专题05 抛物线14大重点题型（举一反三期中专项训练）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题05 抛物线14大重点题型（期中专项训练） 【苏教版】 题型归纳 题型1 抛物线的定义的理解 1．（25-26高二上·河南·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解题思路】由抛物线定义和方程即可得解. 【解答过程】由题意知，所以焦点到准线的距离为3. 故选：B. 2．（25-26高二上·河北沧州·期中）若抛物线上的点（）到其焦点F的距离为3，则实数m的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解题思路】由抛物线的定义结合题意计算可得. 【解答过程】由抛物线，则焦点，准线方程为， 因为抛物线上的点到其焦点F的距离为3， 根据抛物线的定义，可得点P到准线的距离为3，即，解得， 因点是抛物线上的点，则，又，则. 故选：C. 3．（25-26高二上·河南·期中）设为坐标原点，为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用抛物线定义，结合两点间距离公式求解. 【解答过程】抛物线的焦点，准线方程为，设点，则， 由，得，解得，所以. 故选：D. 4．（25-26高二上·重庆·期中）若抛物线上的点到焦点的距离为9，则它到轴的距离是___________． 【答案】5 【解题思路】根据抛物线的定义可求得结果. 【解答过程】根据抛物线的形式可得，中，则， 所以准线方程为，焦点坐标为， 根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离， 因为点到焦点的距离为9，所以点到准线的距离为9， 设点的横坐标为，则，解得， 所以点到轴的距离是5， 故答案为：5. 5．（25-26高二上·江苏南通·期中）若抛物线上一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为___________． 【答案】 【解题思路】求得点的坐标，将点到该抛物线焦点的距离转化为点到抛物线的准线的距离即可． 【解答过程】由抛物线可设点，焦点为， 因为点到坐标原点的距离为， 所以，解得， 即或， 根据抛物线定义知：点到焦点的距离等于点到准线的距离， 即， 故答案为：. 题型2 求抛物线的轨迹方程 6．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【解答过程】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B. 7．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设 ，根据，整理即可得解. 【解答过程】设 ，则，整理得， 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 8．（25-26高二上·吉林延边·期中）在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是___________． 【答案】或 【解题思路】由抛物线的定义即可求解. 【解答过程】当点M横坐标大于等于0时，由题意可转化为点M到点的距离等于点M到的距离， 设，所以点M的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点， 开口向右的抛物线，设其方程为，所以，， 所以点M的轨迹方程为； 当点M横坐标小于0时，因为点到y轴的距离为2，所以点M在x轴上，即点M的轨迹方程为； 所以点M的轨迹方程为或. 故答案为：或. 9．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【答案】(1) (2)最小值为，或 【解题思路】（1）利用抛物线的定义得解； （2）设，求出即得解. 【解答过程】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 10．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用抛物线的定义计算即可； （2）利用点差法结合点斜式计算即可. 【解答过程】（1）设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 题型3 抛物线上的点到定点的距离及最值 11．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，由两点间距离公式表示出，再由二次函数的最值，即可得到结果. 【解答过程】依题意，是抛物线上的点，设， 则， 对于函数，当时，， 所以的最小值是， 即的最小值为. 故选：C. 12．（25-26高二上·福建三明·期中）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解题思路】先求出准线方程，再设点，，根据点P在抛物线上和得到方程组，求出m的值，根据抛物线的定义求出答案. 【解答过程】抛物线的准线方程为， 设，，点P在抛物线上，， 则，解得或（舍去）， 由抛物线定义可得. 故选：B． 13．（25-26高二上·江苏·期中）已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一动点．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由题意求出抛物线方程，设出M点坐标，然后分类讨论.当时，求出，当时，利用基本不等式求出的最大值即可. 【解答过程】由题意得，即，则抛物线的方程为． 设，由抛物线定义可知. 当时，； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立． 综上，. 故选：A. 14．（25-26高二上·北京·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为__________. 【答案】 【解题思路】设点P坐标，利用两点距离公式结合二次函数的性质计算即可. 【解答过程】设，则，易知 ， 当且仅当时取得最小值. 故答案为：. 15．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）设，利用向量数量积的坐标运算列出方程，化简即得. （2）由（1）的信息，利用两点间距离公式列式求出最小值. 【解答过程】（1）设，则，而， 则， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程是. （2）点，由（1）知， 所以当时，取得最小值. 题型4 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 16．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解题思路】根据抛物线的定义，结合图形求解即可． 【解答过程】抛物线的焦点为，准线方程是， 过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， ∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得， ∴，当且仅当共线时取等号， ∴的最小值为8． 故选：A． 17．（25-26高二上·重庆·期中）已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段 的中点，为抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．6 B．3 C．12 D．9 【答案】A 【解题思路】根据抛物线方程写出焦点坐标和准线方程，设出动直线方程为，与抛物线方程联立并利用韦达定理和抛物线定义计算可得结果. 【解答过程】由抛物线 可得，其准线方程为, 作垂直于准线，垂足为，如下图所示：    设过的直线方程为，； 联立直线与抛物线方程可得； 因此可得，所以, 可得， 由抛物线定义可知 ， 当三点共线时， 的最小值为， 此时，即动直线垂直于轴时， 的最小值为6. 故选：A. 18．（25-26高二上·湖南·期中）已知是抛物线上的动点，点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为（   ） A．2029 B．2030 C．2031 D．2032 【答案】B 【解题思路】利用抛物线的定义将点到直线的距离转化为点到焦点的距离即可求出. 【解答过程】由已知得的焦点为，准线为， 设为点到的距离，设为点到的距离， 则，即， 由抛物线的定义得，故所求距离之和为， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， ， ， 当点为线段与的交点时取等号． 故选：. 19．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是____________． 【答案】1 【解题思路】利用抛物线的定义，得，即可求解. 【解答过程】抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，取等号， 所以， 则的最小值是．    故答案为：. 20．（25-26高二上·江苏南通·期中）过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． (1)求直线的方程； (2)设为圆上一点，求的最小值． 【答案】(1)或 (2)4 【解题思路】（1）根据弦长公式可求得圆心到直线的距离为，讨论直线的斜率是否存在即可列出等式求解； （2）根据抛物线的定义进行转化，利用几何意义即可求解最小值. 【解答过程】（1）圆的圆心为，半径， 已知弦长，根据弦长公式（为圆心到直线的距离），得： ， ①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线方程为，即 圆心到直线的距离为：，解得， 所以直线方程为，化简得， 综上，直线的方程为或 （2）    因为为圆上的动点，所以的最小值为， 故， 抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线定义，，因此：， 问题转化为求的最小值，即点到准线的距离与到点的距离之和的最小值， 过作准线的垂线，方程为，与抛物线交于， 此时最小值为到准线的距离：， 因此，的最小值为. 题型5 抛物线的焦点坐标及准线方程 21．（25-26高二上·河南·期中）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先确定抛物线类型，计算焦点坐标即可. 【解答过程】抛物线的开口向左，焦点在轴的负半轴， 因为，所以焦点坐标为， 故选：C. 22．（25-26高二上·河北沧州·期中）抛物线C：的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将抛物线方程化为标准式，得到，求出准线方程. 【解答过程】抛物线的标准方程为， 抛物线C的焦点在x轴的负半轴上且，故其准线的方程为. 故选：D. 23．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）若抛物线（）的焦点到准线的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据抛物线的焦点到准线的距离可得抛物线方程，进而可得焦点坐标. 【解答过程】由题意知，故抛物线的标准方程为:， 所以抛物线的焦点坐标为， 故选：D. 24．（25-26高二上·山东菏泽·期中）抛物线的准线方程为___________． 【答案】 【解题思路】根据抛物线方程判断焦点位置，求得的值，即得准线方程. 【解答过程】由可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，即， 故抛物线的准线方程为. 故答案为：. 25．（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； (2)求所在的直线方程． 【答案】(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； (2)或 【解题思路】（1）根据给定条件求出p值即可求解； （2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得. 【解答过程】（1） 因点在抛物线方程上，则，所以， 所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； （2）显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：， 由消去x得：， 设，则有， 因为， 则， 解得，即直线AB：， 所以所在的直线方程：或. 题型6 求抛物线的标准方程 26．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】先求得焦点坐标，再根据焦点坐标求解抛物线方程即可. 【解答过程】直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为. 故选：D. 27．（25-26高二上·重庆·期中）已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点，为坐标原点，若. 且，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可得，，将代入抛物线方程可得答案. 【解答过程】由题可得，如图，做垂直于x轴，因，， 则，，则， 将代入， 可得， 则抛物线的方程为：. 故选：C. 28．（25-26高二上·福建厦门·期中）若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为__________． 【答案】 【解题思路】根据准线方程为，可知抛物线的焦点在轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为，根据准线方程求出的值，代入即可得到答案. 【解答过程】由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴， 设抛物线标准方程为：， ∵抛物线的准线方程为， ∴，∴， ∴抛物线的标准方程为：， 故答案为：. 29．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为； (2)焦点到准线的距离为. 【答案】(1) (2)或或或. 【解题思路】（1）根据条件确定焦点的位置，求出的值，得抛物线的标准方程； （2）根据条件求出的值，得抛物线的标准方程. 【解答过程】（1）由于焦点在轴的负半轴上，且，， 抛物线的标准方程为. （2）由焦点到准线的距离为，可知. 所求抛物线的标准方程为或或或. 30．（25-26高二上·湖南·期中）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上且其到准线的距离为6. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）由准线方程，得的值和抛物线开口方向，可求抛物线的标准方程； （2）由焦点的位置和焦点到准线的距离，得的值和抛物线开口方向，可求抛物线的标准方程. 【解答过程】（1）因为抛物线的准线方程为，则，可得，抛物线开口向上， 所以抛物线的方程是． （2）因为焦点在轴上且其到准线的距离为6，可知，抛物线开口向左或向右， 所以抛物线的方程是或． 题型7 抛物线的焦半径公式 31．（25-26高二上·广西柳州·期中）抛物线的焦点为，抛物线上一点在其对称轴的上方，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用抛物线的定义即可求解. 【解答过程】抛物线的方程为，， 设点的坐标为，，， ，代入抛物线方程，得，，， 则点的坐标是. 故选：D. 32．（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解题思路】先由直线求出焦点、准线方程，得及抛物线的方程，进而得点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【解答过程】对于直线 ，令，解得， 所以抛物线的焦点为,准线方程为． ，解得， 所以抛物线的方程为， 设的坐标为，则 ， ∴的坐标为，则，得，所以． 由抛物线的定义，得． 故选：C． 33．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据焦半径公式求得，再将点的坐标代入求解即可. 【解答过程】，得， ∴抛物线的方程为， 再将点的坐标代入，得． 故选：A． 34．（25-26高二上·吉林松原·期中）已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，若，则线段中点的纵坐标为___________. 【答案】2 【解题思路】根据抛物线的焦半径公式即可求解. 【解答过程】设点，.易得抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线定义得， 所以，故， 即线段中点的纵坐标为2. 故答案为：2. 35．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的准线方程为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由抛物线的准线方程可求出的值，由此可得出抛物线的标准方程； （2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限，利用抛物线的定义结合已知条件求出点的坐标，由此可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的横坐标，再利用抛物线的定义可求得的值. 【解答过程】（1）抛物线的准线方程为，所以，即， 因此，抛物线的标准方程为. （2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限， 由抛物线的定义可得，可得，则，可得， 所以点，易知点， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 联立可得，解得，， 所以. 题型8 抛物线的对称性及其应用 36．（25-26高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【解答过程】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 37．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）    A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，建立直角坐标系，求出其准线方程，结合抛物线的定义即可求解. 【解答过程】以为原点，直线为轴，过且与主塔平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 连接，，则， 设抛物线的方程为， 则，解得， 因此抛物线的焦点为， 准线方程为 ， 利用抛物线的定义得：. 故选：C.    38．（25-26高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【解答过程】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B. 39．（25-26高二上·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为__________cm. 【答案】/ 【解题思路】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解. 【解答过程】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，其焦点为， 碗口直径为，碗深，所以抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 设，过中点作轴， 由抛物线的定义可得，解得， 所以，所以木棒的中点离桌面的距离为. 故答案为：.    40．（25-26高二上·上海虹口·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米． (1)以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该隧道抛物线部分的方程； (2)若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【解题思路】（1）根据抛物线顶点在原点且开口向下设出标准方程，利用隧道截面尺寸确定抛物线上一点的坐标，代入求解即可； （2）根据行车道宽度确定车辆边缘的横坐标，代入抛物线方程求出隧道顶部对应点的纵坐标，结合安全高度差即可计算车辆限制高度. 【解答过程】（1）由题意知，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且开口向下，故设抛物线的方程为， 由图可知，隧道截面总宽度为米，总高度为米，长方形部分高度为米，则抛物线部分的高度为米. 因为抛物线关于轴对称，所以点的横坐标为， 又因为点在轴下方米处，所以点的纵坐标为，即. 将点代入方程，得，解得， 所以该抛物线的方程为. 又因为隧道宽度为米，所以的取值范围是， 故该隧道抛物线部分的方程为. （2）因为行车道总宽度为米，且关于轴对称， 所以车辆最外侧边缘的横坐标为或. 不妨取，代入抛物线方程，得，解得. 此时，隧道顶部在处距离地面的高度为米. 设通过隧道的车辆限制高度为米， 根据题意， 要求行驶车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米， 即，即，解得. 故通过隧道的车辆限制高度为米. 题型9 抛物线的应用 41．（25-26高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【解答过程】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 42．（25-26高二上·江苏·期中）已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意设，，讨论点的坐标为或者，即可根据，求出p的值，即可求得答案. 【解答过程】由抛物线的方程，得， 由抛物线的对称性，不妨设，， 当点的坐标为时，，， 因为，所以，则（不合题意，舍去）； 当点的坐标为时，， 因为，所以，则， 所以抛物线的准线方程为， 故选：A． 43．（25-26高二下·云南·期中）已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【解题思路】依题写出直线的方程并与抛物线方程联立，求得的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对称性求出相关线段长，即可求得答案． 【解答过程】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦， 可知，， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：D. 44．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为___________. 【答案】6 【解题思路】设等边三角形边长为a，根据抛物线的对称性以及等边三角形的对称性，表示出顶点A的坐标，代入抛物线方程，即可求得答案. 【解答过程】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 则另两个顶点关于x轴对称，不妨设如图示： 设等边三角形边长为a，则A点横坐标为， 则，代入得， 解得（舍）， 故等边三角形的边长为6， 故答案为：6. 45．（25-26高二上·河南周口·期中）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则__________． 【答案】2 【解题思路】利用两点间距离公式，结合抛物线对称性求得，再求出长即可求解. 【解答过程】设抛物线上的点，即有，，    由是正三角形，得，则，即， 整理得，而，，， 因此，由抛物线对称性得点关于轴对称，即垂直于轴，且，不妨令， 则，而，于是，即， 因此，所以. 故答案为：2. 题型10 直线与抛物线的位置关系 46．（25-26高二上·河北·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【解题思路】充分性分析：当时，将代入抛物线的方程，利用判别式说明充分性成立；必要性分析：将直线代入抛物线，得到，分和两种情况讨论，说明必要性不成立，从而得到结论. 【解答过程】分析充分性： 当时，将代入抛物线的方程， 整理得，此时， 即直线与抛物线恰有一个公共点，因此充分性成立； 分析必要性： 将直线代入抛物线，整理得， 当时，令 解得. 当时，此时直线方程为，此时直线与抛物线恰有一个公共点. 综上可知，当直线与抛物线恰有一个公共点时，或， 故“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 47．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解题思路】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【解答过程】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D. 48．（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围. 【解答过程】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或. 故选：A. 49．（25-26高二上·全国·课后作业）过点与抛物线只有一个公共点的直线有___________条． 【答案】3 【解题思路】根据斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时直线方程联立抛物线方程消元，对二次系数讨论，结合判别式求解可得. 【解答过程】①当斜率不存在时，过点的直线为y轴，显然符合题意． ②当斜率存在时，设直线方程为． 联立得， 当时，解得，此时方程有唯一实数解，符合题意； 当时，由解得，此时方程有唯一实数解，符合题意． 综上共有3条直线． 故答案为：3.    50．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知抛物线，过点作直线. (1)若直线与抛物线只有一个公共点，求直线的方程； (2)若直线过点，且交抛物线于、两点，求线段的长. 【答案】(1)或或 (2) 【解题思路】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，由求出的值，综合可得出直线的方程； （2）设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可求得的值. 【解答过程】（1）若直线的斜率不存在，则的方程为，与抛物线只有一个公共点，符合题意； 若直线的斜率存在，设的方程为， 联立消去得， 因为直线与抛物线只有一个公共点， 所以，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程为或或. （2）因为直线过点，又过点，所以直线的方程为， 设、，联立消去得，则， 因为点为抛物线的焦点，故， 即线段的长为.    题型11 抛物线的弦长与中点弦问题 51．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由题可得，利用向量的坐标运算、抛物线的定义及韦达定理即可求解. 【解答过程】由题可得， 设直线的方程为，， ，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， ， . 故选：B. 52．（25-26高二上·全国·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程. 【解答过程】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为， 由消去得，，由弦的中点为， 得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故选：D. 53．（25-26高二上·浙江·期中）设抛物线被直线截得的弦的长为，则___________． 【答案】/ 【解题思路】联立直线与抛物线，结合弦长公式，化简可得解. 【解答过程】设，， 由，得， 则， 由弦长公式得， 即，解得或（舍）， 故答案为：. 54．（25-26高二上·湖南·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由抛物线焦半径公式即可求解； （2）设直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理，通过，求得斜率，再由弦长公式即可求解. 【解答过程】（1）由点在抛物线上，得， 由，可得，得， 所以抛物线的方程； （2）当斜率不存在时，方程为：， 此时， 则， ，不符合题意， 当斜率存在时，设直线方程为：， 联立抛物线方程消去可得： ， 设， 又，则， 代入， 可得： 代入 得： 化简可得：， 即或， 当时，直线方程为，过坐标原点，不符合题意舍去， 当，直线方程为， 所以 由弦长公式得： 55．（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于，两点，且点是弦的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由圆心是抛物线的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程； （2）利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程. 【解答过程】（1）圆的方程可化为，故圆心的坐标为． 设抛物线的方程为，所以，所以， 所以抛物线的方程为. （2）设，，则， 两式相减，得，即， 所以直线的斜率. 因为点是弦的中点，所以，所以， 所以直线的方程为，即.    题型12 抛物线中的面积问题 56．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用焦半径公式算出A，B的坐标，求出直线AB的方程，进而证明A，B，F三点共线，最后利用计算即可． 【解答过程】由题意可知，，不妨设点，，且点A在第一象限，如图， 则，， 则，，故， 所以直线的方程为， 令得，即A，B，F三点共线， 所以． 故选：C． 57．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且位于轴的两侧（在的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出直线方程，直曲联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解； 【解答过程】    设点，，直线， 联立，化简为，， ，， ， ， ，， ，， ，，， 又，直线与横轴交点的横坐标为2， ，， 则. 故选：B. 58．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为__________. 【答案】 【解题思路】先由抛物线方程，得到，得出直线的方程，由抛物线的焦点弦公式求出弦长，再由点到直线距离公式，即可得出结果. 【解答过程】因为为抛物线：的焦点，所以， 又直线过点且倾斜角为， 则直线的方程为：，即， 设，， 由消去可得，整理得，所以， 因此 又点到直线的距离为， 所以的面积为. 故答案为：. 59．（25-26高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由抛物线的定义计算即可得； （2）联立直线与抛物线方程，计算可得两交点横坐标关系，再利用两点间距离公式及点到直线距离公式计算出三角形的底与高即可得解. 【解答过程】（1）依题意得，抛物线C的焦点F坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，，解得， 所以抛物线C的方程为； （2）设，， 则 ， 由，得， 则，， 所以， 又因为原点O到直线的距离， 所以的面积. 60．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线C上，且，直线过定点（其中，）与抛物线相交于A，B两点（点位于第一象限）． (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：； (3)如图，连接，并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，求． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）根据及已知列方程求参数，即可得抛物线方程； （2）设直线方程为，，，联立抛物线并应用韦达定理和向量数量积的坐标运算，即可证； （3）设直线的方程为，的方程为，，，，， 联立抛物线，应用韦达定理和三角形面积公式即可得. 【解答过程】（1）∵， ∴，则； （2）证明：设直线方程为，，， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以， 则 ， 即； （3）设直线的方程为，，， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以， 设，，的方程为， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以，，则，同理得， ∴. 题型13 抛物线中的参数范围及最值 61．（25-26高二上·广东东莞·期中）设抛物线，直线与抛物线交于、两点且，则的中点到轴的最短距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解题思路】设直线的方程并联立抛物线方程，可得根与系数关系，结合化简可得的关系式，表示出的中点到轴的距离的表达式，换元后利用函数的单调性即可求得答案. 【解答过程】由题意知直线l的斜率存在，设直线的方程为， 与抛物线方程联立得，，需满足， 设，，则， 则由弦长公式得， 两边平方得，，因为， 代入得，， 令，，则，而根据对勾函数性质知在单调递增， 因此当时，， 即的中点到轴的最短距离为， 故选：A. 62．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据抛物线定义，将点到的距离转化为点到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形三边关系，可以得出的最小值即为点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式即可求解. 【解答过程】由题意，抛物线的焦点，准线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以. 联立方程组得：，则， 所以直线与抛物线无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为， 即的最小值为.    故选：A. 63．（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线与直线相交于不同的、两点．记点、的横坐标分别为、且，若存在以、、为边长的三角形，则的取值范围是____________． 【答案】 【解题思路】将直线方程与抛物线的方程联立，可得出，可得出，由以及，，可求出实数的取值范围. 【解答过程】由于存在以、、为边长的三角形，则、、都为正数， 联立可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的实根、， 则，可得， 将代入不等式，得，可得， 由得，可得， 由得，则，即，可得， 由可得，可得， 又因为，即，即，可得， 由于，可得， 显然，则显然成立， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 64．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）关于轴的对称点与三点在同一直线上，设直线的方程为，与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系可求，进而求得抛物线的方程； （2）求得直线的方程，设，利用点到直线的距离公式可求到直线距离的最小值. 【解答过程】（1）抛物线的焦点 因为直线与直线斜率之和为0， 所以点关于轴的对称点与三点在同一直线上，    设直线的方程为， 与抛物线联立可得，消去得， 由是方程的两根， 所以，解得，所以抛物线的方程为； （2）因为在抛物线上，所以，所以， 所以，又，所以，又且直线， 所以的方程为， 设，所以点到直线距离； 当时，到直线距离取最小值，最小值为. 65．（25-26高二上·江西·期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小3，记点的轨迹为曲线． (1)求的标准方程； (2)若为上的一个动点，，点到轴的距离为，求的最小值； (3)若过点的直线与交于，两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】(1)根据题意，由抛物线的定义可得； (2)由抛物线的性质，当三点共线时，即最小； (3)联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理与弦长公式即可得. 【解答过程】（1）由题意得点到的距离等于点到直线的距离， 所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线． 故的标准方程为． （2）设点到的准线的距离为，得． ． 当，，三点共线时，取得最小值，且最小值为． （3）易得的斜率不为0，设，，． 由得， 由，得． 由韦达定理得， 则， 所以的取值范围为．    题型14 抛物线中的定点、定值、定直线问题 66．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． (1)求的值； (2)倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； (3)是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 【答案】(1)2 (2)16 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求解即可． （2）求出直线的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，代入弦长公式求解即可． （3）设出点、、的坐标及直线及切线，的方程，联立抛物线方程，根据得到切线方程，从而得到切点弦所在直线方程，即可得到所过定点． 【解答过程】（1）抛物线的焦点， 由题意可得：，即，， 解得或，又因为，所以． （2）由（1）可得抛物线方程为，， 所以直线的方程为，设，， 联立，得， ， 所以，， . （3）证明：设，，的方程为． 由，得， 所以，，． 易知直线，的斜率存在， 设直线的方程为， 由，得． 由，解得， 所以直线的方程为，即． 同理可得，直线的方程为． 设，代入直线、中，，， 即，， 所以，可看作方程的两根， 所以，又，所以． 所以直线的方程为，故直线过定点． 67．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据已知条件先找出直线的方程，联立直线和抛物线方程解出，从而得出的值建立方程求出的值即可； （2）由抛物线的对称性进行分析后，设直线，联立直线和抛物线方程，分析写出韦达定理，分别求出直线的方程，联立两直线方程分析即可得出结论. 【解答过程】（1）如图所示： 抛物线的焦点，则直线， 由得， 依题意，解得， 所以抛物线的方程为. （2）证明：由抛物线对称性，不妨令点在轴上方， 由（1）知，，焦点， 显然直线不垂直于坐标轴， 设其方程为，如图所示： 由消去得：， 因为， 设，，所以， 直线的斜率为:，方程为， 直线的斜率为:，方程为， 由，消去得：， 整理得： ， 因此点的横坐标恒为， 所以点在定直线上. 68．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线l：与抛物线C：相切于点P. (1)求C的方程以及点P的坐标. (2)过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M. （i）当轴时，求L的方程； （ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1)，； (2)（i）； （ii）证明见解析 【解题思路】（1）联立方程，根据直线与曲线相切，可知方程根的个数，利用一元二次方程根的判别式，可得参数值，从而可得答案. （2）（i）由题意设出直线方程，联立方程，再根据一元二次方程根的判别式，可得答案；（ii）根据一元二次方程，根与系数关系，整理算式，建立方程，可得答案. 【解答过程】（1）由可得（*）， 由题意知，解得（舍去）， 所以C的方程为. 将代入（*）式可得，解得， 将代入C的方程可得：，即. （2）（i）易知L的斜率存在且不为0，设， 与C的方程联立，得. 由及点P不在L上，得或或. 设，，则，. 当轴时，，即，满足题意， 所以L的方程为. （ii）证明：由（i）可得， . 所以， 即为定值. 69．（25-26高二上·云南丽江·期中）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【答案】(1)过定点，理由见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【解答过程】（1）过定点，理由如下： 抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. （2）证明：直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 70．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线的准线与轴的交点为． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程； (3)若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题设有，即可得抛物线方程； （2）讨论斜率存在性，并设联立抛物线，利用求参数，即可得直线方程； （3）令为，，联立抛物线并应用韦达定理化简，即可证. 【解答过程】（1）由题设知， 则； （2）由题意，直线的斜率不存在时，与抛物线只有一个交点，但不相切， 令，联立抛物线得， 所以，则或， 所以直线为或. （3）证明：由题意，斜率一定存在，令为，， 联立抛物线得，显然，所以，， 而，， 所以， 所以为定值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抛物线14大重点题型（期中专项训练） 【苏教版】 题型归纳 题型1 抛物线的定义的理解 1．（25-26高二上·河南·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B．3 C．4 D．6 2．（25-26高二上·河北沧州·期中）若抛物线上的点（）到其焦点F的距离为3，则实数m的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 3．（25-26高二上·河南·期中）设为坐标原点，为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（    ） A．3 B．4 C． D． 4．（25-26高二上·重庆·期中）若抛物线上的点到焦点的距离为9，则它到轴的距离是___________． 5．（25-26高二上·江苏南通·期中）若抛物线上一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为___________． 题型2 求抛物线的轨迹方程 6．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·吉林延边·期中）在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是___________． 9．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 10．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 题型3 抛物线上的点到定点的距离及最值 11．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·福建三明·期中）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 13．（25-26高二上·江苏·期中）已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一动点．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·北京·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为__________. 15．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 题型4 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 16．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 17．（25-26高二上·重庆·期中）已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段 的中点，为抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．6 B．3 C．12 D．9 18．（25-26高二上·湖南·期中）已知是抛物线上的动点，点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为（   ） A．2029 B．2030 C．2031 D．2032 19．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是____________． 20．（25-26高二上·江苏南通·期中）过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． (1)求直线的方程； (2)设为圆上一点，求的最小值． 题型5 抛物线的焦点坐标及准线方程 21．（25-26高二上·河南·期中）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·河北沧州·期中）抛物线C：的准线方程为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）若抛物线（）的焦点到准线的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·山东菏泽·期中）抛物线的准线方程为___________． 25．（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； (2)求所在的直线方程． 题型6 求抛物线的标准方程 26．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 27．（25-26高二上·重庆·期中）已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点，为坐标原点，若. 且，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·福建厦门·期中）若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为__________． 29．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为； (2)焦点到准线的距离为. 30．（25-26高二上·湖南·期中）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上且其到准线的距离为6. 题型7 抛物线的焦半径公式 31．（25-26高二上·广西柳州·期中）抛物线的焦点为，抛物线上一点在其对称轴的上方，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 33．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高二上·吉林松原·期中）已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，若，则线段中点的纵坐标为___________. 35．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的准线方程为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 题型8 抛物线的对称性及其应用 36．（25-26高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）    A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 38．（25-26高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 39．（25-26高二上·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为__________cm. 40．（25-26高二上·上海虹口·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米． (1)以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该隧道抛物线部分的方程； (2)若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？ 题型9 抛物线的应用 41．（25-26高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高二上·江苏·期中）已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 43．（25-26高二下·云南·期中）已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 44．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为___________. 45．（25-26高二上·河南周口·期中）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则__________． 题型10 直线与抛物线的位置关系 46．（25-26高二上·河北·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 47．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 48．（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 49．（25-26高二上·全国·课后作业）过点与抛物线只有一个公共点的直线有___________条． 50．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知抛物线，过点作直线. (1)若直线与抛物线只有一个公共点，求直线的方程； (2)若直线过点，且交抛物线于、两点，求线段的长. 题型11 抛物线的弦长与中点弦问题 51．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 52．（25-26高二上·全国·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 53．（25-26高二上·浙江·期中）设抛物线被直线截得的弦的长为，则___________． 54．（25-26高二上·湖南·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求． 55．（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于，两点，且点是弦的中点，求直线的方程. 题型12 抛物线中的面积问题 56．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 57．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且位于轴的两侧（在的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 58．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为__________. 59．（25-26高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 60．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线C上，且，直线过定点（其中，）与抛物线相交于A，B两点（点位于第一象限）． (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：； (3)如图，连接，并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，求． 题型13 抛物线中的参数范围及最值 61．（25-26高二上·广东东莞·期中）设抛物线，直线与抛物线交于、两点且，则的中点到轴的最短距离为（    ） A． B．1 C． D．2 62．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 63．（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线与直线相交于不同的、两点．记点、的横坐标分别为、且，若存在以、、为边长的三角形，则的取值范围是____________． 64．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 65．（25-26高二上·江西·期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小3，记点的轨迹为曲线． (1)求的标准方程； (2)若为上的一个动点，，点到轴的距离为，求的最小值； (3)若过点的直线与交于，两点，求的取值范围． 题型14 抛物线中的定点、定值、定直线问题 66．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． (1)求的值； (2)倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； (3)是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 67．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 68．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线l：与抛物线C：相切于点P. (1)求C的方程以及点P的坐标. (2)过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M. （i）当轴时，求L的方程； （ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值. 69．（25-26高二上·云南丽江·期中）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 70．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线的准线与轴的交点为． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程； (3)若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $