高二数学上学期期中模拟卷02（苏教版，范围：选择性必修第一册第1章～第3章，举一反三）

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷02 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知直线，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】由可得，从而可求解. 【解答过程】由题意知，即得，解得，故A正确. 故选：A. 2．（5分）设为坐标原点，为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用抛物线定义，结合两点间距离公式求解. 【解答过程】抛物线的焦点，准线方程为，设点，则， 由，得，解得，所以. 故选：D. 3．（5分）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出所求圆的方程. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为， 所以，解得，即所求圆的圆心坐标为， 故圆关于直线对称的圆的方程为. 故选：D. 4．（5分）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【解答过程】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 5．（5分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，由椭圆的定义及，结合勾股定理求参数m，进而由余弦定理构造椭圆基本量的齐次方程求离心率. 【解答过程】 设，椭圆的焦距为，则， 由，有，解得或（舍）， 故，，且， 在中，由余弦定理可得， 所以，故，. 故选：C. 6．（5分）已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解题思路】先求出直线过的定点，再得到，，数形结合求得斜率范围，进而求得参数范围. 【解答过程】由，得. 令，解得，则直线经过定点， 则，， 如图，设直线的斜率为，则或， 即或，解得或. 所以实数的取值范围为或，故C正确. 故选：C. 7．（5分）设为双曲线上两点，若线段AB的中点是，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，通过点差法求解直线的斜率，从而得直线方程． 【解答过程】设，线段的中点是， ，， ，在双曲线上，则， 两式相减得， 即， 则，所以直线方程为，即， 联立，，故直线与双曲线有两个交点， 故经检验直线方程为. 故选：D． 8．（5分）已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据直线恒过定点及两直线垂直，可求得点P的轨迹方程，分析可得，要使四边形面积的最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【解答过程】变形为，恒过， 变形为，恒过， 因为，所以， 所以交点P的轨迹是以和为直径端点的圆， 则圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知直线，则（   ） A．过定点 B．当时，与直线垂直 C．当时，与直线平行 D．当时，在两坐标轴上的截距相等 【答案】ABC 【解题思路】结合题意直接求出定点判断A，利用两直线垂直的性质判断B，利用两直线平行的性质判断C，求出直线的截距判断D即可. 【解答过程】对于A，令，解得，则过定点，故A正确， 对于B，当时，得到，可得， 得到与直线垂直，故B正确， 对于C，当时，得到， 而，，则与直线平行，故C正确， 对于D，当时，得到，令，解得， 令，解得，可得在两坐标轴上的截距不相等，故D错误. 故选：ABC. 10．（6分）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A． B．直线与圆相离 C．从点向圆引切线，切线长的最小值是 D．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 【答案】ABC 【解题思路】对A，先求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质，即可判断A；对B，根据直线与圆的位置关系的判断方法，即可求解；对C，利用切线长为，从而求出的最小值，即可求解；对D，根据条件得点在圆内，从而可得当过点的直线与垂直时，该直线被圆截得的弦长最短，即可求解. 【解答过程】由，得到，所以圆心为，半径为， 对于A，因为圆心到直线的距离为， 所以，故A正确， 对于B，由选项A知圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，故B正确， 对于C，从点向圆引切线，切线长为， 所以当时，切线长最小，最小值是，故C正确， 对于D，因为，所以在圆内， 当过点的直线与垂直时，该直线被圆截得的弦长最短， 又因为和圆心的距离为， 所以最短弦长为，故D错误. 故选：ABC． 11．（6分）数学中有许多形状优美的曲线，如图形状类似数字“8”的曲线叫双纽线．我们把在平面中，到定点的距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线是当时的双纽线，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（   ）    A．曲线关于轴，轴，原点均对称 B．点的横坐标的取值范围是 C．的最大值是 D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【解题思路】由题定义可得双纽线方程.对于A，可分别用替换原方程的验证方程是否不变即可；对于B，可根据求出的范围；对于C，将双纽线方程分离出一个,再求另一侧的最大值；对于D，联立直线与双纽线方程，使其仅有唯一解即可. 【解答过程】根据双纽线的定义可得，,整理化简得： . 对于A：分别用替换原方程的,方程不变，故A正确； 对于B：对化成关于的一元二次方程得， ，舍去负根，得：. ,两边平方后化简， 得,解得, 即,故B正确. 对于C：易知当最大时，必不在坐标原点，因此可写为： ,当时取到等号， 因此,即双纽线上任意一点到原点的距离都不超过，故C正确. 对于D：直线与曲线一定有公共点,若直线与曲线只有一个交点， 联立与双纽线方程,整理得： ,解得或. 要使方程只有唯一解，则,解得或,故D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）点到直线上的距离为__________. 【答案】/ 【解题思路】由点到直线的距离公式求解即可． 【解答过程】直线，即， 所以点到直线的距离． 故答案为：． 13．（5分）已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为__________. 【答案】/ 【解题思路】设的下焦点为，由椭圆定义得出，则，当且仅当点为延长线与的交点时取等号，即可得解. 【解答过程】在椭圆中，，，则， 故是的上焦点，设的下焦点为， 由椭圆定义可得，故，如下图所示： 则， 当且仅当点为延长线与的交点时取等号. 故的最大值为. 故答案为：. 14．（5分）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】先找出直线过定点，然后画出曲线图形，根据直线和曲线位置关系得出结论. 【解答过程】直线可化为， 所以直线l恒过定点， ，可化为（）， 其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分， 当l与该曲线相切时，圆心到直线l的距离， 解得， 设，则， 所以如图所示：    由图可得，若要使直线l与曲线有两个交点， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知直线经过点. (1)若点到直线的距离为1，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距等于在轴上的截距的5倍，求直线的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【解题思路】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，验证是否满足题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即，利用点到直线的距离公式即可求解； （2）分过原点和不过原点两种情况讨论，当不过原点时，设的方程为：，代入点解出即可求解. 【解答过程】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时到直线的距离为1，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即， 所以，，此时直线的方程为. 综上，直线的方程为或； （2）当过原点时，满足题意，可求出的方程为：，即. 当不过原点时，设的方程为：，把代入， 则有，，，此时的方程为：. 综上，直线的方程为：或. 16．（15分）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【解题思路】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【解答过程】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 17．（15分）已知椭圆的离心率为，点(2，1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【解题思路】（1）根据离心率和过点，列式计算即可求解； （2）①将直线的方程与椭圆方程联立，利用根的判别式即可求解；②利用韦达定理和弦长公式即可求解. 【解答过程】（1）因为点在椭圆C上，所以． 椭圆的离心率为，解得． 故椭圆的标准方程为； （2）联立，得（*）． ①，解得， 所以的取值范围为． ②设，由（*）式有， 由弦长公式有， 整理得， 解得且满足， 所以.    18．（17分）阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数（，）的动点轨迹.已知，，动点满足. (1)求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)设直线经过点，且与（1）所求的圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)最小值是，最大值是. (3)或 【解题思路】（1）设，把条件用坐标表示出来，化简即可. （2）数形结合，根据点和圆的位置关系，分析点与圆上的点的距离的最值. （3）根据斜率存在与否进行分类讨论，结合点到直线的距离公式，即可求出直线方程. 【解答过程】（1）设动点，则就是， 即，整理得，. 故动点所在的阿波罗尼斯圆的方程为. （2）就是，其半径是4， 圆心是，. 显然在圆外，故的最小值是，最大值是. （3）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离，直线与圆相切，满足题意. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 解得，则直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 19．（17分）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1) (2)是， (3) 【解题思路】（1）设，，直线的方程为，与双曲线方程联立利用韦达定理可得答案； （2）由韦达定理代入可得答案； （3）设直线与直线的方程分别为，，联立两直线方程可得交点的横坐标为1，可得 ，即可求出的范围，从而得解. 【解答过程】（1）双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的渐近线方程为，所以， 易知直线的斜率不为，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线消元整理得， 所以，解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； （2）依题意，，，结合（1）由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ， 即是定值，定值为； （3）由（2）可知，， 令，则， 所以直线与直线的方程分别为，， 由，解得，即交点的横坐标为， 故 ， 又，即，即， 又，即，解得或， 又，所以， 故的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷02 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第一册第1章~第3章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知直线，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 2．（5分）设为坐标原点，为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（    ） A．3 B．4 C． D． 3．（5分）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（    ） A． B．或 C．或 D． 7．（5分）设为双曲线上两点，若线段AB的中点是，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知直线，则（   ） A．过定点 B．当时，与直线垂直 C．当时，与直线平行 D．当时，在两坐标轴上的截距相等 10．（6分）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A． B．直线与圆相离 C．从点向圆引切线，切线长的最小值是 D．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 11．（6分）数学中有许多形状优美的曲线，如图形状类似数字“8”的曲线叫双纽线．我们把在平面中，到定点的距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线是当时的双纽线，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（   ）    A．曲线关于轴，轴，原点均对称 B．点的横坐标的取值范围是 C．的最大值是 D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）点到直线上的距离为__________. 13．（5分）已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为__________. 14．（5分）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知直线经过点. (1)若点到直线的距离为1，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距等于在轴上的截距的5倍，求直线的方程. 16．（15分）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 17．（15分）已知椭圆的离心率为，点(2，1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 18．（17分）阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数（，）的动点轨迹.已知，，动点满足. (1)求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)设直线经过点，且与（1）所求的圆相切，求直线的方程. 19．（17分）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $