2026-2027学年人教版数学九年级上册第一次月考试题（25-26单元）

2026-2027学年人教版数学九年级上册第一次月考试题（25-26单元） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）用配方法解一元二次方程时，可化为的形式，则的值是（     ） A．7 B．13 C．10 D．3 3．（本题3分）抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（     ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在体育测试中，小明掷出的实心球的飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系可以近似地看成抛物线，则小明本次投掷实心球的成绩为（     ） A．8米 B．9米 C．10米 D．12米 7．（本题3分）关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象的对称轴在轴左侧 B．图象的顶点在轴上方 C．当时，随的增大而增大 D．有最小值是5 8．（本题3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 9．（本题3分）如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，下列说法正确的是（     ） A． B．石板路的宽度为 C．石板路的面积为 D．水池的横向长度为 10．（本题3分）为进一步美化校园，某园艺小组设计了菱形花田，其中，菱形边长为．现安排一名同学从点A出发，沿匀速行走巡查花田，行走的路程为（）．该同学每到一处，都作一条垂直于的直线l，直线l扫过菱形花田的阴影部分面积为，则能反映y与x之间函数关系的图象是（     ） A．B．C．D． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）方程的解是______________． 12．（本题3分）若是方程的两个实数根，则的值为_________． 13．（本题3分） 在抛物线 上，比较 的大小_________． 14．（本题3分）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，则方程的根是_____________． 15．（本题3分）一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个数．设这个两位数的个位数字为，根据题意可列方程为_________． 16．（本题3分）抛物线的图象如图所示，它的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和原点之间，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤ 其中正确的结论是：____________（填写序号）． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）解方程 (1) (2)． 18．（本题8分）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若是方程的一个根，求m的值及方程的另一个根． 19．（本题8分）已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)说出这个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； 20．（本题8分）如图，某校劳动实践基地在一道长为的墙一侧，用长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)分别求与，与之间的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 21．（本题9分）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值． 22．（本题9分）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 23．（本题10分）一水果店销售的苹果，每箱进价40元．市场调查发现，销售价格：每箱售价为50元时，平均每天可售出90箱；售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱．已知当地工商部门规定：苹果的售价每箱不得高于60元． (1)若每箱售价55元，则该苹果平均每天的销售量为________箱； (2)该店平均每天的销售利润为（元），设该店每箱售价提高（元），当为何值时，取得最大？最大利润是多少？ (3)当销售利润为1152元时，求的值． 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求点、、的坐标及顶点的坐标； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线向左平移个单位得到抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．若的面积为，求的值． 第6页（共7页） 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年人教版数学九年级上册第一次月考试题（25-26单元）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C B A C B D A 1．A 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，因此该方程不一定是一元二次方程，不符合题意． 2．B 【分析】将、均化为一般式，根据一次项系数、常数项相等列等式，即可作答． 【详解】解：化为一般式是：， 化为一般式是：， 根据题意：，， 解得：，， ∴． 3．D 【详解】解：抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，即为． 4．C 【分析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，则每个队参加场比赛，共有场比赛，可列出一个一元二次方程，再进行求解即可得出答案.； 【详解】解：∵设比赛组织者应邀请个队参赛，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴． 5．B 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， ∴方程的一个解的取值范围为． 6．A 【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）； 故小明本次投掷实心球的成绩为8米． 7．C 【分析】把函数解析式化为顶点式，再逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴该函数的对称轴为直线，在轴右侧，顶点坐标为，在轴下方，故A、B选项错误； ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，有最小值是，故C选项正确；故D选项错误； 8．B 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等实数根， 且， 解得且． 9．D 【分析】根据水池的占地面积为，即可列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再逐项分析即可． 【详解】解：设石板路的宽度为米，则两水池可合成长为米、宽为米的长方形， 根据题意得：，故A选项说法错误； 整理方程得，， 解得（舍），， 即石板路的宽度为，故B选项说法错误； 石板路的面积为，故C选项说法错误； 水池的横向长度为，故D选项说法正确； 10．A 【分析】分三种情况：当时，当时，当时，分别画出对应的示意图求出对应的函数关系式，结合函数图象可得答案． 【详解】解：设该同学在点，直线与交于点， ∵四边形是菱形， ∴； 如图所示，当时， ∵直线与垂直， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点B作于点H，于点G， 同理可得，， ∴； 如图所示，当时，， 由菱形的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 如图所示，当时，， 同理可得， ∴， ∴ ； 综上所述，能反映y与x之间函数关系的图象是A选项中的图象． 11． 【详解】解： 整理得， 即 ∴或 解得 12． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴． 13． 【分析】把三个点的横坐标分别代入抛物线的解析式求出对应的函数值，再比较大小． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∵， ∴． 14． 【分析】二次函数的图象与轴交点的横坐标即为一元二次方程的根，据此即可求出答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的根是． 15． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则这个两位数的十位数字为， 根据“个位数字的平方恰好等于这个数”得到． 16．①④/④① 【分析】二次函数的图象的对称轴为直线，即可判断①；抛物线的图象的开口向下，与轴交于正半轴,即可判断②；抛物线的图象与x轴的一个交点在和原点之间，且开口向下，据此即可判断③；抛物线的图象与x轴有两个交点，即可判断④，当时，函数取得最大值，据此即可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵抛物线的图象的开口向下，与轴交于正半轴， ∴, ∵， ∴， 故②错误， ∵抛物线的图象与x轴的一个交点在和原点之间，且开口向下， ∴当时，， 故③错误， ∵抛物线的图象与x轴有两个交点， ∴， 故④正确； ∵抛物线的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最大值， ∴， ∴， 故⑤错误， 综上所述，①④均正确． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）移项后提公因式 ，用因式分解法求解 （2）用公式法，先计算判别式 【详解】（1）解：移项，得 ， 提公因式，得 ， ∴ 或 ， ∴ ，． （2）解：，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ，． 18．(1) (2)，另一个根是5 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得出求解即可． （2）把代入方程即可求出m的值，再利用因式分解法解方程即可得出另外一个根． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． （2）解：把代入得：， 解得：， 把代入方程得：， 解方程， ， ，， ，， 则方程的另外一个根为5． 19．(1)二次函数解析式为 (2)图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可； （2）根据二次函数解析式写成顶点式，根据性质得出结论； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴把代入， 则， 解得：， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数解析式为， ∵， ∴这个函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 20．(1)，，； (2)当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据题意得到，则，再由建立与之间的函数解析式，然后根据解不等式组求解自变量的取值范围； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 又，即 ， ； （2）解： ， 抛物线的对称轴为直线 ，抛物线的开口向下，自变量的取值范围为，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，取最大值， 当时，， 答：当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 21．(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）先求出点C的坐标为，再求出直线的解析式为：，过点D作轴，交于点P，设点D的坐标为，则点P的坐标为，用m表示出的面积，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：把代入得：， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点D作轴，交于点P，如图所示： 设点D的坐标为，则点P的坐标为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，且最大值为． 22．(1)当时，点在的垂直平分线上 (2)解：存在， 由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得   或     不符合题意，舍去  ， 当时，使得的面积等于． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得到关于t的方程，即可求解； （2）根据的面积等于，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：设运动时间为秒， ，， ， ， 在的垂直平分线上， ， ，解得， 当时，点在的垂直平分线上 （2）略 23．(1) (2)当时，w有最大值，最大利润为1200元 (3) 【分析】（1）根据题意，“售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱”，求解即可； （2）求得利润w与x的关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意，求得提价x（元）后的利润，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：（箱）， ∴若每箱售价55元，则平均每天该苹果的销售量为箱； （2）解：由题意得， ， ∵，且， ∴当时，w有最大值，最大值为1200， 答：当时，w有最大值，最大利润为1200元； （3）解：由题意得， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴． 24．(1) (2)16， (3)或． 【分析】（1）令求抛物线与轴交点的横坐标，令求与轴交点的纵坐标，配方求顶点坐标； （2）先求直线的解析式，设出点的坐标并表示线段的长，配方求最大值； （3）写出平移后抛物线的解析式，用表示、、的坐标，由的面积为列方程求，注意分与两种情况讨论． 【详解】（1）解：令，得，即， ∴， ∴，， ∵点在点的左侧， ∴，， 令，得， ∴， ∵， ∴顶点的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， 把、代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为（）， ∵轴，点在直线上， ∴点的坐标为， ∴ ， ∵， ∴当时，取最大值， 此时， ∴的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：把抛物线向左平移个单位， ∴抛物线的解析式为， 令，得， ∴或， ∴或， ∵点在点的左侧， ∴，， ∴， 令，得， ∴， ∴， ∴， ①当时，， ∴， ∴或（，舍去）， ②当时，， ∴或（，舍去）， ∴的值为或． 【点睛】第（2）问中把线段的长表示成关于的二次函数、用配方法求最值是通法；第（3）问平移后抛物线与轴两交点间的距离保持不变（等于原抛物线与轴两交点间的距离），把面积条件转化为后，务必分与两种情况讨论，漏掉一种会丢解． 答案第2页（共14页） 答案第13页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $