2026-2027学年北师大版数学九年级上册阶段练习（第一章～第三章）

2026-2027北师大版数学九年级上册阶段练习 第一章第三章 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.下列四组线段中，不是成比例线段的是() A.a=3,b=6,c=2,d=4 54，G=O2,≤ C.a=1.1,b=2.2,c=3.3,d=4.4 D.a=1,b=1.8,c=3.5,d=6.3 2.下列方程中，关于x的一元二次方程是() A.口x+1P=2x*0 8.0 C.ax+bx+c=0 D.x+2x=x-1 3.下列选项中的两个图形，不是位似图形的是() B D. 4.如图，AD/BE/CF,直线口1、I口2与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、 E、F.已知AB=1,BC=3,DE=2,则EF的长为() A.4 B.5 C.6 D.8 5.如图，给出下列条件：①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB: A ③AC=AB D CD-BC;④AC=AD·AB.其中能够单独判定△ABC∽△ACD B 的条件个数为() A.1B.2 C.3D.4 6.2025年某市政府投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2027年底三 年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同. 设每年市政府投资的增长率为x,根据题意，列出方程为). A.2(1+x2=9.5 B.2(1+x)+2(1+x2=9.5 C.2+2(1+x)+2(1+x2=9.5 D.8+8(1+x)+8(1+x)2=9.5 7.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正 D 确的是() A.当AB=BC时四边形ABCD是菱形 B.当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形 C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D.当AC=BD且∠ABC=90时四边形ABCD是正方形 8.2根据下列表格的对应值： 0 0.25 0.50 0.75 1 x+5x-3=0 -3.00 -1.69 -0.25 1.31 3 可得方程x2+5x-3=0的一个解x的范围是 A.0<x<0.25 B.0.25<x<0.50 C.0.50<x<0.75 D.0.75<x<1 9如图，取一张长为，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形 纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条 件是() 第一次对折 第二次对折 a A.a=v2b B.a=2b C.a=2v2b D.a=4b 10.如图，在钝角△ABC中，AB=6cm,AC=12cm,动点D从A点出发到B点止，动 点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒. 如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动 的时间是() B A.3秒或4.8秒 B.3秒 C.4.5秒 D.4.5秒或4.8秒 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.一元二次方程x2-2x=0的解是 12.若点C是线段AB的黄金分割点，AB=8cm,(AC>BC)求AC= BC= 13.若关于x的一元二次方程方程kx2-6x+9=0有实数根，则k的的取值范围是 14.如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的 速度移动，点Q从点B开始沿边BC和CD向点D以2cm/s的速度移动.如果点P,Q 分别从点A,B同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止，那么经 过一s,△PBQ的面积等于8cm. 15.如图，在Rt△ABC中，AB=3,BC=4,∠B=90°，·四边形BDEF是△ABC的内接 正方形点D、E、F在三角形的边上)·则此正方形的面积是 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。 16.(本小题10分)解方程： (1)x2+2x-3=0 (2)2x2+5x-1=0 17.本小题8分 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的 交点)上。（要求使用无刻度的直尺画图） 图1 图2 (1)在图1中，以点C为位似中心画△A,B,C,使它与△ABC位似，且相似比为2； 2金图2巾，在线段A上国一个点M,使留号 18.本小题8分) 己知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+3m=0. (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根： (2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值. 19.本小题8分) 在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上，DF=BE,连接 AF,BF。 B (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若CF=6,BF=8,DF=10,求证：AF平分∠DAB。 20.本小题8分) 已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC. 求证：(1)DB=DE·DA; (2)∠DCE=∠DAC. 21.本小题8分) 某网店直接从工厂购进A,B两款钥匙扣，进货价和销售价如下表（注：利润=销 售价~进货价： 类别 A款钥匙扣B款钥匙扣 进货价元件) 30 25 销售价元/件 45 37 (1)该网店第一次用850元购进A,B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的 件数. (2)为了商品能卖得更多，该网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售， 那么平均每天可售出4件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2件，那 么将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天的销售利润为90元？ 22.本小题8分) 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它各边的中点得到的新四边形叫作原 四边形的“中点四边形”.如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原 四边形叫作“中方四边形”. 图1 图2 图3 (1)【性质探究】①如图1，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD, AD的中点，AC,BD交于点O,AC=BD,且AC⊥BD,求证：四边形ABCD是“中 方四边形”②可以发现：当四边形的两条对角线 时，四边形是“中方四边 形”； (2)【问题探究】如图2，以锐角△ABC的两边AB,AC为边长，分别向外侧作正方 形ABDE和正方形ACFG,求证：四边形BCGE是“中方四边形”； (3)【拓展应用】如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M,N分别是AB, CD的中点，若MN=2,则AB+CD的最小值为 23.本小题8分) B D 图1 图2 备用图 【问题发现】(1)如图1，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，在 AD的右侧作等腰直角△ADE,使∠DAE=90,AD=AE,连接CE,则∠ABC和 ∠ACE的数量关系为； 【拓展延伸】(2)如图2，在等腰△ABC中，AB=BC,点D是BC边上任意一点（不 与点B,C重合)，在AD的右侧作等腰△ADE,使AD=DE,∠ABC=∠ADE,连接 CE,则(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由： 【归纳应用】(3)在(2)的条件下，若AB=BC=6,AC=4,点D是射线BC上任意 一点，请直接写出当CD=3时CE的长。 1.C2.A3.D4.C5.C6.C7.D8.C9.B10.A 11.X1=0X2=2 12.4V5-4cm;12-4V5cm 13.k≤1且k≠0 142或号 15.144 49 16.解：(1)x2+2x-3=0, X2+2X=3, x2+2x+1=4, (x+12=4, x+1=±2， X1=1,X2=-3; (2)2x2+5x-1=0, a=2,b=5,c=-1, b2-4ac=25+8=33’ x=-5±33 4 X,=-5+3,X=533: 4 4 17.(1)解：根据位似图形的性质可直接求解，所作△ABC如图所示： B (2)根据相似三角形的性质可进行求解，所作点M如图所示： M 18.(1)证明：△=[-(m+3)-43m=(m-32, :(m-3}2≥0，即△≥0， :.无论m取任何实数值，方程总有实数根 (2)解：：等腰三角形的一边长为4， 分情况讨论： ①当4为腰长时，另一腰长也为4，将x=4代入原方程中得m=4. 由x2-7x+12=0解得X1=4,x2=3, 此时三角形的三边长为4,4,3. ②当4为底边长时，两腰长相等，则方程x-(m+3)x+3m=0有两个相等的实数根. 由△=(m+32-4×3m=0,得m1=m2=3. 由x2-6x+9=0解得x1=x2=3, 此时三角形三边长为4,3,3. .3+3>4, :.能构成三角形. 综上所述，m的值为3或4. 19.证明：(1)：四边形ABCD为平行四边形， .∴.DC/AB, 即DF /BE, .DF=BE, :.四边形DEBF为平行四边形， .DE⊥AB, 即∠DEB=90, :.四边形DEBF为矩形. (2)·四边形DEBF为矩形， ∴.∠BFC=90°， .CF=3,BF=4, .BC=V32+42=5, .∴AD=BC=5, ∴.AD=DF=5, .∴.∠DAF=∠DFA, .∠DFA=∠FAB, .∴.∠DAF=∠FAB, AF平分∠DAB 20.证明：(1)在△BDE和△ADB中 .'∠DEB=∠ABC,∠BDE=∠ADB, ∴.△BDE△ADB, ·器器 ∴.DB2=DE·DA· (2)AD是中线， ∴.CD=DB, .CD2=DE·DA, 品浩 又：∠ADC=∠CDE, ∴.△DEC-△DCA, ∴.∠DCE=∠DAC· 21.(1)解：设购进x件A款钥匙扣、y件B款钥匙扣.根据题意，得 x+y=30, 解得x=20,答：购进20件4款钥匙扣、10件B款钥匙扣. 30x+25y=850, y=10. (2)设B款钥匙扣的售价定为a元/件，则每件的销售利润为a-25元，平均每 天可售出4+(37-a)×2=(78-2a)件.根据题意，得(a-25(78-2a)=90, 整理， 得a2-64a+1020=0,解得a1=30,a2=34.·该网店为了商品能卖得更多，a=30. 答：将销售价定为30元/件时，才能使B款钥匙扣平均每天的销售利润为90元. 22.（1)①证明：：E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点， .EF是△ABC的中位线，GH是△ADC的中位线， .EF-AC,EFI/AC,GH-AC,GH//AC, ∴.EF=GH,EF//GH, .四边形EFGH是平行四边形. 同理可得EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线， EH//BD,EH-BD,FG=BD,FG//BD, :AC=BD且AC⊥BD,∴EF=EH,EF⊥EH, :.四边形EFGH是正方形， :.四边形ABCD是“中方四边形”· ②垂直且相等 (2)证明：如图1，四边形ABDE和四边形ACFG都为正方形，连接BG,EC, B 图1 ∴.AB=AE,∠EAB=90°，AG=AC,∠GAC=90°， ∴：∠EAB+∠BAC=∠BAC+∠GAC,即∠EAC=∠BAG, AE=AB 在△AEC和△ABG中， ∠EAC=∠BAG, AC=AG ∴.△AEC≌△ABG(SAS),∴.EC=BG,∠AEC=∠ABG, .'∠CEB+∠EBG=∠AEB-∠AEC+∠ABE+∠ABG=∠AEB+∠ABE=180°-∠EAB=90, ∴.EC⊥BG, ,∵EC=BG,EC⊥BG, .由(1)知，四边形BCGE是“中方四边形”. (3)4 23.（1) ∠ABC=∠ACE (2)成立，理由如下： .AB=BC, ∠BAC=∠ACB=号×180°-∠ABC)。 .AD=DE, ∠DAE=∠DEA=×(180-∠ADE). 2 ,·∠ABC=∠ADE, ∴.∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAD=∠CAE,△ABC△ADE, AB_AD ·ACAE ∴.△ABD一△ACE, (3)如图1，当点D在线段BC上（不与B,C重合时， .AB=BC, ∠BAC=∠ACB=×(180-∠ABC) 2 AD=DE, .∠DAE=∠DEA=号×(180°-∠ADE)。 ,'∠ABC=∠ADE, .∴.∠BAC=∠DAE, .∴.∠BAD=∠CAE,△ABC一△ADE, ..AB=AD AC AE ∴.△ABD一△ACE, AB_BD ·ACCE .AB=BC=6,AC=4,CD=3, 品 ∴.CE=2; 如图2，当点D在线段BC延长线上时， AB=BC, .∠BAC=∠ACB=×(180-∠ABC)0 2 AD=DE, .∠DAE=∠DEA=号×(180-∠ADE)。 2 :∠ABC=∠ADE, ∴.∠BAC=∠DAE, .∴.∠BAD=∠CAE,△ABC一△ADE, ·AB-AD AC AE' ∴.△ABD一△ACE, .AB=BD ACCE。 AB=BC=6.AC=4,CD=3, .6_6+3 ·4CE ∴.CE=6。 综上所述，CE的长为2或6。 B D 图1 图2