出关于原点O的位似要求新图形与原图形的位似比为． （2）直接写出对应点的坐标是                 ；和的面积比是                 ． （3）若连接，，则四边形的面积为                 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $