高二数学上学期期中模拟卷01（苏教版，范围：选择性必修第一册第1章～第3章，举一反三）

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷01 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【解答过程】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 故选：A. 2．（5分）若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【解题思路】根据抛物线写出准线方程，结合抛物线的性质确定点到抛物线的准线的距离. 【解答过程】由题设，而抛物线的准线为，所以点到抛物线的准线的距离为. 故选：C. 3．（5分）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【解答过程】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 4．（5分）若直线：与：（）平行，则与间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由平行关系求出，再由平行线间的距离公式求解． 【解答过程】因为与平行，所以，得， 所以：， 所以与间的距离为． 故选：C． 5．（5分）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆定义、离心率和椭圆关系可直接求得椭圆方程； 【解答过程】由椭圆定义知：，解得， 又离心率，，， 所以椭圆的标准方程为：. 故选：A. 6．（5分）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出曲线的图象，数形结合可得解． 【解答过程】直线恒过定点， 由，得到 ， 所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 如下图所示：    当直线经过点时，与曲线有两个交点，此时， 当与半圆相切时，由，得， 由图可知，当时，与曲线有两个公共点， 故选：D. 7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】连接，，，，由条件证明四边形为矩形，利用勾股定理和双曲线定义联立求出的值，代入三角形面积公式即得. 【解答过程】由双曲线的对称性以及，是双曲线上关于原点对称的两点可知，，，三点共线， 连接，，，，，则四边形为矩形， 所以，，    由双曲线可得，， 则， 所以，所以， 又， 所以，解得， 所以. 故选：B. 8．（5分）已知，，，记直线与直线的交点为，点是圆上的一点，若与圆相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合已知，求出交点的轨迹方程，再结合切线的性质即可求解. 【解答过程】直线即直线，过定点， 直线即直线，过定点， 又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点的轨迹是以为直径的圆， 即轨迹方程为，圆心， 因为Q是圆C上一点，且PQ与C相切， 所以问题转化为圆上任意一点作直线与圆相切，求切线的范围. 设圆的半径为， 因为圆的圆心，半径为定值，当取得最小值和最大值时，切线取得最小值和最大值， ， 又因为，即， 所以，即， 故选：A.    二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【解题思路】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【解答过程】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 故选：ACD. 10．（6分）已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．若直线被圆所截得的弦长为4，则或 C．若直线与圆相切，则 D．，使得直线与圆相离 【答案】AC 【解题思路】根据直线的点斜式方程可判断A正确，利用弦长公式计算可得斜率，可知B错误，由直线与圆相切计算可得C正确，因为直线上恒有一点在圆上，可得D错误. 【解答过程】对A，因为直线：可化为， 所以直线过定点，所以A正确； 对B，圆的标准方程为，即圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，则. 若直线被圆所截得的弦长为4，则， 即，化简得，解得或，所以B错误； 对C，若直线与圆相切，则有，即， 化简得，解得，所以C正确； 对D，因为直线上恒有一点在圆上，所以直线不可能与圆相离，所以D错误. 故选：AC. 11．（6分）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过的直线交于，两点，交的准线于点.若，则下列说法中正确的有（ ） A．抛物线的方程为： B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【解题思路】由椭圆方程可得其焦点坐标，可得，进而求解判断A；设，根据抛物线的定义及可求得，不妨取，进而求得直线的方程为，可得，，进而求解判断BCD. 【解答过程】由于椭圆的焦点坐标为， 则，即，所以抛物线的方程为：，故A正确； 由，设，则，即， 又，则，结合对称性，不妨取， 则，即直线的方程为，即， 联立，解得或，即， 则，故B错误； 而，故C正确； 点到直线的距离为， 则，故D正确. 故选：ACD.    第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知直线与直线平行， 则实数的值是__________. 【答案】 【解题思路】由两直线平行的判定可得求解即可，注意验证是否出现直线重合的情况. 【解答过程】已知直线与直线平行，则，解得：， 当时，直线方程为：，即与直线不重合，且平行，满足条件； 故答案为：. 13．（5分）已知圆与圆内切，则实数的值为__________. 【答案】7 【解题思路】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再根据内切得出圆心间距离等于半径差计算求解. 【解答过程】圆的圆心，半径为，圆圆心，半径为， 圆与圆内切，则，即， 实数的值为. 故答案为：7. 14．（5分）已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是__________. 【答案】 【解题思路】设出左焦点以及，利用椭圆定义表示出相关线段的长度，然后分别在直角中运用勾股定理，最后得到的关系式可求结果. 【解答过程】设椭圆的左焦点为，连接， 因为点平分，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，则， 在直角中，，所以， 整理可得，所以， 在直角中，，所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】(1)利用点斜式写出直线方程，再化为直线的一般方程； (2)分类讨论截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. 【解答过程】（1）因为直线的斜率为，经过点， 所以直线方程为，即. （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为 因为直线过点，所以，即， 此时方程为，即； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为， 则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 16．（15分）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出边的中点坐标，再根据直线两点间的斜率公式得到中线斜率，使用点斜式写出直线方程；（2）设圆的一般方程，代入顶点坐标即可求出外接圆的方程. 【解答过程】（1）线段中点为，则边中线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为化简得， （2）设外接圆一般方程为，代入三点坐标得， 解得， 即的外接圆方程为， 即. 17．（15分）已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设双曲线方程为，即可求出、，从而求出； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可. 【解答过程】（1）依题意设双曲线方程为， 所以，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）设，， 由，消去整理得， 所以，解得或， 又，， 所以， 即，解得（满足）， 所以. 18．（17分）已知到原点和的距离之比为2的点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)点是曲线上任意一点，点到直线的距离为，求的最小值； (3)点是上的一个动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为.若两条切线与轴分别交于点，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）设出曲线上任意一点坐标，由给定关系列出方程并化简即可. （2）由，结合图形利用几何法求出原点到直线距离即可. （3）设切线方程，利用切线的性质求出k与t的关系，借助韦达定理求出的表达式，进而求出最小值. 【解答过程】（1）设曲线上任意一点坐标为，依题意，，化简得， 所以曲线的方程为. （2）由（1）知，曲线是以为圆心，1为半径的圆， 过点作直线的垂线，为垂足，则直线的方程为， 由，解得，即点，，即点在圆内， 则线段与圆相交，令交点为，由点是曲线上任意一点，得， 因此，当且仅当与重合时取等号， 所以的最小值为. （3）设切线方程为，即，切线的斜率分别为， 因此，整理得，则，， 在切线方程中令，得，于是， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 19．（17分）已知椭圆的离心率为点 在椭圆上，直线 与x轴交于点B.    (1)求椭圆的标准方程； (2)过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为. ①求证：为定值； ②点G为CF中点，若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析 ② 【解题思路】（1）根据离心率的值和椭圆上一点求得，进而求得椭圆方程即可. （2）① 设出直线的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理对进行化简即可验证结果.②先根据三角形面积公式将表达式用列出来，然后根据求根公式整理为关于的式子，利用换元法令转化为的函数求值域即可. 【解答过程】（1）由题意知， 因为，所以，所以. 所以，解得，则. 所以椭圆的标准方程为. （2）①证明：，直线的方程为. 联立该直线与椭圆方程得，化简得. 由，解得. 设，（）， 由韦达定理可得. 所以 ， 所以为定值，定值为. ②设直线的方程为，即. 令，则，所以. 设直线的方程为，同理可得. 则由①知，所以， 所以； . 又，所以. 由方程（）， 可得 所以， 令， 则 所以的取值范围是.      2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷01 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第一册第1章~第3章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 3．（5分）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）若直线：与：（）平行，则与间的距离是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 8．（5分）已知，，，记直线与直线的交点为，点是圆上的一点，若与圆相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 10．（6分）已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．若直线被圆所截得的弦长为4，则或 C．若直线与圆相切，则 D．，使得直线与圆相离 11．（6分）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过的直线交于，两点，交的准线于点.若，则下列说法中正确的有（ ） A．抛物线的方程为： B． C． D．的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知直线与直线平行， 则实数的值是__________. 13．（5分）已知圆与圆内切，则实数的值为__________. 14．（5分）已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 16．（15分）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求的外接圆的方程. 17．（15分）已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 18．（17分）已知到原点和的距离之比为2的点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)点是曲线上任意一点，点到直线的距离为，求的最小值； (3)点是上的一个动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为.若两条切线与轴分别交于点，求的最小值. 19．（17分）已知椭圆的离心率为点 在椭圆上，直线 与x轴交于点B.    (1)求椭圆的标准方程； (2)过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为. ①求证：为定值； ②点G为CF中点，若求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $