专题23 切线长定理专项训练（6大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题23 切线长定理 目录 题型01利用切线长定理求线段 题型02利用切线长定理求角度 题型03利用切线长定理求周长 题型04利用切线长定理求面积 题型05利用切线长定理进行证明 题型06切线长定理的综合应用 】题型01利用切线长定理求线段 三 典例精析 【典例1】如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，延长BO交PA的延长线于点D,若AD=2,BD=4,求 PB的长. A D B 1/11 三 举一反三 【变式11】(26-27九年级上北京课后作业)如图所示，P是⊙O外一点，PA,PB分别和⊙O切于A,B两点， C是AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA,PB于D,E,若△PDE的周长为12，则PA的长为() D B A.12 B.6 C.8 D.4 【变式12】如图，PA、PB与半径为2的⊙O相切于A、B两点，AC是⊙O的直径，∠BOC=60°，则AP的长 是() B A.2 B.3 c.2V2 D.23 【变式13】(2026重庆大足.一模)如图，AM和BN是⊙O的两条切线，DE与⊙O相切于点E,并与AM,BN 分别交于D,C两点.当AD=2,BC=5时，求AB的长. A \D M O C 2/11 题型02利用切线长定理求角度 典例精析 【典例1】(26-27九年级上全国课后作业)如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，连接OP,若 ∠APB=52°，则∠APO的度数为() A B A.26° B.30° C.38° D.52° 举一反三 【变式11】如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB=58°，则∠APB= () A.54° B.58° C.64° D.68° 【变式12】.(26-27九年级上全国课后作业)如图，AB为⊙O的直径，PD,PE分别与⊙O相切于点A,C, ∠BCE=35°.求∠P的度数. 3/11 【变式13】(2026河南鹤壁.一模)已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B. B B D 0 M M A ① ② (1)如图①.若∠BAC=22.5°，求∠AMB的大小. (2)如图②，过点B作BD⊥AC于点E,交⊙O于点D,若BD=MA,求∠AMB的大小. 题型03利用切线长定理求周长 三 典例精析 【典例1】(2026广东肇庆三模)如图，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，C是AB上一点，过点C画 ⊙O的切线，分别交PA,PB于点D,E,PA=12cm,则△PDE的周长是cm. 举一反三 【变式1-1】如图，PA、PB切⊙O于点A、B,PA=10,则PB= ;CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、 D两点，则△PCD的周长是 4/11 O. 【变式12】(26-27九年级上·全国课后作业)如图，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，连接AB,若 ∠APO=30°，OP=2,求△PAB的周长. A B 【变式13】如图，PA,PB为⊙O的两条切线，C,D切⊙O于点E,分别交PA,PB于点C,D.F为⊙O 上的点，连接AF,BF,若PA=5,∠P=40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为() 0. D A.10,40° B.10,80° c.16,70° D.10,70° 题型04利用切线长定理求面积 典例精析 25-26九年级下浙江杭州·阶段检测)如图，正方形ABCD的边长为4Cm.以正方形的一边 BC为直径，在正方形ABCD内作半圆O,再过点A作半圆O的切线，与半圆O相切于点F,与DC相交于点E, 5/11 则△ADE的面积为() D B A.5cm2 B.6cm2 C.7cm2 D.8cm2 举一反三 【变式1-1】如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,则△ABC的面积为() E A.8 B.10 C.12 D.14 【变式1-2】如图，⊙O内切于正方形ABCD,O为圆心，作∠MON=90°，其两边分别交BC,CD于点N, M,若CM+CN=10,则⊙O的面积为 N M 【变式1-3】如图，已知正方形ABCD的边长为3，以边AB为直径作⊙O,过点C作⊙O的切线交AD于点F,切 点为E,连接BE,求△CDF的面积. o C A B 0 6/11 题型05利用切线长定理进行证明 三 典例精析 【典例1】(2026河南周口模拟预测)乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物⊙O,如图所示，悬挂绳 AB、AC分别切⊙O于点B、C,连接OA. B (1)求证：OA垂直平分BC. (2)当BC为40cm,四边形ABOC为正方形时，求⊙O的面积.（结果保留π） 举一反三 【变式11)(25-26九年级上江苏无锡期中)如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别 与小圆相切于点D、E. 7/11 M B D 0 E N C (1)求证：AB=AC: (2)若MN是大圆的第三条弦，且MN=AB,则MN与小圆相切吗？请说明理由. 【变式12】(2025广东广州.二模)已知点C在以AB为直径的圆O上，过点B、C作圆O的切线，交于点P,连 AC, (1)证明：AC‖OP: a*oP-号c.求 2的值. 【变式13如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B,直线PO交⊙O于点D、E,交 AB于点C. 8/11 D B (1)求证：∠ADE=∠PAE: (2)若PA=8,PE=4,求直径DE的长： (3)连结BD,若AD=PE·PD,试判断四边形ADBP的形状，并说明理由. 题型06切线长定理的综合应用 典例精析 【典例1】(2026天津河西.一模)如图①，已知AC是⊙O的直径，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B为切点， 且∠P=40°，连接BC. D H 夕 B 图① 图② (1)求∠BAC和∠ACB的大小： (2)如图②，在直径AC上取一点D,使AD=AB,延长BD交⊙O于点E,连接AE,若AB=4,AE=33,求 9/11 ∠EAC的度数及△ABE的面积. E 举一反三 【变式1I】如图，已知AB是⊙O的直径，CD=CB,BE切⊙O于点B,过点C作CF⊥OE交BE于点F,若 EF=2 BF. E D D B B M 图1 图2 (1)如图1，连接BD,求证：△ADB≌△OBE: (2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M,使∠MCN=60°，连接MN,请问：三条线段 MN,BM,DN有怎样的数量关系？并证明你的结论. 【变式12)如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,BC=10.点D在边AB上，直线DE‖BC交AC于点E,直 线DF‖AC交BC于点F. D 10/11 (1)当线段DE的长为何值时，四边形CEDF为菱形？ (2)若直线PA,PC为△ABC的外接圆的两条切线，求线段PC的长. 【变式13】(25-26九年级上安徽合肥期末)如图1，AB是⊙O的直径，CA、CD是⊙O的切线，过点D作 DE⊥AB于点E,交⊙O于点F,连接AD、BF. D B B E 0 图1 图2 (1)求证：∠ADC=∠ABF: (2)如图2，连接BC交DF于点G. ①若CD=CG,求证：FG=BG; ②请求 D DG的值. 11/11 专题23 切线长定理 题型01 利用切线长定理求线段 题型02 利用切线长定理求角度 题型03 利用切线长定理求周长 题型04 利用切线长定理求面积 题型05 利用切线长定理进行证明 题型06 切线长定理的综合应用 ▌题型01 利用切线长定理求线段 【典例1】如图，，是的切线，A，B为切点，延长交的延长线于点D，若，求的长． 【答案】 【分析】证明，设，进一步利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：∵，是的切线，A，B为切点， ， 设， ， ， 在中，， 即， 解得， ． 【变式1-1】（26-27九年级上·北京·课后作业）如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 【变式1-2】如图，、与半径为2的相切于、两点，是的直径，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由圆周角定理得，得，证明是等边三角形，得，，由勾股定理可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又、是的切线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． 【变式1-3】（2026·重庆大足·一模）如图，和是的两条切线，与相切于点E，并与，分别交于D，C两点．当，时，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质． 利用切线长定理求出的长，过点D作于点F，再在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵和是的两条切线， ∴，， ∴， ∴， ∵、是的切线， ∴， ∵、是的切线， ∴， ∴， 如图，过点D作于点F， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． ▌题型02 利用切线长定理求角度 【典例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，，为切点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．据此解答即可． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点，连接，， ∴平分， ∴． 【变式1-1】如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，，进而求出，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而求出，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，是切点， ∴，， ∴，， ∴． 【变式1-2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的直径，，分别与相切于点，，．求的度数． 【答案】． 【分析】连接，由切线长定理可得，则，再通过圆周角定理可得，然后求出，最后通过三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵，分别与相切于点，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即的度数为． 【变式1-3】（2026·河南鹤壁·一模）已知中，为直径，、分别切于点、． (1)如图①．若，求的大小． (2)如图②，过点作于点，交于点，若，求的大小． 【答案】(1)45° (2)60° 【分析】（1）根据切线的性质，得到，进而求出的度数，切线长定理，得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）连接、，证明四边形是菱形，证明是等边三角形，得到，根据菱形的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：切于点， ， ． ， ∴． 、分别切于点、， ， ， ． （2）解：如图，连接、， ，， ． 又， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形， ． 为直径，， ∴弧弧， ． ，， ， 是等边三角形， ． ∴在菱形中，． ▌题型03 利用切线长定理求周长 【典例1】（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 【变式1-1】如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 【答案】 【分析】由切线长定理可得，，，，则的周长为． 【详解】解：∵、切于点、， ∴， 又∵切于点 ∴，， ∴， ∴的周长为． 【变式1-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的两条切线，A，B是切点，连接，若，，求的周长． 【答案】的周长为 【分析】连接，根据切线长定理可得，，进而可得为等边三角形，再根据勾股定理和含的直角三角形的性质求出，进而即可求出周长． 【详解】解：连接，如图： ∵，是的两条切线，A，B是切点， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在含的中，， ∴， ∴的周长为． 【变式1-3】如图，PA，PB为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为⊙O上的点，连接AF，BF，若PA=5，∠P=40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（　　）    A． B． C． D． 【分析】连接OA，OB，可得∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB；据此即可求解． 【解答】解：连接OA，OB，如图所示： 由切线的性质以及切线长定理得：∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB， ∵∠P=40°， ∴∠AOB=360°-∠P-∠OAP-∠OBP=140°， ∴； △PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA=10， 故选：D． ▌题型04 利用切线长定理求面积 （25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，正方形的边长为．以正方形的一边为直径，在正方形内作半圆O，再过点A作半圆O的切线，与半圆O相切于点F，与相交于点E，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 【详解】解：与圆切于点， 显然根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 【变式1-1】如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由切线长定理得出，，，根据勾股定理，得．整理得，再由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：设， 根据切线长定理，得，，， 根据勾股定理，得， 整理，得， ∴， 则的面积为， 故选：C． 【变式1-2】如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON=90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN=10，则⊙O的面积为 . 【分析】设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，得到四边形OECF是正方形，求得CF=CE=OE=OF，∠OEM=∠OFN=∠EOF=90°，根据全等三角形的性质得到EM=NF，得到OE=5，进而求出⊙O的面积． 【解答】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F， 连接OE，OF， 则四边形OECF是正方形， ∴CF=CE=OE=OF，∠OEM=∠OFN=∠EOF=90°， ∵∠MON=90°， ∴∠EOM=∠FON， ∴△OEM≌△OFN（ASA）， ∴EM=NF， ∴CM+CN=CE+CF=10， ∴OE=5， ∴⊙O的面积为25π， 故答案为：25π． 【变式1-3】如图，已知正方形的边长为3，以边为直径作，过点C作的切线交于点F，切点为E，连接，求的面积． 【答案】 【分析】设，根据正方形的性质和圆的切线的判定得出AD，BC是的切线，再根据切线长定理得出，，从而得出，，然后在中，利用勾股定理列出方程，继而利用三角形的面积公式即可得出答案 【详解】解：设． 四边形是正方形， ∴． ∴，． 又是的半径， ∴，是的切线． 是的切线，E为切点， ∴，． ∴，． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． ． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质和切线的判定、切线长定理以及勾股定理，得出，是解题的关键 ▌题型05 利用切线长定理进行证明 【典例1】（2026·河南周口·模拟预测）乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长定理以及线段垂直平分线的判定证明即可； （2）先根据正方形的性质求出半径，再由圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵悬挂绳分别切于点B、C， ∴ ∵ ∴垂直平分； （2）解：∵四边形为正方形时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的面积 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、． (1)求证：； (2)若是大圆的第三条弦，且，则与小圆相切吗？请说明理由． 【答案】(1) 证明：连接、． 是小圆的两条切线，切点分别为， ． ． ． (2) MN与小圆相切． 理由：连接，过点作，垂足为， ． ， ． 在和中， ， ． 与小圆相切． 【分析】本题考查了切线的性质、切线长定理、垂径定理，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． （1）先由切线的性质及切线长定理得出，，，再由垂径定理得出，，即可证明． （2）连接，过点作，垂足为，利用全等三角形证明，即可根据切线的判定定理得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】（2025·广东广州·二模）已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连， (1)证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 解：连接交于点Q． 分别与相切， ∴，， 则垂直平分，即， ∵为的直径， ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）先由切线长定理求得，，推出垂直平分，再根据圆周角定理求得，利用平行线的判定定理得到； （2）先由垂直平分，得出，，则再结合勾股定理列式，，，计算得出，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴． 设， 则，， ∴． 设， 则，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【变式1-3】如图，P为外一点，、为的切线，切点分别为A、B，直线PO交于点D、E，交于点C． (1)求证：； (2)若，，求直径DE的长： (3)连结，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)菱形，理由见解析 【分析】（1）连接，根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得出，然后根据余角的性质，根据等边对等角可得，即可得证； （2）证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； （3）先证明，然后根据切线长定理得出，，再证得出，从而得出四边形是菱形． 【详解】（1）证明： 连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴； （3）解：四边形是菱形． 理由如下： ∵， ∴， 又， ∴， ∵、为的切线， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． ▌题型06 切线长定理的综合应用 【典例1】（2026·天津河西·一模）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． (1)求和的大小； (2)如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 【答案】(1)，； (2)，的面积为． 【分析】（1）由切线长定理和切线的性质，可得，，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，即可得，由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，即可得； （2）由（1）可知，，，由同弧所对的圆周角相等，可得，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，由三角形外角的性质，可得的度数，可得，作于，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，即可得的面积． 【详解】（1）解：∵是的直径，，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵为直径， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于，在Rt中，， ∴的面积． 【变式1-1】如图，已知是的直径，，切于点，过点作交于点，若．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：∵，是半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)， 理由如下， 延长至使得，连接，，如图所示 ∵ ∴， ∵， ∴ ， ∴， 由（1）可得， 又是直径，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴． 即． 【分析】（1）根据，是半径，可得是的切线，根据是的切线，由切线长定理可得，进而根据，得出，，根据得出，根据垂径定理的推论得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，即可证明； （2）延长至使得，连接，，根据圆内接四边形对角互补得出，证明 ，结合已知条件证明，进而证明 ，得出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2） 略 【点睛】本题考查了切线的判定，切线长定理，垂径定理的推论，全等三角形的性质与判定，根据特殊角的三角函数值求角度，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式1-2】如图，在中，，，．点D在边上，直线交于点E，直线交于点F． (1)当线段的长为何值时，四边形为菱形？ (2)若直线，为的外接圆的两条切线，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先证明出，证明出，得到，设，，表示出，然后得到当时，四边形为菱形，进而求解即可； （2）如图所示，过点P作于点G，由切线长定理得到，，由三线合一得到，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：当时，四边形为菱形． 证明如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴设，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴当时，四边形为菱形； （2）解：如图所示，过点P作于点G ∵直线，为的外接圆的两条切线 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 【点睛】此题考查了切线的性质和切线长定理，菱形的判定，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图1，是的直径，、是的切线，过点D作于点E，交于点F，连接、． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点G． ①若，求证：； ②请求出的值． 【答案】(1) 证明：∵、是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴； (2) ①证明：连接， 由（1）可得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴； ②4 【分析】（1）根据切线长定理得出，根据等边对等角得出，根据平行线的性质得出，根据圆周角得出，即可得证； （2）①连接，由（1）可得，根据垂径定理得出，，根据圆周角定理得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据三线合一的性质得出，则，根据等边对等角、对顶角的性质可得出，证明，得出，结合即可得出； ②延长、相交于H，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据余角的性质得出，根据等角对等边得出，证明，，得出，结合，得出，则，根据垂径定理得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②延长、相交于H， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，圆周角定理以及推论，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，灵活应用相关知识解答是解题的关键． 1 / 12 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